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【世纪金榜】2015高考数学专题辅导与训练配套练习:解答题规范训练(二)三角函数及解三角形


解答题规范训练(二)
三角函数及解三角形 (建议用时:45 分钟) 1.(2014 ·枣庄模拟 ) 在△ ABC 中 ,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边 , 且 2cosAcosC(tanAtanC-1)=1. (1)求 B 的大小. (2)若 a+c= ,b= ,求△ABC 的面积.

【解析】(1)由 2cosAcosC(tanAtanC

-1)=1 得: 2cosAcosC =1,

所以 2(sinAsinC-cosAcosC)=1, 即 cos(A+C)=- , 所以 cosB=-cos(A+C)= , 又 0<B<π,所以 B= . (2)由余弦定理得:cosB= 所以 又 a+c= ,b= = , , = ,

所以 -2ac-3=ac,即 ac= , 所以 S△ABC= acsinB= 〓 〓 = .

2.(2014 · 太 原 模 拟 ) 设 △ ABC 的 内 角 A,B,C 所 对 的 边 长 分 别 为 a,b,c,m=(cosA,cosC),n=( (1)求角 A 的大小. (2)若角 B= ,BC 边上的中线 AM 的长为 ,求△ABC 的面积. c-2b, a),且 m⊥n.

-1-

【解析】(1)因为 m⊥n,所以 m·n=0, 即(2bc)cosA= acosC, sinAcosC, sinCcosA

所以(2sinB2sinBcosA= = sin(A+C),

sinC)cosA= sinAcosC+

则 2sinBcosA= 所以 cosA= ,

sinB,

因为 0<A<π,于是 A= . (2)由(1)知 A=B= ,所以 AC=BC,C= . 设 AC=x,则 MC= x,AM= .

在△AMC 中,由余弦定理得 AC2+MC2-2AC·MC·cosC=AM2, 即 x2+ 解得 x=2, 故 S△ABC= x2sin = . +cos4x. -2x· ·cos120°=( )2,

3.(2014·南昌模拟)已知函数 f(x)=4sin2x·sin2 (1)求 f(x)的最小正周期. (2)若 g(x)=f(x+φ) (3)求 y=g(x)的单调递增区间. 【解析】(1)f(x)=4sin2x·sin2 =4sin2x· =2sin2x+1, +cos4x +cos4x

在 x= 处取得最大值,求φ的值.

-2-

T= =π. (2)g(x)=f(x+φ)=2sin(2x+2φ)+1, 当 2x+2φ= +2kπ,k∈Z 时取得最大值,将 x= 代入上式,解得φ=- +k π,k∈Z, 因为- <φ< ,所以φ=- . (3)g(x)=2sin +1,

- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z, 解得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 所以函数 g(x)的单调递增区间为 ,k∈Z. 【加固训练】(2014·西安模拟)将函数 y=f(x)的图象向左平移 1 个单 位,再纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 倍,然后再向上平移 1 个单位, 得到函数 y= sinx 的图象.

(1)求 y=f(x)的最小正周期和单调递增区间. (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,求当 x∈[0,1] 时,函数 y=g(x)的最小值和最大值. 【解析】(1)函数 y= sinx 的图象向下平移 1 个单位得 y= sinx-1

的图象,再将其图象横坐标缩短到原来的 倍得 y= 然后将其图象向右移 1 个单位得 y= 所以函数 y=f(x)的最小正周期为 T= sin =6,

sin x-1 的图象, -1 的图象,

由 2kπ- ≤ x- ≤2kπ+ ,k∈Z ?6k- ≤x≤6k+ ,k∈Z. 所以 y=f(x)的递增区间是 ,k∈Z.

-3-

(2)因为函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称, 所以当 x∈[0,1]时,y=g(x)的最值即为 x∈[3,4]时,y=f(x)的最值. 因为 x∈[3,4]时, x- ∈ 所以 sin 所以 f(x)∈ ∈ , , ,

所以 y=g(x)的最小值是-1,最大值为 . 4.(2014·石家庄模拟)已知函数 f(x)=sin +2cos2 . (1)写出如何由函数 y=sinx 的图象变换得到 f(x)的图象. (2)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若(2a-c)cosB=bcosC, 求 f(A)的取值范围. 【解析】f(x)=sin +cos +1= (1)y=sinx y=sin y= sin y= sin +1. y=sin sin +1.

(2)由(2a-c)cosB=bcosC,利用三角形中的正弦定理知: (2sinA-sinC)cosB=sinBcosC, 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA, 因为 sinA≠0,所以 2cosB=1, 因为 0<B<π,所以 B= . f(A)= sin +1.

因为 0<A< , < + < ,

-4-

所以 <sin 所以 2<f(A)≤

≤1, +1. ,P,Q 为

5.(2014·南阳模拟)凸四边形 PABQ 中,其中 A,B 为定点,AB= 动点,满足 AP=PQ=QB=1. (1)写出 cosA 与 cosQ 的关系式.

(2)设△APB 和△PQB 的面积分别为 S 和 T,求 S2+T2 的最大值,以及此时 凸四边形 PABQ 的面积. 【 解 析 】 (1) 由 余 弦 定 理 , 在 △ PAB

中 ,PB2=PA2+AB2-2 · PA · AB · cosA=4-2 中,PB2=PQ2+QB2-2·PQ·QB·cosQ=2-2cosQ.所以 4-2 即 cosQ= cosA-1. ,

cosA, 在 △ PQB cosA=2-2cosQ,

(2)S= PA·AB·sinA= T= PQ·QBsinQ= sinQ. 所以 S2+T2= sin2A+ sin2Q = (1-cos2A)+ (1-cos2Q) ==+ cosA+ + ,

当 cosA= 时,S2+T2 有最大值 . 此时,S 四边形 PABQ= .

【加固训练】(2014·昆明模拟)如图,在△ABC 中, ∠ABC=90°,AB= ,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°.

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(1)若 PC= ,求 PA. (2)若∠APB=120°,求△ABP 的面积 S. 【解析】(1)在 Rt△BPC 中,sin∠PBC= . 所以∠PBC=60°. 而 PB= = = .

在△ABP 中,∠PBA=90°-∠PBC=90°-60°=30°. 由余弦定理,PA2=PB2+AB2-2PB·AB·cos∠PBA = +3-2〓 〓 所以 PA= . (2)设∠PBA=α,则∠PBC=90°-α. 在 Rt△BPC 中,PB=BC·cos∠PBC=cos(90°-α)=sinα. 在△ABP 中,由正弦定理, 即 = , , cosα. = , 〓 = ,

所以 sinα=2 即 2sinα=

因为 cosα≠0,从而 tanα= . 因为α为锐角,则 sinα= .PB=sinα= . △ABP 的面积 S= AB·PB·sin∠PBA= 〓 〓 = .

6.(2014·杭州模拟)已知向量 a=(cosω x-sinω x,sinω x),b=(-cosω xsinω x,2 cosω x),设函数 f(x)=a·b+λ (x∈R)的图象关于直线 x=
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π 对称,其中ω ,λ 为常数,且ω ∈ (1)求 f(x)的最小正周期. (2)若 y=f(x)的图象经过点 范围.

.

,求函数 f(x)在区间

上的取值

【解析】(1)f(x)=a·b+λ=(cosωx-sinωx)·(-cosωx-sinωx)+ 2 sinωxcosωx+λ sin2ωx+λ

=(-sinωx)2-(cosωx)2+ =-cos2ωx+ =2sin sin2ωx+λ +λ,

因为函数 f(x)的图象关于直线 x=π对称, 所以 sin =〒1,

即 2πω- =kπ+ ,k∈Z, 所以ω= + ,k∈Z, 因为ω∈ ,所以ω= ,所以 T= . ,

(2)因为 y=f(x)的图象经过点 所以得 f =0, =-2sin =,所以 x- ∈ ,2].

所以λ=-2sin 因为 x∈

, ,

所以 f(x)∈[-1-

【 加 固 训 练 】 (2014 · 济 南 模 拟 ) 若 向 量 a=(sinx,cosx),b=( 点M . cosx,-cosx),函数 f(x)=a· b+m(x∈R)的图象过

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(1)求函数 f(x)的单调递增区间. (2)将函数 f(x)的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的 2 倍, 然后将得到的图象上的各点向左平移 个单位长度,得到函数 g(x)的 图象.若当 x=n 时,g(x)取得最大值,求正实数 n 的最小值. 【解析】(1)由题意知 f(x)= = sin2x- (1+cos2x)+m =sin 因为点 M 所以 sin +m- . 在函数 f(x)的图象上, +m- =0, . sinxcosx-cos2x+m

解得 m= ,所以 f(x)=sin

由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z), 得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z), 所以函数 f(x)的单调递增区间为 (k∈Z).

(2)将 f(x)的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的 2 倍,得 到 y=sin y=sin 的图象,然后向左平移 =sin 个单位长度,得到 .

的图象,所以 g(x)=sin

因为当 x=n 时,g(x)取得最大值, 所以 n+ =2kπ+ (k∈Z), 故正实数 n 的最小值为 .

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