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高二数学竞赛讲义数列四


高二数学竞赛讲义
第四章:数列(四)
(四)数列的综合题(不含数学归纳法) 例 1、 设 ?an ? 为等差不为 0 的等差数列, 满足 a22 ? a33 ? a42 ? a52 , S7 ? 7 , Sn 为其前 n 项和, ①求 an 及 Sn ;②试求所有的正整数 m,使得

am am ?1 为数列 ?an ? 中的项。 am ?

2

例 2 、对于函数 f ( x ) ,若存在 x0 ? R ,使 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 为 f ( x ) 的不动点,若

f ( x) ?

1 x2 ? a (b、c ? N ) 有且只有两个不动点 0,2,且 f ( ?2) ? ? ; 2 bx ? c

①求 f ( x ) ;②已知各项不为零的数列 ?an ? 满足 4Sn ? f (

1 ) ? 1 ,求 an ; an

③若 a1 ? 4, an?1 ? f (an ) ,求证:当 n ? 2 ,恒有 an ? 3 。

例 3、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? n2 ? 3n(n ? N? ) ,
2 ①是否存在常数 ? , ? ,使数列 an ? ? n ? ? n 为等比数列;若存在,求 ? , ? 的值,若

?

?

不存在,说明理由。 ②设 bn ?

6n 5 1 ? Sn ? (n ? 2) , Sn ? b1 ? b2 ? … ? bn ,证明: n ?1 (n ? 1)(2n ? 1) 3 an ? n ? 2

例4、Sn是数列?an ?的前n项和,且4Sn ? 3an ? 2n ?1 (n ? 0, n ? Z ) (1)求an与an ?1之间的关系式。 (2)求使得数列a 0 ,a1 ,a2 ,? ? ? 递增的所有a0的取值。

例6、在数列? xn ?中,xn ? p n ? q n ( p、q ? R), x1 ? 1, x3 ? 4 (1)求证:xn +2 =xn +1 +xn (2)指出x2014的末位数字,但不必证明。

m ? 例 5 、 设 数 列 ?an ? (n ? 0 ), 满 足 a1 ? 2 , a m ? n ? am ? ? n

? n

1 ( 2a ? m 2

2

an ) ,其中

m, n ? N , m ? n 。 ① 证 明 : 对 一 切 n ? N , 有 an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 ; ② 证 明 :

1 1 1 ? ?… ? 1 ?。 a1 a 2 a2 0 1 1

例7、设?、? 是方程x 2 ? x ? 1 ? 0的两个根,令an ? (1)证明:an ? 2 ? an ?1 ? an (n ? N ? )

?n ? ?n ? ??

(2)求所有正整数a、b, a<b, 满足对任意正整数n,有b整除an ? 2na n .

例 8、设平面直角坐标系 xoy 中,y 轴正半轴上点列 ?An ? 与曲线

y ? 2 x (x>0)上点列

?Bn? 满足 OAn
(1)

? OBn ?

1 , 直线 An Bn 在 x 轴上截距为 an ,Bn 的横坐标为 bn (n ? N ? ) n

证明:an ? an ?1 ? 4 (n ? N? )
证明:存在n0 ? N ?, 使得对任意n ? n0 , 有 b2 b3 bn ?1 ? ? ? n ? 2004 b1 b2 bn

(2)

【赛题训练】
1. ①递增数列 2,3,5,6,7,10,11…由所有既不是平方数,又不是立方数的正整数组 成,则 2007 的项数为 。 ②已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? an ,且 a2n?1 ? a2n ? 1 ? 2(an?1an ? an?1 ? an ) ,则

Sn = nan



③在数列 ?8n ?1 ? 中,前 m 项恰有 10 项的值为完全平方数,则 m 的最小值为



…}, ④有一个递增数列的正奇数数列,每个奇数 k 出现 k 次,即 {1,3,3,3,5,5,5,5,5, 7
它满足

an ? r[ n ? s ] ? t (r, s, t ? z) ,则 r=

,s=

,t=



2、 设 Mn ? (十进制)n位纯小数0.a1a2…an , ai只取0或 Tn 是 M n 1, i ? 1,2…n ?1, an =1), 中元素的个数, Sn 是 M n 中所有元素之和,求

?

?

Sn 的表达式。 Tn

3、数列 ?an ? 各项均为正, Sn 为其前 n 项和,对于 n ? N? ,总有 an 、 Sn , an 2 成等差数列, ①求 an ②设数列 ?

?1? ? 的前 n 项和为 Tn ,数列 ?Tn ? 的前 n 项和为 Rn ,求证:当 n ? 2 a n ? ?

且 n ? N? 时, Rn?1 ? n(Tn ?1) ;


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