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幂函数


1 2 我们已经学过函数 y ? x, y ? , y ? x 观 x 察这3个函数解析式,说出他们有哪些
异同点?

定义:一般地把形如y ? a 的函数称为幂函数,
x

其中x是自变量,a是常数.

例1、下列函数中,哪几个函数 是幂函数?

(1)y =

1 x2

(2)y=2x2
(4)y=1 (6) y=-x3

(3)y=2x (5) y=x2 +2 (7) y ? ( x ? 1)3

答案:(1)

总结: ① x 系数是1 ②底数为 x而不是x的代数式如2x 或x-2 ③幂函数中指数确定则幂函数确定, 故用待定系数法求幂函数解析式 只需一个条件.
a

幂函数图像:作出下列函数的图象 : 1 ?1 2 y=x y ? x 2 y ? x3 y ? x y?x
x … -3 -3 -2 -2 -1 0 -1 0 1 1 2 2 3 3
y?x …

y=x0

… …

y ? x2 …
1 2…

9

4
-8 \

1

0

1
1 1 1

4
8

9
27




y ? x3 … -27

-1 0 \ 0

y?x

\

2

3 …

y ? x … -1/3 -1/2 -1 \

?1

1/2 1/3 …

4

3

2

1

(1,1)
2 4 6

-6

-4

-2

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x2 9 4 1 0 1 4 9

4

3

y=x

2

1

(1,1)
2 4 6

-6

-4

-2

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

(2,4) y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

(2,4) y=x2 y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x3 -27 -8 -1 0 1 8 27

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

x

0
1 2

1

2

4

-3

y?x

0

1

2

2

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

x -3 -2 -1 1 2 3 y ? x?1 -1/3 -1/2 -1 1 1/2 1/3

-3

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4) 在第一象限内 , 函数图象的变化 趋势与指数有什 么关系? (-1,1)
-6 -4 -2

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

在第一象限内, 当a>0时,图象随x增大而上升。 当a<0时,图象随x增大而下降

-3

-4

不管指数是多少 , (-2,4) 图象都经过哪个 定点?
(-1,1)
-6 -4 -2

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

在第一象限内, 当a>0时,图象随x增大而上升。 当a<0时,图象随x增大而下降。 图象都经过点(1,1) a>0时,图象还都过点(0,0)点

-3

-4

幂函数的性质:
幂函数的定义域、单调性,因函数式中a的不同 而各异. 1.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1); 2.如果a>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1) a>1 并在(0,+∞)上为增函数,在第一象限内,过 0<a<1 (1,1)点后的图像向右上方无限延伸; 3.如果a<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在 (0,+∞)上为减函数,在第一象限内图像向上 a<0 与Y轴无限靠近,向右与X轴无限靠近,过 (1,1)点后|a|越大,图像下落的速度越快;

练习: 如图所示,曲线是幂函数 y = xk 在第一象限
1 内的图象,已知 k分别取 ?1,1, , 2 四个值, 2

则相应图象依次为:________ C4 C2 C3 C1

1

一般地,幂函数的图象在直线x=1 的右侧,大指数在上,小指数在下, 在Y轴与直线x =1之间正好相反。

练习: 如果函数 f ( x) ? (m ? m ? 1) x
2 m 2 ? 2 m ?3

是幂函数,且在区间(0,+∞) 内是减函数,求满足条件的实数 m的集合。

m?2
舍去m ? ?1

练习. 利用单调性判断下列各值的大小。 (1)5.20.8 与 5.30.8 (2)0.20.3-2 与 0.30.3 -2

(3)

2.5

5

与 2.7

5

解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数

∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5

练习: 1 点 ( 2,2)在幂函数 f ( x ) 的图像上,点( ?2, ? )在幂函数 g ( x) 2 图像上,做出函数的图像,问当 为何值时有 (1) f ( x) ? g ( x) ;

x

(2)f ( x) ?
(3) f ( x) ?

g ( x) ;
g ( x)

第 一 象 限

a<0时
a<0 y 双曲线型 O a=1 a=0,直线型 X

a>0时
y a>1开口向上型抛物线
0<a<1开口 向右抛物线型

O

X

画出函数在第一象限的图象后,再根据函数 的对称性,画出函数在其他象限还有的图象 (奇偶性)

y?x y ? x 练 习 I 5 G 3
y ? x3 y ? x2
y

1 ? 2

2 3

y?x
E

4 3

y?x
B

?3

y?x
C

?2

y?x
J
X y

y?x
D
X

1 3

y?x
Fy
O X

1 2

A
O X

H

y O

y

O

O

X

(A)
y O X

(B)
y O
X

(C) y
y

(D)

(E)
y O X

O

X

O

X

(F)

(G)

(H)

(I)

(J)

小结
k(k∈Q) 形如y=x 1、幂函数的定义 的函数叫做幂函数. 及图象特征?

在第一象限内 2、幂函数的性质
k>0时图象呈上升趋势;

k<0时图象呈下降趋势.

3、思想与方法

过定点(1,1) y y K<0

k>1 0<k<1

o

x

o

x

小结
1、幂函数的定义 及图象特征? k>0,在(0,+∞)上为增函数; 2、幂函数的性质 k<0,在(0,+∞)上为减函数 3、思想与方法 图象过定点(1,1)

小结
1、幂函数的定义 及图象特征? 2、幂函数的性质
运用函数性质解决问题时,要想到数形结 合的思想方法,寓数于形,赋形于数,互相利 用,相得溢彰.

3、思想与方法


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