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2013年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 (新课标Ⅱ卷)


绝密★启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷) 数学(理科) 注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前考生将自 己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 标黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 答第Ⅱ卷时

,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4. 考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、 选择题:本大题共 10 小题。每小题 5 分,共 50 分。在每个小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 M={x|(x-1)2 < 4,x∈R} ,N={-1,0,1,2,3} ,则 M∩ =( ) N (A) {0,1,2} (B) {-1,0,1,2}

(C){-1,0,2,3}

(D){0,1,2,3}

(2)设复数 z 满足(1-i)z=2 i,则 z= ( ) (A)-1+i (B)-1-i (C)1+i (D)1-i (3)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3 = a2 +10a1 ,a5 = 9,则 a1=( ) 1 1 1 1 (A) (B) ? (C) (D) ? 3 3 9 9 (4) 已知 m, 为异面直线, ⊥平面 α, ⊥平面 β。 n m n 直线 l 满足 l⊥m,⊥n, l
l ? ? , l ? ? ,则( )

(A)α∥β 且 l∥α

(B)α⊥β 且 l⊥β

(C)α 与 β 相交,且交线垂直于 l (D)α 与 β 相交,且交线平行于 l 5 2 (5)已知(1+ɑx)(1+x) 的展开式中 x 的系数为 5,则 ɑ=( ) (A)-4 (B)-3 (C)-2 (D)-1 (6)执行右面的程序框图,如果输入的 N=10,那么输出的 S= 1 1 1 1 1 1 (A) 1 ? ? ? ? ? (B) 1 ? ? ? ? ? 2 3 10 2! 3! 10! 1 1 1 1 1 1 (C) 1 ? ? ? ? ? (D) 1 ? ? ? ? ? 2 3 11 2! 3! 11! (7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分 别是(1,0,1)(1,1,0)(0,1,1)(0,0,0) , , , ,画该四 面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视 图可以为

(A) (B) (C) (D) (8)设 a=log36,b=log510,c=log714,则 (A)c>b>a (B)b>c>a (C)a>c>b (D)a>b>c
? x ?1 ? (9)已知 a>0,x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? y ? a ? x ? 3? ?

,若 z=2x+y 的最小值为 1,则

a=
1 1 (B) (C)1 (D)2 4 2 (10)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是 (A) ? xα ∈R,f(xα )=0 (B)函数 y=f(x)的图像是中心对称图形 (C)若 xα 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,xα )单调递减

(A)

(D)若 x0 是 f(x)的极值点,则 f ' ? x0 ? ? 0 (11)设抛物线 y2=3px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直 径的圆过点(0,2) ,则 C 的方程为 2 2 (A)y =4x 或 y =8x (B)y2=2x 或 y2=8x (C)y2=4x 或 y2=16x (D)y2=2x 或 y2=16x (12)已知点 A(-1,0) ;B(1,0) ;C(0,1) ,直线 y=ax+b(a>0)将△ABC 分割 为面积相等的两部分,则 b 的取值范围是
? 2 1? , ? ( C) (A) (0,1)(B) ?1 ? ? 2 2? ? ? ? 2 1? ?1 1 ? , ? (D) ? , ? ?1 ? ? 2 3? ?3 2 ? ?

第Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题,每个试题考生都必修作答。第 22 题~第 24 题为 选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
(13)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 AE ?BD =_______. (14)从 n 个正整数 1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 5 的

??? ??? ? ?

概率为

1 ,则 n=________. 14

(15)设 θ 为第二象限角,若 tan ? ? ?

? ?

??

1 ?? 4? 2

,则 sin ? ? cos ? =_________.

(16)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,已知 S10=0,S15 =25,则 nSn 的最小值为________.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17) (本小题满分 12 分) △ABC 在内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB。 (Ⅰ )求 B; (Ⅱ )若 b=2,求△ABC 面积的最大值。

(18)如图,直棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点, AA1=AC=CB=
2 AB。 2
A1 C1

(Ⅰ)证明:BC1//平面 A1CD (Ⅱ)求二面角 D-A1C-E 的正弦值

B1

E

A D B

C

(19)(本小题满分 12 分) 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1t 亏损 300 元。根据历史资料,得到销售季度内市场需 求量的频率分布直方图,如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了 130t 该 农产品。以 x(单位:t, 100≤x≤150)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。

(Ⅰ)将 T 表示为 x 的函数 (Ⅱ)根据直方图估计利润 T,不少于 57000 元的概率; (Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值, 需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 x

??100,110? )则取 x=105,且 x=105 的概率等于需求量落入 ?100,110? 的利润 T 的
数学期望。
(20)(本小题满分 12 分)

x2 y 2 平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)右焦点的直线 x+y-错误!未找到引 a b
用源。=0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为

1 2

(Ι )求 M 的方程 (Ⅱ)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最大值 (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ex-ln(x+m) (Ι )设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)当 m≤2 时,证明 f(x)>0

请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,做答时请 写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD C 于点 D,E、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点, 且 BC?AE=DC?AF,B、E、F、C 四点共圆。 (1) 证明:CA 是△ABC 外接圆的直径; (2) 若 DB=BE=EA,求过 B、E、F、C 四点的圆 F 的面积与△ABC 外接圆面积的比值。 D B E

A

(23) (本小题满分 10 分)选修 4——4;坐标系与参数方程 已知动点 P,Q 都在曲线 C: ?

? x ? 2cos ? ? y ? 2sin ?

? ? 为参数?

上,对应参数分别为 β=α

与α =2π 为(0<α <2π )M 为 PQ 的中点。 (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程 (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 a 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。

(24) (本小题满分 10 分)选修 4——5;不等式选讲 设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,证明: (Ⅰ) ab ? bc ? ca ?

1 3

(Ⅱ)

a 2 b2 c2 ? ? ?1 b c a


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