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两角和与差的三角函数及倍角公式的运用


两角和与差的三角函数及倍角公式的综合运用
一、本讲教学内容
两角和与差的三角函数及倍角公式的综合运用

二、典型例题选讲 例 1 已知 tan(? ? ? ) ? k ? tan(? ? ? )
求证:
sin 2? 1 ? k ? . sin 2? 1 ? k

(k ? 1).

/>注 意 到 已 知 条 件 中 的 角 ? ? ? 、 ? ? ? 与 欲 证 等 式 中 的 角 2? 、 2? 的 关 系 : 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ), 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ), 因此可用两角和与差的正弦公式变形,再用已知条件代入进行证 明.

分析

证:

sin 2? sin[(? ? ? ) ? (? ? ? )] sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) = = ? sjin2? sin[(? ? ? ) ? (? ? ? )] sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? )

tan(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) tan(? ? ? ) ? k ? tan(? ? ? ) 1 ? k = ? . tan(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) tan(? ? ? ) ? k ? tan(? ? ? ) 1 ? k

评析

tan(? ? ? ) 1? k tan(? ? ? ) tan(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) tan(? ? ? ) ? ? 本题也可以由已知得 k ? ,代入右边,得 1 ? k 1 ? tan(? ? ? ) tan(? ? ? ) tan(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) tan(? ? ? ) 1?

? tan A ? tan B ?

sin A sin B sin A ? cos B ? cos A ? sin B sin(A ? B) ? ? ? , cos A cos B cos A ? cos B cos A ? cos B 3 4

?

1 ? k sin[(? ? ? ) ? (? ? ? )] s i n? 2 ? ? . 1 ? k sin[(? ? ? ) ? (? ? ? )] s i n ? 2

例2

已知 sin? ? sin ? ? , 求 cos? ? cos ? 的取值范围.

分析 c o ? ? c o ? 难以直接用 sin? ? sin ? 的式子来表达,因此设 cos? ? cos ? ? t ,并找出 t 应满足的等 s s 式,从而求出 cos? ? cos ? 的取值范围. 解 令 cos? ? cos ? ? t ,①
由已知, sin? ? sin ? ?
3 . ② 4

①2+②2 : cos2 ? ? 2 cos? ? cos ? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 2 sin? ? sin ? ? sin2 ? ? t 2 ?
2 ? 2 cos(? ? ? ) ? t 2 ?
t ? [?

9 , 16
55 ]. 16

9 , 16

t2 ?

23 ? 2 cos(? ? ? ). 16

? ?1 ? cos(? ? ? ) ? 1,? t 2 ? [0,

55 55 55 55 , ], 即 cos? ? cos ? ? [? , ]. 4 4 4 4

例 3 求函数 f (x) ? sin x ? cos x ? 3sin x ? cos x 的值域 分析
f (x) 的解析式中既有 sin x ,又有 cos x ,若由 sin2 x ? cos2 x ? 1 将 cos x 表示成 ? 1? sin2 x 或将 sin x 表示

成 ? 1? cos2 x , 都会出现根式, 且需要讨论符号, 因此这种做法不可取.注意到 (sin x ? cos x)2 ? 1 ? 2 sin x ? cos x , 因此可作代换: sin x ? cos x ? t, 则 sin x ? cos x 和 sin x ? cos x 都可以用 t 表示, f (x) 就可以变形为 t 的二次函数, 再由二次函数在闭区间上的值域就可以求得 f (x) 的值域.

解 令 t ? sin x ? cos x, 则 t 2 ? 1 ? 2 sin x ? cos x,
f ( x) ? sin x ? cos x ? 3sin x ? cos x ? t ? 3 ?

s i n?c o x ? x s

1? t2 . 2

1? t2 3 3 3 1 1 3 ? ? t 2 ? t ? ? ? (t ? )2 ? ? . 2 2 2 2 3 6 2

? cos x ? sin ) ? 2 sin(x ? ). ? t ? [? 2 , 2 ]. 4 4 1 1 3 5 3 3 3 当 t ? , f ( x)m ax ? ? ? ; 当 t ? ? 2 , f ( x)m in ? ? (? 2 )2 ? 2 ? ? ? ? 2 . 3 6 2 3 2 2 2 3 5 ? f (x) 的值域为 { y ? ? 2 ? y ? }. 2 3 4

? t ? sin x ? cos x ? 2 (sin x ? cos

?

?

?

评析 相应于 sin x ? cos x ?

2 sin(x ?

?
4

) ,还有更一般的情况:

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b2 (sin x ? a a 2 ? b2 ? cos ? , b a 2 ? b2

a a ?b
2 2

? cos x ?

b a ?b
2 2

),
2 2

?(

a a ?b
2 2

)2 ? (

b a ?b
2 2

)2 ? 1, ∴可以设

并由此可求出 a sin x ? b cos x 的取值范围. ? sin? , 则 a sin x ? b cos x ? a ? b sin(x ? ? ) ,
3 5 4 5 3 5 4 5

如 3sin x ? 4 cos x ? 5(sin x ? ? cos x ), 设 cos? ? , sin? ? ,
3sin x ? 4 cos x ? [?5,5].

则 3sin x ? 4 cos x ? 5sin(x ? ? ),



x ? R,



例 4 已知 sin? ? sin ? ? sin? 解 由已知, ?
①2+②2:

? 0, cos? ? cos ? ? cos? ? 0, 且 ? 、 ? 、 ? 均为钝角,求角 ? ? ? 的值.

?sin? ? sin ? ? ? sin? , ① ?cos? ? cos ? ? cos ? . ②

s i 2 ? ? 2s i ? ? s i n ? s i 2 ? ? c o 2 ? ? 2c o ? ? c o ? ? c o 2 ? ? s i 2 ? ? c o 2 ? . n n ? n s s s s n s 1 ? ? 4? 2 ? 2 cos(? ? ? ) ? 1, cos(? ? ? ) ? ? . ? ? ? ? ? , ? ? ? ? , ?? ? ? ? ? ? 2? ,? ? ? ? . 2 2 2 3 评析 仅由 cos(? ? ? ) ? ? 1 ,不能确定角 ? ? ? 的值,还必须找出角 ? ? ? 的范围,才能判断 ? ? ? 的值. 由 2 1 2? 4? 单 位 圆 中 的 余 弦 线 可 以 看 出 , 若 0 ? ? ? ? ? 2? , 使 cos(? ? ? ) ? ? 的 角 为 或 ; 若 ? ? ? ? R, 则 2 3 3 2? 4? ??? ? ? 2k? 或 ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z ). 3 3 例 5 已知 tan? ? tan ? ? 8 , tan ? ? ? ? ? 1 , 求 cos(? ? ? ) 的值. 9 2 2

分析

因 cos(? ? ? ) ? cos? ? cos ? ? sin? ? sin ? , 所 以 只 要 求 出 cos? ? cos ? 和 sin? ? sin ? 的 值 . 由 已 知 ,
8 ??? 求 出 c o s? ? ? ) ? c o s ? c o s ? s i n ? s i n 的 值 , 即 可 求 得 ( ? ? ? ? c o ? ? c o s , 所 以 如 能 由 tan s ? 9 2

s i n ?s i n ? ? ?

cos(? ? ? ) 的值.

??? ??? ??? 1 c o2 s ?s i 2 n 1? t a 2 n 1 ? (? ) 2 1 2 2 ? 2 ? 2 ? 3. 解 ?t a n ? ? ,? c o s (? ? ) ? ? 1 2 5 2 2 2? ?? 2? ?? 2? ?? cos ?s i n 1? t a n 1 ? (? ) 2 2 2 2 8 3 3 8 8 ? cos? ? cos ? ? sin? ? sin ? ? . ? tan? ? tan ? ? ,? sin? ? sin ? ? cos? ? cos ? , cos ? ? cos ? ? cos ? ? cos ? ? , 5 9 9 9 5 27 8 27 24 27 24 3 cos? ? cos ? ? . sin? ? sin ? ? ? ? . ? cos(? ? ? ) ? cos? ? cos ? ? sin? ? sin ? ? ? ? . 85 9 85 85 85 85 85 评析 一般地, cos(? ? ? ), cos(? ? ? ) 和 tan? ? tan ? 之间有关系: cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? tan? ? tan ? , 或写成 cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ???
cos(? ? ? ) 1 ? tan ? ? tan ? ? . cos(? ? ? ) 1 ? tan ? ? tan ?

例 6 已知 tan ? ? ?
2 2

1 ? , ,求 sin2 (? ? ? ) ? sin 2? ? sin 2? 的值. 3

分析 由 tan ? ? ? 可以求出 ? ? ? 的三角函数,因此需要把欲求值的式子变形为关于 ? ? ? 的三角函数的
式子.



c o s ? ? 2? ) ? c o 2? ? c o 2? ? s i n? ? s i n? , 2( s s 2 2 1 sin 2? ? sin 2? ? [cos(2? ? 2? ) ? cos(2? ? 2? )]. ? cos(2? ? 2? ) ? cos(2? ? 2? ) ? 2sin 2? ? sin 2? , 2 1 ? cos(2? ? 2? ) 1 1 sin2 (? ? ? ) ? sin 2? ? sin 2? ? ? [cos(2? ? 2? ) ? cos(2? ? 2? )] ? [1 ? cos(2? ? 2? )] ? sin2 (? ? ? ). 2 2 2 1 ??? ??? ??? 2? 2 sin ? cos 2 tan 3 ? 3. 2 2 2 ? sin(? ? ? ) ? ? ? 1 2 5 2? ?? 2? ?? 2? ?? cos ? sin 1 ? tan 1? ( ) 2 2 2 3 3 2 9 ? sin2 (? ? ? ) ? sin 2? ? sin2 ? ? ( ) ? . 5 25

? c o s ? ? 2? ) ? c o 2? ? c o 2? ? s i n? ? s i n? , 2( s s 2 2

评析 与 sin A ? sin B ? 1 [cos( A ? B) ? cos( A ? B)] 类似,有 cos A ? cos B ? 1 [cos( A ? B) ? cos( A ? B)]. 例7 分析 解
1?

2 2 3? 2 2 已知 ? ? ? ? , 求 cos ? ? cos ? ? 2 cos? cos ? 的值. 4 1 由例 6 评析, ? ? cos ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )], 因此希望把 cos2 ? ? cos2 ? 也变形为 ? ? ? 和 ? ? ? 的 cos 2

三角函数.
cos2 ? ? cos2 ? ? 2 cos? ? cos ? ? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 ? ? 2 ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] = 2 2 2
? cos 2? ? cos 2? ? cos[(? ? ? ) ? (? ? ? )] ? cos[(? ? ? ) ? (? ? ? )]
2 2 [cos(? ? ? ) ? ]= 2 2

cos 2? ? cos 2? 2 3? ? [cos(? ? ? ) ? cos ] . 2 2 4

= 2 cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ,
1 ? cos

s s s s ? c o 2 ? ? c o 2 ? ? 2 c o ? c o ? = 1 ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ?

3? 2 1 1 ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ? . 4 2 2 2

评析

若 令 A ? 2? , B ? 2? , 则 由 上 述 解 题 过 程 可 知 , cos A ? cos B ? 2 cos
A? B A? B ? sin . 2 2
2 sin 66? ? cos 84? ;

A? B A? B ,类似地有 ? cos 2 2

cos A ? cos B ? ?2 sin

例 8 求值: (1) sin 63? ? cos 63? ? 2

(2)

sin 20? ? cos 50? cos 80?
?

.

分析 (1) 66? ? 84? ? 150? 为特殊角, 84? ? 66? ? 18? ,因此有 66? ? 150
84? ? 150? ? 18? ? 75? ? 9? ; 2

? 18? ? 75? ? 9? , 2

(2) 50? ? 20? ? 30? 为特殊角, 50? ? 20? ? 70? ,因此有 20? ? 解 (1) sin 63? ? cos 63? ? 2 2 sin 66? ? cos 84? = 2 (sin 63? ?

70? ? 30? 70? ? 30? ? 35? ? 15? ,50? ? ? 35? ? 15?. 2 2

2 2 ? cos 63? ? ) ? 2 2 sin(75? ? 9? ) ? cos(75? ? 9? ) = 2 2

2 sin(63? ? 45? ) ? 2 2 (sin 75? ? cos 9? ? cos 75? ? sin 9? )(cos 75? ? cos 9? ? sin 75? ? sin 9? ) = 2 sin18? ? 2 2 (sin 75? ? cos 75? ? cos2 9? ? sin 75? ? cos 75? ? sin2 9? ? cos2 75? ? sin 9? ? cos 9? ? sin2 75? ? sin 9? ? cos 9? )

= 2 sin18? ? 2 2 (sin 75? ? cos 75? ? sin 9? ? cos 9? ) = 2 sin18? ? 2 (sin150? ? sin18? ) ? 2 sin150? ? (2) =
sin 20? ? cos 50? cos 80? cos 80
?

2 . 2

?

sin(35? ? 15? ) ? cos(35? ? 15? ) cos 80? ?

=

sin 35? ? cos15? ? cos 35? ? sin15? ? cos 35? ? cos15? ? sin 35? ? sin15? cos 80?
?

(sin 35? ? cos 35? )(cos15? ? sin15? )

2 sin(35? ? 45? ) ? 2 sin(15? ? 45? ) sin10

?

? 2 sin10? ? 2 sin 60? sin10?

? ? 3.


一、选择题
1.
1 ? cos 4 等于 2




?



C. sin2 D. ? sin 2 33 5 2.已知 ? ? (0, ), ? ? ( ,? ) ,且 sin(? ? ? ) ? , cos ? ? ? ,则 sin? 的值等于 ( ) 2 2 65 13 3 4 13 36 A. B. C. D. 5 5 65 65 2 ? 1 ? 3.已知 tan(? ? ? ) ? , tan(? ? ) ? ,则 tan(? ? ) 等于 ( ) 5 4 4 4 3 13 3 13 A. B. C. D. 18 18 22 22 A. cos 2
?

B. ? cos 2

4.下列式子中不正确的是
1 3 A. cos 40? ? sin 40? ? cos 20? 2 2



) B. 1 ? tan40 ? tan5? D. cot 20? ?
sin 40?

? 1 ? tan40?

C. tan 20? ? cot 20? ? 2 csc 40?

1 ? cos 40? 1 5.已知 tan? ? ? ,则 sin 2? 的值等于 ( ) 2 3 3 4 A. B. ? C. 5 5 5 3 ? 6.已知 sin? ? ? ,且 ? 是第三象限角,则 tan 的值是 5 2 1 1 A. ?3 B. ? C. ?3 或 ? 3 3

D. ?

4 5

D. 3 或

1 3

二、填空题
7.求值: sin15? ? sin 30? ? sin 45? ? sin 60? ? sin 75? = .
3 4 8.已知 sin? ? ? , cos? ? ,则角 2? 是第 象限角. 5 5 1 1 1 9.已知 ? 、 ? 、 ? 均为锐角,且 tan? ? , tan ? ? , tan ? ? ,则 ? ? ? ? ? = 2 5 8

.

10.求值: (tan 5? ? cot 5? ) ?

cos 20? ? 1 cos 70?

=

.
?
12 5? . 12

三、解答题
11.求值: (1) cos ? cos
9

?

2? 4? ? cos ; 9 9

(2) sin

? cos

12.已知 tan? ? 3 ,求 2 sin2 ? ? 5 cos 2? 的值.
1 ? sin 2? 1 1 3 1 1 (2) sin4 ? ? ? cos 2? ? cos 4? ; ? tan? ? ; 1 ? sin 2? ? cos 2? 2 2 8 2 8 ??? ? ?? 2 (3) (1 ? sin? )(1 ? sin ? ) ? (sin ? cos ) . 2 2 1 3 14. (1)已知 sin? ? cos ? ? , cos? ? sin ? ? , 求 sin(? ? ? ); 2 4

13.求证: (1)

(2)已知 sin(? ? ? ) ?

tan ? 5 2 2 . , sin(? ? ? ) ? ,求 8 4 tan ?

答案与提示
一、BA CDDA 三、11. (1) , 一、1.
1 2
1 8

二、7. (2)

6 32

8.四 12.
29 5

9. 13.略

? 4

10.2
19 , 32

2? 3 4

14. (1)

(2)

7 3

1 ? cos 4 ? ? cos 2 ,? ? 2 ? ? ,? cos 2 ? ? cos 2. 2 2 3 1 ? tan 40? sin 40? ? cos(60? ? 40? ) ? cos 20? , ? tan(45? ? 40? ) ? tan 5? , 2 1 ? tan 40? 1 sin 20 ? cos 20
? ?

4. cos 40? ? +
cos 20? sin 20
?

tan 20? ? cot 20? =

sin 20? cos 20?

=

?

2
?

sin 40 1 ? cos 40
2 tan ?

,

sin 40?
?

?

2 sin 20? ? cos 20? 2 cos 2 20?

? tan 20?

1 2 ? (? ) 2 ? ? 4. 5. sin 2? ? 2 ? ? 2 2 1 2 5 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 1 ? (? ) 2 2 sin? ? cos?

3 4 6. ? sin? ? ? ,? 是第三象限角, ? cos? ? ? . 5 5

4 ? ? 1 ? (? ) sin 2s i 2 n 1? c o? s 5 ? ?3. 2 ? 2 tan ? ? ? ? ? 3 2 co? s i? n s 2s i n ? c o s ? 2 2 2 5

?

3 4 4 5 5 5 1 1 7 1 ? ? 2 5 ? 7 , tan(? ? ? ? ? ) ? 9 8 ? 65 ? 1. 9. tan(? ? ? ) ? 1 1 9 7 1 65 1? ? 1? ? 2 5 9 8 3? ? ? ? ? ? ? ? (0, ),?? ? ? ? ? ? . 4 4

二、8. sin 2? ? 2 ? (? ) ? ? 0, cos 2? ? 2 ? ( )2 ? 1 ? 0.

?

1 1 1 ? ? 1, ? 1, ? 1,?? 、 ? 、 ? ? (0, ). 2 5 8 4

10. (tan 5? ? cot 5? ) ?

cos 20? ? 1 cos 70
?

?(

sin 5? cos 5
?

?

cos 5? sin 5
?

)?

? 2 sin2 10? sin 20
?

?

cos 2 5? ? sin2 5? sin 5 ? cos 5
? ?

?

2 sin2 10? 2 sin10 ? cos10
? ?

?

cos10? ? sin10? ? 2. 1 sin10? ? cos10? 2

2? 4? 三、11. (1) cos ? cos ? cos ? 9 9 9
1 ? cos 2

?

8 sin

?
9

? cos

?

2? 4? 8? ? cos sin 9 9 ? 9 ? 1. ? ? 8 8 sin 8 sin 9 9 9 ? cos

5? ? (2) sin ? cos ? sin2 12 ? 12 12

?

?

6 ? 2? 3. 4

12. 2 sin2 ? ? 5 cos 2? ? 2 sin2 ? ? 5(cos 2 ? ? sin2 ? ) ?

7 sin2 ? ? 5 cos2 ? sin ? ? cos ?
2 2

?

7 tan 2 ? ? 5 tan ? ? 1
2

?

7 ? 32 ? 5 3 ?1
2

?

29 . 5

1 ? sin 2? 1 ? sin 2? (sin? ? cos? )2 sin? ? cos? 1 1 13. (1) ? ? ? ? tan ? ? . 2 1 ? sin 2? ? cos 2? 2 cos ? ? sin 2? 2 cos? (cos? ? sin? ) 2 cos? 2 2 1 ? cos 2? 2 1 1 1 1 1 1 1 ? cos 4? 3 1 1 (2) sin4 ? ? ( = ? cos 2? ? ? cos 4?. ) ? ? cos 2? ? cos2 2? = ? cos 2? ? ? 2 4 2 4 4 2 4 2 8 2 8

(3) (1 ? sin? )(1 ? sin ? ) ? (sin ? cos )2 ? (sin
2 2

?

?

?
2

? cos

?
2

)2 = (sin

?
2

sin

?
2

? cos

?
2

cos

?
2

? sin

?
2

cos

?
2

? cos

?

sin )2 2 2

?

= (cos

???
2

? sin

???
2

) ? (sin
2

???
2

? cos

? ??
2

) . 3 4

2

14 . 1 ) sin? ? cos ? ? , (
2 sin(? ? ? ) ?

1 2

① cos? ? sin ? ? ,

② ① 2+ ② 2 : 2 ? 2 sin? ? cos ? ? 2 cos? ? sin ? ? ?

1 4

9 , 16

5 2 2 13 19 , ① sin? ? cos ? ? cos? ? sin ? ? , ? 2, sin(? ? ? ) ? ? . (2) sin? ? cos ? ? cos? ? sin ? ? 8 4 16 32
7 2



①+② : sin? ? cos ? ? , ③①-② 16 ④

: cos? ? sin ? ?

3 2 ,④ 16





tan ? 7 ? . tan ? 3


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