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二项式定理


二 项 式 定 理
金坛市一中 数学组 陈佩

2014年3月19日星期W

引入
(a+b) (c+d+e)展开后有几项? (a+b)2展开后本来有几项?有同类项吗?

(a+b)2 = a2 +2ab+b2
(a+b)3呢? (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3 那么将

(a+b)4 ,(a+b)5 . 的各项是什么呢?
. .展开后,它们

问题:
1).(a+b)4展开后有哪几项? 2).各项前的系数代表着什么?
(a ? b) ? (a ? b)(a ? b)(a ? b)(a ? b)
4

? ?C ? a ? ?C
0 4

4

1 4

? a b ? ? C ? a b ? ?C
3
2 4

2 2

3 4

4 C ab ? b ? ? ? 3
4 4

(a ? b) 的展开式怎么写呢? 提问:
n

可以对b分类:
0 n 不取b,得 Cn a 1 n ?1 a b 取1个b,得 Cn 取2个b,得 Cn2 a n ? 2b 2 ………… 取k个b,得Cnk a n ?k bk ………… 取n-1个b,得 Cnn?1abn?1 n n 取n个b,得 Cn b

二项式定理
(a ? b) ? C a ? C a
n 0 n n 1 n

一般地,对于n ? N*有
r n

n ?1

b?C a
2 n r

n? 2

b ?
2 n

?? C a

n? r

b ??? C b
n n

右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 Cnr an-rbr:二项展开式的通项,记作Tr+1 Cnr : 二项式系数

注:
n (1( )a ? b) 二项展开式共有n+1项

(2)通项Tr+1 =Cnr an-rbr为第r+1项 (3)第r+1项二项式系数: Cnr
( 4) (a ? b)二项展开式中字母a按降幂排列 b按升幂排列,且每一项的次数都是n
n

练习
( 1 ) .写出(b ? a) 的展开式
n

课堂练习

注:(a ? b) 与(b ? a) 的第r项不一定相同
n n

(2) .写出(a ? b) 的展开式
n

注:写出通项,注意符号

(3) .写出( 1 ? x) 的展开式
n





例1.展开下列各式
1 4 (1)(1+ ) x
(2)(2 x 1 x )
6

注:先化简再求有时比较简单

例2.求(1 ? 2 x) 展开式中x 的
7 3

二项式系数和系数

注:区别二项式系数与项的系数

1 12 例3:求( x ? 3 ) 的展开式中 x (1)第三项和倒数第三项 2 (2)x 的系数 (3)常数项 (4)有理项有多少个?
3

方法:抓住通项

思考:
求值:
(1)1 ? C ? 2 ? C ? 2 ? ? ? C ? 2 ? C ? 2
1 10 2 2 10 2 9 10 9 5 5 10

(2)3 ? 3 C ? 3 C ? 3 C ? 3 C ? 3 C
10 9 1 10 8 2 10 7 3 10 6 4 10 5

5 10

?3 C ? 3 C ? 3 C ? 3C
4 6 10 3 7 10 2 8 10

9 10


二项展开式共有n+1项


r n? r r n n ? ? Cn a b ? ? ? Cn b

n 0 n 1 n ?1 2 n? 2 2 ( a ? b ) ? C a ? C a b ? C b ? n n na 1)二项式定理

通项Tr+1 =Cnr an-rbr为第r+1项 二项展开式中字母a按降幂排列b按升幂排列, 且每一项的次数都是n

2)区别二项式系数Cnr与项的系数 3)熟练掌握通项公式Tr+1 =Cnr an-rbr及其应用

作业:《数学之友》
P147-148


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