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二次曲线中点弦问题求解方法探析


二次曲线中点弦问题求解方法探析

本科学生毕业论文(设计)





二次曲线中点弦问题求解方法探析

姓 学 院 专

名 号 系 业

张清玉 104080406 数学学院 数学与应用数学

指导教师(职称/学历)张绍宗(副教授)

2014 年 4 月 10 日
云南师范大学教务处

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二次曲线中点弦问题求解方法探析

云南师范大学数学学院 本科毕业论文(设计)任务书
系别:数学学院 学生姓名:张清玉 专业:数学与应用数学 班级:10 数 E 班 学号:104080406

论文题目:二次曲线中点弦问题求解方法探析 一、毕业论文(设计)的目的 (一)培养学生综合运用所学知识进行科学研究和独立分析问题、解决问题 的能力,培养学生严谨的科学态度,实事求是和认真负责的工作作风。 (二)通过撰写毕业论文(设计) ,进一步深化所学知识,运用正确的研究 方法,收集相关资料,进行调查研究,提高写作能力。 (三)进一步加深对基础理论的理解,扩大专业知识面,完成教学计划规定 的基本理论、基本方法和基本技能的综合训练,力求在收集资料、查阅文献、调 查研究、方案设计、外文应用、计算机处理、撰文论证、文字表达等方面加强训 练,实现所学知识向能力的转化。 (四)鼓励学生勇于探索和大胆创新。 二、毕业论文(设计)的要求 (一)毕业论文(设计)选题应符合本专业培养目标的要求,具有理论意义 和实际价值。 (二)毕业论文(设计)有一定的深度和广度,份量适中。 (三)毕业论文(设计)的正文内容文题相符,结构合理,层次分明,合乎 逻辑;概念准确,语言流畅;论点鲜明,论据充分,自圆其说。 (四)毕业论文(设计)应当反映出学生查阅文献、获取信息的能力,综合 运用所学知识分析问题与解决问题的能力,研究方案的设计能力,研究方法和手 段的运用能力,外语和计算机的应用能力及团结协作能力。 (五)毕业论文(设计)书写格式规范,符合《云南师范大学数学学院全日 制本科生毕业论文(设计)管理实施细则》的要求。 指导教师(签字) : 主管院、系领导(签字) : 2014 年 4 月 10 日

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云南师范大学数学学院 本科生论文(设计)任务书 一、毕业论文设计目的
一.研究意义 1.直线与二次曲线相交所得中点弦问题,是解析几何中的重要内容之一,也是高 考的一个热点问题及高考命题的常用素材和热点问题. 2.二次曲线在数学高考中为必考知识点, 主要考查椭圆、 双曲线、 抛物线的定义, 标准方程、几何性质以及与直线的位置关系和求轨迹方程等.涉及的数学思想 方法主要有:数形结合思想、函数与方程的思想、 等价转化的思想、分类讨论 的思想、整体思想以及配方、换元、构造、待定系数法等数学方法. 3.圆锥曲线为载体在知识网络的交汇点设计问题也是近几年来数学高考的一大 特点,以考查学生的应变能力以及分析问题和解决问题的能力. 4.本文就圆锥曲线的“ 中点弦” 问题中的求中点弦方程、求与中点弦有关的轨 迹问题作归纳总结,帮助学生有效解决二次曲线中点弦这一大难题.

二、毕业论文设计内容要求 1、毕业论文(设计)选题内容应结合实际现状,有据有理,给出充分的参考 文献,并在文中加以标注,有研究意义及价值。 2、毕业论文(设计)的研究现状应陈述前人已经解决了什么问题,得到了什 么结论,尚存在哪些值得研究的问题。 3、毕业论文(设计)应具有一定广度和深度,字数适中。 4、毕业论文(设计)应给出自己的评述,说明该论文希望解决其中那些未解 决的问题,说明已有的基础和本研究的可行性。 5 毕业论文书写格式规范符合, 《云南师范大学数学学院全日制本科毕业生论 文(设计)管理实施细则》的要求。 指导教师签字:________

云南师范大学数学学院 本科生毕业论文原创性承诺

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本人郑重承诺: 所呈交的毕业论文(设计),是本人在指导教师的知道下独立研 究,撰写论文内容及成果。论文(设计)中引用他人的期刊、图书、资料,均在 论文(设计)中加以说明,除此之外,本论文(设计)不含其他个人或集体已经 发表过或撰写的成果作品。对本文研究做出重要贡献的个人或集体,均已在文中 作了明确说明。本承诺的一切后果由本人承担。

毕业论文 (设计) 作者姓名: ____________ 2014 年 4 月 10 日

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二次曲线中点弦问题求解方法探析

二次曲线中点弦问题求解方法探析
[摘要]
二次曲线中点弦性质及其相关问题是高考的一个重点和难点,通过本文的学习学生要 学会适当选取点差法、代入法、几何法、直线参数法、导数法等方法求解二次曲线的中点轨 迹, 在应对高考的同时掌握系统的数学学习方法并提升数学素养. 二次曲线中点弦的问题始 终是解析几何的一个主要问题.是充分反映代数与几何不可分割关系的一个非常好的素材. 要求学习者能从数、形两方面深刻理解线与线之间的位置关系,并会适当选取代入法、几何 法、直线参数法等求解二次曲线的中点轨迹,使解题过程得到优化.同时培养学生直观、严 谨的思维品质;灵活运用数形结合、 分类讨论、 类比归纳等各种数学思想方法,提高解题能力.

[关键词] 二次曲线中点弦的概念、性质、公式及其相关问题 二次曲线中点轨迹的问题类型和解题方法

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二次曲线中点弦问题求解方法探析

Analysis of the two curves of midpoint chord of problem solving method

Abstract: The two curve midpoint chord properties and related problem is a key and difficult point of college entrance exmination,to learn proper trajeactory atmethod,substitution method,gemometric method,linear parameter method, derivative method for solving two quadratic curve through the learning of the students in the college entrance examination, and master the methods of learning of the students in the college entrance exmination,and master the methods of learning mathematics and promoting mathematics literacy.Two times curvemidpoint chord of the problem is a major problem of analytic geometry.It is fully reflected in a very good material of algebra and geometry inseparablerelationship. Ask learners from the number, form two aspects deep position to understand the relationship between the line and the line, the midpoint locusand choosing the appropriate substitution method, geometric method, linearparameter method to solve the two curves,yhe solving process was optimized. At linearparameter method to solve the two curves,the solving process was the same time to cultivates students' intuitive, rigorous thinking quality, flexible use of numeral form combination, solving problems. classification discussion, analogyand other mathematical methods, improve the ability of

KeyWords : The two concept,curve midpoint chord properties,formula and its related problems Two point trajectory curve types of problems and problem solving methods

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二次曲线中点弦问题求解方法探析

二次曲线中点弦问题求解方法探析
二次曲线中点弦的问题始终是解析几何的一个主要问题.是充分反映代数 与几何不可分割关系的一个非常好的素材.本文从数、形两方面深刻理解线与线 之间的位置关系,并会适当选取代入法、几何法、直线参数法等求解二次曲线的 中点轨迹,使解题过程得到优化.同时培养学生直观、严谨的思维品质;灵活运用 数形结合、分类讨论、类比归纳等各种数学思想方法,提高解题能力. 并且二次 曲线的中点弦问题在高考中多以高档题、压轴题出现,突出考查了数形结合、分 类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题 的能力、计算能力较高,对锻炼学生严密的数学逻辑思维有很大帮助.

二次曲线的定义: 二次曲线(圆锥曲线)的统一定义:平面内到定点 F 和定直线 l 的距离之比为 常数 e 的点的轨迹. 当 0<e<1 时,轨迹为椭圆;当 e=1 时,轨迹为抛物线;当 e>1 时,轨迹为双曲线; 当 e=0 时,轨迹为圆( e ? ,当 c ? 0, a ? b 时).
c a

1.1 二次曲线中点弦概念[1] 对于给定点 P 和给定的圆锥曲线 C,若 C 上的某条弦 AB 过 P 点且被 P 点平 分,则称该弦 AB 为圆锥曲线 C 上过 P 点的中点弦。其中圆锥曲线弦为连接圆锥 曲线 C 上不同两点 A、B 的线段 AB 称为圆锥曲线 C 的弦. 1.2 二次曲线中点弦公式 在解二次曲线中点弦有关问题时,可应用两点的曲线束方程中唯一的直线方 程得到一套中点弦公式,这些公式容易导出,且特点明显便于记忆和掌握,应用 它解题非常简便. 抛物线中点弦公式 抛物线 C : x2 ? 2 py 上,过给定点 P=(a,?) 的中点弦所在直线方程为:

py ? ax ? p? ? a 2
中点弦存在的条件: 2 p? ? a2 (点 P 在抛物线开口内) .
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椭圆中点弦公式 椭圆 C :
x2 y 2 ? ? 1 上,过给定点 P=(a, β ) 的中点弦所在直线方程为: a 2 b2

ax ? y a 2 ? 2 ? ? ? . a 2 b2 a 2 b2

中点弦存在的条件:

a2 ? 2 ? ? 1 (点 P 在椭圆内) . a 2 b2

双曲线中点弦公式 双曲线 C :
x2 y 2 ? 1上,过给定点 P=( a, β ) 的中点弦所在直线方程为: a 2 b2

ax ? y a 2 ? 2 ? a 2 b2 a 2 b2

中点弦存在的条件:



a2 ? 2 a2 ? 2 ) ( -1)>0 a 2 b2 a 2 b2

(点 P 不在双曲线、渐近线上以及它们所围成的区域内 . ) 1.3 二次曲线中点弦性质[2]
x2 y 2 性质 1 椭圆、双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的过定点(m,0)(m ? 0,且 m ? ? a ) a b

的一条弦两端点和其焦点轴上的两顶点的连线的交点的轨迹是直线
x? a2 . m

性质 2 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的过定点(m,0)(m ? 0)的一条弦的一端点和抛物 线顶点的连线与过另一端点且平行于抛物线对称轴的直线的交点的轨迹 是直线 x=-m. 2.归纳求解二次曲线中点轨迹的类型和方法 2.1 求解二次曲线中点轨迹的类型 如果以圆、椭圆等图形的中心为中心,按比例缩小图形,则一定存在同类的 圆、椭圆等与弦 AB 中点 M 相切(如下图).此时等比例缩小图形的曲线方程如
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( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? (tr )2 ,

x2 y2 ? ? 1, 两边对 x 求导,可发现并不改变原方程求 (ta)2 (tb)2

导的结果.因此,利用导数法求中点弦的斜率,就是 y 'x 在中点处的值. A
M B

2.1 -1

2.1.1 求中点弦所在直线方程问题 例 1 过椭圆
x2 y2 ? ? 1 内一点 M(2,1)引一条弦,使弦被点 M 平分,求 16 4

这条弦所在的直线方程。 解法一:设所求直线方程为 y-1=k(x-2),代入椭圆方程并整理得:

(4k 2 ? 1) x 2 ? 8(2k 2 ? k ) x ? 4(2k ? 1) 2 ? 16 ? 0
又设直线与椭圆的交点为 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) ,则 x1 , x 2 是方程的两个根, 于是
x1 ? x 2 ? 8(2k 2 ? k ) , 4k 2 ? 1 x1 ? x2 4(2k 2 ? k ) ? ? 2, 2 4k 2 ? 1

又 M 为 AB 的中点,所以
1 解得 k ? ? , 2

故所求直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 . 解法二:设直线与椭圆的交点为 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) ,M(2,1)为 AB 的中点, 所以 x1 ? x2 ? 4 , y1 ? y2 ? 2 , 又 A、B 两点在椭圆上,则 x1 ? 4 y1 ? 16 , x2 ? 4 y2 ? 16 , 两式相减得 ( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 ) ? 0 , 所以
2 2 2 2 2 2 2 2

y1 ? y 2 x ? x2 1 1 ?? 1 ? ? ,即 k AB ? ? , 2 x1 ? x2 4( y1 ? y 2 ) 2

故所求直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 。 解法三: 设所求直线与椭圆的一个交点为 A( x , y ), 由于中点为 M (2, 1) ,
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二次曲线中点弦问题求解方法探析

则另一个交点为 B(4 ? x, 2 ? y)
? x 2 ? 4 y 2 ? 16 因为 A、B 两点在椭圆上,所以有 ? 2 2 ?(4 ? x ) ? 4(2 ? y ) ? 16

两式相减得 x ? 2 y ? 4 ? 0 , 由于过 A、B 的直线只有一条, 故所求直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 。 2.1.2 求弦中点的轨迹方程问题 定理
x2 y 2 ? 1 ,A、B两点在曲线上,M是弦A 设有二次曲线的方程为 ? m n
n . m 设 A 、 B 两 点 坐 标 分 别 为 ( x1,y1 ) ,(x2,y2) , 则 点 M 的 坐 标 为

B的中点,O为坐标原点,则 k AB ? k OM ? ?
证明 (

x1 ? x2 y1 ? y 2 , ) . 2 2

∵A、B两点在曲线上,
2 2 x12 y12 x2 y2 ? ? 1, ? ?1 ∴ m n m n 2 2 x2 ? x12 y 2 ? y12 ? ?0 m n

两式相减得:

2 y2 ? y12 n 整理得 2 ?? , 2 m x2 ? x1

又 k AB ?

y 2 ? y1 y ? y2 , kOM ? 1 x2 ? x1 x1 ? x2
2 y2 ? y12 n ,? k AB ? kOM ? ? .证毕. 2 2 m x2 ? x1

? k AB ? kOM ?

注:特别地,当 m? n >0时,二次曲线为圆,显然OM⊥AB,有

k AB ? kOM ? ?1 .
x2 y 2 ? ? 1 内一点 D(1,0)引动弦 AB,求弦 AB 的中点 M 的轨 9 4

例 2 过椭圆 迹方程.

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二次曲线中点弦问题求解方法探析

解: 设动点M的坐标为(x,y) ,则 k OM ? 由定理得
y y 4 ? ?? x ?1 x 9

y y , k AB ? k DM ? x x ?1

整理得 4 x 2 ? 9 y 2 ? 4 x ? 0 这就是点M的轨迹方程.
例 2 -1

例 3 设椭圆 ax2 ? by2 ? 1 与直线 x ? y ? 1 相交于A、B两点,且 AB ? 2 2 , 又AB的中点M与原点O的连线的斜率为

2 ,求 a 、b 的值. 2
(1)

解:由定理得 (-1) ?

2 a =- ,?b ? 2a 2 b

将 y ? 1 ? x 代入椭圆方程整理得: (a ? b) x 2 ? 2bx ? b ? 1 ? 0 设A、B两点横坐标分别为 x1、x2,则 x1 ? x 2 ? ∴ AB ? 1 ? 1 ?
2b b ?1 , x1 ? x 2 ? a?b a?b

2b b ?1 a ? b ? ab ,∴ 2 2 ? 2 2 ? ?4 2 a?b ( a ? b) ( a ? b) 2
(2)

即 (a ? b) 2 ? (a ? b) ? ab ? 0

1 2 由(1)、(2)解得 a ? , b ? . 3 3
x2 y2 ? ? 1 上一点 P(-8,0)作直线交椭圆于 Q 点,求 PQ 中点 64 36

例 4 过椭圆 的轨迹方程.

解法一:设弦 PQ 中点 M( x, y ),弦端点 P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ),
? 9 x 2 ? 16 y1 2 ? 576 2 2 2 2 则有 ? 1 2 ,两式相减得 9( x1 ? x2 ) ? 16( y1 ? y2 ) ? 0 , 2 ?9 x 2 ? 16 y 2 ? 576

又因为 x1 ? x2 ? 2 x , y1 ? y2 ? 2 y ,所以 9 ? 2 x( x1 ? x2 ) ? 16 ? 2 y( y1 ? y2 ) ? 0 ,

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二次曲线中点弦问题求解方法探析

所以

y1 ? y 2 9 x y 9x y?0 ? ,而 k PQ ? ,故 . ? x ? (?8) 16 y x ? 8 x1 ? x2 16y

化简可得 9x 2 ? 72x ? 16y 2 ? 0 ( x ? ?8 ). 解法二: 设弦中点 M ( x, y ) , Q ( x1 , y1 ) , 由x ?
x1 ? 8 y ,y ? 1 可得 x1 ? 2 x ? 8 , 2 2

y1 ? 2 y ,
又因为 Q 在椭圆上,所以
x1 y 4( x ? 4) 2 4 y 2 ? ? 1, ? 1 ? 1 ,即 64 36 64 36
( x ? 4)2 y 2 ? ? 1 ( x ? ?8 ). 16 9
2 2

所以 PQ 中点 M 的轨迹方程为

(3)弦中点的坐标问题 引理[3] 设 A、 B 是二次曲线 C: P ( x0 , y0 ) Ax2 ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 上的两点,

为弦 AB 的中点,则

k AB ? ?

2 Ax0 ? D (2Cy0 ? E ? 0) 2Cy0 ? E

例 求直线 y ? x ? 1 被抛物线 y 2 ? 4x 截得线段的中点坐标. 解:解法一:设直线 y ? x ? 1 与抛物线 y 2 ? 4x 交于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,其中点

? y ? x ?1 , P( x0 , y0 ) ,由题意得 ? 2 ? y ? 4x
消去 y 得 ( x ? 1)2 ? 4 x ,即 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 ,

? y ? x ? 1 y0 ? x0 ? 1 ? 2 所以 ? 2 , ,即中点坐标为 (3, 2) . ? y ? 4x
解 法 二: 设 直线 y ? x ? 1 与 抛物 线 y 2 ? 4x 交 于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 其 中 点

? y12 ? 4 x1 ,两式相减得 y22 ? y12 ? 4( x2 ? x1 ) , B( x2 , y2 ) ,由题意得 ? 2 ? y2 ? 4 x2
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二次曲线中点弦问题求解方法探析

所以

( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) ? 4, x2 ? x1

所以 y1 ? y2 ? 4 ,即 y0 ? 2 , x0 ? y0 ? 1 ? 3 ,即中点坐标为 (3, 2) .

推论 1
k AB ? ?

设 圆 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的 弦 AB 的 中 点 为 P ( y0 ? 0 , 则

2 x0 ? D 2x ? D (假设点 P 在圆上时,则过点 P 的切线斜率为 k ? ? 0 ) 2 y0 ? E 2 y0 ? E

推论 2

设椭圆

x2 y 2 b2 x0 的弦 AB 的中点为 P ( , 则 ) ? ? 1 y ? 0 ( x , y ) k ? ? ? 0 0 0 AB a 2 b2 a2 y 0

(注:对 a≤b 也成立,假设点 P 在椭圆上,则过点 P 的切线斜率为 k ? ?

b2 x0 ) ? a2 y 0

推论 3

设双曲线

x2 y 2 b2 x0 ? ? 1 的弦 AB 的中点为 P ( 则 ) y ? 0 ( x , y ) k AB ? 2 ? 0 0 0 a 2 b2 a y0

(假设点 P 在双曲线上,则过 P 点的切线斜率为 k ? 推论 4

b2 x0 ) ? a2 y 0
p ) y0

设抛物线 y 2 ? 2 px 的弦 AB 的中点为 P ( x0 , y0 ) ( y0 ? 0 则 k AB ?

(假设点 P 在抛物线上,则过点 P 的切线斜率为 k ?

p ) y0

2. 2 已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点,求该弦的方程 2.2.1 联立方程法. 用点斜式设出该弦的方程(斜率不存在的情况需要另外考虑) ,与圆锥曲线 方程联立求得关于 x 的一元二次方程和关于 y 的一元二次方程, 由韦达定理得到 两根之和的表达式, 在由中点坐标公式的两根之和的具体数值, 求出该弦的方程. 2.2.2 点差法[4],或称代点相减法. 解二次曲线中点弦问题的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于 一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.若 设直线与二次曲线的交点(弦的端点)坐标为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,将这两点代入

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二次曲线中点弦问题求解方法探析

圆锥曲线的方程并对所得两式作差, 得到一个与弦 AB 的中点和斜率有关的式子, 可以大大减少运算量.这种代点作差的方法称为“点差法”. 设出弦的两端点坐标 ( ?1 , y1 ) 和 ( ?2 , y2 ) ,代入圆锥曲线的方程,将得到的两 个方程相减,运用平方差公式得 由斜率为 k ?
( ?1 +? 2 ) ? ( ?1 -? 2 ) ( y1 +y2 ) ? ( y1 -y2 ) ? ?0 a2 b2

y1 -y2 可以得到斜率的取值.(使用时注意判别式的问题) ?1 -? 2

例 1、过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 内一点 M (2,1) 引一条弦,使弦被 M 点平分,求这条弦所 16 4

在直线的方程. 解:设直线与椭圆的交点为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 )
? M (2,1) 为 AB 的中点 ? x1 ? x2 ? 4

y1 ? y2 ? 2

? 又 A 、 B 两点在椭圆上,则 x12 ? 4 y12 ? 16 , x22 ? 4 y22 ? 16

两式相减得 ( x12 ? x22 ) ? 4( y12 ? y22 ) ? 0 于是 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0
? y1 ? y2 ? ? x1 ? x2 ? ? 4 ? ? 1 x1 ? x2 4( y1 ? y2 ) 4? 2 2
1 1 即 k AB ? ? ,故所求直线的方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 2) ,即 x ? 2 y ? 4 ? 0 . 2 2

例 2、已知椭圆

y 2 x2 ? ? 1 ,求它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程. 75 25

解:设弦端点 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) ,弦 PQ 的中点 M ( x, y) ,则

x1 ? x2 ? 2 x ,

y1 ? y2 ? 2 y



y12 x12 ? ?1 75 25



两式相减得 25( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 75( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 0 即 y( y1 ? y2 ) ? 3x( x1 ? x2 ) ? 0 ,即
y1 ? y2 3x ?? x1 ? x2 y
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二次曲线中点弦问题求解方法探析

? k ? y1 ? y2 ? 3 x1 ? x2

? ? 3 x ? 3 ,即 x ? y ? 0 y

? x? y ?0 5 3 5 3 5 3 5 3 ? 由 ? y 2 x2 ,得 P(? , ) Q( ,? ) 2 2 2 2 ?1 ? ? ? 75 25
? 点 M 在椭圆内
? 它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程为 x ? y ? 0(? 5 3 ? x ? 5 3 ) 2 2

例 3、已知中心在原点,一焦点为 F (0, 50) 的椭圆被直线 l : y ? 3x ? 2 截得的弦 的中点的横坐标为 解:设椭圆的方程为
1 ,求椭圆的方程. 2

y 2 x2 ? 2 ? 1 ,则 a 2 ? b2 ? 50 2 a b



设弦端点 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) ,弦 PQ 的中点 M ( x0 , y0 ) ,则
x0 ? 1 1 , y0 ? 3 x0 ? 2 ? ? ? x1 ? x2 ? 2 x0 ? 1 , y1 ? y2 ? 2 y0 ? ?1 2 2



y12 x12 y2 2 x2 2 ? ? 1 ? ?1 , a 2 b2 a 2 b2

两式相减得 b2 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? a2 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 0 即 ?b2 ( y1 ? y2 ) ? a2 ( x1 ? x2 ) ? 0
?

y1 ? y2 a 2 ? x1 ? x2 b 2

?

a2 ?3 b2



2 2 联立①②解得 a ? 75 , b ? 25

2 2 ? 所求椭圆的方程是 y ? x ? 1 75 25

x2 y 2 ? 1 ,试确定的 m 取值范围,使得对于直线 y ? 4 x ? m , 例 4、已知椭圆 ? 4 3

椭圆上总有不同的两点关于该直线对称. 解:设 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) 为椭圆上关于直线 y ? 4 x ? m 的对称两点, P( x, y) 为
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二次曲线中点弦问题求解方法探析

2 2 2 2 弦 PP 1 2 的中点,则 3x1 ? 4 y1 ? 12 , 3x2 ? 4 y2 ? 12

两式相减得, 3( x12 ? x22 ) ? 4( y12 ? y22 ) ? 0 即 3( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0
? x1 ? x2 ? 2 x , y1 ? y2 ? 2 y , y1 ? y2 ? ? 1 x1 ? x2 4
P 轨迹方程. ? y ? 3x 这就是弦 PP 1 2 中点

它与直线 y ? 4 x ? m 的交点必须在椭圆内

? y ? 3x ? x ? ?m 联立 ? ,得 ? ? y ? 4x ? m ? y ? ?3m

则必须满足, y 2 ? 3 ?

3 2 x 4

3 2 13 2 13 即 (3m) 2 ? 3 ? m2 ,解得 ? ?m? 4 13 13

采用求导法、公式法、作差法、参数法等一些特殊的解题方法与技巧求二次 曲线的中点轨迹方程,不但优化解题过程,而且提高了解题速度,更有利于开发 学生智力、培养学生分析问题与解决问题的能力. 3.导数法原理 3.1.利用导数求解切线方程 利用导数的几何意义,把二次曲线方程看作 y 是 x 的函数,利用复合函数求 导法则,可轻松求出切线的斜率. 如对圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r2 两边对 x 求导,则有 2( x ? a) ? 2( y ? b) ? y 'x ? 0, 所以在切点( m,n )处的切线斜率 k ? y 'x |x ?m , y ?n ? ?
m?a . 从而求出切线方程是 n?b

2 .类似地可以轻松求出过椭圆、 双曲线、 抛物线等 ( x ? a)(m ? a) ? ( y ? b)(n ? b) ? r

曲线上的点的切线方程. 类型一:以定点为中点的弦所在直线的方程 例1
( 1, -1) 曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 1 在点 处的切线方程为(



A. y ? 3x ? 4

B. y ? -3x+2
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二次曲线中点弦问题求解方法探析

C. y ? -4 x+3

D. y ? 4 x ? 5

, ? 1) 处斜率 k ? f ?(1) ? ? 3,故所求的切线方程为 解:由 f ?( x) ? 3x2 ? 6x则在点 (1
y ? (?1) ? ?3( x ? 1) ,即 y ? ?3x ? 2 ,因而选B.

类型二:已知斜率,求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点,再用点斜式方程加以解决. 例2 与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的平行的抛物线 y ? x 2 的切线方程是( B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0
0



A. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. 2 x ? y ? 1 ? 0

解:设 P( x0,y0 ) 为切点,则切点的斜率为 y?|x? x ? 2x0 ? 2 .∴ x0 ? 1 . 由此得到切点(1,1) .故切线方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 ,故选D.

3.2.利用导数法求解中点弦问题 二次曲线的弦的中点轨迹是平面解析几何中的一个难点.要求解二次曲线的 弦的中点轨迹的关键是弦的斜率如何用它的中点坐标表示.
1 例 3. 已知定点 A(0,2) ,椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 ,过 A 任意引直线与椭圆交于两点 2 P、Q,求线段 PQ 中点的轨迹方程.

解:设线段 PQ 的中点为 M(x,y). 1 对椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 两边求导,得 x ? 2 yyx′ ?0 2 所以 PQ 的斜率为 k ? ?
y?2 x ?? . x ?1 2y x .又 k AM ? kPQ , 2y

所以

1 化简即得 x2 ? 2 y 2 ? 4 y ? 0 (在椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 内的部分). 2

3.3 求与中点弦有关的对称问题

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二次曲线中点弦问题求解方法探析

例 4. 求抛物线 y ? x2 上不存在关于直线 y ? m( x ? 3) 对称的两点,求 m 的取值范 围. 解: (1)当 时,曲线上不存在关于直线对称的两点. (2)当 m≠0 时,假设存在关于直线对称的两点,设这两点的中点为 A(a,b) , 则 A 必在抛物线 y ? x2 内,所以 b ? a 2 .①
? ? 2 x ,所以中点弦的斜率为 k ? 2a ? ? 对 y ? x2 两边求导,得 yx

1 . ② m

将点 A(a,b)坐标代入 ③ 由①②③得 即 又 所以 m ? ?
1 2



恒成立,

1 故 m ? ? (m ? 0) 时满足题意。 2 1 综上(1) (2) ,m 取值范围是 [? , ?∞). 2

二次曲线中点弦问题是高考的一个重点和难点,我通过梳理中点弦的性质 和全面归纳总结二次曲线的中点弦问题的类型, 具体分析针对每一类弦问题给出 针对性的求解方法,轻松解决有关二次曲线中点弦的相关问题. 通过本文的学习,学生也能学会适当选取点差法、代入法、几何法、直线参 数法、导数法等方法求解二次曲线的中点轨迹,在应对高考的同时掌握系统的数 学学习方法并提升数学素养.

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二次曲线中点弦问题求解方法探析

参考资料: [1]杨魁元.二次曲线的中点弦公式及其应用.[J]数学通报,1988(3) :23-25. [2] 肖挣纲.关于二次曲线中点弦的几个问题.[J].中学数学,1995(4):12-14. [3]周冬立.圆锥曲线中的“中点弦问题”.[J]. 中学数学参考,2009(9):56-57. [4] 胡 文 敏 . 用 点 差 法 解 圆 锥 曲 线 的 中 点 弦 问 题 .[J] 数 理 化 解 题 研 究 , 2013(10):23. [5] 汪 正 良 . 圆 锥 曲 线 中 点 弦 的 一 条 性 质 .[J]. 中 学 数 学 月 刊 , 2009(12):29-30. [6] 颜松远. 椭圆曲线.[M].大连:大连理工大学出版社,2011.5:28-45. [7] 汤茂林. 求二次曲线中点轨迹与弦长的一种方法 .[J]. 宁德师范学院学报, 2012(2):16-17. [8] 鲍 春 梅 . 用 偏 导数求 二 次 曲 线 中 点 弦所在 直 线 方 程 .[J]. 昭乌 达 蒙 师 专 报,2001(6):4-5. [9] 叶忠国 . 二次曲线的弦的中点轨迹导数求法 . [J]. 襄樊职业技术学院学 报,2008(3) :14-15. [10] 姜崇坤.二次曲线定点弦性质的拓广.[J].数学通报,2005(4):37-38. [11]John Tabak 著 . 张 红 梅 、 刘 献 军 译 .Gemetry [M] 北 京 : 商 务 印 书 馆 , 2008.2:45-50. [12]Kilpalainen Martio .Nonlinear Potential Theory of Degenerate Elliptic Equation [M].New York:Clarendon Press,1993.4:78-90.

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