# 二次曲线中点弦问题求解方法探析

2014 年 4 月 10 日

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[摘要]

[关键词] 二次曲线中点弦的概念、性质、公式及其相关问题 二次曲线中点轨迹的问题类型和解题方法

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Analysis of the two curves of midpoint chord of problem solving method

Abstract： The two curve midpoint chord properties and related problem is a key and difficult point of college entrance exmination,to learn proper trajeactory atmethod,substitution method,gemometric method,linear parameter method, derivative method for solving two quadratic curve through the learning of the students in the college entrance examination, and master the methods of learning of the students in the college entrance exmination,and master the methods of learning mathematics and promoting mathematics literacy.Two times curvemidpoint chord of the problem is a major problem of analytic geometry.It is fully reflected in a very good material of algebra and geometry inseparablerelationship. Ask learners from the number, form two aspects deep position to understand the relationship between the line and the line, the midpoint locusand choosing the appropriate substitution method, geometric method, linearparameter method to solve the two curves,yhe solving process was optimized. At linearparameter method to solve the two curves,the solving process was the same time to cultivates students' intuitive, rigorous thinking quality, flexible use of numeral form combination, solving problems. classification discussion, analogyand other mathematical methods, improve the ability of

KeyWords ： The two concept,curve midpoint chord properties,formula and its related problems Two point trajectory curve types of problems and problem solving methods

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c a

1.1 二次曲线中点弦概念[1] 对于给定点 P 和给定的圆锥曲线 C，若 C 上的某条弦 AB 过 P 点且被 P 点平 分，则称该弦 AB 为圆锥曲线 C 上过 P 点的中点弦。其中圆锥曲线弦为连接圆锥 曲线 C 上不同两点 A、B 的线段 AB 称为圆锥曲线 C 的弦. 1.2 二次曲线中点弦公式 在解二次曲线中点弦有关问题时，可应用两点的曲线束方程中唯一的直线方 程得到一套中点弦公式，这些公式容易导出，且特点明显便于记忆和掌握，应用 它解题非常简便. 抛物线中点弦公式 抛物线 C ： x2 ? 2 py 上，过给定点 P=（a,?） 的中点弦所在直线方程为：

py ? ax ? p? ? a 2

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x2 y 2 ? ? 1 上，过给定点 P=(a, β ) 的中点弦所在直线方程为： a 2 b2

ax ? y a 2 ? 2 ? ? ? . a 2 b2 a 2 b2

a2 ? 2 ? ? 1 （点 P 在椭圆内） . a 2 b2

x2 y 2 ? 1上，过给定点 P=( a, β ) 的中点弦所在直线方程为： a 2 b2

ax ? y a 2 ? 2 ? a 2 b2 a 2 b2

a2 ? 2 a2 ? 2 ） ( -1)>0 a 2 b2 a 2 b2

（点 P 不在双曲线、渐近线上以及它们所围成的区域内 . ） 1.3 二次曲线中点弦性质[2]
x2 y 2 性质 1 椭圆、双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的过定点（m,0）(m ? 0,且 m ? ? a ) a b

x? a2 . m

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( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? (tr )2 ,

x2 y2 ? ? 1, 两边对 x 求导，可发现并不改变原方程求 (ta)2 (tb)2

M B

2.1 -1

2.1.1 求中点弦所在直线方程问题 例 1 过椭圆
x2 y2 ? ? 1 内一点 M（2，1）引一条弦，使弦被点 M 平分，求 16 4

(4k 2 ? 1) x 2 ? 8(2k 2 ? k ) x ? 4(2k ? 1) 2 ? 16 ? 0

x1 ? x 2 ? 8(2k 2 ? k ) ， 4k 2 ? 1 x1 ? x2 4(2k 2 ? k ) ? ? 2， 2 4k 2 ? 1

1 解得 k ? ? ， 2

2 2 2 2 2 2 2 2

y1 ? y 2 x ? x2 1 1 ?? 1 ? ? ，即 k AB ? ? ， 2 x1 ? x2 4( y1 ? y 2 ) 2

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? x 2 ? 4 y 2 ? 16 因为 A、B 两点在椭圆上，所以有 ? 2 2 ?(4 ? x ) ? 4(2 ? y ) ? 16

x2 y 2 ? 1 ,Ａ、Ｂ两点在曲线上,Ｍ是弦Ａ 设有二次曲线的方程为 ? m n
n ． m 设 Ａ 、 Ｂ 两 点 坐 标 分 别 为 （ x1,y1 ） ,(x2,y2) ， 则 点 Ｍ 的 坐 标 为

Ｂ的中点,Ｏ为坐标原点,则 k AB ? k OM ? ?

x1 ? x2 y1 ? y 2 , ） ． 2 2

∵Ａ、Ｂ两点在曲线上，
2 2 x12 y12 x2 y2 ? ? 1, ? ?1 ∴ m n m n 2 2 x2 ? x12 y 2 ? y12 ? ?0 m n

2 y2 ? y12 n 整理得 2 ?? ， 2 m x2 ? x1

y 2 ? y1 y ? y2 ， kOM ? 1 x2 ? x1 x1 ? x2
2 y2 ? y12 n ,? k AB ? kOM ? ? ．证毕． 2 2 m x2 ? x1

? k AB ? kOM ?

k AB ? kOM ? ?1 ．
x2 y 2 ? ? 1 内一点 D（1,0）引动弦 AB，求弦 AB 的中点 M 的轨 9 4

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y y 4 ? ?? x ?1 x 9

y y , k AB ? k DM ? x x ?1

2 ，求 a 、b 的值． 2
(1)

2 a =- ，?b ? 2a 2 b

2b b ?1 , x1 ? x 2 ? a?b a?b

2b b ?1 a ? b ? ab ，∴ 2 2 ? 2 2 ? ?4 2 a?b ( a ? b) ( a ? b) 2
(2)

1 2 由(1)、(2)解得 a ? , b ? . 3 3
x2 y2 ? ? 1 上一点 P（-8，0）作直线交椭圆于 Q 点，求 PQ 中点 64 36

? 9 x 2 ? 16 y1 2 ? 576 2 2 2 2 则有 ? 1 2 ，两式相减得 9( x1 ? x2 ) ? 16( y1 ? y2 ) ? 0 ， 2 ?9 x 2 ? 16 y 2 ? 576

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y1 ? y 2 9 x y 9x y?0 ? ，而 k PQ ? ，故 . ? x ? (?8) 16 y x ? 8 x1 ? x2 16y

x1 ? 8 y ，y ? 1 可得 x1 ? 2 x ? 8 ， 2 2

y1 ? 2 y ，

x1 y 4( x ? 4) 2 4 y 2 ? ? 1， ? 1 ? 1 ，即 64 36 64 36
( x ? 4)2 y 2 ? ? 1 （ x ? ?8 ）. 16 9
2 2

(3)弦中点的坐标问题 引理[3] 设 A、 B 是二次曲线 C： P ( x0 , y0 ) Ax2 ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 上的两点，

k AB ? ?

2 Ax0 ? D (2Cy0 ? E ? 0) 2Cy0 ? E

? y ? x ?1 , P( x0 , y0 ) ，由题意得 ? 2 ? y ? 4x

? y ? x ? 1 y0 ? x0 ? 1 ? 2 所以 ? 2 ， ，即中点坐标为 (3, 2) . ? y ? 4x

? y12 ? 4 x1 ，两式相减得 y22 ? y12 ? 4( x2 ? x1 ) ， B( x2 , y2 ) ，由题意得 ? 2 ? y2 ? 4 x2
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( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) ? 4， x2 ? x1

k AB ? ?

2 x0 ? D 2x ? D （假设点 P 在圆上时，则过点 P 的切线斜率为 k ? ? 0 ） 2 y0 ? E 2 y0 ? E

x2 y 2 b2 x0 的弦 AB 的中点为 P （ ， 则 ） ? ? 1 y ? 0 ( x , y ) k ? ? ? 0 0 0 AB a 2 b2 a2 y 0

（注：对 a≤b 也成立,假设点 P 在椭圆上，则过点 P 的切线斜率为 k ? ?

b2 x0 ） ? a2 y 0

x2 y 2 b2 x0 ? ? 1 的弦 AB 的中点为 P （ 则 ） y ? 0 ( x , y ) k AB ? 2 ? 0 0 0 a 2 b2 a y0

（假设点 P 在双曲线上，则过 P 点的切线斜率为 k ? 推论 4

b2 x0 ） ? a2 y 0
p ） y0

（假设点 P 在抛物线上，则过点 P 的切线斜率为 k ?

p ） y0

2. 2 已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点，求该弦的方程 2.2.1 联立方程法. 用点斜式设出该弦的方程（斜率不存在的情况需要另外考虑） ，与圆锥曲线 方程联立求得关于 x 的一元二次方程和关于 y 的一元二次方程， 由韦达定理得到 两根之和的表达式， 在由中点坐标公式的两根之和的具体数值， 求出该弦的方程. 2.2.2 点差法[4]，或称代点相减法. 解二次曲线中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于 一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.若 设直线与二次曲线的交点（弦的端点）坐标为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,将这两点代入

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( ?1 +? 2 ) ? ( ?1 -? 2 ) ( y1 +y2 ) ? ( y1 -y2 ) ? ?0 a2 b2

y1 -y2 可以得到斜率的取值.（使用时注意判别式的问题） ?1 -? 2

x2 y 2 ? ? 1 内一点 M (2,1) 引一条弦，使弦被 M 点平分，求这条弦所 16 4

? M (2,1) 为 AB 的中点 ? x1 ? x2 ? 4

y1 ? y2 ? 2

? 又 A 、 B 两点在椭圆上，则 x12 ? 4 y12 ? 16 ， x22 ? 4 y22 ? 16

? y1 ? y2 ? ? x1 ? x2 ? ? 4 ? ? 1 x1 ? x2 4( y1 ? y2 ) 4? 2 2
1 1 即 k AB ? ? ，故所求直线的方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 2) ，即 x ? 2 y ? 4 ? 0 . 2 2

y 2 x2 ? ? 1 ,求它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程. 75 25

x1 ? x2 ? 2 x ，

y1 ? y2 ? 2 y

y12 x12 ? ?1 75 25

y1 ? y2 3x ?? x1 ? x2 y
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? k ? y1 ? y2 ? 3 x1 ? x2

? ? 3 x ? 3 ，即 x ? y ? 0 y

? x? y ?0 5 3 5 3 5 3 5 3 ? 由 ? y 2 x2 ，得 P(? , ) Q( ,? ) 2 2 2 2 ?1 ? ? ? 75 25
? 点 M 在椭圆内
? 它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程为 x ? y ? 0(? 5 3 ? x ? 5 3 ) 2 2

1 ，求椭圆的方程. 2

y 2 x2 ? 2 ? 1 ，则 a 2 ? b2 ? 50 2 a b

x0 ? 1 1 ， y0 ? 3 x0 ? 2 ? ? ? x1 ? x2 ? 2 x0 ? 1 ， y1 ? y2 ? 2 y0 ? ?1 2 2

y12 x12 y2 2 x2 2 ? ? 1 ? ?1 ， a 2 b2 a 2 b2

?

y1 ? y2 a 2 ? x1 ? x2 b 2

?

a2 ?3 b2

2 2 联立①②解得 a ? 75 ， b ? 25

2 2 ? 所求椭圆的方程是 y ? x ? 1 75 25

x2 y 2 ? 1 ，试确定的 m 取值范围，使得对于直线 y ? 4 x ? m ， 例 4、已知椭圆 ? 4 3

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2 2 2 2 弦 PP 1 2 的中点，则 3x1 ? 4 y1 ? 12 ， 3x2 ? 4 y2 ? 12

? x1 ? x2 ? 2 x ， y1 ? y2 ? 2 y ， y1 ? y2 ? ? 1 x1 ? x2 4
P 轨迹方程. ? y ? 3x 这就是弦 PP 1 2 中点

? y ? 3x ? x ? ?m 联立 ? ，得 ? ? y ? 4x ? m ? y ? ?3m

3 2 x 4

3 2 13 2 13 即 (3m) 2 ? 3 ? m2 ，解得 ? ?m? 4 13 13

m?a . 从而求出切线方程是 n?b

2 .类似地可以轻松求出过椭圆、 双曲线、 抛物线等 ( x ? a)(m ? a) ? ( y ? b)(n ? b) ? r

（ 1， -1） 曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 1 在点 处的切线方程为（

Ａ． y ? 3x ? 4

Ｂ． y ? -3x+2
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Ｃ． y ? -4 x+3

Ｄ． y ? 4 x ? 5

， ? 1) 处斜率 k ? f ?(1) ? ? 3，故所求的切线方程为 解：由 f ?( x) ? 3x2 ? 6x则在点 (1
y ? (?1) ? ?3( x ? 1) ，即 y ? ?3x ? 2 ，因而选Ｂ．

0

Ａ． 2 x ? y ? 3 ? 0 Ｃ． 2 x ? y ? 1 ? 0

3.2．利用导数法求解中点弦问题 二次曲线的弦的中点轨迹是平面解析几何中的一个难点.要求解二次曲线的 弦的中点轨迹的关键是弦的斜率如何用它的中点坐标表示.
1 例 3. 已知定点 A（0，2） ，椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 ，过 A 任意引直线与椭圆交于两点 2 P、Q，求线段 PQ 中点的轨迹方程.

y?2 x ?? . x ?1 2y x .又 k AM ? kPQ ， 2y

1 化简即得 x2 ? 2 y 2 ? 4 y ? 0 （在椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 内的部分）. 2

3.3 求与中点弦有关的对称问题

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? ? 2 x ，所以中点弦的斜率为 k ? 2a ? ? 对 y ? x2 两边求导，得 yx

1 . ② m

1 2

1 故 m ? ? (m ? 0) 时满足题意。 2 1 综上（1） （2） ，m 取值范围是 [? , ?∞). 2

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