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西工大附中2013高考数学理模拟题含答案


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课件编号:98187 加入收藏夹
专题三 函数的概念

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为什么没有几种基本函数

高考考点

射中的象与原象的概念;

段函数的问题:定义域、值域以及相关的方程或不等式的解的问题;

合函数的解析式、图象以及相关的最值等问题;

类讨论、数形结合等数学思想方法的应用.

知识要点

函数的定义

传统定义:设在某一变化过程中有两个变量 x 和 y,如果对于某一范围内 x 的每一个值,y 都有唯一的值和它对

就说 y 是 x 的函数,x 叫做自变量,y 叫做因变量(函数).

现代定义:设 A、 是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B

唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y=f(x),x∈A.其中,x

量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫

值域.

认知:

意到现代定义中“A、B 是非空数集”,因此,今后若求得函数定义域或值域为 φ,则此函数不存在.

数对应关系、定义域和值域是函数的三要素,缺一不可.在函数的三要素中,对应关系是核心,定义域是基础,

定义域和对应法则确定之后,其值域也随之确定.

映射的概念

数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合,便得到映射概念.

定义 1:设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f,对于集合 A 中任何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元

应,那么这样的对应(包括集合 A、B 及集合 A 到集合 B 的对应法则 f)叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作 f:

定义 2:给定一个集合 A 到集合 B 的映射 f:A→B,且 a∈A,b∈B,如果在此映射之下元素 a 和元素 b 对应,则

叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象.即如果在给定映射下有 f:a→b,则 b 叫做 a 的象,a 叫做 b 的原

认知:

定义的精髓在于“任一(元素)对应唯一(元素)”,即 A 中任一元素在 B 中都有唯一的象.在这里,A 中元素不可

B 中有剩余;不可“一对多”,允许“多对一”.因此,根据 B 中元素有无剩余的情况,映射又可分为“满射”和“非满

A 到集合 B 的映射 f:A→B 是一个整体,具有方向性; f:A→B 与 f:B→A 一般情况下是不同的映射.

)、函数的表示法

函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法和口头描述法.

解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.

列表法:列出表格表示两个变量的函数关系的方法.运用列表法表示的,多是理论或实际生活中偏于实用的函

3、图象法:用函数图象表示两个变量之间函数关系的方法. 图象法直现形象地表示出函数的变化情况,是数形结合的典范.只是它 表示自变量与函数值之间的对应关系. 认知:函数符号的意义 数的概念中,我们用符号“y=f(x)”表示“y 是 x 的函数”这句话. 其中,对于运用解析法给出的函数 y=f(x),其对应法则“f”表示解析式蕴 变量 x 施加的“一套运算的法则”,即一套运算的框架. 具体地,对于函数 f(x)=5 -2x+3(x>1) ) -2( ① )+3,( )>1.

法则“f”表示这样一套运算的框架:5( 5( ) -2( )+3,( )>1.

,我们可分别对函数值与函数表达式作以诠释和辩析: -2a+3 (a>1);

对自变量 x 的取值 a 实施上述运算后的结果,故有 f(a)=5

对自变量 x 实施上述运算后的结果,故有 f(x)=5

-2x+3 (x>1);

)):对函数 g(x)实施上述运算后的结果,于是有 (x)-2g(x)+3 ( g(x)>1 ) ②

))=5

:函数符号意义之下的产物或推论有比较才能有鉴别,有品味才能有感悟.我们仔细地比较和品味①、 ②,不难

这样的代换规律:

的解析式

f[g(x)]的表达式

将上述替换形象地称之为“同位替换”.

,同位替换是在函数符号的意义下产生的函数特有的替换,它源于“等量替换”, 又高于“等量替换”, 对于同位

两式不可能相等的条件下仍可操作实施,这是“等量替换”所不能比拟的.由 f(x)的解析式导出 f(x+1)的解析式,

两种替换的一个很好的范例.

经典例题

如右图,在直角梯形 OABC 中,AB∥OC,BC⊥OC,且 AB=1,OC=BC=2,直线 l:x=t,截此梯形所得位于 l 左方的

为 S,则函数 S=f(t)的大致图象是以下图形中

1:立足于 f(t)在 t∈[0,1]上的函数式.直线 OA 的方程为 y=2x,

0≤t≤1 时,

s=

,,由此否定 A,B,D,应选 C.

2:运用运动的观点,感悟函数图象所反映的函数值随着自变量的变化而变化的状态.

在O,D 之间运动时,S 随着 t 的增加而增加,并且增加的速度越来越快,即 ΔS1, ΔS2…, ΔSn 是递增的(ΔSi 是单位 的凹凸性可排除 D,故应选 C.

积的增量),故排除 A 和 B,对于 C 和 D,由 t∈[0,1]时 f(t)=

如图所示,梯形 OABC 各顶点的坐标分别为 O(0,0),A(6,0),

2,2),一条与 y 轴平行的直线l从点 O 开始作平行移动,到点 A 为止.设直线l与 x 轴的交点为 M,OM=x,并记

线l截得的在左侧的图形面积为 y,求函数 y=f(x)的解析式,定义域及值域.

:如图,由于点 M 位置的不同,所得图形的形状与面积不同,故需要分类讨论,注意到决定l左侧图形形状的关

以 x=2,4 分划讨论的区间.

当 0≤x≤2 时,上述图形是一等腰 RtΔ,此时, y=

,即

;

当 2<x≤4 时,上述图形是一直角梯形.注意到它可分割为一个等腰 RtΔ(确定的)和一个矩形,此时

,即 y=2x-2;

当 4<x≤6 时,上述图形是一个五边形,它可看成原梯形去掉一个等腰直角三角形(位于直线l右侧),此时

,即

,综合(1)、(2)、(3)得所求 y=f(x)的解析式为

可知,f(x)的定义域为[0,2]∪



=[0,6].

0≤x≤2 时,

,即此时 0≤y≤2;

<x≤4 时,2<2x-2≤6,即此时 2<y≤6;

<x≤6 时,6<

≤8,即此时 6<y≤8. ∪ =[0,8]

数 f(x)的值域为[0,2] ∪

:分段函数问题的基本解题策略:分段研究,综合结论.不过,在研究由实际问题产生的函数及其两域时,必须具

体分析,必须考虑所给问题的实际情况.

已知 f(x)=x2+2x-1(x>2),求 f(2x+1)的解析式; ,求 f(x+1)的解析式.

已知

1) 2x+1 替代上式中的 x 得

x)=x2+2x-1 (x>2)

+1)=(2x+1)2+2(2x+1)-1 (2x+1>2)

2x+1)=4x2+8x+2 (x>

)

由已知得 x 替代上式中的 得

=x2-1 (x≥1)

x+1)=(x+1)2-1 (x+1≥1)

x+1)=x2+2x (x≥0)

:上述求解也可运用换元法,但是,不论是“换元法”,还是上面实施的“同位替换”,它们都包括两个方面的替换:

解析式中的替换;

取值范围中的替换.

函数三要素的要求,这两个方面的替换缺一不可. 设 y=f(2x+1)的定义域为[-1,1],f(x-1)=x2,试求不等式 f(1-x)<x 的解集.

:为将不等式 f(1-x)<x 具体化,根据“同位替换”法则,先求 f(1-x)的表达式. -1≤2x+1≤3, ① ② (-1≤x-1≤3)
2

由题设知,在 y= f(2x+1)中有-1≤x≤1

用“同位替换”的思想
2

x-1)中应有-1≤x-1≤3

题设知 f(x-1)=(x-1) +2(x-1)+1
2

①、②得 f(x-1)=(x-1) +2(x-1)+1 (-1≤1-x≤3)
2

1-x)=(1-x) +2(1-x)+1

1-x)=x -4x+4 x2-5x+4<0 (x-1)(x-4)<0 1<x<4 1<x≤2

(-2≤x≤2) x2-4x+4<x (-2≤x≤2) (-2≤x≤2) (-2≤x≤2)

有 f(1-x)<x

(-2≤x≤2)

,所求不等式 f(1-x)<x 的解集为

.

:在这里,三个不同函数 f(2x+1), f(x-1), f(x+1)均以 x 为自变量,x 是“一仆三主”.因此,在探求函数解析式或定义

定要注意“两方替换”,双管齐下.本例便是多次实施同位替换的良好范例.

(1)设 A={a,b,c},B={-1,0,1},映射 f:A→B ; ; .

映射 f 满足 f(a)>f(b)≥f(c),则映射 f 的个数为

映射 f 满足 f(a)+f(b)+f(c)=0,则映射 f 的个数为

映射 f 满足 f(a)-f(b)=f(c), 则映射 f 的个数为

设 A={1,2,3,4,5},B={6,7,8},从 A 到 B 的映射 f 满足 .

≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5),则映射 f 的个数为

:注意到 f(a)的意义:在映射 f: A→B 之下 A 中元素 a 的象,故有 f(a),f(b),f(c)∈B.为便于梳理思路,解答这类题

列表法或分类讨论的方法.

1)由已知得 f(a),f(b),f(c)∈B

表法:

a)>f(b)≥f(c)

a)只能取 0 或 1,f(c)只能取-1 或 0.

映射的定义,以 f(a)取值从大到小的次序列表考察: f(a) 1 1 1 0 f(b) 0 0 -1 -1 f(c) 0 -1 -1 -1

可知符合条件的映射是 4 个.

表法:注意到 f(a)+f(b)+f(c)=0,又 B 中三个元素之和为 0 的情形只有两种:0+0+0;1+(-1)+0,以 a 的象 f(a)的取值

大)为主线列表考察 f(a) 0 0 0 1 1 -1 -1 f(b) 0 1 -1 0 -1 1 0 f(c) 0 -1 1 -1 0 0 1

可知符合条件的映射有 7 个. f(a)=f(b)+f(c)

类讨论:f(a)-f(b)=f(c)

的象等于其它两个元素的象的和.以象集合元素的个数为主线(从小到大)展开讨论.

)当象集合为单元素集合时,只有象集{0}满足已知条件,此时符合条件的映射 f 只有 1 个.

i )当象集合为双元素集合时,满足条件的象集合为{-1,0}或{1,0}

0}:-1=0+(-1),-1=(-1)+0;{1,0}:1=0+1,1=1+0

符合条件的映射有 4 个.

ii )当象集合为三元素集合时,满足条件的象集合为{-1,0,1}

0,1}: 0=1+(-1), 0=(-1)+1

时符合条件的映射 f 有 2 个

综合(i)、(ii)、(iii)得符合条件的映射 f 的个数为 7.

分类讨论:以象集合中元素的个数(从小到大)为主线展开讨论.

象集合为单元素集时,象集为{6}或{7}或{8},故此时满足条件的映射 f 有 3 个;

当象集合为双元素集时,先将 A 中元素分为两组,有 × 3=12 个;

种分法,又每两组的象有 3 种情形,故此时符合条件的

当象集合为三元素集时,先将 A 中元素分为 3 组,有 f有 × 1=6 个。

种分法,又每三组的象只有 1 种情形,故此时符合条

综合(i)、(ii)、(iii)得符合条件的映射 f 的个数为 3+12+6=21.

:在认知 f(λ)(λ∈A)的意义以及题设条件的意义的基础上,以象集元素的个数(从小到大)为主线展开讨论,是

映射问题的通用方法(通性通法),请同学们在今后的解题中注意应用. 已知函数 f(t)对任意实数 x,y 满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且 f(-2)=-2.

求 f(1)的值;

试求满足 f(t)=t 的整数 t 的个数,并说明理由.

:这是未给出具体的函数解析式,只给出一个函数恒等式.注意到这一恒等式的一般性,循着“一般”与“特殊”

证关系,想到从“特殊”(特殊取值或特殊关系)入手去破解“一般”,以寻出目标. ① ② ③

1)为了出现 f(1),在上述恒等式中令 x=1,y=-1 得 f(0)=f(1)+f(-1) x=0,y=0 得 f(0)=-1 f(-2)=2f(-1)+2 ∴f(-1)=-2

=-1,y=-1 得

2)=-2,

②、③代入①得 f(1)=1.

为利用 f(1)=1,在上述恒等式中令 x=1 得 f(y+1)-f(y)=y+2 ④ t∈Z 时,有 f(t+1)-f(t)=t+2

1)=f(y)+y+2

④,运用阶差法得

f(1)+[f(2)-f(1)]]+…+[f(t)-f(t-1)]

)=1+(1+2)+(2+2)+…+[(t-1)+2]

2(t-1)+

t)=

)=t t2+t-2=0 (t-1)(t+2)=0 t=1 或 t=-2

可知,满足 f(t)=t 的整数 t 只有两个:t=-2,t=1.

: 函数 f(x)当 x 取正整数时的问题, 即为数列问题.所以,这里运用(或借鉴)了数列求和的思想或方法(阶差法

).看透问题,把握本质,解题时方能联想顺畅,入手准确.这是我们始终所追求的境界.

高考真题

选择题

在 y=2x, y=log2x, y=x2, y=cos2x 这四个函数中,当 0<x1<x2<1 时, ). B.1 C.2 D.3

恒成立的函数

(

:运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意 x1,x2∈I,且 x1<x2,当 f(x)总满足

时,函数 f(x)在区间 I 上的图象是“上凸”的,由此否定 y=2x,y=x2,y=cos2x, 本题应选 B



,则 f(x)的解析式可取为(

)

B.

C.

D.

:运用直接法.

=t,则 x=

(t≠-1),

)=

(t≠-1)

x)=

(x≠-1) 应选 C

:注意到对于

,有

=-1+

≠-1,∴对于 f(x)应有 x≠-1.若选项中的函数附加定义域,则从

手筛选为上乘解法.

设函数 f(x)= B.2

,若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数为( C.3 D.4

).

: 从确定 f(x)的解析式入手.由 f(-4)=f(0),f(-2)=-2 得

程 f(x)=x



或 x=2

或 x=2,

故本题应选 C

函数 f(x)= ∪[0,10] ∪[1,10] B.

,则使得 f(x)≥1 的自变量 x 的取值范围为( ∪[0,1]

)

D.[-2,0]∪[1,10]

:注意到解决分段函数的基本策略:分段研究,综合结论.

≥1



x≤-2 或 0≤x≤10,故应选 A

特取法:取

,则

,由此否定 C,D;取 x=2,得

,由此否定 B,故本题应

填空题 .

知 a,b 为常数,若 f(x)=x2+4x+3, f(ax+b)=x2+10x+24,则 5a-b=

: 由 f(x)=x2+4x+3 得

+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3=a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3,

已知条件得 a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3= x2+10x+24

-b=2

对于函数定义域中任意的 x1,x2(x1≠x2),有如下结论:

(x1+x2)= f(x1)· 2) f(x

(x1·2)= f(x1)+f(x2) x

;

. .

x)=lgx 时,上述结论中正确结论的序号是

:根据对数的运算法则知②正确,①不正确;

f(x)=lgx 的图象,考察

的几何意义;经过点(x1, f(x1)),( x2, f(x2))的直线的斜率,可知③正确;注意到

的图象“上凸”,可知④正确.故本题应填②、③、④.



,则不等式 x+(x+2)·f(x+2)≤5 的解集是

.

: 注意到原不等式中“f”之下的式子为(x+2),为利用已知条件化抽象为具体,故从 x+2 的符号或取值入手进行

价转化.

等式



或 x<-2

不等式的解集为

.

解答题

已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x2+2x.

求函数 g(x)的解析式;

解不等式 g(x)≥f(x)-|x-1|.

: 求“对称曲线”的函数式或方程,基本策略是从点的对称切入探求.而对于含有绝对值的不等式,在运用公式

掉绝对值不能实现时,“分类讨论”乃是解题取胜的杀手锏.

1)设点 Q(x0,y0)为 y=f(x)图象上任意一点,点 Q 关于原点的对称点为 P(x,y),则

① Q(x0,y0)在函数 y=f(x)图象上 ② -y=(-x) +2(-x)
2

=x02+2x0
2

代入②得 g(x)=-x2+2x

=-x +2x 2x2-|x-1|≤0

(x)≥f(x)-|x-1|

≥1 时,2x2-x+1≤0, 此不等式无解;

<1 时, 2x2+x-1≤0

.

不等式的解集为

.

:以“点对称”入手破解对称问题,以“绝对值的零值”分划讨论的区间,这都是解决相关问题的基本策略.

知函数 f(x)=kx+b 的图象与 x、y 轴分别相交于点 A、B,

=

(

分别是与 x、y 轴正半轴

单位向量),函数 g(x)=x2-x-6

求 k、b 的值;

当 x 满足 f(x)>g(x)时,求函数

的最小值.

:对于(1),注意到 k、b 含在 f(x)的解析式中,故从探求 A、B 点坐标切入,利用

=

建立方程或方

于(2),则要注意立足于不等式 f(x)>g(x)的解集,探求所给函数的最小值.

1)由已知得 A(-

,0),B(0,b),从而 x2-2x-8<0

=(

,b)、又

=(2,2),故得

求 k=1,b=2. x+2>x2-x-6 -2<x<4 ①

(x)>g(x)

=

=

2)+

-5 (分离整式项) 0<x+2<6

② ③

①知

②得

-5=-3

仅当 x+2=

即 x=-1(满足①式)时等号成立.



的最小值为-3.

:在这里,运用不等式求所给函数的最小值,函数式的分离整式项的变形至关重要.一般地,当分子次数等于分

,分式可分离出一个常数项;当分子次数大于分母次数时,分式可分离出一个整式项.“分离”整式项的手法,是

施“配凑”,将分子表示为分母的函数式.

知函数 f(x)=

(a,b 为常数),且方程 f(x)-x+12=0 有两个实根为 x1=3,x2=4.

求函数 f(x)的解析式;

设 k>1,解关 x 的不等式

.

: 对于(1),从已知方程的实根入手推理.对于(2),则要注意求解分式不等式的基本过程:移项—通分—分解因

(为整式不等式)—求解.这是解决这类问题的规范性、完整性以及完解完胜的基础与保障.

(x)-x+12=0

-x+12=0

1=3,x2=4

代入方程得

x)=

原不等式

f(x)-

(2-x)[ (x-2)(x-1)(x-k)>0

]<0 ※

当 1<k<2 时,由(※)解得 1<x<k 或 x>2; 1<x<2 或 x>2;

当 k=2 时,由(※)得(x-2)2(x-1)>0

当 k>2 时,由(※)得 1<x<2 或 x>k.

可知,当 1<k≤2 时,原不等式的解集为(1,k)∪(2,+∞);

>2 时, 原不等式的解集为(1,2)∪(k,+∞).

:本题突出考察分类讨论与数形结合的思想.在解高次不等式时,若采用“根轴法”,则可使解答更为快捷准确,

一试.

定义域分别是 Df、Dg 的函数 y=f(x), y=g(x),规定:函数

若函数 f(x)=

,g(x)=x2,写出函数 h(x)的解析式;

求问题(1)中函数 h(x)的值域; ),其中 是常数,且 ∈ ,请设计一个定义域为 R 的函数 y=f(x)及一个 的值,使

若 g(x)=f(x+

os4x,并予以证明.

: 对于(1),注意到 h(x)为分段函数,探求函数解析式要立足于“分段探求,综合结论”的基本策略.对于(3),这里 ),又注意到在大前提中 h(x)的表达式以及此时 f(x),g(x)的定义域均为 R,可得 h(x)=f(x) f(x+ f(x+ ),又 )=cos4x 入手展开联想与探求,这里的探求自然是从 cos4x 的“一分为二”的变形入

4x,于是可由 f(x)

这里 Df=(-∞,1)∪(1,+∞)

Dg=R

x∈Df 且 x∈Dg,即 x∈(-∞,1)∪(1,+∞) 时, Df 且 x ∈ Dg,即 x=1 时,h(x)=g(x)=1;

;

∈Df 且 x

Dg 的 x 不存在,故得

当 x≠1 时,

=(x-1)+

+2

x>1, 则 x-1>0, h(x)≥4,当且仅当 x=2 时等号成立; x=1 时,h(x)=1. ∪{1}∪ .

<1, 则 x-1<0, 故有 h(x)≤0, 当且仅当 x=0 时等号成立.

数 h(x)的值域为

由题意得 h(x)=f(x)
2

f(x+
2

)



意到 cos4x=cos 2x-sin 2x

s2x+sin2x)(cos2x-sin2x)

s2x+sin2x)



①、②知, 令 f(x)= cos2x+sin2x (x∈R)

=

g(x)= f(x+

)=

s2x-sin2x f(x+ )=( sin2x + cos2x)(cos2x-sin2x)
2 2

有 h(x)=f(x)

s 2x-sin 2x=cos4x.

: ),又要注意大前提下的 h(x)的表达式,双方结合推出 h(x)=f(x) f(x+ ).至此,

对于 (1),务必要注意逐段考察, 不可忽略 f(1)=1.

既要注意(3)中 g(x)=f(x+

点得以突破,问题便归结为将 cos4x 化为互有关联的两式之积的三角变换.

已知二次函数 y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数 y=f2(x)的图象与直线 y=x 的两个交点间的

f(x)= f1(x)+ f2(x)

求函数 f(x)的表达式;

证明: 当 a>3 时,关于 x 的方程 f(x)=f(a)有三个实数解.

: 由于二次函数与反比例函数的形式确定,故运用“待定系数法”探求 f1(x)与 f2(x);对于(2),当对方程 f(x)=f(a)

感到困难时,要想到运用数形结合思想,适时转化为两个函数图象的交点问题.

由题意设 f1(x)=ax2, f2(x)=

(k>0),

(1)=1 得 a=1,故 f1(x)=x2

=f2(x)的图象与直线 y=x 的交点分别为 A

,B

,则由|AB|=8 得 k=8,故 f2(x)=

x2+

一: 由 f(x)=f(a)得 x2+

=

=-x2+

一坐标系内作出 f2(x)=

与 f3(x)= -x2+

的大致图象,注意到 f2(x)=

的图象是以坐标轴为渐近

于第一、三象限的双曲线, f3(x)= -x2+

的图象则是以点(0,

)为顶点,开口向下的抛物线.因此

与 f3(x)= -x2+

的图象在第三象限有一个交点, ①

x)=f(a)有一个负数解.

f2(2)=4, f3(2)=

-4

a>3 时, f3(2)-f2(2)=

-8>0,

a>3 时,在第一象限 f3(x)的图象上存在一点(2, f3(2))在 y=f2(x) 图象的上方. ②

=f2(x)与 y=f3(x)的图象在第一象限有两个交点.

程 f(x)=f(a)有两个正数解.

由①、②知,当 a>3 时,方程 f(x)=f(a)有三个实数解.

二: 由 f(x)=f(a)得 x2+

=

(x-a)(x+a-

)=0 ①

=a 为方程 f(x)=f(a)的一个实数解.

程 x+a-

=0 可化为 ax2+

-8=0



>3 得方程②的判别式 Δ=a4+32a>0

②解得 x2= ∴x1≠x2 且 x2≠x3

,x3= ③

<0. x3>0,

,若 x1= x3,则有 a= a>3 矛盾,故有 x1≠ x3

3a2=

a4=4a ④

a=0 或 a=

由①、③、④知,原方程有三个实数解.

:以上两种解法各有短长.解法一转化为两个函数图象的交点问题,显直观灵活,但本题的求解头绪较多且比

解法二立足于求解方程,感觉踏实稳健,但有时会招致复杂的运算.对于所给相关问题究竟选择哪一种解法为

具体情况具体分析,不可一概而论.


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