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山东省青岛二中2014届高三12月阶段性检测数学(理)


青岛二中 2014 届高三 12 月阶段性检测
数学(理工类)试题 第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
1.设全集

U ? R, A ? { x | 2

x? x ? 2?

?

1}, B ? {x | y ? ln ?1 ? x ?}




U

则右图中阴影部分表示的集合为( A.{x | x ? 1} C.{x | 0 ? x ? 1}

B.{x |1 ? x ? 2} D.{x | x ? 1}

2.已知各项均为正数的等比数列{ A. 5 2
1.2

an

}中, C.6

a1a2 a3 ? 5, a7 a8 a9 ? 10,
D.4 2



a4 a5 a6 ?

(

)

B.7
?0.8

?1? a ? 2 ,b ? ? ? ?2? 3. 已知
A. c ? b ? a B.

, c ? 2 log 5 2

,则 a, b, c 的大小关系为( C. b ? c ? a



c?a?b

D . b?a?c 在同一坐标系中的图象可能是

4.已知 a ? 0, 且 a ? 1 ,函数

x y ? log a x, y ?a , y ?x ?a

y

y

y
1 1

y

1
O
A

1 1

1
1

x

O

x

O

x

O
D )

1

x

C B 5.若直线 过 P(2,1) 点且在两坐标轴上的截距相等,则这样的直线有几条( A. 1 条 B.2 条 C.3 条 D.以上都有可能

6.已知 m, n 是两条不同的直线,? , ? 是两个不同的平面,则下列命题中的真命题是( A.若 m // ? , n // ? , ? // ? , 则m // n B.若 m // ? , n // ? , ? ? ? , 则 m ? n



·1 ·

C.若 m ? ? , n ? ? , ? ? ? , 则m // n

D.若 m ? ? , n // ? , ? // ? , 则 m ? n

7. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“同簇函数” .给出下列函数: ① f ( x) ? sin x cos x ; ② f ( x) ?

2 sin 2 x ? 1 ;

f ( x) ? 2sin( x ? ) 4 ; ③
其中“同簇函数”的是(

?

④ f ( x) ? sin x ? 3 cos x . )A.①② B.①④ C.②③ D.③④

8.已知某几何体的三视图如图,其中正(主)视图中半圆的 半径为 1,则该几何体的体积为( ) C. 24 ? ?

24 ?
A.

3? 2

24 ?
B.

?
3
D.

24 ?

?
2

9.正六棱柱的底面边长为 4,高为 6,则它的外接球的表面积为 A. 20? B.

25?

C.

100?

D. 200?

1 4 10.若直线.2ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0)被圆x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0截得的弦长为4,则 ? a b
的最小值是( A.16 ) B. 9
x

C. 12

D. 8
2

0 ,则 11.设函数f (x ) ? e ? x ? 2, g (x ) ? ln x ? x ? 3 ,若实数 a, b 满足f (a) ?0, g( b) ?
A. 0 ? g (a) ? f (b ) C.f (b ) ? 0 ? g (a) B.f (b ) ? g (a) ? 0 D. g (a) ? 0 ? f (b )

12.若对任意 x ? A , y ? B , ( A 、 B ? R )有唯一确定的 f ( x, y ) 与之对应,称 f ( x, y ) 为关于 x 、 y 的 二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数 f ( x, y ) 为关于实数 x 、 y 的广义“距离”: (1)非负性: f ( x, y ) ? 0 ,当且仅当 x ? y ? 0 时取等号; (2)对称性: f ( x, y ) ? f ( y, x) ; (3)三角形不等式: f ( x, y ) ? f ( x, z ) ? f ( z , y ) 对任意的实数 z 均成立.
2 2 2 f ( x, y )? 今 给 出 四 个 二 元 函 数 : ① f ( x, y ) ? x ? y ; ② f ( x , y ) ? ( x ? y ) ; ③

x? y

;④

·2 ·

f ( x, y) ? sin( x ? y) .
能够成为关于的 x 、 y 的广义“距离”的函数的所有序号是 A. ① B. ② C. ③ D. ④

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.
13.在 ?ABC 中, sin A,sin B,sin C 依次成等比数列,则角 B 的取值范围是 14.已知 ?ABC 中 AC ? 4, AB ? 2 错误!未找到引用源。错误!未找到 引 用源 。 ,若 G 为 ?ABC 的 重心,则 AG ? BC ? 错 误 !未 找到 引用 源。
2

???? ??? ?

D1

C1 Q


2

A1 D

15. 若 圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 上 恰 有 两 点 到 直 线 2 x ? y ? c ? 0 ( c ? 0) 的距离等于 1,则 c 的取值范围为 16. 在 正 方 形 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , Q 是 CC1 的 中 点 , F 是 侧 面
A

B1

C P B

BCB1C1 内的动点且 A1 F //平面 D1 AQ ,则 A1 F 与平面 BCB1C1 所成角的正切值得取值范围为
三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分. 17. (满分 12) 命题 p : 函数 f ( x) ? x ? ax ? ax ? a 既有极大值又有极小值;
3 2

命题 q : 直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与圆 ( x ? a) ? y ? 1 有公共点.
2 2

若命题“ p 或 q ”为真,且命题“ p 且 q ”为假,试求实数 a 的取值范围. 18. (满分 12 分)已知锐角 △ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,

sin A ?
已知

2 2 B?C A tan 2 ? sin 2 3 , 2 2 的值; (Ⅰ)求
·3 ·

(Ⅱ)若 a ? 2 , 19.(满分 12 分)

S△ ABC ? 2

,求 b 的值.

已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an= (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? log 2 an , cn=

1 * Sn+1(n∈N ) ; 2

1 k k ? 13 * ,且{cn}的前 n 项和为 Tn,求使得 对 n∈N ? Tn ? b nb n ? 2 24 24

都成立的所有正整数 k 的值. 20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? b(b ? R) .
2

(Ⅰ) 若函数 f ( x) 的值域为 [0, ??) , 若关于 x 的不等式 f ( x) ? c(c ? 0) 的解集为 (k , k ? 6)(k ? R) , 求 c 的值; (Ⅱ)当 b ? 0 时, m 为常数,且 0 ? m ? 1 , 1 ? m ? t ? m ? 1,求 21.(满分 13 分) 四棱锥 P ? ABCD 底面是平行四边形,面 PAB ? 面 ABCD ,

f (t ) ? t 2 ? t 的取值范围. f (t ) ? 2t ? 1

PA ? PB ? AB ?

1 AD , ?BAD ? 600 , E , F 分 别 为 AD, PC 2

的中点.
P F B

(1)求证: EF / /面PAB (2)求证: EF ? 面PBD (3)求二面角 D ? PA ? B 的余弦值
A E

C

D

22. (本小题满分 14 分) 在 实 数 集 R 上 定 义 运 算 :

x ? y ? x(a ? y)( a ? R, a为常数),若f ( x) ? e x , g ( x) ? e ? x ? 2 x 2 , F ( x) ? f ( x) ? g ( x) (Ⅰ)
求 F(x)的解析式; (Ⅱ)若 F(x)在 R 上是减函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)若 a=-3,在 F(x)的曲线上是否存在两点,使得过这两点的切线互相垂直?若存在,求出 切线方程;若不存在,说明理由.

·4 ·

2014 届高三阶段性检测
数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题: B A A C B 二、填空题:13. (0, 三、解答题 17.解:命题 p 为真时,必有 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? a ? 0 有两个不同的解,
2

D D A C B

D A 15.

?
3

?

14. 9 x ? y ? 6 3 ? 0

?

5 ,3 5

??

16.

?

2 ,2 2

?

即 ? ? 4a ? 12a ? 0 ,即 a ? 0 或 a ? 3 ;-----------------4 分
2

命题 q 为真时,圆心 (a,0) 到直线 3x ? 4 y ? 12 ? 0 的距离不大于半径 1, 即

| 3a ? 2 | 7 ? 1 ,解得 ?1 ? a ? . 5 3

-------------8 分

由命题“ p 或 q ”为真,且命题“ p 且 q ”为假,知 p 、 q 必一真一假. 若 p 真 q 假,则实数 a 的取值范围是

7 {a | a ? 0 或 a ? 3} ? {a | a ? ?1 或 a ? } ? {a | a ? ?1 或 a ? 3}. 3 若 p 假 q 真,则实数 a 的取值范围是 7 7 {a | 0 ? a ? 3} ? {a | ?1 ? a ? } ? {a | 0 ? a ? }. 3 3 7 综上知实数 a 的取值范围是 (??, ?1) ? [0, ] ? (3, ??). --------------12 分 3
18.解: (Ⅰ)因为 △ABC 为锐角三角形,且 sin A ?
2

2 2 1 ,所以 cos A ? ---1 分 3 3

B?C A ?1 ? cos(B ? C ) ? tan ? sin 2 ? ? ? ? 1 ? 2 cos A 2 2 ? sin(B ? C ) ?
2

?1 ? cos A ? ?? ? 1 ? 2 cos A ? sin A ? ?
将 sin A ?

2

------------------------------------------4 分

2 2 1 , cos A ? 代入得 3 3
-------------------------6 分

tan 2

B?C A 7 ? sin 2 ? 2 2 9
·5 ·

(Ⅱ)由 S ?ABC ?

1 2 bc sin A ? bc ? 2 ,得 bc ? 3 2 3

① --------8 分

1 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A 得 4 ? b 2 ? c 2 ? 2 ? 3 ? , 3
即b ? c ? 6②
2 2

--------10 分

由①②解得 b ?

3

-------------12 分

19 . (本小题满分 12 分) 解、(Ⅰ) an= an-1=

1 Sn+1 ① 2

1 Sn-1+1(n≥2) ② 2
???????? 4分

①-②得:an=2an-1(n≥2) ,又易得 a1=2 ∴an=2n (Ⅱ) bn=n, cn ?

1 1 1 1 ? ( ? ) n( n ? 2) 2 n n ? 2

裂项相消可得 Tn ?

3 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ??? 8 分 (1 ? ? ? )? ? ( 4 2 n ?1 n ? 2 2 2 n ?1 n ? 2 3 1 3 ∵ T 1 ? Tn ? , 即 ? Tn ? ????????????????? 10 分 4 3 4

? 1 k ? ? k k ? 13 ? 3 24 * ,得 5 ? k ? ? , ? Tn ? ∴欲 对 n∈N 都成立,须 ? 3 k ? 13 24 24 ? ? ? ?4 24
又 k 正整数,∴ k=5、6、7 20. (本小题满分 12 分) 解(Ⅰ)由值域为 [0 , ? ?) ,当 x2 ? 2x ? b=0 时有 V? 4 ? 4b ? 0 , 即b ?1 …………2 分 ????????????????? 12 分

则 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1)2 ,由已知 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? c 解得 ? c ? x ? 1? c , ? c ? 1 ? x ? c ? 1 ……………4 分

不等式 f ( x) ? c 的解集为 (k , k ? 6) ,∴ ( c ? 1) ? (? c ? 1) ? 2 c ? 6 , 解得 c ? 9 ……………6 分

·6 ·

(Ⅱ)当 b ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 x ,所以
2

f (t ) ? t 2 ? t t = 2 f (t ) ? 2t ? 1 t ? 1

因为 0 ? m ? 1 , 1 ? m ? t ? m ? 1,所以 0 ? 1 ? m ? t ? m ? 1 ? 2 令 g (t )=

1? t2 t ? g ( t )= ,则 ……………8 分 (t 2 ? 1) 2 t2 ?1

当 0 ? t ? 1 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 单调增,当 1 ? t ? 2 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 单调减, 所以当 t ? 1时, g (t ) 取最大值, g (1) ? 因为 g (1 ? m) ? g (1 ? m) ?

1 ……………10 分 2

1? m 1? m ? 2 (1 ? m) ? 1 (1 ? m) 2 ? 1

?

?2m3 ? 0 ,所以 g (1 ? m) ? g (1 ? m) [(1 ? m) 2 ? 1][(1 ? m) 2 ? 1]

所以 g (t )=

1? m 1 t 的范围为 [ , ] ……………12 分 2 (1 ? m) ? 1 2 t ?1
2

21【解析】 (1) 取PB的中点,连FG,由题设FG / / BC , FG ?

? AE / / BC , AE ?

1 BC ? FG / / AE 2

1 BC -----1 分 2 P

AEFG是平行四边形 ,所以 EF / / AG ---2 分
AE ? 面PAB, EF ? 面PAB ? EF / /面PAB
------------------------4 分 (2) ? ?PAB是等边三角形,AG ? PB ----------------①
A

G
B

F

C

E

D

?ABD中,AD ? 2 AB, ?BAD ? 600 ,由余弦定理 BD 2 ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD ? cos 600 ? AD 2 ? AB 2 ??ABD ? 900
所以 BD ? AB -------6 分

面PAB ? 面ABCD, BD ? AB ? DB ? 面PAB

DB ? AG ----------------------- ② --------------------------------------------------7
分 由 ①②可知, AG ? PB, AG ? BD ? AG ? 面PBD

·7 ·

又EF / / AG,? EF ? 面PBD -----------------------------------------------9 分
(3)取 PA 的中点 N , 连BN , DN
P F

?PAB是等边三角形? BN ? PA
? Rt ?PBD ~Rt ?ABD ? PD ? AD

N

B

C

? AN ? PB ?ANB ? ? 是二面角 D ? PA ? B
的平面角 ----------------------------11 分 由 (2)知 BD ? 面PAB, BD ? BN
A E D

在Rt?DBN中,BD ? 3 AB ? 2 BN

tan ? ?

5 BD 5 ? 2, cos ? ? 即二面角 D ? PA ? B 的余弦值为 ---------------13 分 5 BN 5

解法二 (1)

?ABD中,AD ? 2 AB, ?BAD ? 600 ,由余弦定理 BD 2 ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD ? cos 600 ? AD 2 ? AB 2 ??ABD ? 900
P

z
所以 BD ? AB

面PAB ? 面ABCD, BD ? AB ? DB ? 面PAB
建系 {BA, BD, z} 令 AB ? 2

F B

??? ? ??? ?

C

A ? 2, 0, 0 ? , D 0, 2 3, 0 , P 1, 0, 3 , C ?2, 2 3, 0

?

? ?

? ?

?
E D

??? ? 1 ??? ? ???? 1 3 A EF ? AP ? DC ? ?3, 0, 3 ? ? 3, x 0,1 2 2 2 ?? ? 因为平面 PAB 的法向量 n2 ? ? 0,1, 0 ?

?

? ?

?

?

?

y

??? ? ?? ? EF ? n2 ? 0 ? EF / / 面PAB
(2) BD ? 0, 2 3, 0 , BP ? 1, 0, 3

??? ?

?

?

??? ?

?

?
??? ? ???? AP ? ?1, 0, 3 , AD ? ?2, 2 3, 0

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? EF ? BD ? 0, EF ? BP ? 0
??

EF ? BD, EF ? BP ? EF ? 面PBD

(3) 设平面 PAD 的法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ?

?

?

?

?

·8 ·

?? ??? ? ?? ? ? n1 ? AP ? ? x ? 3z ? 0 令 x ? 3 所以 n1 ? ? ?? ???? ? ?n1 ? AD ? ?2 x ? 2 3 y ? 0 ?? ? 平面 PAB 的法向量 n2 ? ? 0,1, 0 ?

?

3,1,1

?

?? ?? ? 5 1 ,即二面角 D ? PA ? B 的余弦值为 cos ? n1 , n2 ?? 5 5
22 解: (I)由题意,F(x)=f(x) ? (a-g(x))??????????????2 分 - =ex(a-e x-2x2) =aex-1-2x2ex.????????????4 分 (II)∵F′(x)=aex-2x2ex-4xex=-ex(2x2+4x-a),??????6 分 当 x∈R 时,F(x)在减函数, ∴F′(x)≤0 对于 x∈R 恒成立,即 -ex(2x2+4x-a)≤0 恒成立,?????????????8 分 ∵ex>0, ∴2x2+4x-a≥0 恒成立, ∴△=16-8(-a) ≤0, ∴a≤-2.????????????????????9 分 (III)当 a=-3 时,F(x)= -3ex-1-2x2ex, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2)是 F(x)曲线上的任意两点, ∵F′(x)= -ex(2x2+4x+3) =-ex[2(x+1)2+1]<0,??????????????11 分 ∴ F′(x1)·F′(x2)>0, ∴F′(x1)·F′(x2)= -1 不成立.????????????12 分 ∴F(x)的曲线上不存的两点,使得过这两点的切线点互相垂直.????13 分 1 , 3 , 5

·9 ·


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