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安徽省“江南十校”2016年高三学生冲刺联考(二模)数学(文)试题 Word版含答案


文科数学
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? {x | ? x2 ? x ? 6 ? 0, x ? Z} , B ? {1,2,3} ,则 A ? B ? ( A. {?2,?1,0,1} 2.复数 z ? A. B. {1,2,3} C. {0,1} D. {1} )

11 5

5?i 的虚部为( ) 1 ? 2i 11 11 B. i C. ? 5 5

D. ?

11 i 5

3.已知 {an } 是公比为 2 的等比数列,S n 为数列 {an } 的前 n 项和, 若( 则 a3 ? 2 S6 ? 1) ? a7 , ( A.1 ) B.2 C.3 D.4

4.已知命题 p : ?? ? R ,使得 sin ? ? 2 cos ? ? 3 ;命题 q : ?x ? (0, 判断正确的是( A. p 为真 ) B. ? q 为假 C. p ? q 为真

?
2

), x ? sin x ,则下列

D. p ? q 为假

?2 x ? y ? 4 ? 0 ? 5.若 x , y 满足约束条件 ?2 x ? 3 y ? 3 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为( ?x ? 4 y ? 4 ? 0 ?
A.



19 8

B.4

C.5

D.

46 5

6.若新高考方案正式实施,甲,乙两名同学要从政治,历史,物理,化学四门功课中分别选 取两门功课学习,则他们选择的两门功课都不相同的概率为( A. )

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3
) D. 112? 2 29?

7.如果一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A. 80 ?

20 ? 3

B. 80 ?

20 ? 3

C. 112? (2 29 ? 4)?

1

8.已知边长为 2 的等边向量 ?ABC ,其中点 P, Q, G 分别是边 AB, BC, CA 上的三点,且

1 1 1 AB , BQ ? BC , CG ? CA ,则 PQ ? PG ? ( 2 3 4 3 5 7 11 A. B. C. D. 4 12 12 12 AP ?



9.已知定义在 R 上的奇函数 y ? f ( x) ,对于 ?x ? R 都有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,当

? 1 ? x ? 0 时, f ( x) ? log2 (? x) ,则函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 在 (0,8) 内所有的零点之和为
( A.6 ) B.8 C.10 D.12 )

10.如果函数 y ? A. [?6,0)

1 ? ? sin ?x 在区间 [ ? , ] 上单调递减,那么 ? 的取值范围为( 2 8 12
B. [?4,0) C. (0,4] D. (0,6]

2 11.抛物线 y ? 4 x 的准线与 x 轴相交于点 P ,过点 P 作斜率 k (k ? 0) 的直线交抛物线于

A, B 两点, F 为抛物线的焦点,若 | FA |? 3 | FB | ,则直线 AB 的斜率 k ? (
A.



3 3

B.

3 2

C.

2 3 3

D.

2 3


12.已知函数 f ( x) ? ? A. {?2,3,5}

?3 ? log2 ( x ? 1), x ? 0
2 ? x ? x ? 1, x ? 0

若 f (a) ? 5 ,则 a 的取值集合为( D. {3,5}

B. {?2,3}

C. {?2,5}

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
3 13.已知函数 f ( x) ? x ? x ? 2 ,则 f ( x ) 在 [0,1] 上的最小值为

. .

14.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果是

2

15.在数列 {an } 中,a1 ? ?11 ,2an ? 2an ?1 ? 3(n ? 2) ,S n 为数列 {an } 的前 n 项和,则 S n 的 最小值为 16.已知双曲线 .

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,其左,右焦点分别为 F1 , F2 ,若以右焦点 a 2 b2

F2 (c,0)(c ? 0) 为圆心作半径为 c 的圆与双曲线的右支的一个交点为 M ,且直线 F1M 恰好
与圆相切,则双曲线的离心率为 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知

2 cos 2

A ? (cos B ? 3 sin B) cos C ? 1. 2

(1)求角 C 的大小; (2)若 c ? 2 3 ,且 ?ABC 的面积为 3 ,求 a , b 的值. 18.某数学老师对所任教的两个班级各抽取 30 名学生进行测试,分数分布如下表: (1)若成绩 120 分以上(含 120 优秀 参加测试的成绩在 90 分以上(含 甲班 机任取 2 名学生,恰有 1 人为优秀 乙班 (2)根据以上数据完成下面的 2× 总计 小于 0.1 的前提下,是否有足够的 成绩优秀与否和班级有关? 分数区间 4 5 把握认为学生的数学 2 列联表,则犯错概率 的概率; 不优秀 总计 90 分)的学生中,随 分) 为优秀, 求从乙班

3

[0,30) [30,60) [60,90) [90,120) [120,150]

0 .1
0 .2

0 .2 0 .2

0 .3

0 .4

0 .2
0 .2

0 .1
0 .1

参考公式: K ?
2

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

下面的临界值供参考:

19.如图所示的多面体中,已知菱形 ABCD 和直角梯形 ACEF 所在的平面互相垂直,其中

?FAC 为直角, ?ABC ? 60? , EF // AC , EF ?
(1)求证: DE ? 平面 BEF ; (2)求多面体 ABCDEF 的体积.

1 AB ? 1, FA ? 3 . 2

20.已知 ?ABC 的三个顶点坐标分别为 A(?1,0), B(2,3),C(1,2 2 ) ,且定点 P(1,1) . (1)求 ?ABC 的外接圆的标准方程; (2)若过定点 P 的直线与 ?ABC 的外接圆交于 E , F 两点,求弦 EF 中点的轨迹方程.

4

21.已知函数 f ( x) ? 轴.

b ? ax ? (1 ? a) ln x , a ? R ,且 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线垂直于 y x
1 处的切线方程; 2

(1)若 a ? ?1 ,求 y ? f ( x) 在 x ?

(2)讨论 f ( x) 在 (0,??) 上的单调性.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,在 ?ABC 中, CD 是 ?ACB 的角平分线, ?ACD 的外接圆交 BC 于 E 点. (1)证明:

AC AD ? ; BC BD
BE 的值. EC

(2)若 2 AD ? BD ? AC ,求

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以 O 为极点, C 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,取相同的长度单

? 2 x ? 3? t ? ? 2 位.已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 5 sin ? ,直线 l 的参数方程为 ? (t 为 2 ?y ? 5 ? t ? 2 ?
参数). (1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)若点 P(3, 5 ) ,直线 l 与曲线 C 相交于 M , N 两点,求 | PM | ? | PN | 的值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ?

1 3 | ?a | x ? | . 2 2

(1)当 a ? ?1 时,解不等式 f ( x) ? 3x ; (2)当 a ? 2 时,若关于 x 的不等式 2 f ( x) ? 1 ?| 1 ? b | 的解集为空集,求实数 b 的取值范 围.
5

2016 年“江南十校”高三学生冲刺联考(二模) 文科数学参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 答案 1 D 2 C 3 D 4 B 5 B 6 A 7 C 8 B
[

9 D

10 B

11 B

12 C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 2 ?

2 3 ; 9

14.0;

15. ? 46 ;

16. 3 ? 1

三、解答题:本大题共 6 个题,共 70 分. 17.解: (1)由题意得, 1 ? cos A ? (cosB ? 3 sin B) cosC ? 1,

(2)∵

1 1 3 ab ? ? 3 , ∴ ab ? 4 , 又 c ? 2 3 , ∴ a 2 ? b 2 ? 2ab ? (? ) ? 12 ,∴ 2 2 2

a ?b ? 4.
解得 a ? 2, b ? 2 . 18. 解: (1) 乙班参加测试的成绩在 90 分以上 (含 90 分) 的学生有 6 人, 记为 A, B, C, D, E, F ,

6

其中成绩优秀的有 3 人, 记为 A, B, C , 从这 6 名学生中随机 优秀 甲班 乙班 总计 6 3 9 不优秀 24 27 51 总计 30 30 60 共 15 个. 设事件 G 表示恰有 1 人为优秀,则 G 包含的事件有 抽取 2 名的基本事件有

{ A, B}, { A, C}, { A, D}, { A, E}, { A, F}, {B, C}, {B, D}, {B, E}, {B, F}, {C , D}, {C {C , F}, {D, E}, {D, F}, {E, F}

{A, D}, {A, E}, {A, F}, {B, D}, {B, E}, {B, F}, {C, D}, {C, E}, {C, F}
共 9 个. 所以 P (G ) ?

3 . 5

(2)由题意,甲班有 6 人成绩为优秀,乙班有 3 人成绩为优秀,2×2 列联表如下:

n(ac ? bd)2 ∴K ? ? 1.176? 2.706. (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

在犯错概率小于 0.1 的前提下,没有足够的把握认为学生的数学成绩优秀与否和班级有关. 19. (1)证明:连接 BD 交 AC 于 O 点,连接 EO .
? 因为 ?ABC ? 60 ,且四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ? AB ? 2 AO .

又 EF // AC ,EF ?

1 AB ? 1 ,?FAC 为直角, 所以四边形 AOEF 为矩形, 则 EO ? AC , 2
, 所 以 EF ? ED , 因 为

由四边形 ABCD 为菱形得 BD ? AC , 又 EO ? CO ? O , 所以 AC ? 平面 ODE , 而 ED ? 平 面 ODE , 则 AC ? ED , 又 EF // AC

? ? 故 ?BEO ? ?DEO ? 45 , 则 ?BED ? 90 , 即 ED ? BE , BO ? AF ? EO ? OD ? 3 ,

又 EF ? BE ? E ,所以 DE ? 平面 BEF . ( 2 ) 解 : 由 ( 1 ) 知 ,

BD ?





A C E ,F 所 以

7

1 1 VABCDEF ? VB ? ACEF ? VD ? ACEF ? 2 ? ? [ (1 ? 2) ? 3 ] ? 3 ? 3 . 3 2

20.解: (1)由题意得 AB 的中点坐标为 (0, 2 ) ,k AC ? 2 , AC 中垂线的斜率为 ?

2 , 2

3 1 ? y ? ? ?( x ? ) ? ?x ? 2 2 2 ? 由? 得? ,∴ ?ABC 的外接圆圆心为 (2,0) ,半径 r ? 2 ? 1 ? 3 ,故 ? y? ? 2 ? ? 2 x ? y ? 0 ? 2 ?
?ABC 外接圆的标准方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 9
(2)设弦 EF 的中点为 M ,坐标为 ( x, y ) , ?ABC 外接圆的圆心 N ,则 N (2,0) 由垂径定理的推论知 MN ? MP ,即 MN ? MP ? 0 , ∴ ( x ? 2, y) ? ( x ? 1, y ? 1) ? 0 ,故弦 EF 中点的轨迹方程为 ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2 2

3 2

1 2

1 . 2

b 1? a ?a? ,由题意 f ' (1) ? ?b ? a ? 1 ? a ? 0 ,故 b ? 1 2 x x 1 1 5 1 1 (1) 若 a ? ?1 ,f ( x) ? ? x , 则 f( )? , 因为 f ' ( x ) ? ? 2 ? 1 , 所以 k ? f ' ( ) ? ?3 , x 2 2 x 2 5 1 故所求切线方程为 y ? ? ?3( x ? ) ,即 y ? ?3x ? 4 . 2 2
21.解: f ' ( x) ? ? (2) f ' ( x) ? ?

b 1 ? a ? ax2 ? (1 ? a) x ? 1 ? (ax ? 1)(x ? 1) ? a ? ? ? , x2 x x2 x2

当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 得 x ? 1 ,则 f ( x) 在 (0,1] 上单调递减,在 (1,??) 上单调递增; 当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? 递增; 当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ?

1 ,则 f ( x) 在 (0,1] 上单调递减,在 (1,??) 上单调 a 1 1 1 ,若 0 ? a ? 1 ,则 1 ? ,则 f ( x) 在 (1, ) 内单 a a a

8

调递增,在 (0,1] 和 [ ,?? ) 上单调递减;

1 a

1 ? 1 , f ( x) 在 (0,??) 上单调递减; a 1 1 1 当 a ? 1 ,则 ? 1 ,则 f ( x) 在 ( ,1) 内单调递增,在 (0, ] 和 [1,??) 上单调递减. a a a
若 a ? 1 ,则 请考生在 22~24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. ( 1 ) 证 明 : 延 长 CD 至 F , 连 接 BF , 使 得 BF ? BD . 因 为 BF ? BD , 所 以

?BFD ? ?BDF ,又 ?BDF ? ?ADC ,所以 ?BFD ? ?ADC
又 因 为 CD 是 ?ACB 的 角 平 分 线 , 故 ?ACD ? ?BCF , 则 ?CAD ∽ ?CBF , 所 以

AC AD AC AD ? ? ,又 BF ? BD ,所以 . BC BF BC BD
( 2 )解:∵ CD 是 ?ACB 的角平分线, 2 AD ? BD ? AC ,∴

BC BD ? ? 2 ,所以 AC AD 3 AD , 2

BC ? 2 AC ? 4 AD , 由 圆 的 割 线 定 理 得 , BE ? BC ? BD ? BA , ∴ BE ?

BC ? 4 AD ?

BE 3 3 5 ? . AD ? AD ,∴ EC 5 2 2

23.解:(1)由 ? ? 2 5 sin ? 得曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 5 y ? 0 . 在直线 l 的参数方程中,用代入法消去参数 t ,得直线 l 的普通方程为 x ? y ? 3 ? 5 ? 0 .

? 2 x ? 3? t ? ? 2 ( 2 )直线 l 的 参 数方程 为 ? ( t 为 参 数) 代入 x2 ? y 2 ? 2 5 y ? 0 , 得 ?y ? 5 ? 2 t ? 2 ?
t 2 ? 3 2t ? 4 ? 0 ? 0 ,设点 M , N 对应的参数分别为 t1 , t2 ,则 t1 ? t2 ? 3 2, t1 ? t2 ? 4 ,∴

| PM | ? | PN |?| t1 | ? | t2 |?| t1 ? t2 |? 3 2 .
24. (1)当 a ? ?1 时,不等式 f ( x) ? 3x 可化为

1 3 3 ? ? 1 ? x ? ? ? ? x ? x ? ? ? 4 ? ? ? ? 4 2 2 或? 或? , 解得 ? 1 3 1 3 ?? (2 x ? ) ? ( x ? ) ? 3 x ?(2 x ? ) ? ( x ? ) ? 3 x ?(2 x ? 1 ) ? ( x ? 3 ) ? 3 x ? ? ? 2 2 2 2 2 2 ? ? ?
?
3 1 1 1 3 1 ? x ? ? 或 ? ? x ? 或 x ? ,故不等式 f ( x) ? 3x 的解集为 {x | x ? ? } . 2 4 4 2 2 2

(2)当 a ? 2 时, f ( x) ?| 2 x ?

1 1 7 1 3 | ? | 2 x ? 3 |?| (2 x ? ) ? (2 x ? 3) |? ( ? ? x ? 时取 2 2 2 4 2

9

等号),则 [2 f ( x) ? 1]min ? 2 ?

7 ? 1 ? 8 ,不等式 2 f ( x) ? 1 ?| 1 ? b | 的解集为空集等价于 2

| 1 ? b |? 8 ,解得 ? 7 ? b ? 9 ,故实数 b 的取值范围是 [?7,9] .

10


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