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浙江省杭州二中2013-2014学年高一上学期期末数学试卷 Word版含答案


2013学年第一学期杭州二中高一年级数学期末试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 U ? ? x 0 ? x ? 6, x ? Z ? ,A={1,3,6},B={1,4,5},则 A∩(CUB)=( A.{3,6} 2.设 f ( x) ? ? A.0 B.{4,5}

C.{1} ) D.{1,3,4,5,6} )

x ?1 ? ? 2e , ( x ? 2) ,则 f ( f (2)) 的值为 ( 2 log ( x ? 1), ( x ? 2) ? ? 3

B.1 C.2 D.3 ? ? ? ? ? ? ? ? 3.已知向量 a , b 满足 a ? b ? 2 , a 与 b 的夹角为 120? ,则 a ? b 的值为 ( ) A.1 B. 3 C. 3 2 是( ) B.第一或第三象限的角 D.第二或第四象限的角 ) D. 2 3

4.若 ? 是第三象限的角, 则 ? ? A.第一或第二象限的角 C.第二或第三象限的角

?
2

? 5.要得到函数 y ? cos( x ? ) 的图象,只需将函数 y ? sin x 的图象( 3
? 个长度单位 6 5? C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移 B.向右平移

? 个长度单位 6 5? D.向右平移 个长度单位 6

6.一种波的波形为函数 y ? ? sin( ? x) 的图象,若其在区间[0,t ]上至少有 2 个波峰(图象

2

的最高点) ,则正整数 t 的最小值是( ) A.5 B.6 C .7 D.8 7.如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗盛满液体,经过 3 分 钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量,H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离,则 H 与下落时间 t(分)的函数关系表示的图象只可能是 ( )

8.已知 ? 终边上一点的坐标为( 2sin 3, ?2cos3), 则 ? 可能是( A. 3 ?

) D.

?
2

B.3

C. ? ? 3

?
2

?3

1

9.已知函数 f ( x) 是定义在 ( ? 3 , 3 ) 上的奇函数,当 0 ? x ? 3 时, f ( x) 的图象如图所示,则 不等式 f ( x)cos x ? 0 的解集是( ) ? ? ? ? y A. (?3, ? ) ? (0,1) ? ( ,3) B. (? , ?1) ? (0,1) ? ( ,3) 2 2 2 2 ? C. (?3, ?1) ? (0,1) ? (1,3) D. (?3, ? ) ? (0,1) ? (1,3) 2 1 2 sin x ? cos x ? 2 x2 ? x 10. 已知函数 f ( x) ? 的最大值是 ,最小值为 ,则 N M 2 x2 ? cos x ( ) A. M ? N ? 4 B. M ? N ? 4 C. M ? N ? 2 D. M ? N ? 2

x
3

o

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分. 11. cos600 ? 的值为 .

? 12.电流强度 I (安)随时间 t (秒)变化的函数 I ? A sin(?t ? ) 6
( A ? 0 ,? ? 0 )的图象如图所示,则当 t ?
1 秒时,电流强 50

度是 安. 13.函数 f ( x) ? x ? sin x 的零点个数为 . ??? ? ??? ? ???? 14. 如图所示,在 ?ABC 中, BC ? 2 BD, AD ? AB, AD ? 1 ,
???? ???? 则 AC ? AD ?

A



B

D

C

15.关于 x 的方程 k ? 4x ? k ? 2x ?1 ? 6(k ? 5) ? 0在区间 [ 0 ,1 ] 上有解,则实数 k 的取值范围是 ________. 16.设符号 ? f (i) ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? ??? ? f (n) ,令函数 I (n) ? ? sin(i ?
i ?1 i ?1 n n

?
2

?

?
4

),

L(n) ? ? cos(i ?
i ?1

n

2? ? ? ) ,则 I (2013) ? L(2014) ? 3 6



17.关于 x 的不等式 (sin x ? 1) sin x ? m ? 是 .

1 ? ? m 对 x ? [0, ] 恒成立,则实数 m 的取值范围 2 2

2

2013 学年第一学期杭州二中高一年级数学期末答卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四项中,只有一 项是符合题目要求的. 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

三、解答题:本大题共4小题.共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

? 18. (本题满分 9 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 , 3
(Ⅰ)用“五点法”画出该函数在一个周期内的简图; (Ⅱ)写出该函数的单调递减区间.

3

19. (本题满分 10 分)已知 O 为坐标原点,点 A(2,0), B(0, 2), C(cos ? ,sin ? ) ,且 0 ? ? ? ? . ???? ??? ? 7 (Ⅰ)若 AC ? BC ? ,求 tan ? 的值; 5 ??? ? ???? (Ⅱ)若,求 OB 与 OC 的夹角.

20. (本题满分 11 分) (Ⅰ)化简 f (? ) ; (Ⅱ)设 g (? ) ? f (?? ) ?

已知 ? 为第三象限角, f (? ) ?

1 ? sin ? 1 ? sin ? , ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

2 ,求函数 g (? ) 的最小值,并求取最小值时的 ? 的值. tan ?

4

1 21. (本题满分 12 分) 已知 a ? R ,设函数 g ( x) ? lg 2 x ? 2a lg x ? 4 ( x ?[ , ??)) 的最小值 10 为 h(a). (Ⅰ)求 h(a) 的表达式; (Ⅱ)是否存在区间 [m, n] ,使得函数 h(a) 在区间 [m, n] 上的值域为 [2m, 2n] ?若存在,求出

m, n 的值;若不存在,请说明理由.

5

2013 学年第一学期杭州二中期末考试高一年级数学参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四项中,只有一 项是符合题目要求的. 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 B 5 C 6 C 7 B 8 A 9 B 10 D

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分. 11.

?

1 2

12.

5

13.

1

14.

2

15.

[5, 6]

16.

2? 3 2

17.

1 3 (??, ] ? [ , ??) 2 2

三、解答题:本大题共4小题.共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

? 18. (本题满分 9 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 , 3
(Ⅰ)用“五点法”画出该函数在一个周期内的简图; (Ⅱ)写出该函数的单调递减区间. 解: (Ⅰ)列表,描点,连线

2x ?
x y

?
3

0

?
1

?
6

? 2 ? 12
3

?
? 3
1

3? 2 7? 12
-1

2?
5? 6
1

(Ⅱ)单调递减区间: 或结合图象得: [

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?

3? ? 2k? , k ? Z , 2

?

12

? k? ,

7? ? k? ](k ? Z ) 12

19. (本题满分 10 分)已知 O 为坐标原点,点 A(2,0), B(0, 2), C(cos ? ,sin ? ) ,且 0 ? ? ? ? . ???? ??? ? 7 (Ⅰ)若 AC ? BC ? ,求 tan ? 的值; 5 ??? ? ???? ??? ? ???? (Ⅱ)若 | OA ? OC |? 7 ,求 OB 与 OC 的夹角.
???? ??? ? 7 1 解: (1) AC ? BC ? , ? sin ? ? cos ? ? ? 5 5 ? sin ? cos ? ? ? 12 ? , ? 0 ? ? ? ? ,? cos ? ? 0. ?? ? ( , ? ) 25 2

6

? sin ? ? cos ? ? (sin ? ? cos ? )2 ?

7 , 5

3 ? sin ? ? ? 3 ? 5 ? tan ? ? ? . ? 4 ?cos ? ? ? 4 ? 5 ? ??? ? ???? (2)因为 | OA ? OC |? 7 ,两边平方得到
??? ? ???? OB ? OC 3 ? ? ???? ? ? cos ? ? ??? ?? ? . 6 | OB || OC | 2

??? ? ???? ? O A? O C ?1? 2 c o ?s?? ? , 3

20. (本题满分 11 分) (Ⅰ)化简 f (? ) ; (Ⅱ)设 g (? ) ? f (?? ) ? 解: (Ⅰ) f (? ) ?
?

已知 ? 为第三象限角, f (? ) ?

1 ? sin ? 1 ? sin ? , ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

2 ,求函数 g (? ) 的最小值,并求取最小值时的 ? 的值. tan ?

1 ? sin ? 1 ? sin ? (1 ? sin ? )2 (1 ? sin ? ) 2 ? ? ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? (1 ? sin ? )(1 ? sin ? ) (1 ? sin ? )(1 ? sin ? )

1 ? sin ? 1 ? sin ? 2sin ? ? ? cos ? cos ? cos ?
2 1 1 ? 2(tan ? ? ) ? 2( tan ? ? )2 ? 4 ? 4 tan ? tan ? tan ?

又 ? 为第三象限角,则 f (? ) ? ?2 tan ? (Ⅱ) g (? ) ? f (?? ) ?
1 tan ?

当 tan ? ? 值为 4.

, tan ? ? 1 ,即 ? ? 2k? ?

5 ? (k ? Z ) 时,取等号,即 g (? ) 的最小 4

1 21. (本题满分 12 分) 已知 a ? R ,设函数 g ( x) ? lg 2 x ? 2a lg x ? 4 ( x ?[ , ??)) 的最小值 10 为 h(a). (Ⅰ)求 h(a) 的表达式; (Ⅱ)是否存在区间 [m, n] ,使得函数 h(a) 在区间 [m, n] 上的值域为 [2m, 2n] ?若存在,求出

m, n 的值;若不存在,请说明理由.
解: (Ⅰ) f ( x) ? lg x, x ? [

1 , ??) 则 f ( x) ?[?1, ??) 10

g ( x) ? lg 2 x ? 2a lg x ? 4 ? (lg x ? a) 2 ? 4 ? a 2
当 a ? ?1 时, h(a) ? (?1 ? a) ? 4 ? a ? 5 ? 2a ;
2 2

当 a ? ?1 时, h(a) ? 4 ? a .
2

7

综上得 h( a ) ? ?

?5 ? 2a, ( a ? ?1)
2 ; ? 4 ? a , ( a ? ?1)

(Ⅱ)显然, h(a) ? 4 ,则 2n ? 4 ? n ? 2, m ? n, m ? 2 . (1)当 n ? ?1 ,函数在此区间递增,则 ?

?5 ? 2 m ? 2 m ,显然不符; ?5 ? 2 n ? 2 n

(2)当 ?1 ? n ? 0 , (ⅰ)当 m ? ?1 ,函数在此区间递增,则 5 ? 2m ? 2m ,显然不符; (ⅱ)当 ?1 ? m ? 0 ,则 ?

? 4 ? m 2 ? 2m ? ? m ? n ? ?2 ,显然不符; 2 ? ? 4 ? n ? 2n

(3)当 0 ? n ? 2 , (ⅰ)当 m ? ?1 ,则 5 ? 2m ? 2m ,显然不符;

? 4 ? m 2 ? 2m ? ? m ? ?1 ? 5 ?? (ⅱ)当 ?1 ? m ? 0 ,函数在此区间递增,则 ? ,显然 ? ? 4 ? 2n ?n ? 2
不符; (ⅲ)当 0 ? m ? 2 ,函数在此区间递减,则 ? 综上,存在符合题意的 m, n ,且 m ? 0, n ? 2 .

? 4 ? m 2 ? 2n ? m ? 0 ? ?? ,符合题意. 2 n ? 2 4 ? n ? 2 m ? ? ?

8


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