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2017届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期第一次月考数学(理)试题


石嘴山市三中 2016-2017 学年度高三年级第一次月考

数学(理科)试卷
(考试时间:120 分钟 满分 150 分) 【命题人:赵虎】 一、 选择题:(每小题 5 分,在每个小题只有一项是符合要求的) 1.已知向量 a ? ? m,1? , b ? ? m 2 , 2 ? .若存在 ? ? R ,使得 a ? ? b ? 0 ,则

m?(
? ?

?

?

?

). B. -2
?3 ? i 的共轭复数是( 2?i

A. 0 2.复数 z ?

C.0 或 2 ). C. ?1 ? i
2
? 3 ?

D.2

A. 2 ? i
? 3?

B. 2 ? i
5

D. ?1 ? i ). D. ). D.3 ).
3 5

2? ? ?? 4 3 ? ? 3.已知 sin ? , ? ? ? ? 0 ,则 cos ? ? ? ??( ? ? ? ? ? sin ? ? ?

A. ?

4 5

B.

4 5

C. ?
1 ? an 1 ? an

3 5

4.在数列 ?an ? 中, a1 ? ?2, an?1 ? A.-2 B. ?
1 3

,则 a2016 ? (
C.
1 2

5.给出下列四个命题:其中正确命题的个数是(
k? 3? ?? ? ,k ?Z ; ① f ( x) ? sin ? ? 2 x ? ? 的对称轴为 x ?

?

4?

2

8

②函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 最大值为 2; ③函数 f ( x) ? sin x cos x ?1 的周期为 2? ;

[]

?? ? ? ?? ④函数 f ( x) ? sin ? ? x ? ? 在 ? ? , ? 上是增函数. 4? ? ? 2 2?

A.1

B.2

C.3

D.4 ).

6.已知 a1 ? 1, an ? n ? an ?1 ? an ? ? n ? N * ? ,则数列 ?an ? 的通项公式是(

A. n

B. ? ?

n ?1 ? ? ? n ?

n ?1

C. n2

D. 2n ? 1

7.在△ABC 中, 若 sin( A ? B) ? 1 ? 2cos( B ? C )sin( A ? C ) ,则△ABC 的形状一 定是( ). B.等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角

A.等边三角形 三角形

8.数列 ?an ? 中, an ? n ? n ? 1 , Sn ? 9 则 n ? ( , A.97 B.98 C.99

1

). D.100 ).. 4 D.-3
3

9.已知 α∈R, ? ? R,sin ? ? 2cos ? ? 3 A.-4 3 B.4

10 ,则 tan 2? ? ( 2

4 C.3

? 10.设函数 f ( x) ? cos ? x(? ? 0) , 将 y ? f ( x) 的图象向右平移 个单位长度

后,所得的 图象与原图象重合,则 ? 的最小值等于( A.5 B.6 C.7 ). D.8

11.已知 O 是 ?ABC 所在平面内的一点,动点 P 满足
??? ? ???? ? ? ??? ? ??? ? AB AC ? ? , ? ? (0, ??) ,则动点 P 的轨迹一定通过 OP ? OA ? ? ??? ? ???? ? ? AB cos B AC cos C ? ? ?
?ABC 的(

). B.重心 C.内心 D.外

A.垂心 心

12.在等比数列 ?an ? 中, 0 ? a1 ? a4 ? 1 ,则能使不等式
? ? 1? ? 1? ? 1? 1 ? a1 ? ? ? ? a2 ? ? ? ? a3 ? ? ? ??? ? ? an ? a1 ? ? a2 ? ? a3 ? an ? ? ? ? ? 0 成立的最大正整数 n 是 ?

(

). A.5 B.6 C.7 D.8

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.曲线 y ? 2 x ? ln x 在点(1,2)处的切线方程是 .

14.如图,嵩山上原有一条笔直的山路 BC,现在又 新架设了一条索道 AC, 小李在山脚 B 处看索道 AC, 发现张角∠ABC=120° ;从 B 处攀登 400 米到达 D 处,回头看索道 AC,发现张角∠ADC=150° ;从 D 处再攀登 800 米 方到达 C 处,则索道 AC 的长为________米. 15.复数 z1, z2 满足 z1 ? m ? (4 ? m2 )i, z2 ? 2cos? ? (? ? 3sin? )i,(m, ?,? ? R) ,并 且 z1 ? z2 ,则 ? 的取值范围是______________.
n ? n 16.已知数列 ?an ? 满足递推关系式 an?1 ? 2an ? 2n ? 1(n ? N * ) ,且 ? ? 2 ?为

?a ? ? ?

等差数列,则 ? 的值是 _________. 三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17.(本小题满分 10 分)在 ?ABC 中, AC ? 6,cos B ? 5 , C ? 4 . (I)求 AB 的长; (II)求 cos ? A ? 6 ? 的值.
? ? ?
4

?

??

? ? 18.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos2 x . 3? 3 3 ? 3 3

?

(I)求 f ( x ) 的最小正周期及其图象的对称轴方程; (II) 将函数 f ( x ) 的图象向右平移 个单位长度, 得到函数 g ( x ) 的 图象,求
? ? ?? g ( x ) 在区间 ? ? , ? 上的值域. ? 6 3? .

? 3

19.(本小题满分 12 分)在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,且 a2 是 a1 与 a3 ? 1 的 等差中项. (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 bn ?
和 Sn .

n(n ? 1)an ? 1 ,(n ? N * ) .求数列 ?bn ? 的前 n 项 n(n ? 1)

20 . ( 本小题满分 12 分 ) 已知数列 ?an ? , Sn 是其前 n 项和,且满足 . 3an ? 2Sn ? n ( n ? ?? )
1? (I)求证:数列 ? ? an ? ? 是等比数列; ? 2?

(II)记 ?n ? S1 ? S2 ???? ? Sn ,求 ?n 的表达式. 21.(本小题满分 12 分)已知函数
? ? ? f ( x ) ? A sin(? x ? ? ), ? A ? 0, ? ? 0, ? ? , x ? R ? 2 ? ?

的图象的一部分如图所示.

(I)求函数 f(x)的解析式;

(II)当 x ? ? ?6, ? 3 ? 时,求函数 y ? f ( x) ? f ( x ? 2) 的最大值与最小值及
?

? ?

2?

相应的 x 的值.

22.(本小题满分 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 2,a2 ? 8 ,
Sn?1 ? 4Sn?1 ? 5Sn ,(n ? 2, 且n ? N * ) , Tn 是数列 ?log2 an ? 的前 n 项和.

(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)求 Tn .
1 ? ? ? 1 ? ? ? 1? ? ??? ? 1? ? ? n ( III )求满足 ? T3 ? T 4 ? Tn 2013 的最大整数 的 ? T2 ? ? ? ? ? ? 1 ?? 1 ?? 1? ? 1? 1010

值.

石嘴山市三中 2016-2017 学年度高三年级第一次月考

数学(理科)试卷
(考试时间:120 分钟 满分 150 分) 【命题人】 二、 选择题:(每小题 5 分,在每个小题只有一项是符合要求的) 1.已知向量 a ? ? m,1? , b ? ? m 2 , 2 ? .若存在 ? ? R ,使得 a ? ? b ? 0 ,则
m?(
? ?

?

?

?

). B. -2 C.0 或 2

A. 0 D.2

【解析】选 C. ∵a=(m,1),b=(m2,2),a+λb=0,∴(m+λm2,1+2λ)
2 ?λ=- , ? ?m+λm =0, 2 ? =(0,0),即 解得? ? ?1+2λ=0,

1

?m=0或2.
). C. ? 1 ? i

2.复数 z ?

?3 ? i 的共轭复数是( 2?i

A. 2 ? i D. ?1 ? i 【解析】选 D

B. 2 ? i

2? ? ?? 4 3 ? ? 3.已知 sin ? , ? ? ? ? 0 ,则 cos ? ? ? ??( ? ? ? ? ? sin ? ? ?

?

3?

5

2

?

3 ?

).

A. ? D.

4 5

B.

4 5

C. ?

3 5

3 5

? π? 4 3 π 【解析】选 B ∵sin?α + ?+sinα =- ,- <α <0, 3? 5 2 ?

3 3 4 3 3 1 4 ∴ sinα + cosα =- ,∴ sinα + cosα =- . 2 2 5 2 2 5

? 2π ? 2π 2π 1 3 ∴cos?α + ?=cosα cos -sinα sin =- cosα - sinα 3 ? 3 3 2 2 ?

4 = . 5 答案 B 4.在数列 ?an ? 中, a1 ? ?2, an?1 ? A.-2 B. ?
1 ? an 1 ? an
1 3

,则 a2016 ? (
C.
1 2

)[. D.3

1 1 【解析】选 D.由条件可得:a1=-2,a2=-3,a3=2,a4=3,a5= 1 -2,a6=-3,…,所以数列{an}是以 4 为周期的数列,所以 a2016= a4=3. 5.给出下列四个命题:其中正确命题的个数是(
k? 3? ?? ? ,k ?Z ; ① f ( x) ? sin ? ? 2 x ? ? 的对称轴为 x ?

)[.

?

4?

2

8

②函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 最大值为 2; ③函数 f ( x) ? sin x cos x ?1 的周期为 2? ;
?? ? ? ?? ④函数 f ( x) ? sin ? ? x ? ? 在 ? ? , ? 上是增函数. 4? ? ? 2 2?

A.1 【解析】选 B ∈Z),

B.2

C.3

D.4

π π kπ 3π ①由 2x- =kπ + ,k∈Z,得 x= + (k 4 2 2 8

π kπ 3π 即 f(x)=sin(2x- )的对称轴为 x= + ,k∈Z,正确; 4 2 8

π ②由 f(x)=sinx+ 3cosx=2sin(x+ )知,函数的最大值为 2,正 3 确; 1 ③f(x)=sinxcosx-1= sin2x-1, 函数的周期为π , 故③错误; ④ 2 π π 函数 f(x)=sin(x+ )的图象是由 f(x)=sinx 的图象向左平移 个 4 4 单位得到的,故④错误. 6.已知 a1 ? 1, an ? n ? an ?1 ? an ? ? n ? N * ? ,则数列 ?an ? 的通项公式是( A. n
n ?1 ? B. ? ? ? ? n ?
n ?1

).

C. n 2

D. 2n ? 1

【解析】选 A.法一:由已知整理得(n+1)an=nan+1, ∴ an+1 an an = n ,∴数列{ n }是常数列. n+1

an a1 且 n = 1 =1,∴an=n. 法二:(累乘法)n≥2 时, an-1 n-1 = , an-2 n-2 … a3 3 a2 2 an = , = , 两边分别相乘得 a2 2 a1 1 a1=n. 又∵a1=1,∴an=n. 7.在△ABC 中, 若 sin( A ? B) ? 1 ? 2cos( B ? C )sin( A ? C ) ,则△ABC 的形状一 定是( ). B.不含 60°的等腰三角形 an n = , an-1 n-1

A.等边三角形

C.钝角三角形

D.直角三角形

【解析】D sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)=1-2cosAsinB, ∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosA·sinB,∴sinAcosB+cosAsinB =1,即 sin(A+B)=1, π 则有 A+B= ,故三角形为直角三角形.答案 D 2 8.数列 ?an ? 中, an ? A.97 D.100 【解析】选 C .an= 1 = 2n ? 1 n+1- n, n+1+ n
1 n ? n ?1 , Sn ? 9 ,则 n ? (

)[. C.99

B.98

∴Sn=( 2- 1)+( 3- 2)+…+( n+1- n) = n+1-1=9, ∴n=99. 答案:99 9.已知 α∈R, ? ? R,sin ? ? 2cos ? ? 3 A.-4 3 B.4
10 ,则 tan 2? ? ( 2

)[ . 4 D.-3

4 C.3 10 , 2

【解析】 A 解析 ∵sin α +2cos α = 5 ∴sin2α +4sin α ·cos α +4cos2α = . 2

sin 2α 用降幂公式化简得:4sin 2α =-3cos 2α ,∴tan 2α = = cos 2α 3 - . 4
? 10.设函数 f ( x) ? cos ? x(? ? 0) ,将 y ? f ( x) 的图象向右平移 个单位长
3

度后,所得的图象与原图象重合,则 ? 的最小值等于( A.5 B.6 C.7

). D.8

【解析】 B [解析]解:∵y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后 所得:y=cosω(x﹣ )=cos(ωx﹣ ) ;

∵函数图象平移 个单位长度后,所得的图象与原图象重合, 说明函数平移整数个周期,就是 2π 的整数倍, 所以 =2kπ 所以 ω=6k,k∈Z; ω>0
[]

∴ω 的最小值等于:6. 故答案为:6.

11.已知 O 是 ?ABC 所在平面内的一点,动点 P 满足
??? ? ???? ? ? ??? ? ??? ? AB AC ? ? , ? ? (0, ??) ,则动点 P 的轨迹一定通过 OP ? OA ? ? ??? ? ???? ? ? AB cos B AC cos C ? ? ?
?ABC 的(

). B.重心 C.内心 D.外心

A.垂心 【解答】选 A

12.在等比数列 ?an ? 中, 0 ? a1 ? a4 ? 1 ,则能使不等式
? ? 1? ? 1? ? 1? 1 ? a1 ? ? ? ? a2 ? ? ? ? a3 ? ? ? ??? ? ? an ? a1 ? ? a2 ? ? a3 ? an ? ? ? ? ? 0 成立的最大正整数 n 是 ?

( A.5

). B.6 C.7
1 1 1

D.8
1

【解答】选 C 设公比为 q,则 a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ? a ? a ? a ? ??? ? a , 1 2 3 n
1? 1 ? 1? n ? ? a1 ?1 ? q ? a1 ? q ? 1 ? 即 ,将 a1 ? q 3 代入得: qn ? q7 1 1? q 1? q
n

? q ? 1,? n ? 7

三、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.曲线 y ? 2 x ? ln x 在点(1,2)处的切线方程是 x﹣y+1=0 .

【解答】解:由函数 y=2x﹣lnx 知 y′=2﹣ ,把 x=1 代入 y′得到切线 的斜率 k=2﹣ =1 则切线方程为:y﹣2=(x﹣1) ,即 x﹣y+1=0. 故答案为:x﹣y+1=0 14.如图, 嵩山上原有一条笔直的山路 BC, 现在又新架设 了一条索道 AC,小李在山脚 B 处看索道 AC,发现张角 ∠ABC=120° ;从 B 处攀登 400 米到达 D 处,回头看索 道 AC,发现张角∠ADC=150° ;从 D 处再攀登 800 米方到达 C 处, 则索道 AC 的长为________米.

37.答案 400 13 解析 如题图,在△ABD 中,BD=400 米,∠ABD =120°.因为∠ADC=150°, 所以∠ADB=30°.所以∠DAB=180°- 120°-30°=30°. 由正弦定理,可得

AD 400 AD .所以 = , sin∠DAB sin∠ABD sin 30° sin 120°


BD

得 AD=400 3(米). 在△ADC 中,DC=800 米,∠ADC=150°,由余弦定理,可得

AC2=AD2+CD2-2×AD×CD×cos∠ADC=(400 3)2+8002-2×400 3
×800×cos 150°=4002×13,解得 AC=400 13(米). 故索道 AC 的长为 400 13米. 15.复数 z1, z2 满足 z1 ? m ? (4 ? m2 )i, z2 ? 2cos? ? (? ? 3sin? )i,(m, ?,? ? R) ,并 且 z1 ? z2 ,则 ? 的取值范围是______________.
? ?m=2cos θ, 解析:由复数相等的充要条件可得? 2 ? ?4-m =λ+3sin θ,

化简得 4-4cos2θ=λ+3sin θ, 由此可得 λ=-4cos2θ-3sin θ+4=-4(1-sin2θ)-3sin θ+4= 3? ? 9 4sin2θ-3sin θ=4?sin θ-8?2-16,
? ? ? 9 ? 因为 sin θ∈[-1,1],所以 4sin2θ-3sin θ∈?-16,7?. ? ? ? 9 ? 答案:?-16,7? ? ?
? an ? ? ? ? 2n ? 为

16.已知数列 ?an ? 满足递推关系式 an?1 ? 2an ? 2n ? 1(n ? N * ) ,且 ? ? 等差数列,则 ? 的值是________.

an+1 an 1 1 an+1+λ 解析 由 an+1=2an+2n-1,可得 n+1= n+ - n+1,则 n+1 - 2 2 2 2 2 an+λ
2
n



an+1 an
n+1

λ 1 1 λ 1 λ +1 - n- n+1= - n+1- n+1= - n+1 ,当 λ 的值是-1 2 2 2 2 2 2 2 2
?an-1? 1 n ?是公差为 的等差数列. 2 ? 2 ?

时,数列?

答案 -1

三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17.(本小题满分 10 分)在 ?ABC 中, AC ? 6,cos B ? 5 , C ? 4 . (I)求 AB 的长; (II)求 cos ? A ? 6 ? 的值.
? ? ?
4

?

??

解(1)因为 cos B ? 4 ,0 ? B ? ? , 所以 sin B ?
5

4 3 1 ? cos 2 B ? 1 ? ( ) 2 ? , 5 5
6? 3 5 2 2 ? 5 2.

由正弦定理知 AC ? AB ,所以 AB ? AC ? sin C ? sin B sin B sin C

(2)在三角形 ABC 中 A ? B ? C ? ? ,所以 A ? ? ? ( B ? C ). 于是 cosA ? ? cos(B? C) ? ? cos(B ? ? ) ? ? cos B cos ? ? sin B sin ? ,
4 4 4 又 cos B ? 4 ,sin B ? 3 , ,故 cos A ? ? 4 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? 2 5 2 5 2 10 5 5 因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 1 ? cos 2 A ? 7 2 10 因此 cos( A ? ? ) ? cos A cos ? ? sin A sin ? ? ? 2 ? 3 ? 7 2 ? 1 ? 7 2 ? 6 . 6 6 6 10 2 10 2 20

? ? 18.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos2 x . 3? 3 3 ? 3 3

?

(I)求 f ( x ) 的最小正周期及其图象的对称轴方程;

(II) 将函数 f ( x ) 的图象向右平移 个单位长度, 得到函数 g ( x ) 的 图象,求 g ( x ) 在区间 ? ? 6 , 上的值域. 3?
? ? ?? ? ?

? 3



1 3 3 (1)f(x)=2sin2x+ 2 cos2x- 3 cos2x

1 3 =2sin2x+ 6 cos2x π? 3 ? = 3 sin?2x+6?, ? ? 2π 所以 f(x)的最小正周期为 T= 2 =π. π π kπ π 令 2x+6=kπ+2(k∈Z),得对称轴方程为 x= 2 +6(k∈Z). π (2)将函数 f(x)的图象向右平移3个单位长度, 3 ? ? π? π? 3 得到函数 g(x)= 3 sin?2?x-3?+6?=- 3 cos2x 的图象, ? ? ? ? 3 即 g(x)=- 3 cos2x.
? π π? ? π 2π? ? 1 ? 当 x∈?-6,3?时,2x∈?-3, 3 ?,可得 cos2x∈?-2,1?, ? ? ? ? ? ? ? 3 3 3? 所以- 3 cos2x∈?- , ?, 3 6? ? ? ? π π? 3 3? 即函数 g(x)在区间?-6,3?上的值域是?- , ?. 3 6? ? ? ?

19.(本小题满分 12 分)在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,且 a2 是 a1 与 a3 ? 1 的 等差中项. (I)求数列 ?an ? 的通项公式;

(II)若数列 ?bn ? 满足 bn ?
和 Sn .

n(n ? 1)an ? 1 ,(n ? N * ) .求数列 ?bn ? 的前 n 项 n(n ? 1)

【考点】数列的求和;等比数列的通项公式. 【专题】方程思想;作差法;等差数列与等比数列. 【分析】 (1)设等比数列{an}的公比为 q,运用等差数列的性质和等 比数列的通项公式,解方程可得公比 q,即可得到所求通项公式;
n ﹣1 (2)化简 bn=2 +( ﹣

) ,运用分组求和和裂项相消求和,化简

即可得到所求和. 【解答】解: (1)设等比数列{an}的公比为 q, a2 是 a1 与 a3﹣1 的等差中项,即有 a1+a3﹣1=2a2, 即为 1+q ﹣1=2q,解得 q=2,
n﹣1 n﹣1 即有 an=a1q =2 ; 2

(2) =2n﹣1+( ﹣ ) ,

=an+

数列{bn}的前 n 项和 ﹣ = ) +1﹣ =2n﹣

2 n ﹣1 = + (1+2+2 +…+2 ) (1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+



【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用,考 查数列的求和方法:分组求和和裂项相消求和,考查运算能力,属于 中档题.

20 . ( 本小题满分 12 分 ) 已知数列 ?an ? , Sn 是其前 n 项和,且满足 . 3an ? 2Sn ? n ( n ? ?? )
1? (I)求证:数列 ? ? an ? ? 是等比数列; ? 2?

(II)记 ?n ? S1 ? S2 ???? ? Sn ,求 ?n 的表达式.

?1? 证明:当 n ? 1 时, 3a1 ? 2S1 ? 1
? a1 ? 1

当 n ? 2 时, 3an ? 2Sn ? n

① ②

3an?1 ? 2Sn?1 ? ? n ?1?

?② ? ①得: 3an ? 3an?1 ? 2an ? 1

即 an ? 3an?1 ? 1
1 1? ? ? an ? ? 3 ? an?1 ? ? 2 ? 2?

1 2 ?3 即 1 an ?1 ? 2 an ?
? ? ?数列 ?an ? ? 是以 a1 ? ? 为首项,公比为 3 的等比数列 ? 1 2?
1 2 3 2

? 2 ? 解:由 ?1? 得: an ?
∴ an ? ? 3n ?1 ?
3 2 1 2 3 4

1 3 n ?1 ? ?3 2 2

∴代入得: S n ? ? 3n ? (2n ? 3) ∴ Tn ? S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? S n
3 1 ? (3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ) ? ?5 ? 7 ? 9 ? ? (2n ? 3) ? 4 4

1 4

?

3 3(1 ? 3n ) 1 n(5 ? 2n ? 3) 9 n n(n ? 4) ? ? ? (3 ? 1) ? 4 1? 3 4 2 8 4

21.(本小题满分 12 分)已知函数
? ? ? f ( x ) ? A sin(? x ? ? ), ? A ? 0, ? ? 0, ? ? , x ? R ? 2 ? ?

的图象的一部分如图所示.

(I)求函数 f(x)的解析式; (II)当 x ? ? ?6, ? 3 ? 时, 求函数 y ? f ( x) ? f ( x ? 2) 的最大值与最小值及
? ? ? 2?

相应的 x 的值. 解:(1)由题图知 A=2,T=8, 2π π 因为 T= ω =8,所以 ω= 4 . 又图象经过点(-1,0),
? π ? 所以 2sin?- +φ?=0. ? 4 ?

π π 因为|φ|< 2 ,所以 φ= 4 .
?π π? 所以 f(x)=2sin? x+ ?. 4? ?4

(2)y=f(x)+f(x+2) =2sin?
? ?π ?π π? π π? ?+2sin? x+ + ? x + 4 4 4 2 4 ? ? ?

=2 2sin?



π π? ?=2 2cos x. x + 4 2? ?4

3π π π 2? ? 因为 x∈?-6,-3?,所以- 2 ≤ 4 x≤- 6 . ? ? π π 2 所以当 4 x=- 6 , 即 x=-3时, y=f(x)+f(x+2)取得最大值 6; π 当 4 x=-π,即 x=-4 时,y=f(x)+f(x+2)取得最小值-2 2. 22. 设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 已 知 a1 ? 2,a2 ? 8 ,
Sn?1 ? 4Sn?1 ? 5Sn ,(n ? 2, 且n ? N * ) .
Tn 是数列 ?log2 an ? 的前 n 项和.

(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)求 Tn .
1 ? ? ? 1 ? ? ? 1? ? ??? ? 1? ? ? n ( III )求满足 ? T3 ? T 4 ? Tn 2013 的最大整数 的 ? T2 ? ? ? ? ? ? 1 ?? 1 ?? 1? ? 1? 1010

值.
* 解: ?1? ? Sn?1 ? 4Sn?1 ? 5Sn ,(n ? 2, 且n ? N )

当 n ? 2 时,
? Sn+1 ? Sn ? 4 ? Sn ? Sn -1 ? ? an ?1 ? 4an , ? a1 ? 2, a2 ? 8, ? a2 ? 4a1

?an ? 是以 2 为首项,4 为公比的等比数列.
?an ? 2 ? 4n?1 ? 22n?1

? 2 ? 由(1)得:

log an ? log2 22 n ?1 ? 2n ? 1 ?Tn ? log2 a1 ? log2 a2 ? ??? ? log2 an
? 1 ? 3 ? ? ? ?(n ? 2 ? n2 1 ?)

? 3?
? 1 ?? 1 ?? 1? ? 1? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ??? ? 1 ? ? ? T2 ? ? T3 ? ? T4 ? ? Tn ? 1 ?? 1 ?? 1? ? 1? ? ? ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 2 ? ??? ? 1 ? 2 ? ? 2 ?? 3 ?? 4 ? ? n ? ?

1 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 5 ? ??? ? ? n ? 1?? n ? 1? 22 ? 32 ? ??? ? n 2 n ?1 ? 2n

n ? 1 1010 ? 2n 2013 4 n ? 287 7

故满足条件的最大正整数 n 的值为 287.


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