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椭圆、双曲线抛物线试卷及答案


椭圆、双曲线、抛物线试卷
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每题 6 分共 36 分) 1. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为。 25 9





A. 5 B. 3 C. 4 D 8 2.已知双曲线的离心率为 2,焦点是(-4,0) , (4,0) ,则双曲线的方程为

( D



x2 y 2 ? ?1 A. 4 12
3.双曲线

x2 y 2 ? ?1 B. 12 4

C.

x2 y 2 ? ?1 10 6

x2 y 2 ? ?1 6 10
( )

x2 y 2 ? ? 1 的两条准线间的距离等于 3 4
B.

A.

6 7 7

3 7 7

C.

18 5

D

16 5
( )

4.椭圆 A. 1

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到左焦点的距离为 3, 则 P 到 y 轴的距离为 4 3
B. 2 C. 3 D 4

5.双曲线的渐进线方程为 2 x ? 3 y ? 0 , F (0, ?5) 为双曲线的一个焦点,则双曲线的方程 为。 A. ( )

y 2 x2 ? ?1 4 9

B.

x2 y 2 ? ?1 9 4

C.

13 y 2 13 x 2 ? ?1 100 225

D

13 y 2 13 x 2 ? ?1 225 100

6.设 F1 , F2 是双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点,若双曲线上存在点 A,使 ?F1 AF2 ? 90? 且 2 a b
( C.
2

AF1 ? 3 AF2 ,则双曲线的离心率为
A.



5 2

B.

10 2

15 2

D

5

7.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y =ax(a≠0)的焦点 F, 且和 y 轴交于点 A, 若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方 程为( A.y =±4
2

)
2

B.y =±8x

2

C.y =4x

D.y =8x
2

2

8.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y =4x 上一动点 P 到直线

l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是(

)

1

A.2
2

B.3

11 C. 5

D.

37 16

9.抛物线 y =4x 的焦点为 F,准线为 l,经过 F 且斜率为 3的直线与抛物线在 x 轴上 方的部分相交于点 A,AK⊥l,垂足为 K,则△AKF 的面积是( A.4 B.3 3 C.4 3 D.8 )

二.填空题。 (每小题 6 分,共 24 分) 7.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的准线方程为___________。 16 25 x2 ? y 2 ? 1 的渐近线方程为__________。 4

8.双曲线

x2 2 9.若椭圆 2 ? y ? 1 ( a ? 0)的一条准线经过点 (?2, 0) ,则椭圆的离心率为__________。 a
1 10.已知抛物线型拱的顶点距离水面 2 米时,测量水面宽为 8 米,当水面上升 米后,水面的 2 宽度是________.

三.解答题 11.已知椭圆的两个焦点分别为 F 1 (0, ?2 2), F 2 (0,2 2) ,离心率 e ? (1)求椭圆的方程。 (2)一条不与坐标轴平行的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M , N ,且线段 MN 的中点的横 坐标为 ?

2 2 。 (15 分) 3

1 ,求直线 l 的斜率的取值范围。 2

2

12.设双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0)与直线l : x ? y ? 1 相交于两个不同的点 A、B. 2 a

(I)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围: (II)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且 PA ?

5 PB . 求 a 的值. 12

13.已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,两个焦点分别为 F1 、 F2 ,斜率为 k 的直线 l 过 a 2 b2

右焦点 F2 且与椭圆交于 A、B 两点,设 l 与 y 轴交点为 P,线段 PF2 的中点恰为 B。 (25 分) (1)若 k ?

2 5 ,求椭圆 C 的离心率的取值范围。 5
9 2 5 ,A、B 到右准线距离之和为 ,求椭圆 C 的方程。 5 5

(2)若 k ?

3

14.(2010·福建)已知抛物线 C:y =2px(p>0)过点 A(1,-2). (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标 原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点,且 直线 OA 与 l 的距离等于 5 ?若存在,求直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 5

2

4

一、选择题 DAABCBBAAC 二、填空题 7. y ? ?

25 1 2 。8. y ? ? x 。9. 。 3 2 2

x ? ?2,? 2 ?

a2 , b ? 1,? c ? 1, a ? 2 c

10. 2 。
y

三、解答题
A

11 . (1) 设 椭 圆 方 程 为

x y ? 2 ?1 , 由 已 知 2 a b
F(1,0)

2

2

x

c ? 2 2,

c 2 2 , ? a ? 3, b ? 1 , ? 椭 圆 方 程 为 ? a 3

x=2

y2 ? x 2 ? 1。 9

? y ? kx ? b ? (2)设 l 方程为 y ? kx ? b(k ? 0) ,联立 ? y 2 得 (k 2 ? 9) x2 ? 2kbx ? b2 ? 9 ? 0.........(1) 2 ? ? x ?1 ?9

k 2 ? 9 ? 0, ? ? 4k 2b2 ? 4(k 2 ? 9)(b2 ? 9) ? 4(k 2 ? b2 ? 9) ? 0......(2)
x1 ? x2 ? ?2kb ? ?1........(3) k2 ? 9

由(3)的 b ?

k2 ? 9 (k ? 0) 代入(2)的 k 4 ? 6k 2 ? 27 ? 0 ? k 2 ? 3 ? k ? 3 或 k ? ? 3 2k

12. (1)设右焦点 F2 (c,0), l : y ? k ( x ? c) 则 P(0, ?ck )

c ck c2 c2k 2 B 为 F2 P 的中点,? B( , ? ) ,B 在椭圆上,? 2 ? ?1 2 2 4a 4b2

4b 2 4a 2 ? c 2 1 4 ?k ? 2 ? ( 2 ? 1)(4 ? e2 ) ? 2 ? e2 ? 5 2 c 4a e e
2

k ?

2 5 4 4 4 2 5 ,? 2 ? e2 ? 5 ? ,? (5e2 ? 4)(e2 ? 5) ? 0,? ? e2 ? 1,? e ? [ ,1) 5 e 5 5 5

5

c2 4 5 2 2 1 2 2 5 2 5 2 (2) k ? ,则 2 ? ,? a ? c , b ? c ,? e ? a 5 4 4 5 5
椭圆方程为

5 x2 y2 ? ? 1, 即 x 2 ? 5 y 2 ? c 2 5 2 1 2 4 c c 4 4 5 2 5 c 5 ( x ? c), B( , ? c) ,右准线为 x ? c 4 5 2 5

直线 l 方程为 y ?

设 A( x0 , y0 ) 则 ( c ? x0 ) ? ( c ? ) ? 又

5 4

5 4

c 2

9 9 2 5 9 ,? x0 ? 2c ? , y0 ? (c ? ) 5 5 5 5

A 在椭圆上,

6 9 2 5 9 5 ? (2c ? )2 ? 5[ (c ? )]2 ? c 2 ,即 (c ? 2)(5c ? 6) ? 0,? c ? 2 或 c ? 5 5 5 5 4
所求椭圆方程为 14. 解:(1)将(1,-2)代入 y =2px,得(-2) =2p·1,所以 p=2. 故所求抛物线 C 的方程为 y =4x,其准线方程为 x=-1. (2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y=-2x+t, 由?
2 2 2

x2 5 x 2 25 2 ? y 2 ? 1或 ? y ?1 5 9 9

? y ? ?2 x ? t 2 得 y +2y-2t=0. 2 y ? 4 x ?

1 因为直线 l 与抛物线 C 有公共点,所以 Δ=4+8t≥0,解得 t≥- . 2 由直线 OA 与 l 的距离 d= 5 |t| 1 可得 = ,解得 t=±1. 5 5 5

? 1 ? ? 1 ? 因为-1??- ,+∞?,1∈?- ,+∞?, ? 2 ? ? 2 ?
所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0.

6

7


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