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1.2.1排列(1)


1.2.1

排列

巨野一中高中数学组

复习回顾

分类加法计数原理: 完成一件事,有n类不同方案,在第1类方案 中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同 的方法 ……在第n类方案中有mn种不同的方法.那 么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种 不同的方法. 分步

乘法计数原理: 完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有 m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……, 做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共 有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法.

阅读课本,完成两个问题。 问题2 问题1 从1,2,3,4这4个数中, 从甲、乙、丙3名同学中选出2名 参加某天的一项活动,其中1名参加 每次取出3个排成一个三位数, 上午的活动,1名参加下午的活动, 共可得到多少个不同的三位数? 有哪些不同的排法?

实质是:从3个不同的元素 中,任取2个,按一定的顺序 排成一列,有哪些不同的排 法?

实质是:从4个不同的元素 中, 任取3个,按照一定的顺 序排成一列,写出所有不同 的排法.

定义:一般地说,从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元 素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同的元素 中取出m个元素的一个排列.

1、排列:

基本概念

从n个不同元素中取出m (m ? n)个元素, 按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个排列。

练习1 下列问题是排列问题吗?

(1)从1,2,3,4四个数字中,任选两个做加法, 其不同结果有多少种? 不是排列 (2)从1,2,3,4四个数字中,任选两个做除法, 其不同结果有多少种? 是排列 (3)从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标, 可得多少个不同的点的坐标? 是排列 (4)平面上有5个点,任意三点不共线,这五点最 多可确定多少条射线?可确定多少条直线? 不是排列 是排列 (5)10个学生排队照相,则不同的站法有多少种? 是排列 (从中归纳这几类问题的区别)

2、排列数:
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素 的所有排列的个数,叫做从n个不同的元素中 m 取出m个元素的排列数。用符号 An 表示。 “排列”和“排列数”有什么区别和联 系? 定义:一般地说,从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元
“一个排列”是指:从n 个不同元素中,任取 m 个元素 素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同的元素 按照一定的顺序排成一列,不是数; 中取出m个元素的一个排列. “排列数”是指从n 个不同元素中,任取 m 个元素的 m 所有排列的个数,是一个数;所以符号 An 只表示
排列数,而不表示具体的排列。

问题1中是求从3个不同元素中取出2个元素的 2 2 排列数,记为 A3 ,已经算得 A3 ? 3? 2 ? 6 问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的 3 排列数,记为 A4 ,已经算出 A3 ? 4 ? 3 ? 2 ? 24
4

探究:从n个不同元素中取出2个元素的排列 2 3 m 数 An 是多少? An 呢? An 呢? 2 m An ? n(n ?1) An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ?1) 3 An ? n(n ?1)(n ? 2)
第 1位 第 2位 第 3位 第m位

……
n种 (n-1)种 (n-2)种 (n-m+1)种

(1)排列数公式(1):

A ? n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1)(m, n ? N *, m ? n)
n 当m=n时,An ? n(n ? 1)( n ? 2)?3 ? 2 ?1

m n

正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用
n n个不同元素的全排列公式: An ? n!

n!表示。

(2)排列数公式 说明:

为了使当m=n时上面的公式也成立,规定: 0!? 1
1、排列数公式的第一个常用来计算,第二个常用来证明。

n! A ? (n ? m)!
m n

2、对于 m ? n 这个条件要留意,往往是解方程时的隐含条 件。

例1. 计算 (1 )

A

3 6 (2) 16 6

A

(3 )

A

4 6

3 解: (1) 16

A ? 16 ? 15 ? 14 ? 3360
A ? 6! ? 720
6 6
6

(2)

(3) A 4

? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 360

m 例2.证明: n?1

A

? A ? mA
m n

m-1 n

证明:右边

n! n! ? ? m? (n ? m )! (n ? m ? 1)!

n! A ? ( n - m )!
m n

( n ? 1)n ! n !? (n ? m ? 1) ? n !? m ? ? ( n ? m ? 1)! (n ? m ? 1)! ( n ? 1)! m ? ? An?1 ? 左 [( n ? 1) ? m]!

1、如果A ? 18 ? 17 ? ? ? 9 ? 8,
m n

巩固练习:

则n ? ___, m ? ___ 由n=18,n-m+1=8,得m=11
2、若n ? N , 则(55 ? n)(56 ? n)?(68 ? n)(69 ? n)
15 用排列数符号表示为__________ A 69? n

3、如果A

3 2n

? 10 A , 则n ? _____
3 n
5 n

由2n( 2n ? 1)( 2n ? 2) ? 10n(n ? 1)( n ? 2)得n ? 8(舍n ? 1).
A ?A 4、如果 ? 89, 则n ? _____ 5 An
7 n

化简得n 2 ? 11n ? 29 ? 89, 解得n ? 15(舍n ? ?4).

小结:
【排列】从n个不同元素中选出m(m≤n)个元素,并按一定

的顺序排成一列.
【关键点】1、互异性(被选、所选元素互不相同)

2、有序性(所选元素有先后位置等顺序之分)
【排列数】所有排列总数

A ? n(n ? 1)(n ? 2)...(n ? m ? 1) n! m An = (n- m)!
m n


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