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【随堂优化训练】2014年数学(人教A版)必修5配套课件:2.3.2 等差数列前n项和的性质


2.3.2 等差数列前 n 项和的性质

【学习目标】 1.掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路. 2.会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项 和有关的问题.

1.等差数列的最值 在等差数列{an}中,若 a1>0,d<0,则 Sn 存在最大值;若

a1<0,d>0,

则 Sn 存在最小值.
2.等差数列的单调性 当 等 差 数 列 的 公 差 _____ d >0 时,数 列 为 递 增 数 列;当

d=0 ________ 时,数列为常数 d <0 时,数列为递减数列;当__________
列.
练习:已知等差数列{an}的通项公式为an=-2n+8,则{an} 的前 n 项和 Sn=________ n(7-n) ,Sn 的最大值为_______ 12 .

【问题探究】 已知数列{an}前 n 项和公式为 Sn,首项为 a1,则该数列的 通项公式 an 与前 n 项和有什么样的关系式?
? ?S1 答案:an=? ? ?Sn-Sn-1

?n=1?, ?n≥2?

题型 1 等差数列的前 n 项和的性质及应用 【例 1】等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100, 则它的前 3m 项和为( A.30 ) B.170 C.210 D.260

思维突破:(1)把问题特殊化,即令 m=1 来解. n?n-1? (2)利用等差数列的前 n 项和公式 Sn=na1+ 2 d 进行求 解. n?a1+an? (3)借助等差数列的前 n 项和公式 Sn= 及性质 m+n 2 =p+q?am+an=ap+aq 求解. (4)根据性质:“已知{an}成等差数列,则 Sn,S2n-Sn,S3n -S2n,?,Skn-S(k-1)n,?(k≥3)也成等差数列”解题. (5)根据 Sn=an2+bn 求解. n?n-1? (6)运用等差数列求和公式 Sn=na1+ 2 d 的变形式解 题.

解析:方法一:取m=1,则a1=S1=30,a2=S2-S1=70. ∴d=a2-a1=40,a3=a2+d=70+40=110. S3=a1+a2+a3=210. ? ?S =ma +m?m-1?d=30, 1 2 ? m 方法二:由已知,得? 2m?2m-1? ? S2m=2ma1+ d=100. ? 2 ?
10 20 40 解得 a1= m +m2,d=m2. 3m?3m-1? ∴S3m=3ma1+ d=210. 2

① ? ?m?a1+am?=60, ?m?a1+a2m?=100, ② 方法三:由已知,得? ?3m?a1+a3m?=2S3m, ③ ? ?a3m-a2m=a2m-am. ④
由③-②及②-①,结合④,得S3m=210. 方法四:根据上述性质知:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差 数列, 故Sm+(S3m-S2m)=2(S2m-Sm). ∴S3m=3(S2m-Sm)=210.

方法五:∵{an}为等差数列,

∴设Sn=an2+bn.
∴Sm=am2+bm=30,S2m=4m2a+2mb=100.

20 10 解得 a=m2,b= m . ∴S3m=9m2a+3mb=210. n?n-1? 方法六:由 Sn=na1+ 2 d, Sn d 即 n =a1+(n-1)2.

?Sn? 由此可知:数列? n ?也成等差数列, ? ?

Sm S2m S3m 即 m ,2m ,3m 成等差数列. 2S2m Sm S3m 由 2m = m +3m ,Sm=30,S2m=100,得 S3m=210.
答案:C

【变式与拓展】 1.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36,

则 a7+a8+a9=( B )
A.63 B.45 C.36 D.27

2.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=2,S4=10,则

S6=( C )
A.12 B.18 C.24 D.42

题型 2 等差数列前 n 项和的最值问题 【例 2】 在等差数列{an}中,若 a1=25,S17=S9,则 Sn 的 最大值为________. 思维突破:利用前 n 项和公式和二次函数性质求解.

解析:方法一:由 S17=S9,得 17 9 25×17+ 2 (17-1)d=25×9+2(9-1)d. 解得 d=-2. n ∴Sn=25n+2(n-1)· (-2)=-(n-13)2+169. 由二次函数性质,知:当 n=13 时,Sn 有最大值 169.

方法二:先求出 d=-2.∵a1=25>0, 1 ? n≤132, ? ? a = 25 - 2 ? n - 1 ? ≥ 0 , ? n 由? 得? ? ?an+1=25-2n≤0, ?n≥121. 2 ? ∴当n=13时,Sn有最大值169.

方法三:由S17=S9,得a10+a11+?+a17=0. 而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,故a13+a14=0. ∵d=-2<0,a1>0,∴a13>0,a14<0. 故当n=13时,Sn有最大值.
13×?13-1? S13=25×13+ ×(-2)=169. 2

方法四:由 d=-2,得 Sn 的图象如图 D4(图象上一些孤立
点),

图 D4
9+17 由 S17=S9,知:图象的对称轴为 n= 2 =13.

∴当 n=13 时,Sn 取得最大值 169. 答案:169

求等差数列前 n 项和的最值,常用的方法: ①利用等差数列的单调性,求出其正负转折项;②利用性质求 出其正负转折项,便可求得和的最值;③将等差数列的前 n 项 和 Sn=An2+Bn(A,B 为常数)看作二次函数,根据二次函数的 性质求最值.

【变式与拓展】 3.数列{an}是首项为 23,公差为整数的等差数列,且第 6 项为正,第 7 项为负. (1)求数列的公差; (2)求前 n 项和 Sn 的最大值; (3)当 Sn>0 时,求 n 的最大值. 解:(1)由已知,得a6=a1+5d=23+5d>0,

a7=a1+6d=23+6d<0.
23 23 解得- 5 <d<- 6 .

又∵d∈Z,∴d=-4.

(2)∵d<0,∴数列{an}是递减数列.又∵a6>0,a7<0, ∴当n=6时,Sn取得最大值为:

6×5 S6=6×23+ 2 ×(-4)=78. n?n-1? (3)Sn=23n+ 2 ×(-4)>0, 整理,得 n(25-2n)>0. 25 ∴0<n< 2 . 又∵n∈N*,∴n 的最大值为 12.

题型 3 等差数列前 n 项和的实际应用 【例 3】 已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,Sn=12n-n2. (1)求|a1|+|a2|+|a3|;

(2)求|a1|+|a2|+|a3|+?+|a10|;
(3)求|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|. 思维突破:先求出数列的通项公式an. 解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=12n-n2-12(n-1)+(n- 1)2=-2n+13; 当n=1时,a1=S1=11,符合an=-2n+13.

∴an=-2n+13(n∈N*).

(1)当-2n+13≥0时,n≤6.5.
又∵n∈N*,∴n≤6. ∴|a1|+|a2|+|a3|=a1+a2+a3=S3=27. (2)由(1)可知:|a1|+|a2|+|a3|+?+|a10| =a1+a2+?+a6-a7-a8-a9-a10 =S6-(a7+?+a10) =S6-(S10-S6)=2S6-S10=72-20=52.

(3)由(1)(2)可知: 当n≤6时,|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|=Sn=12n-n2; 当n≥7时,|a1|+|a2|+|a3|+?+|an| =a1+a2+?+a6-(a7+a8+?+an)

=S6-(Sn-S6)
=2S6-Sn=72-(12n-n2)=n2-12n+72. 综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|
2 ? ?12n-n =? 2 ? ?n -12n+72

?n≤6?, ?n≥7?.

【变式与拓展】 4.等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,前 n 项和为 Sn, 满足 S5S6+15=0. (1)若 S5=5,求 S6 及 a1; (2)求 d 的取值范围.

-15 解:(1)由题意知:S6= S =-3,a6=S6-S5=-8. 5
? ?5a1+10d=5, ∴? ? ?a1+5d=-8.

解得 a1=7.

∴S6=-3,a1=7.

(2)∵S5S6+15=0, ∴(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 即2a+9da1+10d2+1=0.

故(4a1+9d)2=d2-8.
∴d2≥8.

故 d 的取值范围为 d≤-2

2或 d≥2

2.

【例 4】 已知一个等差数列{an}的通项公式 an=25-5n, 求数列{|an|}的前 n 项和 Sn. 易错分析:解本题易出现的错误就是:(1)由an≥0,得n≤5 理解为 n=5,得出结论:Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n≤5),
?20-5n??n-5? Sn= ;(2)把“前 n 项和”认为“从 n≥6 起”的 2

和.事实上,本题要对 n 进行分类讨论.

解:由an=25-5n≥0,得 n≤5. ∴当 n≤5 时,
n?45-5n? Sn=|a1|+|a2|+?+|an|=Sn= ; 2

当n≥6时, Sn=|a1|+|a2|+?+|an|

=a1+a2+?+a5-(a6+a7+?+an)
n?45-5n? =S5-(Sn-S5)=2S5-Sn=100- . 2

[方法· 规律· 小结] 求等差数列前 n 项和的最值问题有两种方法如下:

(1)利用 an:当 an>0,d<0 时,Sn 有最大值可由 an≥0,且

an+1≤0,求得 n 的值;
当 an<0,d>0 时,Sn 有最小值可由 an≤0,且 an+1≥0,求
得 n 的值.
d? d 2 ? (2)利用 Sn:由 Sn=2n +?a1-2?n 利用二次函数配方法求得 ? ?

最值时 n(n∈N*)的值.


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