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导数 (竞赛辅导)


导 数

一、导数定义式的几种等价形式
f ?( x0 ) ? lim f ( x) ? f ( x0 ) x? x0 x ? x0
?y ? lim ? x?0 ? x

左导数、右导数:

f ( x ) ? f ( x0 ) ? f ? ( x0 ) ? lim? x ? x0 x ? x0

f ( x ) ? f ( x0 ) ? f ? ( x0 ) ? lim? x ? x0 x ? x0

二、判定函数在某点是否可导的主要方法
1.根据可导的定义 直接由定义考虑
f ( x0 ? h) ? f ( x 0 ) f ( x ) ? f ( x0 ) lim 是否存在 或 lim h h? 0 x ? x0 x ? x0

2.根据可导的充要条件
? ? 考虑左右导数 f ? ( x0 ), f ? ( x0 ) 是否都存在且相等

3.根据可导的必要条件 考虑是否不连续 (连续不一定可导,但不连续一定不可导!)

三、必须用定义求导数的情形
1. 分段函数在分段点处的导数. 2. 含有绝对值符号的函数在绝对值为零的点处的导数.

3. 仅知函数 f ( x ) 在一点可导,
不知在该点的附近(一个邻域)是否可导. 【注】 某些“乘积型”的复杂函数用定义求导较方便。

四、常数和基本初等函数的求导公式
(C )? ? 0
( x )? ? ? x
?
? ?1

特别地: ( x )? ?

1

?
(sin x)? ? cos x (tan x)? ? sec 2 x (sec x)? ? sec x tan x

2 x 1 ? 1 ? ?? 2 x x

(cos x)? ? ? sin x (cot x)? ? ? csc 2 x (csc x)? ? ? csc x cot x

(a x )? ? a x ln a
1 (log a x)? ? x ln a

( e x )? ? e x
1 (ln x)? ? x 1 (ln | x |)? ? x

(arcsin x)? ?

1 1? x
2

(arccos x)? ? ?

1 1 ? x2

1 (arctan x)? ? 1 ? x2

1 (arc cot x)? ? ? 1 ? x2

五、求导数的主要法则
1. 导数的 + 、-、×、÷ 运算法则.

2. 复合函数的求导法则.
3. 反函数的求导法则.

4. 隐函数的求导法则.
5. 由参数方程所确定的函数的求导法则. 6. 对数求导法. 7. 分段函数的求导法. ___非分段点处按法则求导,分段点处按定义求导.

六、 导数的几何意义
f ?( x0 )
在点 的切线斜率
y

y ? f ( x)
C

注:

.
x

切线方程:
法线方程:

o

七、求高阶导数的主要方法
(1)逐次求导归纳法;
(2)n 阶导数的公式及求导法则; 注:求一点处高阶导数 的好方法

------函数的幂级数展开(以后学)

1.常用的 n 阶导数公式 (a 为常数)
(1)

(e )

ax ( n )

?a e
(n)
(n)

n ax

(2)

(sin ax)

? a sin(ax ?
n
n
n

? n?

2

)

(cos a x)
(3)

1 ( n ) (?1) ? n! ( ) ? n ?1 x?a ( x ? a)

? a cos(ax ? n ? ? ) 2

(4) ( x k ) ( n )

?k (k ? 1)? (k ? n ? 1) x k ?n , n ? k ? ? ?n ! n?k ?0 n?k ?

(k为正整数。)

2.高阶导数的运算法则

设函数



都有 n 阶导数 , 则

(C为常数)

上式称为莱布尼兹(Leibniz) 公式。

八、可微、可导、连续、极限的关系
可微 可导 连续 极限存在

九、奇函数、偶函数、周期函数的导数
可导奇函数 f ( x ) 的导数 f ?( x ) 是偶函数
可导偶函数 f ( x ) 的导数 f ?( x ) 是奇函数 可导周期函数 f ( x ) 的导数 f ?( x ) 是周期函数 且 f ( x ) 与 f ?( x ) 有相同的周期.

【注】 单调函数的导数不一定是单调函数。

例1

在 (??, ??) 有定义.
当 0 ? x ? 1 时, 问 在 处 是否可导?

lim f ( x) ? f ( x0 )
x? x0

x ? x0

f ( x) ? f (0) lim? ? lim? f ( x) ? f (0) ? x?0 x?0 x?0 x?0

例2.

在 R 上定义,

证明:在 R 上

f ?( x) ?

例3.

对任意

f ?( x) ?

例4.

是偶函数,在

处可导,求

下列解法错误:
f ( x ) 的导数 f ?( x ) 是奇函数

f ?( ? x ) ? ? f ? ( x )

代入

f ?(0) ? ? f ?(0) f ?(0) ? 0

正确思路:

导数定义。

f ( x ) ? f ( x0 ) lim x? x0 x ? x0

例5. 设
在 证:因为 又

在 处可导.

处连续, 且

存在,证明:

存在,则有 处连续, 故 存在



f ( x) ? f (0) 所以 lim ? x ?0 x?0
即 在 处可导。

lim f ( x) ? f ( x0 )
x? x0

x ? x0

例6. 设



解: 因为

1 f (1 ? (? x)) ? f (1) ? lim 2 x ?0 (? x)

所以



例7 使

设 在

,求 a,b,c 处 一阶导数连续,二阶导数不存在.

f ?( x0 ) ? lim f ( x) ? f ( x0 )
x ? x0

x ? x0

f ?( x) ? f ?( x0 ) f ??( x0 ) ? lim x ? x0 x ? x0

例8.



存在的最高阶数 n=?

f ?( x0 ) ? lim f ( x) ? f ( x0 )
x ? x0

x ? x0

f ?( x) ? f ?( x0 ) f ??( x0 ) ? lim x ? x0 x ? x0

例9. 设 f ( x) ? x ( x ? 1)( x ? 2)?( x ? 100), 求 f ?(50). 解: 方法1 利用乘法公式.

? f1 ( x) f 2 ( x)? f n ( x)?? ? f1? ( x) f 2 ( x)? f n ( x)
? f1 ( x) f 2? ( x)? f n ( x)

??
? f1 ( x) f 2 ( x)? f n? ( x)
方法2 利用乘法公式.

? f1 ( x) f 2 ( x)?? ? f1? ( x) f 2 ( x) ? f1 ( x) f 2? ( x)

例9. 设 f ( x) ? x ( x ? 1)( x ? 2)?( x ? 100), 求 f ?(50).

方法3 利用导数定义.

例10. 设

f ?(0) ? 1 , f ??(0) ? 0 ,证:在 x ? 0 处
d2 d2 2 f ( x 2 ) ? 2 f ( x) . d x2 dx

例11



处处可导,在

处二阶可导,求

f ?( x) ? f ?(0) f ??(0) ? lim x ?0 x?0

例12. 求

的导数 .

例13.

设曲线的极坐标方程为 ? ? e , 求曲线上 ? ?

?

?
2

处的切线方程.

dy 思路:把极坐标方程转化为参数方程,求出导数 dx

d y ? ?(t ) ? ? dx ? ?(t )

dy dt dx dt

例14.

证明:两条心形线

? ? a(1 ? cos? ) , ? ? a(1 ? cos? )
在交点处切线互相垂直.

例15. 设 求

由方程组

确定,

d y ? ?(t ) ? ? dx ? ?(t )

dy dt dx dt

?(t ) ?? ?? ? ? ?(t ) ? 2 d y ? ? ? d x2 ? ?(t )

例16. 设



1 ( n ) (?1) ? n! ( ) ? n ?1 x?a ( x ? a)
n

例17.



处的100阶导数。

例18. 设 y ? x

n ?1

ln x , 求 y ( n ) 。

例19.

y ? sin 3 x , 求

1 ? cos 2? sin ? ? 2
2

1 sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 (sin ax)
(n)

? a sin(ax ? n ? ) 2
n

?

例20.



例21. 设

,求

例22.

三阶可导,
用 表示 , ,

例23.

作变换

,求函数

使得

思路.

转化为

关于

的导数的表达式.

例24.

有多少个不可导点?

f ?( x0 ) ? lim f ( x) ? f ( x0 ) x? x0 x ? x0

例25.

可导,m 是任意常数,求

f ?( x0 ) ? lim f ( x) ? f ( x0 ) x? x0 x ? x0


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