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2014届高考数学(文)一轮复习课件(鲁闽皖专用): 平面向量的概念及其线性运算(新人教A版)


第一节 平面向量的概念及其线性运算

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/> 三年4考 1.了解向量的实际背景;

高考指数:★★

2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义; 3.理解向量的几何表示;

4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义;
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义; 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

1.平面向量的线性运算及共线向量定理是高考考查的重点,也 是热点,难度中等偏下. 2.题型以客观题为主,与解析几何交汇命题则以解答题为主.

1.向量的有关概念 方向 大小 (1)定义:既有_____又有_____的量叫做向量.

有向线段 (2)表示方法:用_________来表示向量.有向线段的长度表
方向 大小 示向量的_____,用箭头所指的方向表示向量的_____.用a,b,
??? ??? ? ? 或用 AB,CD 来表示.

长度 (3)模:向量的_____叫做向量的模,记作|a|,|b|或 | AB | , | CD | .

??? ?

??? ?

【即时应用】

(1)判断下列命题的真假:(请在括号中填写“真”或“假”)
①向量的大小是实数 ②向量可以用有向线段表示 ③向量就是有向线段
??? ? ④向量 AB 的长度和向量 BA 的长度相等
??? ?

( ( ( (

) ) ) )

(2)请写出物理中的三个向量___________.

【解析】(1)向量是既有大小又有方向的量,向量的大小为实
数,故①为真;向量可以用有向线段来表示,有向线段的长 度为向量的大小,有向线段的方向为向量的方向,所以②为 真;③为假; AB 与 BA 是大小相等、方向相反的向量,故 ④为真. (2)由向量的定义可知,物理中的速度、力、加速度等都为 向量.
??? ?

??? ?

答案:(1)①真

②真

③假

④真

(2)速度、力、加速度(答案不唯一)

2.特殊向量 0 (1)零向量:长度为__的向量叫做零向量,记作0;零向量 不确定 的方向_______. 1个单位 (2)单位向量:长度为________的向量叫做单位向量.

相反 (3)共线向量:方向相同或_____的向量叫做共线向量,共线
平行 向量也叫做_____向量;规定:零向量与任何向量共线.

相同 相等 (4)相等向量:长度_____且方向_____的向量叫做相等向量.
相反 相等 (5)相反向量:长度_____且方向_____的向量叫做相反向量.

【即时应用】 (1)判断下列命题的真假:(请在括号中填写“真”或“假”) ①若a与b平行,则b与a方向相同或相反 ②若a与b平行同向,且|a|>|b|,则a>b ③|a|=|b|与a、b的方向没有关系 ( ( ( ) ) )

(2)把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向
量的终点所构成的图形是________.

【解析】(1)①假,当a为零向量时,方向是不确定的. ②假,向量不能比较大小.

③真,向量a与b的模相等,即长度相等,与方向无关.
(2)这些向量的终点所构成的图形是以共同的始点为圆心,以

单位1为半径的圆.
答案:(1)①假 ②假 ③真 (2)圆

3.向量的加法与减法
向量 运算 定义 法则(或几何意义)
a?b

运算律
(1)交换律: b?a a ? b ? _____ .

求两个 加法 向量和 的运算

b

a

三角形法则
b
a?b

(2)结合律:

?a ? b ? ? c ? a ? ?b ? c? __________ .

a

平行四边形法则
求 a 与b 的 相反向量

b
a

a?b

减法 ?b的和的
运算叫做 a与b的差

三角形法则

【即时应用】 (1)下列命题是否正确(请在括号中填“√”或“×”) ① OA ? OB ? AB
??? ??? ? ? ??? ?

(

)

② AB ? BA ? 0
③ AC ? BD ? CD ? AB ? 0
??? ??? ??? ??? ? ? ? ?

??? ??? ? ?

(
(

)
)

??? ??? ??? ? ? ? (2)若菱形ABCD的边长为2,则 | AB ? CB ? CD | =__________.

??? ??? ??? ? ? ? 【解析】(1)①不正确.因为 OA ? OB ? BA

②正确.因为 AB ? BA ? AB ? AB ? 0 ③正确.因为 AC ? BD ? CD ? AB ? (AC ? CD) ? (AB ? BD)
??? ??? ? ? ? AD ? AD ? 0 ??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? (2) AB ? CB ? CD ? AB ? BC ? CD ? AD ? 2.
??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

答案:(1)①×②√③√

(2)2

4.向量的数乘与共线向量定理
(1)向量的数乘

|λ ||a| ①长度: |λ a|=________
②方向: 相同 当λ >0时,λ a的方向与a的方向______; 相反 当λ <0时,λ a的方向与a的方向______, 0 当λ =0时,λ a=__,其方向是任意的.

(2)向量的数乘的运算律 (λ μ )a 设λ ,μ 为实数,则①λ (μ a)=________;

λ a+μ a λ a+λ b ②(λ +μ )a=________;③λ (a+b)=_________.
(3)共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ ,使得 ________. b=λ a

【即时应用】

(1)思考:在共线向量定理中,当a=0时,λ 还唯一吗?
提示:当a=0且b=0时,λ可以为任意实数,不唯一, 当a=0且b≠0时,λ不存在. (2)填空 ① 8(a+c)+7(a-c)-c=_____________.
1 1 ② [ (2a)+8b-(4b+2b)]=______________. 3 2

③设两非零向量e1,e2不共线,且k(e1+e2)∥(e1+ke2),则实数 k的值为_________.
??? ? ??? ? ④点C在线段AB上,且 AC ? 3 AB, 则 AC =____ CB . 5
??? ? ??? ?

【解析】①原式=8a+8c+7a-7c-c=15a.
②原式=
1 1 (a+8b-4b-2b)= (a+2b). 3 3

③∵k(e1+e2)∥(e1+ke2), ∴k(e1+e2)=λ(e1+ke2), 即(k-λ)e1=(λk-k)e2, ∵e1,e2不共线,
?k ? ? ? 0 ∴? , ??k ? k ? 0

解得k=0或1.

④∵ AB ? AC ? CB
??? 3 ??? 3 ??? ??? ? ? ? ? 又 ? AC ? AB ? (AC ? CB), 5 5 ??? 3 ??? ? ? ? AC ? CB 2 1 答案:①15a ② (a+2b) 3

??? ?

??? ??? ? ?

③0或1



3 2

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平面向量的有关概念 【方法点睛】 1.平面向量的概念辨析题的解题方法 准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键,特别是对相 等向量、零向量等概念的理解要到位,充分利用反例进行否定 也是行之有效的方法. 2.几个重要结论 (1)相等向量具有传递性,非零向量的平行具有传递性; (2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量;

(3)平行向量与起点无关.

【例1】已知下列命题: ①单位向量都相等 ②若a与b是共线向量,b与c是共线向量,则a与c是共线向量 ③两个有共同起点而长度相等的非零向量,它们的终点必相同 ④由于0方向不确定,故0不能与任意向量平行 ⑤如果a=b,b=c,则a=c

⑥如果|a|=|b|,则a与b的方向相同.
其中不正确的命题是____(请把不正确的命题的序号都填上).

【解题指南】以概念为判断依据,或通过举反例说明其不正确. 【规范解答】各单位向量的模都相等,但方向不一定相同,故 ①不正确;当b=0时,a与c可以为任意向量,故②不正确;

两个有共同起点而长度相等的非零向量,如果它们的方向相同,
则它们的终点必相同,否则终点不相同,故③不正确;规定0与 任意向量平行,故④不正确;如果a、b、c都为零向量,则a=c, 如果a、b、c为非零向量,则它们的长度都相等、方向相同,所 以a=c,故⑤正确;⑥不正确.

答案:①②③④⑥

【反思·感悟】平面向量的基本概念较多,比较容易遗忘,复 习时要构建良好的知识结构来帮助记忆,还可以与物理中、生

活中的模型进行类比和联想来记忆.

平面向量的线性运算

【方法点睛】1.平面向量的线性运算法则的应用
三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法,共 起点的向量和用平行四边形法则,差用三角形法则. 2.两个重要结论 (1)向量的中线公式:若P为线段AB中点,则 OP ? 1 (OA ? OB)
??? ? ???? ??? ? 2 ????? ?????? ?????? ? ??????? ????? ? ? (2)向量加法的多边形法则 A A ? A A ? A A ? … ? A A ? A A 1 2 2 3 3 4 n ?1 n 1 n

【提醒】当两个向量共线(平行)时,三角形法则同样适用.向
量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的,但

当两个向量共线(平行)时,平行四边形法则就不适用了.

【例2】在△ABC中,(1)若D是AB边上一点,且 AD ? 2DB CD ? ,
? ??? ? 1 ??? ) CA ? ?CB 则λ =( , 3 2 1 (A) (B) 3 3 (C) ? 1 (D)? 2 3 3

??? ?

??? ??? ? ?

(2)若O是△ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且
??? ??? ??? ? ? ? ) 2OA ? OB ? OC ? 0,那么( ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? (A) AO ? OD (B) AO ? 2OD ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? (C) AO ? 3OD (D) 2AO ? OD ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ? (3)若 | AB |?| AC |?| AB ? AC |? 2,则 | AB ? AC | =_________.

【解题指南】(1)D是AB边上的三等分点,把 CD 用 CA、 表 CB
??? ??? ? ? ??? ? 示;(2)由D为BC边中点可得 OB ? OC ? 2OD

??? ?

??? ??? ? ?

即可求解;(3)由

??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 可得△ABC为正三角形, | AB ? AC | 是 | AB |?| AC |?| AB ? AC |? 2

该正三角形高的2倍.

【规范解答】(1)选A. CD ? CA ? AD ? CA ? 2 AB ? CA ? 2 (CB ? CA)
3 3 ? ? 1 ??? 2 ??? ? CA ? CB 所以λ= 2 ,故选A. , 3 3 3 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? (2)选A.因为D为BC边中点,∴ OB ? OC ? 2OD ,又 2OA ? OB ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? , OC ? 0,∴ 2OA ? 2OD ? 0, 即 AO ? OD 故选A. ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? (3)∵ | AB |?| AC |?| AB ? AC |?| CB |? 2,

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

∴△ABC是边长为2的正三角形, | AB ? AC | 为三角形高的2倍,
??? ??? ? ? 所以 AB ? AC ? 2 3.

??? ??? ? ?

答案: 3 2

【反思·感悟】用已知向量来表示另外一些向量是解向量问题 的基础,除了利用向量的线性运算法则外,还应充分利用平面

几何的一些定理,如三角形的中位线定理、相似三角形的对应
边成比例等.

共线向量定理的应用 【方法点睛】1.共线向量定理及其应用 (1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共 线求参数的值.

(2)若a,b不共线,则λ a+μ b=0的充要条件是λ =μ =0,
这一结论结合待定系数法应用非常广泛. 2.证明三点共线的方法
??? ? ??? ? 若 AB ? ?AC 则A、B、C三点共线. ,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【例3】已知a,b不共线, ? a,OB ? b,OC ? c,OD ? d,OE ? e, OA

设t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C, D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值,若不存 在,请说明理由. 【解题指南】先假设存在,再用a,b表示目标向量,最后

判断是否有 CE ? kCD 成立即可.

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? 【规范解答】由题设知, =d-c=2b-3a, CE =e-c=(t-3)a+tb, CD

C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使 得 CE ? kCD, 即(t-3)a+tb=-3ka+2kb, 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b. 因为a,b不共线,所以有 ?
5

??? ?

??? ?

? t ? 3 ? 3k ? 0 6 ,解之得 t ? . 5 ? t ? 2k ? 0

故存在实数 t ? 6 使C,D,E三点在一条直线上.

【反思·感悟】(1)注意待定系数法在解决此类问题中的应用.
其中的k只是桥梁,可设而不求.

(2)本例中应用待定系数法求t的值时,不可忽视a,b不共线的
条件.

把握高考命题动向,体现区域化考试特点。本栏目以最新 的高考试题为研究素材,解析经典考题,洞悉命题趋势,展示

现场评卷规则。对例题不仅仅是详解评析,更是从命题层面评
价考题,从备考角度提示规律方法,拓展思维,警示误区。

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【创新探究】以向量为背景的新定义问题 【典例】(2011·山东高考)设A1、A2、A3、A4是平面直角坐
????? ? ????? ? ????? ? 标系中两两不同的四点,若 A1A3 ? ?A1A2(λ ∈R),A1A 4 ? ????? ? (μ ∈R),且 1 ? 1 ? 2, 则称A3,A4调和分割点A1,A2, ?A1A 2 ? ?

已知平面上的点C,D调和分割点A,B则下面说法正确的是

(

)

(A)C可能是线段AB的中点 (B)D可能是线段AB的中点 (C)C,D可能同时在线段AB上 (D)C,D不可能同时在线段AB的延长线上
????? ? ????? ? ????? ? 【解题指南】本题为信息题,由 A1A3 ? ?A1A 2 ? ? ? R ?, 1A 4 ? A

????? ? ?A1A 2 (μ∈R)知:A1,A2,A3,A4四点共线,且不重合.因为C,

D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直线上,设
??? ? ??? ??? ? ? ??? ? 1 1 AC ? cAB,AD ? dAB,则 ? ? 2, 然后逐项代入验证. c d

【规范解答】选D.由 A1A3 ? ?A1A2 (? ? R), 1A 4 ? ?A1A 2 (? ? R) A
知:四点A1,A2,A3,A4在同一条直线上,且不重合.

????? ?

????? ?

????? ?

????? ?

因为C,D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直线
??? ? ??? ??? ? ? ??? ? 上,设 AC ? cAB,AD ? dAB, 则 1 ? 1 ? 2 ,选项A中c= 1 ,此时 2 c d

d不存在,故选项A不正确;同理选项B也不正确;选项C中, 0<c<1,0<d<1, 1 ? 1 ? 2 ,也不正确,故选D.
c d

【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究,我们可以得到以下创

新点拨和备考建议: 本题有以下创新点:
创 (1)命题背景新颖,本题为新定义题目,用新定义考 新 查阅读能力与知识迁移能力; 点 (2)考查内容创新:以共线向量为背景,结合不等式, 拨 通过创新情境,考查化归与转化的数学思想方法和分

析问题、解决问题的能力.

备 (1)可通过特例、验证等方法理解新定义问题; 考 (2)化生为熟、化新为旧,设法把新定义问题转化为 建 熟悉的问题来解决; 议 (3)“按规则办事”,新定义问题怎么规定,就怎么办.

??? ? ??? ? ??? ? 1.(2012·海口模拟)如图所示,向量 OA ? a,OB ? b,OC ? c, ??? ? ??? ? A、B、C在一条直线上,且 AC ? ?3CB, 则(

)

(A) c ? ? 1 a ? 3 b
2 2

(B) c ? 3 a ? 1 b
2 2

(C) c ? ?a ? 2b

(D) c ? a ? 2b

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ? 【解析】选A.∵ OC ? OA ? AC ? OA ? 3BC
??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ? OA ? 3(OC ? OB) ? 3OC ? OA ? 3OB ??? ? ???? ??? ? ? 2OC ? ?OA ? 3OB ??? ? 1 3 ? c ? OC ? ? a ? b. 2 2

2.(2011·四川高考)如图,正六边形ABCDEF中,
??? ??? ??? ? ? BA ? CD ? EF =(

)
??? ? (B) BE

(A)0 (C) AD
????

(D) CF

???

??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 【解析】选D. BA ? CD ? EF ? DE ? CD ? EF ??? ??? ??? ? ? ? (CD ? DE) ? EF ??? ??? ??? ? ? CE ? EF ? CF. 故选D.

3.(2011·北京高考改编)已知向量a、b不共线,若a-2b与3a+kb共

线,则实数k=________.
【解析】因为a-2b与3a+kb共线,所以存在实数λ使得a-2b= λ(3a+kb),整理得(3λ-1)a+(kλ+2)b=0,又因为向量a、b不共
1 ? ?3? ? 1 ? 0 ?? ? 线,所以 ? ,? ? 3 . ?k? ? 2 ? 0 ?k ? ?6 ?

答案:-6


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