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05竞赛辅导(五)函数方程与迭代


竞赛辅导(五)函数方程与迭代
函数方程 与迭代

思考1,2,3

练习

课外思考

1

四、函数方程与迭代 1.函数方程的定义:含有未知函数的等式叫做函数方程.如 f(x+1)=x、 f(-x)=f(x)、f(-x)= -f(x)、f(x+2)=f(x)等.其中

f(x)是未知函数 2.函数方程的解:能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解. 如 f(x)=x-1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解 3.解函数方程:求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程 4.定理(柯西函数方程的解) 若 f(x)是单调(或连续)函数且满足 f(x+y)=f(x)+f(y) (x,y∈R)、则 f(x)=xf(1).
5.函数方程的解法: 代换法(或换元法) 把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换(代换时应注意使函数 的定义域不会发生变化) ,得到一个新的函数方程,然后设法求得未知函数 待定系数法 当函数方程中的未知数是多项式时,可用此法经比较系数而得
2

四、函数方程与迭代 思考 1. (第 32 届美国中学生数学竞赛题) 函数 f(x)在 x=0 处没有定义,但对所有非零实数 x 有 1 f(x)+2 f ( ) =3x.满足方程 f(x)=f(-x)的实数( B ). x (A)恰有一个 (B)恰有两个 (C) 有无穷多个 (D) 不存在 思考 2.(第 14 届(2003 年)希望杯高一第 1 试)设 f1 ( x ) ?
*

而 fn?1 ( x) ? f1 ? fn ( x)? , n ? N 记 an ? f n (2) ? 1 ,则 a99 =_____. ? ? 101 f n (2) ? 2 思考 3 设定义在 R 上的函数 f (x) ,满足当 x ? 0 时, f ( x ) ? 1, 且对任 意 x, y ? R, 有 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ), f (1) ? 2. ⑴求 f (0) ;⑵求证:对任意 x ? R, 都有f ( x ) ? 0; 1 2 2 ⑶解不等式 f (3 x ? x ) ? 4 ;⑷解方程 [ f ( x )] ? f ( x ? 3) ? f (2) ? 1 2
3

1 ? 2

2 , x ?1

思考1答案

思考3答案

思考 1. (第 32 届美国中学生数学竞赛题) 函数 f(x)在 x=0 处没有定义,但对所有非零实数 x 有 1 f(x)+2 f ( ) =3x.满足方程 f(x)=f(-x)的实数( ). x (A)恰有一个 (B)恰有两个 (C) 有无穷多个 (D) 不存在

1 1 3 1 解: f ( x ) ? 2 f ( ) ? 3 x ① 以 换 x 得 f ( ) ? 2 f ( x ) ? ② x x x x

1 6 2 由①,②两式消去 f ( ) 得 3f(x)= -3x,∴f(x)= -x.③ x x x
2 2 4 又由 f(x)=f(-x),将③代入得 ? x ? ? ? x ,即 ? 2 x ? 0 , x x x 2 2-x =0,∴x= ? 2 .故应选(B). 4

x x x ⑵ f ( x ) ? f ( ? ) ? [ f ( )]2 ≥ 0 .假设存在某个 x0 ? R, 使f ( x0 ) ? 0 , 2 2 2 则对任何 x ? 0, 有f ( x) ? f [( x ? x0 ) ? x0 ] ? f ( x ? x0 ) ? f ( x0 ) ? 0 与已知矛盾, ? x ? R 均为满足 f ( x ) ? 0 . ⑶任取 x1 , x2 ? R且x1 ? x2 , 则 x2 ? x1 ? 0, f ( x2 ? x1 ) ? 1

3.⑴ f ( x ) ? f ( x ? 0) ? f ( x ) ? f (0),? x ? 0 时, f ( x ) ? 1,? f (0) ? 1

? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 )[ f ( x2 ? x1 ) ? 1] ? 0 ? x ? R 时, f ( x ) 为单调递增函数 ? f (1) ? 2, 则 f (2) ? f (1) ? f (1) ? 4 ? f (3 x ? x2 ) ? 4 ? f (2),? 3 x ? x2 ? 2 1 ? x ? 2 ? ∴不等式的解集为 { x | 1 ? x ? 2} (4) f (3) ? f (1 ? 2) ? f (1) ? f (2) ? 8 1 1 2 2 方程 [ f ( x )] ? f ( x ? 3) ? f (2) ? 1 可化为 [ f ( x )] ? ? f (3) ? f ( x ) ? 5, 2 2 即 [ f ( x)]2 ? 4 f ( x) ? 5 ? 0, 解得f ( x) ? 1或f ( x ) ? ?5 (舍) , 由(1)得 x=0.故原方程的解为 x=0.
5

1 2 3 练习 x +x+ 2 4 1.已知 f(2x-1)=x +x,那么 f(x)=_______. 4

2.(教程 P93 2 )已知 f(x)=ax +bx+c,若 1 1 2 f(0)=0 且 f(x+1)=f(x)+x+1,则 f(x)= 2 x + 2 x .

2

y 3. 函 数 f ( x ) 对 于 任 意 实 数 x 、 , 都 满 足 f ( x ? y 2 ) ? f ( x) ? 2 f 2 ( y) ,且 f (1) ? 0 ,则 f (1998) ? ___. 999

4. (教程 P93 6 )已知函数 f(x)对于 x>0 有意义, 且满 足条件 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是增函数. ⑴证明 f(1)=0; x≥1+ 5 . ⑵若 f(x)+f(x-2)≥2 成立,求 x 的取值范围.
3答案 4答案

6

3.[第 9 届(1998 年)希望杯数学竞赛高一第 2 试] y 函数 f ( x ) 对于任意实数 x 、 , 都满足

f ( x ? y ) ? f ( x) ? 2 f ( y) ,且 f (1) ? 0 ,则 f (1998) ? ___.
2 2

[解]取 x ? y ? 0 ,则 f (0) ? f (0) ? 2 f 2 (0) ,∴ f (0) ? 0 取 x ? 0, y ? 1 ,则 f (1) ? f (0) ? 2 f 2 (1) ? 2 f 2 (1) 1 ∵ f (1) ? 0 ,∴ f (1) ? 2 取 x ? n, y ? 1 ,则 f (n ? 1) ? f (n) ? 2 f 2 (1)
1 ∴ f ( n ? 1) ? f ( n) ? , 2 n ∴ f ( n) ? ,∴ f (1998) ? 999 2
7

4. (教程 P93 6 )已知函数 f(x)对于 x>0 有意义, 且满 足条件 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是增函数. ⑴证明 f(1)=0; ⑵若 f(x)+f(x-2)≥2 成立,求 x 的取值范围.
[解] (1)令 x=2,y=1,则 f(2×1)=f(2)+f(1),得 f(1)=0. (2)由 f(x)+f(x-2)=f(x2-2x) ≥2, 而 2=1+1=f(2) +f(2)=f(4),得 f(x2-2x)≥f(4). 2 2 又∵f(x)为增函数,∴x -2x≥4,即 x -2x-4≥0, 解得 x≥1+ 5 或 x≤1- 5 . 又因为 f(x)对 x>0 有意义,故 x.>0 且 x-2>0, 即 x>2.由以上知所求 x 的范围为 x≥1+ 5 . 8

课外思考: 2 1. 已知二次函数 f (x)=ax +bx+c(a>0)的图象与 x 轴有 两个不同的公共点,若 f (c)=0,且 0<x<c 时,f (x)>0.
1 (1)试比较 与 c 的大小; a

(2)证明:-2<b<-1;
a b c ? ? >0. (3)当 c>1,t>0 时,求证: t ? 2 t ?1 t 2.在边长为 10 的正三角形 ABC 中, 以如图所示的方式内接两个正方形 (甲、乙两个正方形有一边相重叠, 都有一边落在 BC 上,甲有一顶点 在 AB 上,乙有一顶点在 AC 上) , 试求这样内接的两个正方形面积和的最小值.

9

1 (2)证: f (c)=0?ac+b+1=0,∴b=-1-ac<-1, ∵ ? c , a b 1 ∴ c ? ? ? ? b ? ?2 ,∴-2<b<-1 . 2a a

1(1)证:∵f (x)的图象与 x 轴有两个不同的公共点,∴方程 f (x) =0 有两个 不同的实根.∵f (c)=0, 是方程 f (x)=0 的一个根,设方程的另一根为 x0, ∴c c 1 1 1 则 c ? x0 ? , x0 ? ,若 ? c ,由 0<x<c 时,f (x)>0 得: f ( ) ? 0 ,与 a a a a 1 1 1 f ( ) ? 0 矛盾,又方程 f (x)=0 有两个不同的实根,∴ ≠c,因此 ? c a a a

(3)证:∵0<1<c,∴f (1)>0,即 a+b+c>0 ? b>-a-c a b c a a c c ?a c ?a c c ?a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? t ? 2 t ? 1 t t ? 2 t ? 1 t ? 1 t (t ? 2)(t ? 1) t (t ? 1) t (t ? 1) t (t ? 1) t (t ? 1) c?a 1 1 a b c ? c ,c>1 ∴ a ? ? 1 ? a<c,∴ ? ? ?0 ? 0 ,故 又∵ a c t ? 2 t ?1 t t ( t ? 1)
10

2.在边长为 10 的正三角形 ABC 中,以如图所示的方式内接两个正方形 (甲、 乙两个正方形有一边相重叠, 都有一边落在 BC 上, 甲有一顶点在 AB 上,乙有一顶点在 AC 上) ,试求这样内接的两个正方形面积和的最小值.
解:设甲、乙两正方形的边长分别为 易知 BC 边上的四条线段之和为:
x, y ,

3 3 3 (1 ? ) x ? (1 ? ) y ? 10 ,记 1 ? ?k, 3 3 3 10 则 y ? ? x ,设两正方形面积之和为 S , k 10 5 2 50 2 2 则有 S ? x ? ( ? x ) ? 2( x ? ) ? 2 , k k k 5 5 当 x ? ? (3 ? 3) ? y 时, k 2 50 450 25 S 取得最小值,其最小值是 Smin ? 2 ? ? (3? 3) 2 . k 2 11 (3 ? 3) 2


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