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专题四 集合


专题四

集合、逻辑用语、不等式、函数与导数

一.课程标准要求
1.集合 (1)了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系. (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感 受集合语言的意义和作用. (3)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中,了解全集 与空集的含义

. (4)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集. (5)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. (6)能使用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 2.常用逻辑用语 (1)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题. (2)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,会分析四种命题的相互关系. (3)通过数学实例,了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义. (4)通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义. (5)能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 3.不等式 (1)通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系. (2)经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程. (3)通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 会解一元二次不等式. (4)探索并了解基本不等式 ab ? 4.函数 (1)① 通过丰富实例, 进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型, 在此基 础上学习用集合与对应的语言来刻画函数, 体会对应关系在刻画函数概念中的作用; 了解构 成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念. ② 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示 函数.
1

a?b 的证明过程,会用其解决简单的最值问题. 2

③ 通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. ④ 通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义; 结合具体函数,了解奇偶性的含义. ⑤ 学会运用函数图象理解和研究函数的性质. (2)指数函数 ① 通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的 14C 的衰减,药物在人体内残留量的变化 等),了解指数函数模型的实际背景. ② 理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. ③ 理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并 理解指数函数的单调性与特殊点. ④ 在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型. (3)对数函数 ① 理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对 数;通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用. ② 通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念, 体会对数函数是一类重要的函数模型; 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象, 探 索并了解对数函数的单调性与特殊点. ③ 知道指数函数 y=ax 与对数函数 y=loga x 互为反函数(a>0, a≠1). (4)幂函数

1 通过实例,了解幂函数的概念;结合函数 y ? x , y ? x , y ? x , y ? , y ? x 2 的 x
2 3

1

图象,了解它们的变化情况. (5)函数与方程 ① 结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点 与方程根的联系. ② 根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是 求方程近似解的常用方法. (6)函数模型及其应用 ① 利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异;结合实例体会直线上升、 指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.
2

② 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等) 的实例,了解函数模型的广泛应用. 5.导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义 ①了解导数概念的实际背景. (2)导数的运算 ① 能根据导数定义求函数 y ? C , y ? x , y ? x 2 , y ? x 3 , y ? ②通过函数图象直观地理解导数的几何意义.

1 , y ? x 的导数. x

② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求 简单的复合函数(仅限于形如 f (ax ? b) )的导数. ③ 会使用导数公式表. (3)导数在研究函数中的应用 ① 结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数 的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间. ② 结合函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不超过 三次的多项式函数的极大值、极小值,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、 最小值;体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性. (4)生活中的优化问题举例. 例如,通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中 的作用. (5)定积分与微积分基本定理 通过实例 (如求曲边梯形的面积、 变力做功等) , 从问题情境中了解定积分的实际背景; 借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念.

二. 考试说明要求
考试内容 A 集合 与常 用逻 集合的基本关系
3

要求层次 B C

集合的含义 集合 集合的表示

√ √ √

辑用 语 常用逻 辑用语

集合的基本运算 “若 p 则 q” 形式的命题及其逆命题、 否命题与逆否命题 四种命题的相互关系 充要条件 简单逻辑联结词 全称量词与存在量词 √



√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √

函数 概念 与指 数函 数、 对数 函 数、 幂函 数

函数

函数的概念与表示 映射 单调性与最大(小)值 奇偶性

指数函 数

有理指数幂的含义 实数指数幂的意义 幂的运算 指数函数的概念、图像和性质

对数函 数

对数的概念及其运算性质 换底公式 对数函数的概念、图像及其性质 指 数 函 数 y=ax 与 对 数 函 数 y=logax(a>0,a≠1)互为反函数

幂函数

幂函数的概念 幂函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x1/2 的图 像及其性质

√ √

函数的 模型及 其应用 导数 及其 应用 概念及 其几何 意义

函数的零点 二分法 函数模型的应用 导数的概念 导数的几何意义

√ √ √ √ √

4

导数的 运算

定义求 y ? C , y ? x , y ? x 2 ,



y ? x3 , y ?

1 , y ? x 的导数 x
√ √

导数的四则运算 简单的复合函数(仅限于形如

f (ax ? b) )的导数
导数公式表 导数在 研究函 数中的 应用 利用导数研究函数的单调性(其中 多项式函数 不超过三次) 函数的极值、最值(其中多项式函 数 不超过三次) 利用导数解决某些实际问题 定积分 与微积 分基本 定理 定积分的概念 微积分基本定理 √ √ √ √ √ √

三. 近五年高考试题分布 1.集合、逻辑用语、不等式
年份 题号 5 2009 13 20 1 2010 6 20 2011 1 1 2012 3 14 题型 选择题 填空题 解答题 选择题 选择题 解答题 选择题 选择题 选择题 填空题 考查内容 充要条件、三角函数 函数、不等式 集合与数列,综合能力、创新意识 集合运算 向量运算、充要条件 集合、综合能力、创新意识 解不等式、集合运算 解不等式、集合运算 充要条件、复数 逻辑用语、函数
5

分值 5 5 14 5 5 14 5 5 5 5

占总分值比 3.3% 3.3% 9.3% 3.3% 3.3% 9.3% 3.3% 3.3% 3.3% 3.3%

20 1 2013 3

解答题 选择题 选择题

集合、综合能力、创新意识 集合及运算 充要条件

13 5

8.7% 3.3% 3.3%

2.函数
年份 2009 题号 3 13 2010 2011 14 6 8 2012 2013 14 5 题型 选择题 填空题 填空题 选择题 选择题 填空题 选择题 考查内容 函数图象的平移变换 分段函数和简单绝对值不等式的解法 函数的周期性、零点和创新能力 分段函数 函数的值域 二次函数、指数函数的图象和单调性 函数图像及变换 分值 5 5 5 5 5 5 5 3.3% 3.3% 3.3% 6.7% 占总分比 6.7%

3.导数
年份 2009 题号 11 18 题型 填空题 解答题 考查内容 导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念 利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式 等基础知识 2010 2011 2012 18 18 18 解答题 解答题 解答题 利用导数研究函数的单调性和切线问题 利用导数研究函数的单调性和极值、最值 利用导数研究函数的单调性、切线、极值和最 值 2013 18 解答题 利用导数求切线方程、研究函数的性质 13 8.7% 13 13 13 8.7% 8.7% 8.7% 分值 5 13 12% 占总分比

四. 知识结构

6

解析法 映射 定义 表示 定义域 三要素 对应关系 值域 单调性 奇偶性 性质 函数 最值
平移变换

列表法 使解析式有意义 换元法求解析式 注意应用函数的单调性求值域
1、函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同;2、 证明单调性:作差(商) 、导数法;3、复合函数的单调性 定义域关于原点对称,在 x=0 处有定义的奇函数→f (0)=0

图象法

周期性 对称性

周期为 T 的奇函数→f (T)=f (2)=f (0)=0 二次函数、基本不等式、打钩(耐克)函数、 三角函数有界性、数形结合、导数. 一次、二次函数、反比例函数 幂函数 指数函数 对数函数 图象、性质 和应用

T

图象及其变换

对称变换 翻折变换 伸缩变换

基本初等函数 分段函数 复合函数 抽象函数 函数与方程 函数的应用 导数的概念 基本初等函数的导数 导数 导数的运算法则 单调性 导数的应用 极值 定积分与微积分 定积分与图形的计算 最值 零点 三角函数 复合函数的单调性:同增异减 赋值法、典型的函数

二分法、图象法、二次及三次方程根的分布 建立函数模型

几何意义、物理意义 三次函数的性质、图象与应用

导数的正负与单调性的关系 生活中的优化问题

7

第一讲
一、主干知识梳理
1.集合的基本概念

集合与常用逻辑用语

(1)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性. (2)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法. (3)子集、真子集、空集、集合相等的概念. 2.集合的基本运算 (1)交集:A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. (2)并集:A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. (3)补集:?UA={x|x∈U,且 x A}. 3.运算性质及重要结论 (1)A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A. (2)A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A. (3)A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U. (4)A∩B=A?A?B,A∪B=A?B?A. 4.四种命题及其关系 (1)命题的定义 可以判断真假的语句叫做命题,可以写成“若 p,则 q”的形式,其中 p 是条件,q 是结 论. (2)四种命题间的关系 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 5.充分条件与必要条件 (1)充要条件:若 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;若 p?q,则 p,q 互为充 要条件; (2)充要条件与集合:设命题 p 对应集合 A,命题 q 对应集合 B,则 p?q 等价于 A?B,p?q 等价于 A=B. 6.简单的逻辑联结词 (1)逻辑联结词“且”,“或”,“非” 用逻辑联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来,就得到一个新命题,记作“p∧q”; 用逻辑联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来,就得到一个新命题,记作“p∨q”;
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对一个命题 p 全盘否定,就得到一个新命题,记作“ ? p”. (2)命题 p∧q,p∨q 及 ? p 真假可以用下表来判定. p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∧q 真 假 假 假 p∨q 真 真 真 假

?p
假 假 真 真

称量词与存在量词 (1)全称命题 p:?x∈M,p(x). (2)特称命题 p:?x0∈M,p(x0). 它的否定 ? p:?x0∈M, ? p(x0). 它的否定 ? p:?x∈M, ? p(x).

二、重点题型分类 题型一 例1 集合间的关系及运算问题
已知集合 A={1,2},B={1,2,3,4,5},且 A ?M?B,则满足上述条件的集合 M 有

________个. 解 ∵A ?M, ∴M 中一定含有 A 的全部元素 1,2,且至少含有一个不属于 A 的元素. 又∵M?B, ∴M 中的元素除了含有 A 的元素 1,2 外,还有元素 3,4,5 中的 1 个、2 个或 3 个.故求 M 的
3

问题转化为研究集合{3,4,5}的非空子集的问题,显然所求集合 M 有 2 -1=7 个.

变式训练 1

已知集合 A={x|-2≤x≤4},B={x|x>a}.

(1)若 A∩B≠?,则实数 a 的取值范围是________; (2)若 A∩B≠A,则实数 a 的取值范围是________; (3)若 A∪B=B,则实数 a 的取值范围是________.

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解析:A={x|-2≤x≤4},B={x|x>a},将集合 A、B 表示在数轴上(注:集合 B 表示的范围 随着 a 值的变化而在移动),如图所示,要注意的就是对于端点值的取舍. 答案:(1){a|a<4} (2){a|a≥-2} (3){a|a<-2}

题型二
例2

四种命题与充要条件
分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.

(1)实数的平方是非负数; (2)若 q≤1,则方程 x2+2x+q=0 有实根. 解析: (1)原命题是真命题. 逆命题:若一个数的平方是非负数,则这个数是实数.真命题. 否命题:若一个数不是实数,则它的平方不是非负数.真命题. 逆否命题:若一个数的平方不是非负数,则这个数不是实数.真命题. (2)原命题是真命题. 逆命题:若方程 x2+2x+q=0 有实根,则 q≤1.真命题. 否命题:若 q>1,则方程 x2+2x+q=0 无实根.真命题. 逆否命题:若方程 x2+2x+q=0 无实根,则 q>1.真命题 变式训练 2 对于函数 y=f(x), x∈R, “y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y=f(x)是奇函数” 的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ( )B

题型三
例3

“逻辑联结词”的应用问题

下列命题是假命题的是________.(填序号)(4) (5)

①命题“若 x≠1,则 x2-3x+2≠0”的逆否命题是“若 x2-3x+2=0,则 x=1”; π ②若 0<x< ,且 xsin x<1,则 xsin2x<1; 2 ③对于命题 p:?x∈R,使得 x2+x+1<0,则 ? p:?x∈R,均有 x2+x+1≥0; 3 ④“x>2”是“ -1≤0”的充要条件; x+1
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⑤若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题. 变式训练 3 分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题,并指出复合命题的真假. (1)5 或 7 是 30 的约数; (2)菱形的对角线互相垂直平分; (3)8x-5<2 无自然数解. 解 (1)是“p 或 q”的形式.其中 p:5 是 30 的约数(真);q:7 是 30 的约数(假).为真命题. (2) 是 “p 且 q” 的形式. 其中 p: 菱形的对角线互相垂直(真); q: 菱形的对角线互相平分(真). 为 真命题. (3)是“非 p”的形式.其中 p:8x-5<2 有自然数解.如 x=0,则 p 为真命题. 故“非 p” 为假命题. 题型四 含有量词的命题问题

例 4 写出下列命题的否定,并判断真假. (1)p:对任意的正数 x,>x-1; (2)q:三角形有且仅有一个外接圆; (3)r:存在一个三角形,它的内角和大于 180° . 解 (1) p:存在正数 x,≤x-1,真命题. (2) (3) q:存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆,假命题. r:所有三角形的内角和小于或等于 180° ,真命题.
2 4

变式训练 4 给出下列命题:①?x∈R,x +2>0;②?x∈N,x ≥1;
3 2

③?x∈Z,x <1;④?x∈Q,x =3.其中真命题的个数为(

)

11

A. 1

B. 2

C. 3
2

D. 4
2

解 因为①中由?x∈R,显然 x ≥0,故 x +2>0,所以为真命题;
4 4

②中令 x=0,易知 x =0,故 x ≥1 不成立,为假命题;
3

③中令 x=0,易知?x∈Z,x <1 成立,为真命题;
2

④中由 x∈Q 得知使 x =3 成立的元素 x 不存在,为假命题.所以真命题的个数为 2,故选 B.

三、规律方法总结(请同学自己完成)

四、专题限时训练 (一)选择题
1. 集合{(x,y)|y=2x-1}表示( A. 方程 y=2x-1 B. 函数 y=2x-1 图象上的所有点的纵坐标组成的集合 C. 平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D. 函数 y=2x-1 图象上的所有点组成的集合 答案:D 2. 设集合 A={x|x>-1},B={x|-2<x<2},则 A∪B=( A. {x|x>-2} C. {x|-2<x<-1} 解析:用数轴表示集合 A 和 B, 如图所示, 则阴影部分就是 A∪B,所以 A∪B={x|x>-2}. 答案:A
12

)

)

B. {x|x>-1} D. {x|-1<x<2}

π π 3. 设命题 p:函数 y=sin 2x 的最小正周期为 ;命题 q:函数 y=cos x 的图象关于直线 x= 2 2 对称.则下列判断正确的是 ( A.p 为真 C.p∧q 为假 )C B. ? q 为假 D.p∨q 为真 )

4. 与命题“若 a∈M,则 b?M”等价的命题是( A. 若 a?M,则 b?M C. 若 a?M,则 b∈M

B. 若 b?M,则 a∈M D. 若 b∈M,则 a?M

解析:原命题与其逆否命题是等价的. 答案:D 5.已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2≥3”的否命题是( A.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3 B.若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2<3 C.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2≥3 D.若 a2+b2+c2≥3,则 a+b+c=3 1 6. 若集合 A={x|log4x≤ },B={x||x+1|≥2},则(?RA)∩B =( 2 A.(-∞,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-3)∪[2,+∞) ) )A

B.(-∞,-3]∪(2,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞)

?x>0, ? 1 解析 由 log4x≤ ,得? 即 0<x≤2,故 A={x|0<x≤2}, 2 ? ?x≤4 =2

由补集的定义, 可知?RA={x|x≤0 或 x>2}; 由|x+1|≥2,得 x+1≤-2 或 x+1≥2, 解得 x≤-3 或 x≥1, 所以 B={x|x≤-3 或 x≥1}. 所以(?RA)∩B={x|x≤-3 或 x>2}.故选 B. (-∞,-3]∪(2,+∞)

(二)填空题
7.已知集合 A={x ? R||x+2|<3} ,集合 B={x ? R|(x ? m)(x ? 2)<0} ,且 A

B=( ? 1,n) ,则

m= __________, n= ___________.-1,1
8. 命题“若 a>1,则 a>0”的逆命题是“________________”,逆否命题是 “______________________”.
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答案:若 a>0,则 a>1 若 a≤0,则 a≤1 9.下列命题的否定表述正确的有________. ①p:面积相等的三角形是全等三角形;
2 2

p:面积相等的三角形不是全等三角形;
2 2

②p:?x∈R,x -2x+2≥1-x ; ③p:?x∈R,sin x>1;

p:?x∈R,x -2x+2≥1-x ;

p:?x∈R,sin x≤1.
2

解析:①

p 应为:有些面积相等的三角形不是全等三角形;②
2

p 应为:?x∈R,x

-2x+2<1-x . 10. 若集合 A={-1,1},B={0,2},则集合{z︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为
2 2 11. 设全集 U={x x ? 5, 且x ? N * },集合 A={x x ? 5 x ? q ? 0 },B={ x x +px+12=0},且

(CUA) ? B={1,4,3,5},则实数 p=

、q=

.

12. 已知 f(x)=m(x-2m)· (x+m+3), g(x)=2x-2, 若同时满足条件: ①?x∈R, f(x)<0 或 g(x)<0; ②?x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0. 则 m 的取值范围是 .-4<m<-2

专题一答案与提示 第一讲 变式 1 限时训练: 例1

第二讲
一、主干知识梳理

函数的图象与性质

1.函数的三要素:定义域、值域、对应关系 两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数, 定义域和对应关系相同 的两个函数是同一函数. 2.函数的图象 对于函数的图象要会作图、识图、用图. 作函数图象有两种基本方法:一是描点法,二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、
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伸缩变换、对称变换. 3.函数的性质 (1)单调性 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1, x2, 且 x1<x2, 都有 f(x1)<f(x2) 成立,则 f(x)在 D 上是增函数(都有 f(x1)>f(x2)成立,则 f(x)在 D 上是减函数). (2)奇偶性 对于定义域内的任意 x(定义域关于原点对称), 都有 f(-x)=-f(x)成立, 则 f(x)为奇函数 (都有 f(-x)=f(x)成立,则 f(x)为偶函数). (3)周期性 周期函数 f(x)的最小正周期 T 必须满足下列两个条件: ①当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x);②T 是不为零的最小正数. (4)最值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: ①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M(f(x)≥M); ②存在 x0∈I,使 f(x0)=M,那么称 M 是函数 y=f(x)的最大值(最小值). 4.函数单调性的判定方法 (1)定义法:取值,作差,变形,定号,作答. 其中变形是关键,常用的方法有:通分、配方、因式分解. (2)导数法. (3)复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则. 5.函数奇偶性的判定方法 (1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件. (2)对于定义域内的任意一个 x, 若都有 f(-x)=f(x),则 f(x)为偶函数; 若都有 f(-x)=-f(x),则 f(x)为奇函数; 若都有 f(-x)-f(x)=0,则 f(x)为偶函数; 若都有 f(-x)+f(x)=0,则 f(x)为奇函数. 6.指数函数与对数函数的图象和性质 指数函数
x

对数函数 形如 y=log x(a>0 且 a≠1)的函数叫对
a

定义

形如 y=a (a>0 且 a≠1)的函数叫指数 函数
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数函数

图象 定义域 值域 过定点 R {y|y>0} (0,1) 0<a<1 时,在 R 上单调递减; a>1 时,在 R 上单调递增 0<a<1, 当 x>0 时,0<y<1; 函数值 性质 当 x<0 时,y>1 a>1,当 x>0 时,y>1; 当 x<0 时,0<y<1 {x|x>0} R (1,0) 0<a<1 时,在(0,+∞)上单调递减; a>1 时,在(0,+∞)上单调递增 0<a<1, 当 x>1 时,y<0; 当 0<x<1 时,y>0 a>1,当 x>1 时,y>0; 当 0<x<1 时,y<0

单调性

二、重点题型分类 题型一
例1

函数的图像及应用
2 ? ?x +bx+c, ? 设函数 f(x)= ? ?2, x>0,

x≤0,

其中 b>0,c∈R.当且仅当 x=-2 时,函数

f(x)取得最小值-2. (1)求函数 f(x)的表达式; (2)若方程 f(x)=x+a(a∈R)至少有两个不相同的实数根,求 a 取值的集合. 解:(1)∵当且仅当 x=-2 时,函数 f(x)取得最小值-2. b ∴二次函数 y=x2+bx+c 的对称轴是 x=- =-2. 2 且有 f(-2)=(-2)2-2b+c=-2,即 2b-c=6. ∴b=4,c=2.
?x2+4x+2,x≤0, ? ∴f(x)=? ? ?2,x>0.

(2)记方程①:2=x+a(x>0), 方程②:x2+4x+2=x+a(x≤0). 分别研究方程①和方程②的根的情况: (ⅰ)方程①有且仅有一个实数根?a<2,方程①没有实数根?a≥2. (ⅱ)方程②有且仅有两个不相同的实数根,即方程 x2+3x+2-a=0 有两个不相同的非 正实数根.
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? ? ?a>-4 ?Δ=9-4?2-a?>0 ? ∴ ?? ?2-a≥0 ? ? ?a≤2

1

1 ?- <a≤2; 4

方程②有且仅有一个实数根,即方程 x2+3x+2-a=0 有且仅 有一个非正实数根. ∴2-a<0 或 Δ=0, 1 即 a>2 或 a=- . 4 1 综上可知,当方程 f(x)=x+a(a∈R)有三个不相同的实数根时,- <a<2; 4 1 当方程 f(x)=x+a(a∈R)有且仅有两个不相同的实数根时,a=- 或 a=2. 4 1 ? ∴符合题意的实数 a 取值的集合为? ?-4,2?.

变式训练 1

已知定义在 R 上的奇函数 f(x),满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上

是增函数,若方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2 +x3+x4=________. 解析: 因为定义在 R 上的奇函数, 满足 f(x-4)=-f(x), 所以 f(x-4)=f(-x). 由 f(x)为奇函数, 得函数图象关于直线 x=2 对称且 f(0)=0,由 f(x-4)=-f(x)知 f(x-8)=f(x),所 以函数是以 8 为周期的周期函数. 又因为 f(x)在区间[0,2]上是增函数, 所以 f(x)在区间[-2,0] 上也是增函数,如图所示.那么方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2, x3,x4,不妨设 x1<x2<x3<x4 由对称性知 x1+x2=-12,x3+x4=4,所以 x1+x2+x3+x4=-12 +4=-8. 答案:-8

题型二
例2

函数的性质及应用
已知函数 f(x)=a· 2x+b· 3x,其中常数 a,b 满足 ab≠0.

(1)若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时 x 的取值范围. 解 (1)当 a>0,b>0 时,任意 x1,x2∈R,x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=a(2x1-2x2)+b(3x1-3x2). ∵2x1<2x2,a>0?a(2x1-2x2)<0,
17

3x1<3x2,b>0?b(3x1-3x2)<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,函数 f(x)在 R 上是增函数. 当 a<0,b<0 时,同理,函数 f(x)在 R 上是减函数. (2)f(x+1)-f(x)=a· 2x+2b· 3x>0, 3?x a 当 a<0,b>0 时,? ?2? >-2b, a - ?; 则 x>log1.5? 2 ? b? 3?x a 当 a>0,b<0 时,? < - , 2 ? ? 2b a - ?. 则 x<log1.5? ? 2b?

变式训练 2 设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(1-m)<f(m),则实 数 m 的取值范围是________. 1? ? 提示: f(x)是偶函数,∴f(x)=f(|x|),答案?-1, ? 2? ?

题型三

最值与恒成立问题
2

x2 例 3. 已知定义在区间[0,2]上的两个函数 f(x)和 g(x), 其中 f(x)=x -2ax+4 (a≥1), g(x)= . x+1 (1)求函数 y=f(x)的最小值 m(a); (2)若对任意 x1,x2∈[0,2],f(x2)>g(x1)恒成立,求 a 的取值范围. 解 (1)由 f(x)=x2-2ax+4=(x-a)2+4-a2,
?4-a2,1≤a<2, ? 得 m(a)=? ?8-4a,a≥2. ?

(2)当 x∈[0,2]时, x2+2x g′(x)= ≥0. ?1+x?2 所以 g(x)在区间[0,2]上单调递增, 4 0, ? . 故 g(x)∈? ? 3? 由题设知 f(x2)min>g(x1)max, 1≤a<2, a≥2, ? ? ? ? 故? 或? 4 4 4-a2> , ? ? 3 ? ?8-4a>3. 2 6 解得 1≤a< . 3
18

? 2 6? 所以所求 a 的取值范围是?1, ?. 3 ? ? 变式训练 3 已知函数 f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab(a≠0),当 x∈(-3,2)时,f(x)>0;
当 x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域; (2)c 为何值时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立? f(x)=-3x2-3x+18. (1) [12,18] ; (2)c≤-2.

三、规范答题模板
例. (2010 海淀期中,本小题共 13 分) 已 知 函 数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c , x ?[0,6] 的 图 象 经 过 ( 0, 0)和

y

P

(6,0) 两点, 如图所示, 且函数 f ( x) 的值域为 [0,9] .过动点 P (t , f (t ))
作 x 轴的垂线,垂足为 A ,连接 OP . (I)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)记 ?OAP 的面积为 S ,求 S 的最大值. O 解: (I)由已知可得函数 f ( x) 的对称轴为 x ? 3 ,顶点为 (3,9) . . A ..........2 分
6

x

? ? f ( 0) ? 0 ? ? b ?3 方法一:由 ?? 2 a ? ? 4ac ? b 2 ?9 ? ? 4a
得 a ? ?1, b ? 6, c ? 0 得 f ( x) ? 6x ? x , x ?[0,6]
2

...........5 分 ...........6 分 ...........4 分 ...........5 分 ...........6 分 ...........8 分 ...........9 分

方法二:设 f ( x) ? a( x ? 3) ? 9
2

由 f (0) ? 0 ,得 a ? ?1

f ( x) ? 6x ? x2 , x ?[0,6]
(II) S (t ) ?

1 1 OA ? AP ? t (6t ? t 2 ), t ? (0,6) 2 2 3 3 S ' (t ) ? 6t ? t 2 ? t (4 ? t ) 2 2

19

列表

t
S '(t ) S (t )

(0, 4)


4 0 极大值

(4,6)
- ...........11 分

由上表可得 t ? 4 时,三角形面积取得最大值. 即 S (t ) max ? S (4) ?

1 ? 4(6 ? 4 ? 42 ) ? 16 . 2

...........13 分

四、规律方法总结(请同学自己完成)

五、专题限时训练 (一)选择题
?x2+1,x≤1, ? 1. 若函数 f(x)=? 则 f(f(10))= ? ?lg x,x>1,

( D.0

)

A.lg 101

B.2

C .1

2. 设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 A.|f(x)|-g(x)是奇函数 B.|f(x)|+g(x)是偶函数 C.f(x)-|g(x)|是奇函数 D.f(x)+|g(x)|是偶函数
?21 x,x≤1, ? 3. 设函数 f(x)=? 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是 ? ?1-log2x,x>1,


(

)

(

)

A.[-1,2] C.[1,+∞)

B.[0,2] D.[0,+∞) ( )

1 4. (2012· 课标全国)已知函数 f(x)= ,则 y=f(x)的图象大致为 ln?x+1?-x

20

log x,x>0, ? ? 2 5. 若函数 f(x)=? 1 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是 log ?-x?,x<0, ? ? 2 A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

(

)

1.B 2.D 3.D 4.B .C

(二)填空题 6. 已知 a=
________. 解析:a= 答案:m<n 5-1 x ∈(0,1),函数 f(x)=a 在 R 上递减.由 f(m)>f(n)得 m<n. 2 5-1 x ,函数 f(x)=a ,若实数 m,n 满足 f(m)>f(n),则 m,n 的大小关系为 2

7. 设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为________.
解析:设 g(x)=x,h(x)=e +ae ,因为函数 g(x)=x 是奇函数,则由题意知,函数
x
-x

h(x)=ex+ae-x 为奇函数,又函数 f(x)的定义域为 R,∴h(0)=0,解得 a=-1.
答案:-1

8. 定义域为 R 的函数 f(x)=?

? ?|lg|x-2||,x≠2, ?1, ?

x=2,

则关于 x 的方程 f (x)+bf(x)+c=0

2

有 5 个不同的实数根 x1,x2,x3,x4,x5,求 f(x1+x2+x3+x4+x5)=________. 解析:作出函数 f(x)的图象可以得到 x1+x2+x3+x4+x5=9.f(9)=|lg 7|=lg 7. 答案:lg 7

9. 某同学在研究函数 f(x)=

x (x∈R)时,分别给出下面几个结论: 1+|x|

①等式 f(-x)+f(x)=0 在 x∈R 时恒成立; ②函数 f(x)的值域为(-1,1); ③若 x1≠x2,则一定有 f(x1)≠f(x2); ④函数 g(x)=f(x)-x 在 R 上有三个零点. 其中正确结论的序号有________(请将你认为正确的结论的序号都填上) 解析:①显然正确;由|f(x)|= |x| 1+|x| < =1 知②正确;可以证明 f(x)在(-∞,+∞) 1+|x| 1+|x|
21

x 上是增函数,故③正确;由 f(x)-x=0 得 =x,此方程只有一根 x=0,故④不正确. 1+|x| 答案:①②③

10. 已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的不等式 f(x)<c
的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为________.

a ? a?2 解析:由题意 f(x)=x +ax+b=?x+ ? +b- .因为 f(x)的值域为[0,+∞),所以 b 4 ? 2?
2

2

- =0,即 a =4b.因为 x +ax+ -c<0 的解集为(m,m+6),易得 m,m+6 是方程 x + 4 4 2m+6=-a, ? ? ax+ -c=0 的两根,由一元二次方程根与系数的关系得? a2 4 m m + 6 = -c, ? 4 ?

a2

2

2

a2

2

a2

解得 c=9.

(三)解答题 11. 函数 f ( x) ? lg( x 2 ? 2 x ? 3) 的定义域为集合 A,函数 g ( x) ? 2x ? a( x ? 2) 的值域为集
合 B. (Ⅰ)求集合 A,B; (Ⅱ)若集合 A,B 满足 A

B ? B ,求实数 a 的取值范围.

12.

已知函数 f(x)=ax2-|x|+2a-1(a 为实常数). (1)若 a=1,作函数 f(x)的图象; (2)设 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式; f?x? (3)设 h(x)= ,若函数 h(x)在区间[1,2]上是增函数,求实 x

数 a 的取值范围. [解] (1)当 a=1 时, f(x)=x2-|x|+1
2 ? ?x +x+1,x<0, ? = 2 作图(如右图所示). ?x -x+1,x≥0. ?

(2)当 x∈[1,2]时, f(x)=ax2-x+2a-1. 若 a=0,则 f(x)=-x-1 在区间[1,2]上是减函数,
22

g(a)=f(2)=-3. 1 ?2 1 1 若 a≠0,则 f(x)=a? ?x-2a? +2a-4a-1,f(x)图象的对称轴是直线 x=2a. 当 a<0 时,f(x)在区间[1,2]上是减函数, g(a)=f(2)=6a-3. 1 1 当 0< <1,即 a> 时, 2a 2 f(x)在区间[1,2]上是增函数, g(a)=f(1)=3a-2. 1 1 1 当 1≤ ≤2,即 ≤a≤ 时, 2a 4 2 1? 1 g(a)=f? ?2a?=2a-4a-1. 当 1 1 >2,即 0<a< 时, 2a 4

f(x)在区间[1,2]上是减函数, g(a)=f(2)=6a-3.

? ? 1 1 1 综上可得 g(a)=?2a-4a-1, 4≤a≤2, 1 ? . ?3a-2, a>2
6a-3, (3)当 x∈[1,2]时,h(x)=ax+ 2a-1 -1,在区间[1,2]上任取 x1,x2,且 x1<x2, x 2a-1 ? ? 2a-1 ? 2a-1? 则 h(x2)-h(x1)=?ax2+ -1 - ax1+ -1 =(x2-x1)?a- x x x1x2 ? ? ? ? ? ? 2 1 ax1x2-?2a-1? =(x2-x1)· . x1x2 因为 h(x)在区间[1,2]上是增函数, 所以 h(x2)-h(x1)>0. 因为 x2-x1>0,x1x2>0, 所以 ax1x2-(2a-1)>0,即 ax1x2>2a-1. 当 a=0 时,上面的不等式变为 0>-1,即 a=0 时结论成立. 2a-1 2a-1 当 a>0 时,x1x2> ,由 1<x1x2<4 得, ≤1,解得 0<a≤1. a a 2a-1 2a-1 1 当 a<0 时,x1x2< ,由 1<x1x2<4 得, ≥4,解得- ≤a<0. a a 2 1 ? 所以实数 a 的取值范围为? ?-2,1?.
23

1 a< , 4

专题二答案与提示 第一讲 变式 1 限时训练: 例1

第三讲

函数与方程及函数的应用

一、主干知识梳理
1.函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数 f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 f(x)的零点. (2)函数的零点与方程根的关系 函数 F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程 f(x)=g(x)的根, 即函数 y=f(x)的图象与函数 y=g(x) 的图象交点的横坐标. (3)零点存在性定理 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且有 f(a)· f(b)<0,那么,函 数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b)使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 注意以下两点:①满足条件的零点可能不唯一;②不满足条件时,也可能有零点. (4)二分法求函数零点的近似值,二分法求方程的近似解. 2.函数模型 解决函数模型的实际应用题,首先考虑题目考查的函数模型,并要注意定义域.其解题步骤 是(1)阅读理解,审清题意:分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题;(2)数 学建模:弄清题目中的已知条件和数量关系,建立函数关系式; (3)解函数模型:利用数学方法得出函数模型的数学结果;(4)实际问题作答:将数学问题的 结果转化成实际问题作出解答.

二、重点题型分类 题型一 函数零点的确定
24

例1

πx 函数 f(x)=3cos 2 -log 1 x 的零点的个数是( 2 A.2 C.4 B .3 D.5

)

解析:把求函数 f(x)的零点的个数问题转化为求函数 y=3cos

π x 的图象与函数 y= 2

log 1 x 的图象的交点的个数的问题,在同一个坐标系中画出这两个函数的图象,如图.
2

函数 y=3cos

π x 的最小正周期是 4,当 x=8 时,y=log 1 8=-3,结合图象可知两个 2 2 πx -log 1 x 有 5 个零点. 2 2

函数的图象只能有 5 个交点,即函数 f(x)=3cos 答案:D 变式训练 1 1 A.(- ,0) 4 1 1 C.( , ) 4 2

在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为( 1 B.(0, ) 4 1 3 D.( , ) 2 4

)

1? ?1? ?1? 因为 f′(x)=ex+4>0,f ? ?-4?<0,f(0)<0,f ?4?<0,f ?2?>0, 3? ?1 1? f ? ?4?>0,由零点存在性定理知 f(x)在?4,2?上存在一零点.故选 C.

题型二
例2

函数零点的应用问题
| x 2 ? 1| 的图象与函数 y=kx-2 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取值 x ?1

已知函数 y=

范围是________. [解析] 先去掉绝对值符号,在同一直角坐标系中作出函数的图象,数形结合求解. 根据绝对值的意义, ?x+1(x>1或x<-1), |x2-1| ? y= =? x-1 ? ?-x-1(-1≤x<1).
25

在直角坐标系中作出该函数的图象,如图中实线所示.

根据图象可知, 当 0<k<1 或 1<k<4 时有两个交点. [答案] (0,1)∪(1,4)

?a 2 ? ab, a ? b ? 变式训练 2(2012 年高考福建卷)对于实数 a 和 b,定义运算“*”:a*b= ? 2 ? ?b ? ab, a ? b
设 f(x)=(2x-1)*(x-1),且关于 x 的方程 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1,x2, x3,则 x1x2x3 的取值范围是________. 【解析】 根据新定义写出 f(x)的解析式,数形结合求出 m 的取值,再根据函数的图象和方程的根等条件求解. 由定义可知, ?(2x-1)x,x≤0, ? f(x)=? ? ?-(x-1)x,x>0. 作出函数 f(x)的图象,如图所示.

1 由图可知,当 0<m< 时,f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1,x2,x3.不妨设 4 1 1 x1<x2<x3,易知 x2>0,且 x2+x3=2× =1,∴x2x3< . 2 4 1 ? ?(2x-1)x=4, 1- 3 1+ 3 令? 解得 x= 或 x= (舍去). 4 4 ? ?x<0, 1- 3 1- 3 ∴ <x1<0,∴ <x1x2x3<0. 4 16 1- 3 【答案】 ( 16 ,0)
26

题型三
例3

函数模型及应用

某种新型生产设备的最佳使用年限是年均消耗费用最低的年限(年均消耗费用=年均

成本费用+年均保养费),购买该设备的总费用为 50 000 元,使用中每年的固定保养费为 6 000 元;前 x 年的总保养费 y 满足 y=ax2+bx,已知第一年的总保养费为 1 000 元,前两年 的总保养费为 3 000 元,则这种设备的最佳使用年限为________年.

?1 000=a+b ?a=500 解析:由题意,得? ,解得? , ?3 000=4a+2b ?b=500 所以 y=500x2+500x. 设该设备的年平均消耗费用为 f(x), 由题意,可知年平均消耗费用为 f(x)= 50 000 x +6 500≥16 500, 当且仅当 500x= 年. 答案:10
变式训练 3 根据统计,一名工作组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为

50 000 x +6 000+500x+500=500x+

50 000 x 时,等号成立,此时 x=10,所以最佳使用年限为 10

(A,C 为常数). 已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品用时 15 分钟,那么 C 和 A 的值分 别是( )D A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16

? ? ? f ( x) ? ? ? ? ?

c x c A

, x ? A, ,x ? A

三、规范答题模板
例 4 (2011 海淀期中,本小题满分 13 分) 某工厂生产某种产品,每日的成本 C (单位:元)与日产量 x(单位:吨)满足函数关 系式 C ? 10000 ? 20 x ,每日的销售额 R(单位:元)与日产量 x 的函数关系式

ì 1 3 ? ? x + ax 2 + 290 x , 0 < x < 120, ? R = í 30 ? ? ? ? 20400 , x ? 120.
已知每日的利润 y ? R ? C ,且当 x ? 30 时, y ? ?100 .
27

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大值. (17)(本小题满分 13 分)

ì 1 3 ? ? x + ax 2 + 270 x - 10000 , 0 < x < 120, ? 解: (Ⅰ)由题意可得: y = í 30 ? ? ? ? 10400 - 20 x , x 120.
??????????2 分 因为 x ? 30 时, y ? ?100 ,所以

- 100 = -

1 ? 303 30

a ? 302

270? 30 10000 .

????????4 分

所以 a = 3 .

???????????5 分

1 3 x + 3x 2 + 270 x - 10000 . (Ⅱ)当 0 < x < 120 时, y = 30
??????????6 分

1 2 x + 6 x + 270 . ?????????8 分 10 1 2 x + 6 x + 270 = 0 可得: x1 = 90, x2 = - 30 (舍). 由 y'= 10 y'= ??????????9 分 所以当 x ? (0,90) 时,原函数是增函数,当 x ? (90,120) 时,原函数是减函数. 所以当 x = 90 时, y 取得最大值 14300 . 当 x ? 120 时, y = 10400 - 20 x ?????????11 分 ????????12 分

8000 .

所以当日产量为 90 吨时,每日的利润可以达到最大值 14300 元. ?????????13 分

四、规律方法总结(请同学自己完成)

五、专题限时训练
28

(一)选择题
1. 函数 f(x)=2x-x- 2的一个零点所在区间是 B A.(0,1) C.(2,3) B.(1,2) D.(3,4) ( ) ( )

2. 函数 f(x)=ln x+x-2 的零点所在区间是 B A.(0,1) C.(2,3) 3. 函数 f(x)=3cos A.2 C.4 B.(1,2) D.(3,4) πx 1 -log x 的零点的个数是 2 2 B.3 D.5 ) B D

(

)

4. (2012· 天津)函数 f(x)=2x+x3-2 在区间(0,1)内的零点个数是(
A.0 B.1 C.2 D.3

5. (2012 年高考湖北卷)函数 f(x)=xcos x2 在区间[0,4]上的零点个数为( A.4 C.6 B.5 D .7

)

[解析] 根据 x2 的范围判断 y=cos x2 在区间[0,4]上的零点个数.当 x=0 时,f(x)=0. 又因为 x∈[0,4],所以 0≤x2≤16. 11π π 3π 5π 7π 9π 2 2 因为 5π <16< ,所以函数 y=cos x 在 x 取 , , , , 时为 0,此时 f(x) 2 2 2 2 2 2 =0,所以 f(x)=xcos x 在区间[0,4]上的零点个数为 6. [答案] C
2

(二)填空题
1 ? ?1 ? 6. 函数 f(x)对一切实数 x 都满足 f? ?2+x?=f?2-x?,并且方程 f(x)=0 有三个实根,则这三 3 个实根的和为________. 2

7.方程 2-x+x2=3 的实数解的个数为________.2 8.
若函数 f(x)=x2-ax-b 的两个零点是 2 和 3,则函数 g(x)=bx2-ax-1 的零点是

1 1 ________.- ,- . 2 3

9.

x ? ?2 -1,x>0, 已知函数 f(x)=? 2 若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,则实数 m 的取 ?-x -2x,x≤0, ?

值范围是________. (0,1)
29

10. 如图(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差) y 与乘客量 x 之间关系的图象. 由于目前该条公交线路亏损, 公司有关人员提出了两种调整 的建议,如图(2) (3)所示.

y

y

y

O

B A

x

O

B A

x

O

B A
(3)

x

给出下说法: (1) (2) ①图(2)的建议是:提高成本,并提高票价; ②图(2)的建议是:降低成本,并保持票价不变; ③图(3)的建议是:提高票价,并保持成本不变; ④图(3)的建议是:提高票价,并降低成本. 其中所有说法正确的序号是 .② ③

(三)解答题 11. 已知函数 f(x)=ex-2x+a 有零点,求 a 的取值范围是. 解析:因为原函数有零点,可将问题转化为方程 ex-2x+a=0 有解的问题,即 方程 a=2x-ex 有解. 令函数 g(x)=2x-ex,则 g′ (x)=2-ex, 令 g′ (x)=0,得 x=ln 2,所以 g(x)在(-∞,ln 2)上是增函数,在(ln 2,+∞)上是 减函数, 所以 g(x)的最大值为 g(ln 2)=2ln 2-2. 因此,a 的取值范围就是函数 g(x)的值域, 即 a∈(-∞,2ln 2-2]. 答案:(-∞,2ln 2-2]
2 ? ?-x +1 ?-1≤x≤1?, ? 12. 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:f(x+4)=f(x),f(x)= 若方程 ?-|x-2|+1 ?1<x≤3?, ?

f(x)-ax=0 有 5 个实根,求正实数 a 的取值范围。

由题意知 f(x)是以 4 为周期的周期函数,作出 y=f(x)与 y=ax 的图象,为使方程 f(x)=ax 有 五个实数

30

解,由图,可知方程 y=-(x-4)2+1=ax, 即 x2+(a-8)x+15=0 在(3,5)上有两个实数解, 则 0<a<8-2 15, 再由方程 f(x)=ax 在(5,6)内无解, 1 1 得 6a>1,即 a> ,故实数 a 的取值范围是 <a<8-2 15. 6 6

专题三答案与提示 第一讲 变式 1 限时训练: 例1

第四讲
一、主干知识梳理
1.不等式的基本性质 (1)对称性:a>b?b<a. (2)传递性:a>b,b>c?a>c. (3)加法法则:a>b?a+c>b+c. (4)乘法法则:a>b,c>0?ac>bc.

不等式及线性规划

a>b,c<0?ac<bc.

(5)同向不等式可加性:a>b,c>d?a+c>b+d. (6)同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0?ac>bd. (7)乘方法则:a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2). n n (8)开方法则:a>b>0? a> b(n∈N,n≥2). 2. 一元二次不等式的解法 解一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)或 ax2+bx+c<0(a≠0),可利用一元二次方程, 一元二次不等式和二次函数间的关系.一元二次不等式的解集如下表所示:
31

判别式
2

Δ>0

Δ=0

Δ<0

Δ=b -4ac 二次函数
2

y=ax +bx+c (a>0) 的图象

有两相异实根 x ,
2 1

一元二次方程 ax +bx+ c=0 (a>0)的根

有两相等实根 x = x
1 2

没有实 数根

x (x <x )
1 2

2

不等式
2

ax +bx+c>0 (a>0)的解集 不等式
2

{x|x>x 或 x<x }
2 1

{x|x∈R 且

R

ax +bx+c<0 (a>0)的解集 3. 几个重要不等式 (1)|a|≥0,a2≥0(a∈R). (2)a2+b2≥2ab(a、b∈R). a+b (3) ≥ ab(a>0,b>0). 2 a+b 2 (4)ab≤( ) (a,b∈R). 2

{x|x < x<x }
1 2

?

?

a2+b2 a+b 2ab ≥ ≥ ab≥ (a>0,b>0). 2 2 a+b 4. 不等式的证明基础 (5) (1)不等式定义:a-b>0?a>b, a-b=0?a=b,a-b<0?a<b. (2)不等式的基本性质. (3)基本不等式
32

①a2≥0,(a-b)2≥0,|a|≥0. a+b ②基本不等式: ≥ ab(a>0,b>0). 2 1 ③几个常用不等式:a+ ≥2(a>0,当 a=1 时等号成立); a 2(a2+b2)≥(a+b)2(a,b∈R,当 a=b 时等号成立). 5. 二元一次不等式(组)和简单的线性规划 (1)线性规划问题的有关概念:线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等; (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤:①画出可行域;②根据线性目标函数的几 何意义确定其取得最优解的点;③求出目标函数的最大值或者最小值.

二、重点题型分类 题型一
例1

一元二次不等式的解法
2 2

已知二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的两个根是-2,3,( a > 0 ),那么 ax ? bx ? c ? 0 的 A. ?x | x ? ?2或x ? 3? C. ?x | ?2 ? x ? 3? B. ?x | x ? ?3或x ? 2? D. ?x | ?3 ? x ? 2?

解集是( )B

? 方程 f( x )=0 的两根, 变式训练 1 已知 f(x) = ( x?a) ( x ? b )+2, 且是 ? 、 则 a, b, ? , ?
的大小关系是( )B A.a< ? <b< ? C. ? <a<b< ? 题型二 利用基本不等式求最值
-x

B.a< ? < ? <b D. ? <a< ? <b

例 2 函数 y=a1

(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny-1=0 (mn>0)上,

1 1 则 + 的最小值为______.4 m n 变式训练 2 若正数 a, b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是 题型三 简单线性规划问题 [9,+∞)

x+y-3≤0, ? ? 例 3 (2012· 福建)若函数 y=2 图象上存在点(x,y)满足约束条件?x-2y-3≤0, ? ?x≥m,
x

则实数 m

的最大值为

(
33

)B

1 A. 2

B.1

3 C. 2

D.2

由图可知,当 m≤1 时,函数 y=2x 的图象上存在点(x,y)满足约束条件

? 2 x ? y ? ?1 ? 变式训练 3 设 P(x,y)满足条件 ?3 x ? 2 y ? 23 ,则 ?y ? 1 ?
(一)截距型目标函数 (1)z=2y-x 的最大值是 (2)z=x-2y 的最大值是 (二)距离型目标函数 (3)点 M(2,-1),则|PM|的最大值是 变式:1) x2+y2-4x+2y+5 的最大值是 2)z=|x+2y+2|的最大值是 (三)斜率型目标函数 (4) z ,最小值是 ,最小值是 ,最小值是 ,最小值是

,最小值是

?
?

y?2 的最大值是 x?3
x?3 的最大值是 y?2

,最小值是

变式: z

,最小值是

三、规律方法总结(请同学自己完成)

34

四、专题限时训练 (一)选择题 1.如果 a ? 0,?1 ? b ? 0, 那么下列不等式正确的是( )A; A. a ? ab ? ab
2

B. ab ? a ? ab
2

C. a ? ab ? ab

2

D. ab ? ab ? a
2

2.若 a ? b ? 0, 则下列不等式中,不成立的是( A.

)2、B

1 1 ? a b

B.

1 1 ? a?b b

C. ? a ?

?b
2 2

D. a ? ?b )条件 3、B

3.若 a, b ? (0,??), 则“ a ? b ? 1 ”是“ ab ? 1 ? a ? b ”成立的( A.必要 C.充要 B.充分 D.既不充分也不必要 4. 若 a ? b ? 0 ,则下列不等式中不能 成立的是 ( )B .. A.

1 1 ? a b

B.

1 1 ? a ?b a

C. | a |?| b | ) A

D. a ? b
2

2

5. 已知 x ? 1, y ? 1且 lg x ? lg y ? 4 ,则 lg x ? lg y 的最大值是( A.4 (二)填空题 B.2 C.1

D.

1 4

6. 不等式 lg(x2+2x+2)<1 的解集为__________ {x|-4<x<2} log x,x>0 ? ? 3 7. 已知函数 f(x)=??1?x ,那么不等式 f(x)≥1 的解集为________. , x ≤ 0 ? ??3? 7.(-∞,0]∪[3,+∞) 8. 已知实数 x、y 满足 ?

?y ? 1 ,则 x+2y 的最大值是 ? y ?| x ? 1 |

4

1 1 - 9. 已知 m=a+ (a>2),n=x 2(x≥ ),则 m 与 n 之间的大小关系为 2 a-2 在区域 D 上有无穷多个点(x,y)可使目标函数 z=x+my 取得最小值,则 m= (三)解答题 11. 解关于 x 的不等式 11.

m≥n

10.已知平面区域 D 是由以 A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)为顶点的三角形的内部和边界组成,若

1

1 ? 2a ? x x

当 ? 1 ? a ? 1 时, (0,??)
35

当 a ? 1 时, (0,1) ? (1,??) 当 a ? ?1 时, (0,??) 当 a ? 1 时, (0, a ? a 2 ? 1) ? (a ? a 2 ? 1,??) 当 a ? ?1 时, (a ? a 2 ? 1, a ? a 2 ? 1) ? (0,??)

12. 已知二次函数 f(x)=ax2+x 有最小值,不等式 f(x)<0 的解集为 A. (1)求集合 A; (2)设集合 B={x||x+4|<a},若集合 B 是集合 A 的子集,求 a 的取值范围. 12.解 (1)二次函数 f(x)=ax +x 有最小值,所以,a>0,由 f(x)<0,
2

? 1 ? 解得 A=?- ,0?. ? a ?
(2)解得 B=(-a-4,a-4), 因为集合 B 是集合 A 的子集, 1 ? ?- ≤-a-4, 所以? a ? ?a-4≤0,

?-2- 5≤a≤-2+ 5, ? ?a≤4,
解得 0<a≤-2+ 5.

第五讲
一、主干知识梳理
1.导数的几何意义

导数及其应用

(1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f′(x0)就是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,即 k =f′(x0). (2)曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). (3)导数的物理意义:s′(t)=v(t),v′(t)=a(t). 2.函数的单调性与导数 如果已知函数在某个区间上单调递增(减), 则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒 成立.在区间上离散点处导数等于零,不影响函数的单调性,如函数 y=x+sin x. 3.函数的导数与极值
36

对可导函数而言,某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件,但对不可导的函 数,可能在极值点处函数的导数不存在(如函数 y=|x|在 x=0 处),因此对于一般函数而言, 导数等于零既不是函数取得极值的充分条件也不是必要条件. 4.闭区间上函数的最值 在闭区间上连续的函数,一定有最大值和最小值,其最大值是区间的端点处的函数值和 在这个区间内函数的所有极大值中的最大者, 最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内 函数的所有极小值中的最小值. 5.定积分与曲边形面积 (1)曲边为 y=f(x)的曲边梯形的面积:在区间[a,b]上的连续的曲线 y=f(x),和直线 x=
b b a, x=b(a≠b), y=0 所围成的曲边梯形的面积 S=?a |f(x)|dx.当 f(x)≥0 时, S=?a f(x)dx; 当 f(x)<0

时,S=-?b af(x)dx. (2)曲边为 y=f(x), y=g(x)的曲边梯形的面积: 在区间[a, b]上连续的曲线 y=f(x), y=g(x), 和直线 x=a,x=b (a≠b),y=0 所围成的曲边梯形的面积 S=?b a|f(x)-g(x)|dx.当 f(x)≥g(x)时,
b S=?b a[f(x)-g(x)]dx;当 f(x)<g(x)时,S=?a[g(x)-f(x)]dx.

二、重点题型分类 题型一 导数的概念与几何意义 1 3 x 例 1 设函数 f(x)=ae + x+b(a>0).在点(2,f(2))处的切线方程为 y= x,求 a, ae 2 b 的值. [解析] 1 ∵f′(x)=aex-aex,

1 3 ∴f′(2)=ae2-ae2=2, 1 解得 ae2=2 或 ae2=-2(舍去), 2 1 所以 a=e2,代入原函数可得 2+2+b=3, 1 即 b=2, 2 1 故 a=e2,b=2.
变式训练 1 1 4 已知曲线 y= x3+ . 3 3

(1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程;
37

(2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程. (1)4x-y-4=0. (2)4x-y-4=0 或 x-y+2=0.

题型二

利用导数研究函数的单调性

例 2 已知函数 f ( x) ? x 2 e ax , 其中a ? 0, e 为自然对数的底数.求函数 f ( x) 的单调区间. 解: f ?( x) ? x(ax ? 2)e ax . (i)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 2 x, 若 x ? 0, 则f ?( x) ? 0, 从而f ( x)在(0,??) 上单调递增; 若 x ? 0, 则f ?( x) ? 0, 从而f ( x)在(??,0) 上单调递减. (ii)当 a<0 时,令 f ?( x) ? 0, 得x(ax ? 2) ? 0, 故x ? 0或x ? ? 若 x ? 0, 则f ?( x) ? 0, 从而f ( x)在(??,0) 上单调递减; 若0 ? x ? ? 若x ? ?

2 . a

2 2 , 则f ?( x) ? 0, 从而 f ( x)在(0,? ) 上单调递增; a a

2 2 , 则f ?( x) ? 0, 从而 f ( x)在(? ,?? ) 上单调递减. a a k 2 变式训练2 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ? x ( k ? 0 ). 2
(1)当 k ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线方程; (2)求 f ( x) 的单调区间.

(1) 当 k ? 2 时, f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ? x 2 , f ?( x) ?
由于 f (1) ? ln 2 , f ?(1) ?

1 ? 1 ? 2x 1? x

3 2 3 ( x ? 1) 2

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? ln 2 ? 即 3x ? 2 y ? 2 ln w ? 3 ? 0 (2) f ?( x) ?

x(kx ? k ? 1) , x ? (?1,??) 1? x x 当 k ? 0 时, f ?( x) ? ? 1? x
所以,在区间 (?1,0) 上, f ?( x) ? 0 ;
38

在区间 (0,??) 上, f ?( x) ? 0 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (?1,0) ,单调递减区间是 (0,??) 当 0 ? k ? 1 时,由 f ?( x) ? 得 x1 ? 0 , x2 ?

x(kx ? k ? 1) ?0 1? x

1? k ?0 k 1? k ,?? ) 上, f ?( x) ? 0 ; 所以,在区间 (?1,0) 和 ( k 1? k ) 上, f ?( x) ? 0 在区间 (0, k 1? k 1? k ,?? ) ,单调递减区间是 (0, ). 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (?1,0) 和 ( k k
当 k ? 1 时, f ?( x) ?

x2 1? x

故 f ( x ) 的单调递增区间是 (?1,??) 当 k ? 1 时,由 f ?( x) ? 得 x1 ?

x(kx ? k ? 1) ?0 1? x

1? k ? (?1,0) , x2 ? 0 k 1? k ) 和 (0,??) 上, f ?( x) ? 0 ; 所以,在区间 ( ?1, k 1? k ,0) 上, f ?( x) ? 0 在区间 ( k 1? k 1? k ) 和 (0,??) ,单调递减区间是 ( ,0 ) . 故 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ?1, k k 题型三 利用导数研究函数的极值与最值
例 3 (1) 已知函数 f ( x) ? x e , 其中a ? 0, e 为自然对数的底数.
2 ax

求函数 f ( x) 在区间[0,1]上的最大值. 参考例 1 知(i)当 a ? 0 时, f ( x) 在区间[0,1]上的最大值是 f (1) ? 1.
a (ii)当 ? 2 ? a ? 0 时, f ( x) 在区间[0,1]上的最大值是 f (1) ? e .

(iii)当 a ? ?2 时, f ( x) 在区间[0,1]上的最大值是 f ( ? ) ? (2)已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? a
3 2 2

2 a

4 . a e2
2

?a, b ? R? . 若函数 f ? x ? 在 x ? 1 处有极值为

10,求 b 的值. 解: (Ⅰ) f ? ? x ? ? 3x ? 2ax ? b ,
2

于是,根据题设有
39

? f ? ?1? ? 3 ? 2a ? b ? 0 ? 2 ? f ?1? ? 1 ? a ? b ? a ? 10
解得 ?

?a ? 4 ?a ? ?3 或 ? ?b ? ?11 ?b ? 3

当?

?a ? 4 时, f ? ? x ? ? 3x2 ? 8x ?11, ? ? 64 ? 132 ? 0 ,所以函数有极值点; ?b ? ?11

当?

?a ? ?3 2 时, f ? ? x ? ? 3 ? x ? 1? ? 0 ,所以函数无极值点. ?b ? 3
b ? ?11 .

所以

变式训练 3 已知函数 f ( x) ?

ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 的导函数 y ? f '( x) 的两个零点为-3 和 0. ex

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)的极小值为 ? e ,求 f(x)在区间 [?5, ??) 上的最大值.
3

解: (Ⅰ) f ?( x) ?

(2ax ? b)e x ? (ax 2 ? bx ? c)e x ?ax 2 ? (2a ? b) x ? b ? c . ? (e x )2 ex
2

令 g ( x) ? ?ax ? (2a ? b) x ? b ? c ,
2 因为 e ? 0 ,所以 y ? f '( x) 的零点就是 g ( x) ? ?ax ? (2a ? b) x ? b ? c 的零点,且
x

f ?( x ) 与 g ( x) 符号相同.
又因为 a ? 0 ,所以 ?3 ? x ? 0 时,g(x)>0,即 f ?( x) ? 0 , 当 x ? ?3, x ? 0 时,g(x)<0 ,即 f ?( x) ? 0 , 所以 f ( x ) 的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3) , (0,+∞) . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, x =-3 是 f ( x ) 的极小值点,所以有

? 9a ? 3b ? c ? ?e3 , ? e?3 ? ?b ? c ? 0, ??9a ? 3(2a ? b) ? b ? c ? 0, ? ?
40

解得 a ? 1, b ? 5, c ? 5 ,

所以 f ( x) ?

x2 ? 5x ? 5 . ex

, ? f ( x) 的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3),(0,+∞)

? f (0) ? 5 为函数 f ( x) 的极大值, ? f ( x) 在区间 [?5, ??) 上的最大值取 f (?5) 和 f (0) 中的最大者.
而 f ( ?5) ?

5 ? 5e5 >5,所以函数 f(x)在区间 [?5, ??) 上的最大值是 5e5 . ?5 e

题型四 例4
答案:4。

定积分问题
2

曲线 y=3-3x 与 x 轴所围成的封闭图形的面积为



变式训练 4 点 A 是函数 f ( x) = sin x 的图象与 x 轴的一个交点(如图所示) ,若图中阴影部 分的面积等于矩形 OABC 的面积,那么边 AB 的长等于 答案: ? 。 。
y C B A x

2

O

三、规范答题模板
1 例 5 (2013,1 朝阳期末) 已知函数 f ( x) ? a( x ? ) ? 2ln x (a ? R) . x
(Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)设函数 g ( x) ? ? 取值范围. 解:函数的定义域为 ? 0, ??? ,

a .若至少存在一个 x0 ? [1, e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的 x

1 2 ax2 ? 2x ? a . ???????????????1 分 )? ? 2 x x x2 1 (Ⅰ)当 a ? 2 时,函数 f ( x) ? 2( x ? ) ? 2ln x , f (1) ? 0 , f ?(1) ? 2 . x f ?( x) ? a(1 ?
所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 0 ? 2( x ? 1) ,
41

即 2 x ? y ? 2 ? 0 .??????????? ???????????3 分 (Ⅱ)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) . (1)当 a ? 0 时, h( x) ? ax2 ? 2x ? a ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, 则 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,此时 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减. ???4 分
2 (2)当 a ? 0 时, ? ? 4 ? 4a ,

(ⅰ)若 0 ? a ? 1 , 由 f ?( x) ? 0 ,即 h( x) ? 0 ,得 x ?

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 或x? ; ????5 分 a a

由 f ?( x) ? 0 ,即 h( x) ? 0 ,得

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 .?? ????6 分 ?x? a a 1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ) 和( , ??) , a a
??? ???????7 分

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,

单调递减区间为 (

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 , ). a a

(ⅱ)若 a ? 1 , h( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,则 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,此时 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增. ??????????? ????????8 分 (Ⅲ) )因为存在一个 x0 ? [1,e] 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) , 则 ax0 ? 2ln x0 ,等价于 a ?

2 ln x0 .????????? ??????9 分 x0

令 F ( x) ?

2 ln x ,等价于“当 x ? ?1,e? 时, a ? F ? x ?min ”. x
2(1 ? ln x) . x2
??????? ?????10 分

对 F ( x) 求导,得 F ?( x) ?

因为当 x ? [1, e] 时, F ?( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在 [1, e] 上单调递增. ???12 分 所以 F ( x)min ? F (1) ? 0 ,因此 a ? 0 . 另解:
设 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ax ? 2ln x ,定义域为 ? 0, ??? ,
42

????? ??????13 分

F? ? x? ? a ?

2 ax ? 2 ? . x x

依题意,至少存在一个 x0 ? [1,e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立, 等价于当 x ? ?1,e? 时, F ? x ?max ? 0 . (1)当 a ? 0 时, ??????????9 分

F ? ? x ? ? 0 在 ?1,e? 恒 成 立 , 所 以 F ? x ? 在 ?1,e? 单 调 递 减 , 只 要

F ? x ?max ? F ?1? ? a ? 0 ,
则不满足题意. ???????????????????10 分

(2)当 a ? 0 时,令 F ? ? x ? ? 0 得 x ? (ⅰ)当 0 ?

2 . a

2 ? 1 ,即 a ? 2 时, a

在 ?1,e? 上 F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1,e? 上单调递增, 所以 F ? x ?max ? F ? e? ? ae ? 2 , 由 ae ? 2 ? 0 得, a ? 所以 a ? 2 . (ⅱ)当

2 , e

??????????????????11 分

2 2 ? e ,即 0 ? a ? 时, a e

在 ?1,e? 上 F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1,e? 单调递减, 所以 F ? x ?max ? F ?1? ? a ,

2 .?????????????????12 分 e 2 2 (ⅲ)当 1 ? ? e ,即 ? a ? 2 时, a e 2 2 在 [1, ) 上 F ? ? x ? ? 0 ,在 ( , e] 上 F ? ? x ? ? 0 , a a 2 2 所以 F ? x ? 在 [1, ) 单调递减,在 ( , e] 单调递增, a a
由a ? 0得0 ? a ?

F ? x ?max ? 0 ,等价于 F ?1? ? 0 或 F ? e ? ? 0 ,解得 a ? 0 ,
所以,

2 ?a?2. e

综上所述,实数 a 的取值范围为 (0, ??) . ?????????13 分
43

四、规律方法总结(请同学自己完成)

五、专题限时训练
(一)选择题 1. 若 f ( x) ? sin ? ? cos x, 则 f ?(? ) ? ( A. sin ? B. cos? ) A D. 2 sin ?

C. sin ? ? cos ?

2. 已知命题 p:函数 y ? f ( x) 的导函数是常数函数;命题 q:函数 y ? f ( x) 是一次函数,则 命题 p 是命题 q 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3. 已知全集 I=R, 若函数 f(x)=x2-3x+2, 集合 M={x|f(x)≤0}, N={x|f′(x)<0}, 则 M∩(?
IN)等于

( 3 B.[ ,2) 2 3 C.( ,2] 2 3 D.( ,2) 2

)

A

3 A.[ ,2] 2

4. 设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则
下列结论中一定成立的是 ( )D

A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2)
44

5. 已知函数 f ( x) 是偶函数,在(0,+?)上导数 f ?( x) ? 0 恒成立,则下列不等式成立的是 ( A C )B

f (?3) ? f (?1) ? f (2) f (2) ? f (?3) ? f (?1)

B

f (?1) ? f (2) ? f (?3)

D f (2) ? f (?1) ? f (?3)

(二)填空题
1 6.如果曲线 y=x4-x 在点 P 处的切线垂直于直线 y=- x,那么点 P 的坐标为 3 (1,0) 7.已知曲线 C:f(x)=x3-ax+a,若过曲线 C 外一点 A(1,0)引曲线 C 的两条切线,它们的 倾斜角互补,则 a 的值为 27 8 2

2 2 8. 已知 f(a)=?1 0(2ax -a x)dx,则函数 f(a)的最大值为____ 9

9. 已知函数 f(x)=-2x2+4x-3ln x 在[t, t+1]上不单调, 则 t 的取值范围是__________0<t<1
或 2<t<3 10. 已知函数 y=x3-3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c= -2 或 2

1

(三)解答题 11. (2011 年)已知函数 f ( x) ? ( x ? k )2 e k .
(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)若对于任意的 x ? (0, ??) ,都有 f ( x ) ≤
x

1 ,求 k 的取值范围. e

1 2 2 11.解: (1) f ?( x) ? ( x ? k )e k . k
令 f ??0? ? 0 ,得 x ? ? k . 当 k>0 时, f ( x)与f ?( x) 的情况如下 x ( ? ?,?k ) + ↗

x

?k
0

( ? k ,k) — ↘

k 0 0

(k ,??)
+ ↗

f ?( x) f ( x)

4k 2 e ?1

45

所以, f ( x) 的单调递减区间是( ? ?,?k )和 (k ,??) ;单高层区间是 (?k , k ) 当 k<0 时, f ( x)与f ?( x) 的情况如下 x ( ? ?,?k ) — ↘

?k
0 0

( ? k ,k) + ↗

k 0

(k ,??)
— ↘

f ?( x) f ( x)

4k 2 e ?1

所以, f ( x) 的单调递减区间是( ? ?,?k )和 (k ,??) ;单高层区间是 (k ,?k )
1?1 k

(2)当 k>0 时,因为 f (k ? 1) ? e

?

1 1 ,所以不会有 ?x ? (0,?? ), f ( x) ? . e e

4k 2 . 当 k<0 时,由(Ⅰ )知 f ( x) 在(0,+ ? )上的最大值是 f ( ? k ) ? e

4k 2 1 1 所以 ?x ? (0,?? ), f ( x) ? 等价于 f ? (?k ) ? ? . e e e
解得 ?

1 ? k ? 0. 2 1 1 . 时,k 的取值范围是 [? ,0). e 2

故当 ?x ? (0,?? ), f ( x) ? 12. 已知函数 f ( x) ?

x ,其中 b ? R . x ?b
2

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)设 b ? 0 .若 ? x ? [ , ] ,使 f ( x) ? 1 ,求 b 的取值范围. (Ⅰ)解:① 当 b ? 0 时, f ( x) ?

1 3 4 4

1 . x

故 f ( x ) 的单调减区间为 (??, 0) , (0, ??) ;无单调增区间. ??????1 分 ② 当 b ? 0 时, f ?( x) ?

b ? x2 . ( x 2 ? b) 2

??????3 分

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? b , x2 ? ? b .

f ( x) 和 f ?( x ) 的情况如下:
x
(??, ? b )
? b

(? b , b )

b

( b , ? ?)

46

f ?( x) f ( x)

?

0

?


0

?





故 f ( x ) 的 单 调 减 区 间 为 (? ?, ?b ) , ( b , ??) ; 单 调 增 区 间 为

(? b , b ) .??????5 分
③ 当 b ? 0 时, f ( x ) 的定义域为 D ? {x ? R | x ? ? ?b}. 因为 f ?( x) ?

b ? x2 ? 0 在 D 上恒成立, ( x 2 ? b) 2

故 f ( x ) 的单调减区间为 (??, ? ?b ) ,(? ?b , ?b ) ,( ?b , ??) ; 无单调增区间. ??????7 分 (Ⅱ)解:因为 b ? 0 , x ? [ , ] ,
2 所以 f ( x) ? 1 等价于 b ? ? x ? x ,其中 x ? [ , ] . ??????9 分

1 3 4 4

1 3 4 4

2 设 g ( x) ? ? x ? x , g ( x) 在区间 [ , ] 上的最大值为 g ( ) ?
2 则“ ? x ? [ , ] ,使得 b ? ? x ? x ”等价于 b ?

1 3 4 4

1 2

1 ????11 分 4

1 3 4 4

1 . 4

所以, b 的取值范围是 (0, ] .

1 4

专题四答案与提示 第一讲

47


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