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河南省郑州四中2013届高三下学期第六次调研考试文科数学试题


郑州四中 2013 届高三下学期第六次调考 数学文试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是 符合题目要求) 1.已知全集 U ? Z , A ? {?1, 0,1, 2}, B ? {x | x ? x} ,则 A ? CU B 为(
2

)

A.{1

,2} 2. 已知为虚数单位,则 A.

B.{ ?1 ,2}

C.{ ?1 ,0}

D.{ ?1 ,0,2}

1 4

i 的实部与虚部的乘积等于( ) 1? i 1 1 B. ? C. i 4 4


D. ? i

1 4

3.“ | x |? 3 成立”是“ x ? x ? 3? ? 0 成立”的( A. 充分非必要条件 C. 充要条件 A. y ? log 1 x
2

B. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件 )
x

4.下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是(

B. y ? 2 ? 1 D. y ? ? x
3

C. y ? x 2 ?

1 2

5. 正项等比数列{ an }的公比 q≠1,且 a2 ,

a ? a4 1 的值为( a3 , a1 成等差数列,则 3 2 a4 ? a5
B.



A.

5 ?1 5 ?1 或 2 2
5 ?1 2
2

5 ?1 2
1? 5 2 ? ?? , ? 4? ?

C.

D.

6. 设 P 为曲线 C : y ? x ? 2 x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处的切线倾斜角的取值范围为 ?0, 则点 P 横坐标的取值范围为( A. ?? 1,? ? 2 ) C. ?0,1? D. ? ,1? 2

? ?

1? ?

B. ?? 1,0?

?1 ? ? ?

7.设第一象限内的点(x,y)满足约束条件 ? A. 0 B. 3

?2 x ? y ? 6 ? 0 ,则目标函数 z=x+2y 的最大值为 ( ? x? y?2?0
C. 4 D. 28

)

8. 一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形, 则这个几何体的体积为( A. C. ) B. ?4 ? ? ? 3 D.

?4 ? ? ?
3

3

?8 ? ? ?
2

3

?8 ? ? ?
6

3

9. 函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(其中 | ? |?

?
2

) 的图象如图所示, 为了得到 y ? sin ?x )

的图象,只需把 y ? f (x) 的图象上所有点 (

C. 向左平移 D. 向左平移

? 个单位长度 6 ? B. 向右平移 个单位长度 12 ?
A.向右平移

6

个单位长度

?

12

个单位长度

10.点 P 在双曲线

x2 y2 ? ? 2 ? 1( a,b ? 0) 上,F1、F2 是这条双曲线的两个焦点, ?F1PF2 ? ,且△F1PF2 2 a b 2
) D. 6 B. 4 C. 5

的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率等于( A. 3

11. 如图,在Δ ABC 中, AD ? AB , BC ?

??? ?

???? ???? ??? ? ???? 3 BD , AD ? 1 ,则 AC ? AD =
3 3
2

A. 2 3

B.

3 2

C.

D.

3
2

12. 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 x ? 3 | ,若关于 x 的方程 f ( x) ? (a ? 2) f ( x) ? a ? 2a ? 0 有 5 个不等
2

实根,则实数 a 的值是( A.2 B.4

) C.2 或 4 D.不确定的

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个题考生都必须作答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答.

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分 13. 直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 3 对称的直线方程为 14. 若执行如右图所示的程序框图,则输出的 S = 15. 将圆面 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 3 绕直线 y=1 旋转一周所形成的几何体
2 2

.

的体积与该几何体的内接正方体的体积的比值是__________. 16. 给出下列命题: ①命题“若 x ? 1且y ? 2 ,则 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 0 ”为真命题;
2 2

b ②向量 a、 满足 a ? b ? a ? b ,则 a与a ? b 的夹角为 300 ;
③不等式 x ? 1( x ? 2) ? 0 的解集为 ? 2, ?? ? ; ④函数 y ? x ?

? ?

?

?

? ?

? ? ?

1 ( x ? 3) 的最小值为 3; x ?1
.(把你认为正确命题的序号都填上)

其中正确的序号是

三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 如图,在 ?ABC 中,已知角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ,且 A ? 30 ? , cos B ? (1)求 cos C 的值; (2)若 a ? 5 ,求 ?ABC 的面积.

4 . 5

18.(本小题满分 12 分) 由世界自然基金会发起的“地球 1 小时”活动,已发展成为最有影响力的环保活动之一,今年 的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此,某新闻 媒体进行了网上调查,所有参与调查的人中,持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表 、 所示: 支持 20 岁以下 20 岁以上 (含 20 岁) 800 100 保留 450 150 不支持 200 300

(1)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取 n 个人,已知从“支持”态度的人中抽取了 45 人,求 n 的值; (2)在持“不支持”态度的人中,用分层抽样的方法抽取 5 人看成一个总体,从这 5 人中任意选 取 2 人,求至少有 1 人 20 岁以下的概率; (3)在接受调查的人中,有 8 人给这项活动打出的分数如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3, 9.0,8.2.把这 8 个人打出的分数看作一个总体,从中任取 1 个数,求该数与总体平均数之 差的绝对值超过 0.6 的概率.

19.(本小题满分 12 分) 如图,斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面是直角三角形,?ACB ? 90 ? ,点 B1 在底面内的射影恰好 是 BC 的中点,且 BC ? CA ? 2 . (1)求证:平面 ACC1 A1 ? 平面 B1C1CB ; (2)若 A1 A ? 3 ,求点 B 到平面 B1CA 的距离.

20.(本题满分 12 分) 已知:圆 x ? y ? 1 过椭圆
2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点,与椭圆有且仅有两个公共点; a 2 b2 x2 y 2 ? ? 1 相交于 A,B 两点.记 a 2 b2

直线 y ? kx ? m 与圆 x ? y ? 1 相切 ,与椭圆
2 2

? ? OA ? OB, 且 ? ? ? .
(1)求椭圆的方程; (2)求 k 的取值范围; (3)求 ?OAB 的面积 S 的取值范围.

??? ??? ? ?

2 3

3 4

21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? (1)当 a ? b ?

1 2 ax ? bx. 2

1 时,求函数 f (x) 的最大值; 2

(2)令 F ( x) ? f ( x) ?

1 2 a ( ax ? bx ? , 0 ? x ? 3 ) 2 x 1 其图象上任意一点 P ( x0 , y0 ) 处切线的斜率 k ≤ 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2
2

(3)当 a ? 0 , b ? ?1 ,方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,求正数 m 的值. 四、选作题:(从 22 至 24 中选作一题,注明你选做的题号) (10 分) 选做第( )题.

22.【选修 4—1:几何证明选讲】 如图,直线 AB 经过⊙ O 上的点 C ,并且 OA ? OB, CA ? CB, ⊙ O 交直线 OB 于 E , D ,连 接 EC, CD . (1)求证:直线 AB 是⊙ O 的切线; (2)若 tan ?CED ?

1 , ⊙ O 的半径为3,求 OA 的长. 2

23. 【选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程】 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 4 ? cos(? ?

?
6

)?5 ? 0.

(1)将曲线 C 的极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程; (2)若点 P ( x, y ) 在曲线 C 上,求使 3 x ? y ? a ? 0 恒成立的实数 a 的取值范围.

24. 【选修4—5:不等式选讲】 ) 已知函数 f ( x) ? log 2 (| x ? 1 | ? | x ? 2 | ? m) .

(1)当 m ? 7 时,求函数 f (x) 的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 的解集是 R ,求 m 的取值范围.

2012 高三五调数学(文)参考答案

(2)由正弦定理得

a sin B a b 即 ? , b? ? sin A sin B sin A

5? 1 2

3 5 ? 6 ,即 AC ? 6

又 由 余 弦 定 理 得 : a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A , 即 25 ? 36 ? c 2 ? 2 ? 6 ? c ?

3 , 即 2

c 2 ? 6 3c ? 11 ? 0 ,
解得 c ? 3 3 ? 4 ,又 C ? 从而 S ?ABC ?

?
2

,则 c ? a ? 5 ,故 c ? 3 3 ? 4

1 1 1 9 3 ? 12 bc ? sin A ? ? 6 ? (3 3 ? 4) ? ? 2 2 2 2
800+100 800+450+200+100+150+300 = 45 n ????2 分

18.解: (Ⅰ)由题意得



n=100.

????3 分

200 m (Ⅱ)设所选取的人中,有 m 人 20 岁以下,则 = ,解得 m=2.………5 分 200+300 5 也就是 20 岁以下抽取了 2 人,另一部分抽取了 3 人,分别记作 A1,A2;B1,B2,B3, 则从中任取 2 人的所有基本事件为 (A1,B1),(A1, B2),(A1, B3),(A2 ,B1),(A2 ,B2),(A2 ,B3),(A1, A2),(B1 ,B2),(B2 ,B3),(B1 ,B3)共 10 个. ………7 分 其中至少有 1 人 20 岁以下的基本事件有 7 个:(A1, B1),(A1, B2),(A1, B3),(A2 ,B1),(A2 ,B2), (A2 ,B3),(A1, A2), …………8 分 7 所以从中任意抽取 2 人,至少有 1 人 20 岁以下的概率为 . ……………9 分 10 1 (Ⅲ)总体的平均数为 x = (9.4+8.6+9.2+9. 6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9,………10 分 8 那么与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的数只有 8.2, 1 所以该数与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的概率为 . 8 19. 解:(本小题满分 12 分) (1)取 BC 中点 M ,连接 B1M ,则 B1M ? 面 ABC , ……………12 分 ……………13 分

B1

A1
C1

? 面BB1C1C ? 面ABC ? BC ? 面BB1C1C ? 面ABC , AC ? BC ? AC ? 面BB1C1C ? AC ? 面ACC1 A1 ? 面ACC1 A1 ? 面BCC1B1 ----------5 分
(2)设点 B 到平面 B1CA 的距离为 h ,( 6 分)

B

A

C

VB ? B1CA ? VB1 ? ABC ,(8 分)
20. (满分 12 分)

1 1 1 1 4 2 ( ? 2 ? 3)h ? ( ? 2 ? 2) ? 2 2 , ? h ? . 12 分 3 2 3 2 3

解: (Ⅰ)由题意知 2c=2,c=1, 因为圆与椭圆有且只有两个公共点,从而 b=1.故 a= 2 所求椭圆方程为 x ? y 2 ? 1
2
2 2
2

3分

(Ⅱ)因为直线 l:y=kx+m 与圆 x ? y ? 1 相切 所以原点 O 到直线 l 的距离 | m | =1,即:m 2 ? k 2 ? 1
1? k 2

5分

又由 ?

? y ? kx ? m ? x2 2 ? ? y ?1 ?2

, 1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 2 ? 0 (

2 设 A( x1 , y1 ) ,B( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ? 4km , x1 x 2 ? 2m ? 2 2 2

1 ? 2k

1 ? 2k

7分

? ? OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? (1 ? k 2 ) x1 x 2 ? km( x1 ? x 2 ) ? m 2
2 = k ? 1 ,由 2 ? ? ? 3 ,故 1 ? k 2 ? 1 , 即 k的范围为[?1,? 2 ] ? [ 2 ,1] 2

1 ? 2k

9分

3

4

2

2

2

(III) | AB | 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] =2?
2 ,由 1 ? k 2 ? 1 ,得: 6 ?| AB |? 4 2 2 3 (2k 2 ? 1) 2

11 分

S?

6 2 1 1 ?S? | AB | d ? | AB | ,所以: 4 3 2 2

12 分

21.(本小题满分 12 分)解: (1)依题意,知 f (x) 的定义域为(0,+∞) ,

1 1 1 时, f ( x) ? ln x ? x 2 ? x , 2 4 2 1 1 1 ? ( x ? 2)( x ? 1) ?????2 分 f ' ( x) ? ? x ? ? x 2 2 2x 令 f ' ( x) =0,解得 x ? 1 . (∵ x ? 0 ) 因为 g ( x) ? 0 有唯一解,所以 g ( x 2 ) ? 0 ,当 0 ? x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,此时 f (x) 单调递增; 当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,此时 f (x) 单调递减。 3 所以 f (x) 的极大值为 f (1) ? ? ,此即为最大值 ?????4 分 4 x ?a 1 a (2) F ( x) ? ln x ? , x ? (0,3] ,则有 k ? F ' ( x 0 ) ? 0 2 ≤ ,在 x 0 ? (0,3] 上恒成立, x 2 x0 1 2 所以 a ≥ (? x 0 ? x 0 ) max , x 0 ? (0,3] 2 1 2 1 1 当 x 0 ? 1 时, ? x 0 ? x 0 取得最大值 ,所以 a ≥ ???8 分 2 2 2 2 2 (3)因为方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,所以 x ? 2m ln x ? 2mx ? 0 有唯一实数解,
当a ? b ? 设 g ( x) ? x ? 2m ln x ? 2mx ,
2

则 g ' ( x) ?

2 x 2 ? 2mx ? 2m .令 g ' ( x) ? 0 , x 2 ? mx ? m ? 0 . x

m ? m 2 ? 4m m ? m 2 ? 4m ? 0 (舍去) x2 ? , , 2 2 当 x ? (0, x 2 ) 时, g ' ( x) ? 0 , g (x) 在(0, x 2 )上单调递减, 当 x ? ( x 2 ,??) 时, g ' ( x) ? 0 , g (x) 在( x 2 ,+∞)单调递增 当 x ? x 2 时, g ' ( x 2 ) =0, g (x) 取最小值 g ( x 2 ) .
因为 m ? 0 , x ? 0 ,所以 x1 ? 则?
2 ? g ( x2 ) ? 0, ? x 2 ? 2m ln x 2 ? 2mx 2 ? 0, ? 既? ?????10 分 2 ? g ' ( x2 ) ? 0, ? x 2 ? mx 2 ? m ? 0. ?

所以 2m ln x 2 ? mx 2 ? m ? 0 ,因为 m ? 0 ,所以 2 ln x 2 ? x 2 ? 1 ? 0 (*) 设函数 h( x) ? 2 ln x ? x ? 1 ,因为当 x ? 0 时,

h(x) 是增函数,所以 h( x) ? 0 至多有一解.
因为 h(1) ? 0 ,所以方程(*)的解为 x2 ? 1 ,即

m ? m 2 ? 4m 1 ? 1 ,解得 m ? ?12 分 2 2

22.证明: (Ⅰ)如图,连接OC,? OA =OB,CA=CB,? OC ? AB

? OC 是圆的半径,? AB 是圆的切线.

(3分)

(Ⅱ) ED 是直径,??ECD ? 90?,??E ? ?EDC ? 90? 又 ?BCD ? ?OCD ? 90?, ?OCD ? ?OCD,??BCD ? ?E , 又?CBD ? ?EBC ,

?? BCD∽? BEC ,?

BC BD ? ? BC 2 ? BD.BE BE BC (5分) ? BEC , BD CD 1 ? ? BC EC 2 (7分)
2

tan ?CED ?

CD 1 ? , BC 2

? BCD ∽
2

( 设 BD =X ,则 BC =2 X ,? BC =BD BE ? 2 ?)=?(? +6) ? BD =2 ……..(9分)

? OA ? OB =BD +OD =2+3=5
23. 【选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程】 (本小题满分 10 分) (1)∵ x ? ? cos ? , y ? ? sin ? x ∴普通方程是 x ? 3 (2) a ? [8, ? ?)

(10)分

?

?

2

? ? y ? 1? ? 9
2

? x ? 3 ? 3 cos ? ??为参数? ? ? y ? ?1 ? 3 sin ?


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