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高中数学(北师大版,必修2)活页规范训练:1-4-1~2(一)空间图形基本关系的认识 空间图形的公理(一)


1-4-1~2(一)空间图形基本关系的认识

空间图形的公理(一)

双基达标
1.给出以下四个命题:

?限时20分钟?

①公理 1 可用集合符号叙述为:若 A∈l,B∈l,且 A∈α,B∈α,则必有 l∈α; ②四边形的两条对角线必相交于一点; ③用平行四边形表示的平面,以平行四边形的四条边作为平面边界线; ④三角形是平面图形. 其中正确命题的个数为( A.1 B.2 C.3 解析 只有④正确. 答案 A 2.两平面重合的条件是( A.有两个公共点 C.有不共线的三个公共点 ). B.有无数个公共点 D.有一条公共直线 D.4 ).

解析 根据公理 2, 不共线的三点确定一个平面, 若两个平面同过不共线的三点, 则两平面必重合. 答案 C 3.若 α∩β=c,a?α,b?β,a∩b=M,则( A.M∈c B.M?c C.M?α D.M?α ).

解析 由 a∩b=M,可得 M∈α,M∈β,又 α∩β=c,故 M∈c. 答案 A 4. 如图所示, 点 A∈α, B?α, C?α, 则平面 ABC 与平面 α 的交点的个数是________ 个.

解析 因为如果两个平面有一个公共点,那么它们必然相交,这些公共点的集合 是经过这个公共点的一条直线,所以平面 ABC 与平面 α 的交点有无数个. 答案 无数 5.图中图形的画法不正确的是________.

①点 A 在平面 α 内 ②直线 l 在平面 α 内 ③直线 l 交平面 α 于点 P

解析 ①③⑤正确,②直线 l 应画在表示平面的平行四边形内,④应画出 α 与 β 的交线. 答案 ②④ 6.三个平面 α、β、γ 两两相交于三条直线,即 α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,若 直线 a 和 b 不平行. 求证:a、b、c 三条直线必过同一点. 证明 ∵α∩γ=b,β∩γ=a, ∴a?γ,b?γ. ∴a、b 不平行, ∴a、b 必相交,设 a∩b=P. ∵P∈a,a?β,∴P∈β. 同理 P∈α,而 α∩β=c,∴P∈c, ∴a、b、c 相交于一点 P. 即 a、b、c 三条直线过同一点.

综合提高
7.下列命题: ①书桌面是平面;

?限时25分钟?

②8 个平面重叠起来,要比 6 个平面重叠起来厚; ③有一个平面的长是 50 m,宽是 20 m; ④平面是绝对的平、无厚度,可以无限延展的抽象数学概念. 其中正确命题的个数为( A.1 个 B.2 个 C.3 个 ). D.4 个

解析 由平面的概念, 它是平滑、 无厚度、 可无限延展的, 可以判断命题④正确, 其余的命题都不符合平面的概念,所以命题①、②、③都不正确,故选 A.

答案 A 8.空间四边形 ABCD 各边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点,如 果 EF∩GH=P,则点 P( A.一定在直线 BD 上 B.在直线 AC 或 BD 上 C.一定在直线 AC 上 D.不在直线 AC 上也不在直线 BD 上 解析 因为 EF∩GH=P,EF?平面 ABC,所以 P∈平面 ABC.又因为 GH?平面 ACD,所以 P∈平面 ACD.又因为平面 ABC∩平面 ACD=AC,所以 P∈AC. 答案 C 9.过同一点的 4 条直线中,任意 3 条都不在同一平面内,则这 4 条直线确定平 面的个数是________. 解析 设这 4 条直线分别为 a,b,c,d,由题意知这 4 条直线中的每两条都确 定一个平面,因此,a 与 b,a 与 c,a 与 d,b 与 c,b 与 d,c 与 d 都分别确定一 个平面,共 6 个平面. 答案 6 10. 如图所示的是一个正方体表面的一种展开图, 图中的四条线段 AB、 CD、 EF、 GH 在原正方体中相互异面的有________对. ).

解析 将正方体恢复后,由图观察即可得.即为 EF,GH;CD,AB;AB,GH. 答案 3 11.如图所示,AB∩α=P,CD∩α=P,A,D 与 B,C 分别在平面 α 的两侧, AC∩α=Q,BD∩α=R. 求证:P,Q,R 三点共线.

证明 ∵AB∩α=P,CD∩α=P, ∴AB∩CD=P. ∴AB,CD 可确定一个平面,设为 β. ∵A∈AB,C∈CD,B∈AB,D∈CD, ∴A∈β,C∈β,B∈β,D∈β. ∴AC?β,BD?β,平面 α,β 相交. ∵AB∩α=P,AC∩α=Q,BD∩α=R, ∴P,Q,R 三点是平面 α 与平面 β 的公共点. ∴P,Q,R 都在 α 与 β 的交线上,故 P,Q,R 三点共线. 12.(创新拓展)在正方体 AC1 中,E、F 分别为 D1C1、B1C1 的中点,AC∩BD=P, A1C1∩EF=Q,如图所示.

(1)求证:D、B、F、E 四点共面; (2)确定出直线 A1C 与平面 BDEF 的交点 R 的位置. 证明 (1)由于 CC1 和 BF 在同一个平面内且不平行,故必相交.设交点为 O,则 OC1=C1C.同理直线 DE 与 CC1 也相交,设交点为 O′,则 O′C1=C1C,故 O′ 与 O 重合.由此可证得 DE∩BF=O,故 D、B、F、E 四点共面(设为 α). (2)由于 AA1∥CC1,所以 A1、A、C、C1 四点共面(设为 β). P∈BD,而 BD?α,故 P∈α. 又 P∈AC,而 AC?β,所以 P∈β,所以 P∈α∩β. 同理可证得 Q∈α∩β,

从而有 α∩β=PQ. 又因为 A1C?β,所以 A1C 与平面 α 的交点就是 A1C 与 PQ 的交点.连接 A1C, 则 A1C 与 PQ 的交点就是所求的交点 R 的位置.


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