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高一数学必修一函数的奇偶性


函数的奇偶性

问题提出

1.研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的 需要,也是数学自身发展的必然结果. 例如事物 的变化趋势,利润最大、效率最高等,这些特性 反映在函数上,就是要研究函数的单调性及最值. 2.我们从函数图象的升降变化引发了函数的单 调性,从函数图象的最高点最低点引发了函数的 最值,如果从函数图象的对称性出发又能得到什 么性质?

知识探究(一)

考察下列两个函数:
(1) f ( x) ? ? x ;
2

(2) f ( x) ?| x | .
y o

y o

x

x

图(1)

图(2)

思考1:这两个函数的图象分别是什么?二者 有何共同特征?
思考2:对于上述两个函数,f(1)与f(-1), f(2)与f(-2),f(3)与f(-3)有什么关系?

思考3:一般地,若函数y=f(x)的图象关于y轴 对称,则f(x)与f(-x)有什么关系?反之成立 吗? f(x)=f(-x)
思考4:我们把具有上述特征的函数叫做偶函 数,那么怎样定义偶函数?

如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x)成立,则称函数f(x)为偶函 数.

思考5:等式f(-x)=f(x)用文字语言怎样表 述? 自变量相反时对应的函数值相等

思考6:函数 f ( x) ? x , x ?[?1, 2]是偶函数 吗?偶函数的定义域有什么特征?
2

偶函数的定义域关于原点对称

知识探究(二)

考察下列两个函数:
(1) f ( x) ? x ;
y o 图(1) x

1 (2) f ( x) ? . x y
o x 图(2)

思考1:这两个函数的图象分别是什么?二者 有何共同特征?
思考2:对于上述两个函数,f(1)与f(-1), f(2)与f(-2),f(3)与f(-3)有什么关系?

思考3:一般地,若函数y=f(x)的图象关于坐 标原点对称,则f(x)与f(-x)有什么关系?反 之成立吗? f(x)=-f(-x)
思考4:我们把具有上述特征的函数叫做奇函 数,那么怎样定义奇函数?

如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=-f(x)成立,则称函数f(x)为奇 函数.

思考5:等式f(-x)=-f(x)用文字语言怎样表 述? 自变量相反时对应的函数值相反

思考6:函数 f ( x) ? x, x ? [?1, 2] 是奇函数吗? 奇函数的定义域有什么特征? 奇函数的定义域关于原点对称

理论迁移

例1 判断下列函数的奇偶性: 1 2 (1) f ( x) ? x ? ; (2) f ( x) ? 1 ? x . x

例2 已知定义在R上的函数f(x)满足:对任 意实数,都有 f (a ? b) ? af (b) ? bf (a)成立. (1)求f(1)和f(-1)的值; (2) 确定f(x)的奇偶性.

例3 确定函数 f ( x) ? ? x ? 2 | x | ?3的单调区间.
2

y

x -1 o 1

作业:

P51习题:1,2


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