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2013年浙江省高等数学竞赛(工科类)参考答案


2013 浙江省高等数学(微积分)竞赛试题 工科类
一计算题: (每小题 14分,满分70 分)?
k - sin?2? k? é 1.求极限 lim ? ln ( n + k - sin 2? k )?- ln?n?ù 2? ? ?。 n??+? n k?=1?
n?

解:记 f ( x )?= x ln(1 + x )?,?

xk =
n

k?- 1 1? ,?Dx? k? =? n n

k - sin?2? k k? k?- 1? <?x k? = < n n n

n? k - sin?2? k? é 2? ù ln n + k sin k ln ? n = f ( x k )?Dx? ( ) ? k? ? ? ? n 2? k =1 k?=1?

原极限?=

ò? x ln(1 + x)?dx = =
0?

1?

1 1 1? x?2? 1? ln 2?- ò? dx?= 0? 2 2 x +1 4?

x - 5 y - 1 z?+ 1? x + 2 y - 2 z?- 4? = = 与?L2? :? = = 之间的距离。 4 -3 1? -2 9 2? r r r 解:过?L? ? ?且法矢量为 n = l1 ? l2? = -5 ( 3, 2, -6? )?, 1? 且平行于?L? 2? 的平面 p 过点 M 1? ( 5,1, -1)
2. 求异面面直线?L1? :? 所以 p 方程为

3 ( x - 5 ) + 2 ( y - 1) - 6 ( z + 1)?= 0?

即? 3 x + 2 y - 6 z - 23 = 0?

p 的距离,即为 M 2? ( -2, 2, 4?)?到 p 距离 因平面 p 平行于?L? 2? ,故所求距离 d?即为?L? 2? 到
d= 3 ( -2 ) + 2 ? 2 - 6 ? 4 - 23? 32 + 2 2? + ( -? 6?)?
3.求积分
2?

= 7?

ò?sin?( x + b )?dx?,其中为?a,?b 常数。

sin?( x + a?)

解: sin ( x + a ) = sin ( x + b ) cos ( a - b ) + cos ( x + b ) sin?( a - b )?

ò sin ( x + b ) dx = cos ( a - b ) x + sin?( a - b ) ò sin?( x + b )?dx?
= cos ( a - b ) x + sin ( a - b ) ln sin?( x + b )? + c
第? 1? 页 共? 4? 页

sin ( x + a )

cos?( x + b?)

4.设某均匀物体由半径为?1? 的半球体下接一个高为?h? 的正圆锥体而成,已知该物 体的的重心位于球心,求?h?的值。 解:以球心为坐标坐标原点,半球体与正圆锥体的公共部份为?xoy 平面 则半球体 W1? =

{( x, y, z ) x

2

+ y 2 + z 2? ? 1, z ? 0?
2 2?

}?
2?

正圆锥体 W 2? =

{( x, y, z ) x + y
0? - h?

? (1 + z / h ) , - h ? z ??0?

}?
W 2?

W = W1 ? W 2

重心位于球心即为?zc? = 0? 即
1

即?

òòò

W

zdv = òòò zdv + òòò zdv = 0?
W1 2?

p ò z (1 - z 2?) dz + p ò z (1 + z /?h )? dz = p (1/ 4 -?h 2? /12?)? = 0
0?

所以?h =? 3? 5 . 已 知 二 元 函 数 u ( x,?y?)?满 足?

? 2?u ?u? + = 0? , 且?u ?x?y ?y

x?= 0?

=? y 2?,? u

y?=1?

= cos?x 求

u ( x,?y?)?的表达式。
解: u x? + u = c ( x )? ? e x ( u x? + u ) = e x c ( x ) ? e x u

( )

x?

= e x?c ( x )? f ,?g?为为任意函数

? e x u = ò? e x c ( x ) dx + g ( y ) ? u = f ( x ) + e - x?g ( y )?
u
x?= 0?

= y 2 ? f ( 0 ) + g ( y ) = y 2 ? g ( y ) = y 2? -? f ( 0?)?

u

y?=1?

= cos?x ? f ( x ) + e - x g (1) = cos x ? f ( x ) = cos x - e - x?g (1) ??

u = cos x + e- x y 2 - e - x ( f ( 0 ) + g (1) ) = cos x + e - x? ( y 2? - 1) ??
( n?-1? )? ? 1 ? 1? 二、 (满分 20 分)设 f n? ( x )?= x n? ln?x ,求 n? lim? f? n? ? ÷ ?+?

è n ? n !?

解: f n?? ( x )?= nx

n -1

ln?x + x n?-1?
( n?- 2)?

f n( n -1) ( x ) = ( nx n -1 ln x + x n?-1?)

( n?- 2?) = nf n? !? -1? ( x ) + x ( n - 1)?

n n? x? 1? 1 ( n?-1)? 1? x? 1 ? ( n?- 2?) fn ( x ) = f n? x? + = f x + = x (ln x? + )? ( ) ? ( ) ? ? ? 2? -1? n! n 2!? ( n - 1)!? k =3 k k?= 2? k

第? 2? 页 共? 4? 页?

n? n n? k? 1? 1? 1 ( n?-1? )? ? 1 ? 1? 1 f? = ( ln n? ) ? 而 ? ln n < dx - ln n?= 0? ? ? ? n? ? ÷ ò k?-1? x è n ??n !? n k?= 2? k k =2 k k?= 2? n n?-1?

又有?

? k - ln n > ? ò
k =2 k?= 2?

1

k?+1?

k?

1 1 1? dx + - ln n?= - ln 2? x n n

所以 lim? f? n?
n??+?

( n?-1? )? ? 1 ?

1? 1 n? 1? = lim (? - ln n? ) = 0? ? ÷ è n ??n !? n??+? n k?= 2? k
+? ? n?

三、 (满分 20 分)计算积分 ò0? (? ( -1)
n=0

x 2 n +1 ? x?2?n? )( ? n? )? dx?。 ( 2n )!! n?=0? 4 ( n + 1)?!?

解: 令?t = x

2?

原积分 =

n ? ?? ? 1? +? ? ? t?n? n? t 1? ( ) ? ÷dt? ? ? ÷ ? n n? ò ? ? 2 0? è n = 0 2 n ! ? è n?= 0? 4 ( n + 1)? !?÷ ?

=

+? +? 0.5? 1? +? -0.5t 0.25?t? 4? -0.25 t -0.5? t 1? e ( e 1)? dt = 2 ( e e ) dt = 2 ? dx e - xy?dy ò ? ò ò ò ? t? t? 0? 0 0 0.25? 2? 0.5?

= 2? ò

0.25

dy ò? e- xy?dx = 2? ò?
0?

+?

1? dy? = 2 ln 2 0.25? y
0.5?

四、 (满分 20)已知 sin x = x cos y ????x, y ? ( 0, p / 2?)?,证明?y < x < 2?y 。
解:由中值定理 sin x = x cos x ???x ? ( 0, x )?? cos x = cos?y ? y = x < x

sin x = 2 sin ( x / 2 ) cos ( x / 2 ) < x cos ( x / 2?)?? cos y <?cos ( x / 2?)?

cos x 在 ( 0, p / 2 )?中严格单调减
所以?

所以? x / 2 < y ? x < 2?y

y < x < 2?y

五、 (满分 20 分)
证明: f ( x?) =
a 1?- x? 1?- x b

(a > b > 0?)?在 ( 0,1? )?上严格单调增。

1?- t?l a 解: f ( x?)?严格单调增等价于 h ( t?)?= (l = > 1)?的严格单调增 1?- t b

第? 3? 页 共? 4? 页

记 g ( t )?= 1? - tl

则 g ?? ( t )?= -l ( l - 1)t l - 2? < 0? 从而 g ( t?)?是凸函数

所以?" t1 < t2? <?1? t2 = l1t? 1 + l2 ?1??l1 =

1?- t2 t - t? > 0???l2? = 2 1? > 0? 1 - t1 1?- t1?

g ( t2 ) > l1 g ( t1 ) + l2?g (1) ?? = h ( t1 ) < h ( t2? )?

g ( t2 ) g ( t? 1?- t? 1?)? 2? g ( t? ? > 1?)? 1?- t1? 1 - t2 1?- t1?

所以 f ( x?)?严格单调增

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