当前位置:首页 >> 数学 >> 江苏省泰州市2015届高三一模数学试题(含答案)

江苏省泰州市2015届高三一模数学试题(含答案)


江苏省泰州市 2015 届高三一模数学试题
一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应 答题线上.) 1.(5 分)(2015?泰州一模)已知 A={1,3,4},B={3,4,5},则 A∩B= 【考点】: 交集及其运算. 【专题】: 集合. 【分析】: 由 A 与 B,求出两集合的交集即可. 【解析】: 解:∵A={1,3,4},B={3,4,5}, ∴A∩B={3,4}. 故答案为:{3,4} 【点评】: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. {3,4} .

2.(5 分)(2015?泰州一模)函数 f(x)=2sin(3x+

)的最小正周期 T=



【考点】: 三角函数的周期性及其求法. 【专题】: 计算题. 【分析】: 由函数解析式找出 ω 的值,代入周期公式 T= 【解析】: 解:函数 f(x)=2sin(3x+ ∵ω=3,∴T= 故答案为: 【点评】: 此题考查了三角函数的周期性及其求法,熟练掌握周期公式是解本题的关键. 3.(5 分)(2015?泰州一模)复数 z 满足 iz=3+4i(i 是虚数单位),则 z= 【考点】: 复数代数形式的乘除运算. 【专题】: 数系的扩充和复数. 【分析】: 利用复数的运算法则即可得出. 【解析】: 解:∵iz=3+4i, ∴﹣i?iz=﹣i(3+4i), ∴z=4﹣3i, 故答案为:4﹣3i. 【点评】: 本题考查了复数的运算法则,属于基础题. 4﹣3i . . ), ,即可求出函数的最小正周期.

4.(5 分)(2015?泰州一模)函数 y=

的定义域为

[2,+∞)



【考点】: 函数的定义域及其求法. 【专题】: 计算题;函数的性质及应用.

【分析】: 由根式内部的代数式大于等于 0,然后求解指数不等式. 【解析】: 解:由 2 ﹣4≥0,得 2 ≥4,则 x≥2. ∴函数 y= 的定义域为[2,+∞).
x x

故答案为:[2,+∞). 【点评】: 本题考查了函数的定义域及其求法,考查了指数不等式的解法,是基础题. 5.(5 分)(2015?泰州一模)执行如图所示的流程图,则输出的 n 为 4 .

【考点】: 程序框图. 【专题】: 图表型;算法和程序框图. 【分析】: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,n 的值,当 S=63 时,不满足条件 S>63,退出循环,输出 n 的值为 4. 【解析】: 解:模拟执行程序框图,可得 S=511,n=1 满足条件 S>63,S=255,n=2 满足条件 S>63,S=127,n=3 满足条件 S>63,S=63,n=4 不满足条件 S>63,退出循环,输出 n 的值为 4. 故答案为:4. 【点评】: 本题主要考查了程序框图和算法,正确得到每次循环的 S,n 的值是解题的关键, 属于基础题. 6.(5 分)(2015?泰州一模)若数据 2,x,2,2 的方差为 0,则 x =2 【考点】: 极差、方差与标准差. 【专题】: 概率与统计. 【分析】: 由已知利用方差公式得到关于 x 的方程解之. .

【解析】: 解:因为数据 2,x,2,2 的方差为 0,由其平均数为 =0,解得 x=2; 故答案为:2.

,得到

【点评】: 本题考查了调查数据的方差的计算公式的运用,熟记公式是关键,属于基础题 7.(5 分)(2015?泰州一模)袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球,从中任取两个球, 则这两个球颜色相同的概率为 .

【考点】: 古典概型及其概率计算公式. 【专题】: 排列组合. 【分析】: 从中任取两个球共有红 1 红 2,红 1 白 1,红 1 白 2,红 2 白 1,红 2 白 2,白 1 白 2, 共 6 种取法,其中颜色相同只有 2 种,根据概率公式计算即可 【解析】: 解:从中任取两个球共有红 1 红 2,红 1 白 1,红 1 白 2,红 2 白 1,红 2 白 2,白 1 白 2,共 6 种取法,其中颜色相同只有 2 种, 故从中任取两个球,则这两个球颜色相同的概率 P= = ; 故答案为: . 【点评】: 本题考查了古典概型概率的问题,属于基础题

8. (5 分) (2015?泰州一模) 等比数列 an 中, a1+32a6=0, a3a4a5=1, 则数列前 6 项和为





【考点】: 等比数列的通项公式. 【专题】: 等差数列与等比数列. 【分析】: 根据 a1+32a6=0,求出公比 q 的值,再根据 a3a4a5=1,求出 a4 与 a1,即可计算数列 的前 6 项和 S6. 【解析】: 解:∵等比数列{an}中,a1+32a6=0, ∴q =
5

=﹣



即公比 q=﹣ ; 又∵a3a4a5=1, ∴a4=1, ∴a1= = =﹣8;

∴该数列的前 6 项和为

S6=

=

=﹣



故答案为:﹣



【点评】: 本题考查了等比数列的通项公式与前 n 项和的计算问题,是基础题目.

9.(5 分)(2015?泰州一模)已知函数 f(x)= sinα= ﹣1 .

是奇函数,则

【考点】: 函数奇偶性的性质. 【专题】: 函数的性质及应用;三角函数的图像与性质. 【分析】: 由已知中函数 f(x)= 是奇函数,可得 cos(x+α)

=sinx 恒成立,进而 α=﹣

+2kπ,k∈Z,进而可得 sinα 的值.

【解析】: 解:当 x<0 时,﹣x>0, 则 f(x)=﹣x +cos(x+α),f(﹣x)=(﹣x) +sin(﹣x)=x ﹣sinx, ∵函数 f(x)是奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(﹣x), ∴cos(x+α)=sinx 恒成立, ∴α=﹣ +2kπ,k∈Z,
2 2 2

∴sinα=﹣1, 故答案为:﹣1 【点评】: 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,诱导公式,特殊角的三角函数值,是三角 函数与函数图象和性质的综合应用,难度中档.

10.(5 分)(2015?泰州一模)双曲线



=1 的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离

的一半,则双曲线的离心率 e=



【考点】: 双曲线的简单性质. 【专题】: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】: 求出双曲线的左顶点以及右焦点,以及渐近线方程,运用两点的距离公式和点到直 线的距离公式,列出 a、b、c 关系式,然后由离心率公式即可计算得到. 【解析】: 解:双曲线 ﹣ =1 的右焦点为(c,0),左顶点为(﹣a,0),

右焦点到双曲线渐近线 bx﹣ay=0 的距离为:

=

=b,

右焦点(c,0)到左顶点为(﹣a,0)的距离为:a+c, 由题意可得,b= (a+c), 即有 4b =a +c +2ac,即 4(c ﹣a )=a +c +2ac, 即 3c ﹣5a ﹣2ac=0, 由 e= ,则有 3e ﹣2e﹣5=0, 解得,e= . 故答案为: . 【点评】: 本题考查双曲线的离心率的求法,点到直线的距离公式的应用,属于中档题. 11. (5 分) (2015?泰州一模)若 α、β 是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为 ④ .(写出所有真命题的序号) ①若直线 m⊥α,则在平面 β 内,一定不存在与直线 m 平行的直线. ②若直线 m⊥α,则在平面 β 内,一定存在无数条直线与直线 m 垂直. ③若直线 m?α,则在平面 β 内,不一定存在与直线 m 垂直的直线. ④若直线 m?α,则在平面 β 内,一定存在与直线 m 垂直的直线. 【考点】: 空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】: 空间位置关系与距离. 【分析】: 利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答. 【解析】: 解:对于①,若直线 m⊥α,如果 α,β 互相垂直,则在平面 β 内,存在与直线 m 平 行的直线.故①错误; 对于②,若直线 m⊥α,则直线 m 垂直于平面 α 内的所有直线,则在平面 β 内,一定存在无数条 直线与直线 m 垂直.故②正确; 对于③,若直线 m?α,则在平面 β 内,一定存在与直线 m 垂直的直线.故③错误; 对于④,若直线 m?α,则在平面 β 内,一定存在与直线 m 垂直的直线.故④正确; 故答案为:②④. 【点评】: 本题考查了线面垂直的性质定理的运用判断直线的位置关系;关键是熟练运用定理, 全面考虑.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



12.(5 分)(2015?泰州一模)已知实数 a,b,c 满足 a +b =c ,c≠0,则 .

的取值范围为

【考点】: 基本不等式. 【专题】: 不等式的解法及应用.

【分析】: 实数 a,b,c 满足 a +b =c ,c≠0,化为

2

2

2

=1,令 =cosθ, =sinθ,

θ∈[0,2π).可得 k=

=

=

,表示点 P(2,0)与圆 x +y =1 上的点连线的

2

2

在的斜率.利用直线与圆的位置关系即可得出. 【解析】: 解:∵实数 a,b,c 满足 a +b =c ,c≠0, ∴ =1,
2 2 2

令 =cosθ, =sinθ,θ∈[0,2π).

∴k=

=

=

,表示点 P(2,0)与圆 x +y =1 上的点连线的直线的斜率.

2

2

设直线 l:y=k(x﹣2), 则 ,

化为 解得 ∴

, . 的取值范围为 . .

故答案为:

【点评】: 本题考查了三角函数换元法、直线的斜率计算公式、直线与圆的位置关系、点到直 线的距离公式,考查了转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 13.(5 分)(2015?泰州一模)在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,若∠ B=∠C 且 7a +b +c =4
2 2 2

,则△ABC 的面积的最大值为



【考点】: 余弦定理;正弦定理. 【专题】: 解三角形. 【分析】: 由∠B=∠C 得 b=c,代入 7a +b +c =4 化简,根据余弦定理求出 cosC,由平方关 系求出 sinC,代入三角形面积公式求出表达式,由基本不等式即可求出三角形 ABC 面积的最大 值. 【解析】: 解:由∠B=∠C 得 b=c,代入 7a +b +c =4 7a +2b =4
2 2 2 2 2 2 2 2

得,

,即 2b =4

2

﹣7a , = ,

2

由余弦定理得,cosC=

所以 sinC=

=

=



则△ABC 的面积 S= =

= = ×

= a ≤ × ×

= 当且仅当 15a =8
2

=


2 2

﹣15a 取等号,此时 a = ,



所以△ABC 的面积的最大值为 故答案为: .

【点评】: 本题考查余弦定理,平方关系,基本不等式的应用,以及三角形的面积公式,考查 变形、化简能力.

14.(5 分)(2015?泰州一模)在梯形 ABCD 中,

=2



=6,P 为梯形 ABCD 所在平

面上一点,且满足

+

+4

= ,

?

=

?

,Q 为边 AD 上的一个动点,则

的最

小值为



【考点】: 向量的加法及其几何意义. 【专题】: 平面向量及应用. 【分析】 : 画图, 根据向量的几何意义和 + +4 = , 可求出 =2, | |=4, 设∠ADP=θ,

根据

?

=

?

,求出 cosθ,继而求出 sinθ,再根据射影定理得到

的最小值

【解析】: 解:取 AB 的中点,连接 PE, ∵ ∴ ∴ =2 =2 = , , ,

∴四边形 DEBC 为平行四边形, ∴ ∵ ∴ = + =2 , =﹣2 , , + +4 = ,



=6,



=2,|

|=4,

设∠ADP=θ, ∵ ? = ? ,



?

=|

||

|cosθ=

?



∴cosθ= , ∴sinθ= ,





时,

最小,



=|DP|sinθ|=2×

=

故答案为:

【点评】: 本题考查了向量的几何意义以及向量的夹角公式,以及射影定理,属于中档题 二、解答题:(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15.(14 分)(2015?泰州一模)在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边经过点 P(3,4). (1)求 sin(α+ )的值; ? 的值.

(2)若 P 关于 x 轴的对称点为 Q,求

【考点】: 平面向量数量积的运算;两角和与差的正弦函数. 【专题】: 平面向量及应用. 【分析】: (1)由已知的 α 的三角函数值,然后利用两角和的正弦公式求值; (2)由已知求出 Q 的坐标,明确 , 的坐标,利用数量积公式解答. ,…(4 分) .…(7 分)

【解析】: 解:(1)∵角 α 的终边经过点 P(3,4),∴ ∴ (2)∵P(3,4)关于 x 轴的对称点为 Q, ∴Q(3,﹣4).…(9 分) ∴ ∴ , . …(14 分)

【点评】: 本题考查了三角函数的定义以及三角函数公式的运用、向量的数量积的运算.属于 基础题. 16.(14 分)(2015?泰州一模)如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是菱形,AC,BD 相交于点 O,EF∥AB,AB=2EF,平面 BCF⊥平面 ABCD,BF=CF,点 G 为 BC 的中点. (1)求证:直线 OG∥平面 EFCD; (2)求证:直线 AC⊥平面 ODE.

【考点】: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 【专题】: 空间位置关系与距离. 【分析】: (1)根据线线平行推出线面平行;(2)根据线面垂直的判定定理进行证明即可. 【解析】: 证明(1)∵四边形 ABCD 是菱形,AC∩BD=O,∴点 O 是 BD 的中点, ∵点 G 为 BC 的中点∴OG∥CD,…(3 分) 又∵OG?平面 EFCD,CD?平面 EFCD,∴直线 OG∥平面 EFCD.…(7 分) (2)∵BF=CF,点 G 为 BC 的中点,∴FG⊥BC, ∵平面 BCF⊥平面 ABCD,平面 BCF∩平面 ABCD=BC,FG?平面 BCF,FG⊥BC∴FG⊥平面 ABCD,…(9 分) ∵AC?平面 ABCD∴FG⊥AC, ∵ , ,∴OG∥EF,OG=EF,

∴四边形 EFGO 为平行四边形,∴FG∥EO,…(11 分) ∵FG⊥AC,FG∥EO,∴AC⊥EO,∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥DO,

∵AC⊥EO,AC⊥DO,EO∩DO=O,EO、DO 在平面 ODE 内, ∴AC⊥平面 ODE.…(14 分)

【点评】: 本题考查了线面平行,线面垂直的判定定理,本题属于中档题. 17.(14 分)(2015?泰州一模)如图,我市有一个健身公园,由一个直径为 2km 的半圆和一个 以 PQ 为斜边的等腰直角三角形△PRQ 构成,其中 O 为 PQ 的中点.现准备在公园里建设一条四 边形健康跑道 ABCD,按实际需要,四边形 ABCD 的两个顶点 C、D 分别在线段 QR、PR 上, 另外两个顶点 A、B 在半圆上,AB∥CD∥PQ,且 AB、CD 间的距离为 1km.设四边形 ABCD 的周长为 ckm. (1)若 C、D 分别为 QR、PR 的中点,求 AB 长; (2)求周长 c 的最大值.

【考点】: 三角函数的最值;在实际问题中建立三角函数模型. 【专题】: 计算题;应用题;函数的性质及应用;三角函数的求值. 【分析】: (1)连结 RO 并延长分别交 AB、CD 于 M、N,连结 OB,运用等腰直角三角形的 性质, 结合勾股定理计算即可得到 AB 的长; (2)设∠BOM=θ,由解直角三角形可得 BM,OM,即可得到 c=AB+CD+BC+AD=2 (sinθ+cosθ+ ),

再由



(当且仅当 a=b 取得等号),计算即可得到最大值.

【解析】: (1)解:连结 RO 并延长分别交 AB、CD 于 M、N,连结 OB, ∵C、D 分别为 QR、PR 的中点,PQ=2,∴ ∵△PRQ 为等腰直角三角形,PQ 为斜边,∴ , , .

∵MN=1,∴

. ,

在 Rt△BMO 中,BO=1,∴ ∴ . ,

(2)设∠BOM=θ,

在 Rt△BMO 中,BO=1,∴BM=sinθ,OM=cosθ. ∵MN=1,∴CN=RN=1﹣ON=OM=cosθ, ∴ ∴ , , , 当 sinθ+cosθ= 即 ∴当 或 或 时取等号. 时,周长 c 的最大值为 km. ,即有 sin2θ= ,

【点评】: 本题考查三角函数的最值,考查重要不等式的运用,考查同角的平方关系,考查运 算能力,属于中档题.

18. (16 分) (2015?泰州一模) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 离心率为

的椭圆 C:

+

=1

(a>b>0)的左顶点为 A,过原点 O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆 C 交于 P,Q 两点,直 线 PA,QA 分别与 y 轴交于 M,N 两点.若直线 PQ 斜率为 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)试问以 MN 为直径的圆是否经过定点(与直线 PQ 的斜率无关)?请证明你的结论. 时,PQ=2 .

【考点】: 直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】: ,(1)设 ,由于直线 PQ 斜率为 时, ,可得

,解得

,代入椭圆方程可得:

,又

,联立解得即可.

(2)设 P(x0,y0),则 Q(﹣x0,﹣y0),代入椭圆方程可得

.由直线 PA 方程

为:

, 可得

, 同理由直线 QA 方程可得



可得以 MN 为直径的圆为

,由于

,代入整理即可得出. 【解析】: 解:(1)设 ∵直线 PQ 斜率为 ∴ ∴ ∴ , , 时, , =1, , ,



,化为 a =2b .

2

2

联立



∴a =4,b =2. ∴椭圆 C 的标准方程为 (2)以 MN 为直径的圆过定点 设 P(x0,y0),则 Q(﹣x0,﹣y0),且 . .下面给出证明: ,即 ,

2

2

∵A(﹣2,0),∴直线 PA 方程为:







直线 QA 方程为:







以 MN 为直径的圆为












2 2

, ,

令 y=0,x +y ﹣2=0,解得

∴以 MN 为直径的圆过定点 . 【点评】: 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点与椭圆的位置 关系、点斜式,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 19.(16 分)(2015?泰州一模)数列{an},{bn},{cn}满足:bn=an﹣2an+1,cn=an+1+2an+2﹣2, n∈N . (1)若数列{an}是等差数列,求证:数列{bn}是等差数列;
*

(2)若数列{bn},{cn}都是等差数列,求证:数列{an}从第二项起为等差数列; (3)若数列{bn}是等差数列,试判断当 b1+a3=0 时,数列{an}是否成等差数列?证明你的结论. 【考点】: 数列递推式;等比关系的确定. 【专题】: 等差数列与等比数列. 【分析】: (1)利用等差数列的定义只要证明 bn+1﹣bn=一个常数即可; (2) 当 n≥2 时, cn﹣1=an+2an+1﹣2, bn=an﹣2an+1, 可得 只要证明 an+1﹣an 等于一个常数即可; (3)解:数列{an}成等差数列. 解法 1 设数列{bn}的公差为 d',由 bn=an﹣2an+1,利用“错位相减”可得 ,设 ,可得 ,进而得到 , ,

,令 n=2,得

, 利用 b1+a3=0, 可得 an+2 ﹣an+1=﹣(bn+1﹣d')+(bn﹣d')=﹣d',即可证明. 解法 2 由 bn=an﹣2an+1, b1+a3=0, 令 n=1, a1﹣2a2=﹣a3, 即 a1﹣2a2+a3=0, 可得 bn+1=an+1﹣2an+2, bn+2=an+2﹣2an+3,2bn+1﹣bn﹣bn+2=(2an+1﹣an﹣an+2)﹣2(2an+2﹣an+1﹣an+3),由于数列{bn} 是等差数列,可得 2bn+1﹣bn﹣bn+2=0,可得 2an+1﹣an﹣an+2=2(2an+2﹣an+1﹣an+3),即可证明. 【解析】: 证明:(1)设数列{an}的公差为 d, ∵bn=an﹣2an+1, ∴bn+1﹣bn=(an+1﹣2an+2)﹣(an﹣2an+1)=(an+1﹣an)﹣2(an+2﹣an+1)=d﹣2d=﹣d, ∴数列{bn}是公差为﹣d 的等差数列. (2)当 n≥2 时,cn﹣1=an+2an+1﹣2, ∵bn=an﹣2an+1, ∴ ,∴ ,

∴ ∵数列{bn},{cn}都是等差数列, ∴ 为常数,



∴数列{an}从第二项起为等差数列. (3)解:数列{an}成等差数列. 解法 1 设数列{bn}的公差为 d', , ,…, , , , , , , , ∵bn=an﹣2an+1, ∴ ∴ ∴ 设 ∴ 两式相减得: 即 ∴ ∴

, ∴ ,

令 n=2,得 ∵b1+a3=0, ∴ ∴2a1+2b1﹣4d'=0, ∴an+1=﹣(bn﹣d'), ∴an+2﹣an+1=﹣(bn+1﹣d')+(bn﹣d')=﹣d', ∴数列{an}(n≥2)是公差为﹣d'的等差数列, ∵bn=an﹣2an+1,令 n=1,a1﹣2a2=﹣a3,即 a1﹣2a2+a3=0, ∴数列{an}是公差为﹣d'的等差数列. 解法 2∵bn=an﹣2an+1,b1+a3=0, 令 n=1,a1﹣2a2=﹣a3,即 a1﹣2a2+a3=0, ∴bn+1=an+1﹣2an+2,bn+2=an+2﹣2an+3, ∴2bn+1﹣bn﹣bn+2=(2an+1﹣an﹣an+2)﹣2(2an+2﹣an+1﹣an+3), ,



∵数列{bn}是等差数列, ∴2bn+1﹣bn﹣bn+2=0, ∴2an+1﹣an﹣an+2=2(2an+2﹣an+1﹣an+3), ∵a1﹣2a2+a3=0, ∴2an+1﹣an﹣an+2=0, ∴数列{an}是等差数列. 【点评】: 本题考查了等差数列的定义及其通项公式,考查了分析问题与解决问题的能力,考 查了推理能力与计算能力,属于难题.

20.(16 分)(2015?泰州一模)已知函数 f(x)=lnx﹣ ,g(x)=ax+b. (1)若函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)若直线 g(x)=ax+b 是函数 f(x)=lnx﹣ 图象的切线,求 a+b 的最小值; (3)当 b=0 时,若 f(x)与 g(x)的图象有两个交点 A(x1,y1),B(x2,y2),求证:x1x2 >2e . (取 e 为 2.8,取 ln2 为 0.7,取 为 1.4)
2

【考点】: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 【专题】: 导数的综合应用. 【分析】: (1)把 f(x)和 g(x)代入 h(x)=f(x)﹣g(x),求其导函数,结合 h(x) 在(0,+∞)上单调递增,可得对?x>0,都有 h′(x)≥0,得到 a 的取值范围; (2)设切点 ,写出切线方程,整理得到
2

,由

得到

,令

换元,可得 a+b=φ(t)=﹣lnt+t ﹣t﹣1,

利用导数求其最小值; (3)由题意知 , ,把 a 用含有 x1,x2 的代数式表示,得



,不妨令 0<x1<x2,记

,构造函数

,由导数确定其单调性,从而得到

,即

,然后利用基

本不等式放缩得到

,令

,再由导数确定 G(x)在

(0,+∞)上单调递增,然后结合又 ,即 . ,则

得到

【解析】: (1)解:h(x)=f(x)﹣g(x)=

, ,

∵h(x)=f(x)﹣g(x)在(0,+∞)上单调递增,∴对?x>0,都有 即对?x>0,都有 ∵ ,∴a≤0, ,

故实数 a 的取值范围是(﹣∞,0]; (2)解:设切点 ,则切线方程为





,亦即





,由题意得



令 a+b=φ(t)=﹣lnt+t ﹣t﹣1,则 当 t∈(0,1)时,φ'(t)<0,φ(t)在(0,1)上单调递减; 当 t∈(1,+∞)时,φ'(t)>0,φ(t)在(1,+∞)上单调递增, ∴a+b=φ(t)≥φ(1)=﹣1,故 a+b 的最小值为﹣1; (3)证明:由题意知 , ,

2



两式相加得



两式相减得















不妨令 0<x1<x2,记





,则





在(1,+∞)上单调递增,则 ,



,则



∴ 又



, ∴ ,即 ,



,则 x>0 时,



∴G(x)在(0,+∞)上单调递增, 又 ,







,即



【点评】: 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数求函数的最 值, 体现了数学转化思想方法和函数构造法, 本题综合考查了学生的逻辑思维能力和灵活应变能 力,难度较大.

三、 选做题 (共 4 小题, 满分 20 分, <SPAN style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 宋体; mso-bidi-font-family: 'Times New Roman'; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-font-size: 16.0pt; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'"><STRONG> 四小题中 任选两题作答</STRONG></SPAN>) 【几何证明选讲】 21.(10 分)(2015?泰州一模)如图,EA 与圆 O 相切于点 A,D 是 EA 的中点,过点 D 引圆 O 的割线,与圆 O 相交于点 B,C,连结 EC. 求证:∠DEB=∠DCE.

【考点】: 与圆有关的比例线段. 【专题】: 立体几何. 【分析】: 由切割线定理:DA =DB?DC,从则 DE =DB?DC,进而△EDB~△CDE,由此能证 明∠DEB=∠DCE. 【解析】: 证明:∵EA 与⊙O 相切于点 A. ∴由切割线定理:DA =DB?DC. ∵D 是 EA 的中点, ∴DA=DE.∴DE =DB?DC.…(5 分) ∴ .∵∠EDB=∠CDE,
2 2 2 2

∴△EDB~△CDE,∴∠DEB=∠DCE…(10 分) 【点评】: 本题考查两角相等的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意切割线定理的合理 运用. 【矩阵与变换】 22.(10 分)(2015?泰州一模)已知矩阵 A= 直线 l 变为直线 l′:x+y﹣2=0,求直线 l 的方程. 【考点】: 几种特殊的矩阵变换. 【专题】: 矩阵和变换. 【分析】: 计算出 AB
﹣1

,B=

,若矩阵 AB

﹣1

对应的变换把

的值,设出变换,计算即可.

【解析】: 解:∵ ∴

,∴ ,
﹣1



设直线 l 上任意一点(x,y)在矩阵 AB

对应的变换下为点(x',y')



∴ 代入 l',



l':(x﹣2y)+(2y)﹣2=0,化简后得:l:x=2. 【点评】: 本题考查了矩阵的变换,属基础题. 【坐标系与参数方程选讲】 23.(2015?泰州一模)己知在平面直角坐标系 xOy 中,圆 O 的参数方程为 (α 为

参数) . 以原点 O 为极点, 以 x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中, 直线 l 的极坐标方程为 ρ (sinθ ﹣cosθ)=1,直线 l 与圆 M 相交于 A,B 两点,求弦 AB 的长. 【考点】: 简单曲线的极坐标方程. 【专题】: 坐标系和参数方程. 【分析】 : 利用 sin α+cos α=1 可得圆 O 的普通方程, 把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程, 再利用点到直线的距离公式可得圆心 O(0,0)到直线 l 的距离 d,再利用弦长公式可得 |AB|= . (α 为参数),利用 sin α+cos α=1 可得圆 O:
2 2 2 2

【解析】: 解:由圆 O 的参数方程
2 2

x +y =4, 又直线 l 的极坐标方程为 ρ(sinθ﹣cosθ)=1 可得直线 l:x﹣y+1=0, 圆心 O(0,0)到直线 l 的距离 ,

弦长



【点评】: 本题考查了圆的参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线 的距离公式、弦长公式,考查了计算能力,属于基础题. 【不等式选讲】 24.(2015?泰州一模)已知正实数 a,b,c 满足 a+b+c=3,求证: + + ≥3.

【考点】: 不等式的基本性质. 【专题】: 不等式的解法及应用. 【分析】: 利用基本不等式的性质即可得出.

【解析】: 证明:∵正实数 a,b,c 满足 a+b+c=3, ∴ ∴abc≤1, ∴ . ,

【点评】: 本题考查了基本不等式的性质,属于基础题. 四、解答题(共 2 小题,满分 20 分) 25.(10 分)(2015?泰州一模)如图,在长方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,DA=DC=2,DD′=1,A′C′ 与 B′D′相交于点 O′,点 P 在线段 BD 上(点 P 与点 B 不重合). (1)若异面直线 O′P 与 BC′所成角的余弦值为 (2)若 DP= ,求 DP 的长度;

,求平面 PA′C′与平面 DC′B 所成角的正弦值.

【考点】: 二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角. 【专题】: 空间位置关系与距离;空间角. 【分析】: (1)以 为一组正交基底,建立空间直角坐标系 D﹣xyz,由此利

用向量法能求出 DP 的长度.(2)求出平面 DC'B 的法向量和平面 PA'C'的法向量,利用向量法 求出设平面 PA'C'与平面 DC'B 所成角的余弦值,由此能求出平面 PA′C′与平面 DC′B 所成角的正 弦值. 【解析】: 解:(1)以 建立如图所示的空间直角坐标系 D﹣xyz, 由题意,知 D(0,0,0),A'(2,0,1),B(2,2,0),C'(0,2,1),O'(1,1,1).设 P(t,t,0), ∴ 设异面直线 O'P 与 BC'所成角为 θ, 则 化简得:21t ﹣20t+4=0,
2

为一组正交基底,







解得: (2)∵



, ,∴ , ,



.…(5 分) , , ,

设平面 DC'B 的一个法向量为





,∴





,取 y1=﹣1,



设平面 PA'C'的一个法向量为





,∴





,取 y2=1,



设平面 PA'C'与平面 DC'B 所成角为 φ, ∴ ,



.…(10 分)

【点评】: 本题考查线段长的求法,考查二面角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审 题,注意向量法的合理运用.

26. (10 分) (2015?泰州一模) 记 Ci 为从 i 个不同的元素中取出 r 个元素的所有组合的个数. 随 机变量 ξ 表示满足 Ci ≤ i 的二元数组(r,i)中的 r,其中 i∈{2,3,4,5,6,7,8,9,10}, 每一个 Ci (r=0,1,2,…,i)都等可能出现.求 Eξ. 【考点】: 离散型随机变量的期望与方差. 【专题】: 概率与统计. 【分析】: 由已知得当 r=0,1,2,i﹣2,i﹣1,i 时, ,由此能求出 Eξ. 【解析】: 解:∵ 当 i≥2 时, , ∴当 2≤i≤5,i∈N*时, 当 6≤i≤10,i∈N*, 由 当 r=0,1,2,i﹣2,i﹣1,i 时, 当 r=3,…,i﹣3 时, ∴ξ 的分布列为: ξ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P(ξ) …(8 分) ∴ .…(10 分) , , , 的解为 r=0,1,…,i.…(3 分) , ?i=3,4,5 可知: 成立, (等号不同时成立),即 .…(6 分) , 成立,当 r=3,…,i﹣3 时,
r r 2

r

【点评】: 本题考查离散型随机变量的数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,在历 年高考中都是必考题型之一.


更多相关文档:

2015年江苏省泰州市高考数学一模试卷

答案为:2. ,得到 【点评】: 本题考查了调查数据的方差的计算公式的运用,熟记公式是关键,属于基础题 7.(5 分)(2015?泰州一模)袋子里有两个不同的红球和...

江苏省泰州市2015届高三数学一模试卷(解析版)

(共 31 页) 2015 年江苏省泰州市高考数学一模试卷参考答案试题解析 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题...

2016届泰州市高三一模数学试卷和答案

2016届泰州市高三一模数学试卷答案_数学_高中教育_教育专区。泰州市 2016 届高三第一次模拟考试 数学试题 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,...

江苏省泰州市2015届高三数学一模试卷(解析版)

(共 30 页) 2015 年江苏省泰州市高考数学一模试卷参考答案试题解析 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题...

江苏省泰州市2015届高三一模数学试卷【名师解析】

答案为:2. 【点评】: 本题考查了调查数据的方差的计算公式的运用,熟记公式是关键,属于基础题 7.(5 分)(2015?泰州一模)袋子里有两个不同的红球和两个不...

江苏省泰州市2015届高三第二次模拟考试数学试卷及答案

江苏省泰州市2015届高三第二次模拟考试数学试卷及答案_数学_高中教育_教育专区。全科【9 门】备课大师网:免注册,不收费! 2014~2015 学年度泰州市第二次模拟...

高三数学-泰州市2015届高三数学一模试卷

求 Eξ. 6 2015 年江苏省泰州市高考数学一模试卷参考答案试题解析 一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的...

江苏省泰州市2015届高三第二次模拟考试数学试卷(二模)

江苏省泰州市2015届高三第二次模拟考试数学试卷(二模)_高三数学_数学_高中教育_...an xn . 2014~2015 学年度泰州市第二次模拟考试 高三数学参考答案一、填空题...

2015年泰州市高三数学一模试题及答案讲评

2015年泰州市高三数学一模试题及答案讲评_高三数学_数学_高中教育_教育专区。学无止境,值得收藏!泰州市 2015 届高三第一次模拟考试 数学试题与参考答案及评分标准 ...

泰州市2015届高三一模数学试题

2015 年江苏省泰州市高考数学一模试卷 一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应 答题线上.) 1.(5 分)(...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com