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高二数学直线与圆的位置关系(有答案)


高二数学直线与圆的位置关系 一.选择题 2 2 1.已知两点 A(-2,0)、B(0,2),点 C 是圆 x +y -2x=0 上的任意一点,则△ABC 面积的最 小值是 ( A )

6? 2 3? 2 D. 2 2 2 2 2.已知点 M(a,b)在圆 O:x +y =1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是( A.相切 B.相交 C.相离

D.不确定
A.3- 2 B.3+ 2 C. 解:∵M(a,b)在圆 x +y =1 外, 2 2 ∴a +b >1, ∴圆 O(0,0)到直线 ax+by=1 的距离 d= 则直线与圆的位置关系是相交. 故选 B <1=r,
2 2



→ → → → 2 2 3.已知直线 x+y=a 与圆 x +y =4 交于 A.B 两点,且∣OA+OB∣=∣OA-OB∣,其中 O 为坐标 原点,则实数 a 的值为 A.2 B.±2
2

( B ) C.-2
2

D. ?

2

4.已知过点 P(2,2)的直线与圆(x﹣1) +y =5 相切,且与直线 ax﹣y+1=0 垂直,则 a= ( ) A. B.1 C.2 D.

解:因为点 P(2,2)满足圆(x﹣1) +y =5 的方程,所以 P 在圆上, 2 2 又过点 P(2,2)的直线与圆(x﹣1) +y =5 相切,且与直线 ax﹣y+1=0 垂直, 所以切点与圆心连线与直线 ax﹣y+1=0 平行, 所以直线 ax﹣y+1=0 的斜率为:a= 故选 C. 5.已知 P( x, y )是圆x ? ( y ? 3) ? 1 上的动点,定点 A(2,0) ,B(—2,0) ,则 PA ? PB
2 2

2

2

=2.

??? ??? ? ?

的最大值为 ( A ) A.12 B.0 C.—12 D.4 2 2 6.若直线 x﹣y+1=0 与圆(x﹣a) +y =2 有公共点,则实数 a 取值范围是( ) A.[﹣3,﹣1] B.[﹣1,3] C.[﹣3,1] D.(﹣∞,﹣3]∪[1, +∞) 解:∵直线 x﹣y+1=0 与圆(x﹣a) +y =2 有公共点 ∴圆心到直线 x﹣y+1=0 的距离为 ∴|a+1|≤2
2 2

∴﹣3≤a≤1 故选 C. 7.直线 y=kx+3 与圆(x﹣3) +(y﹣2) =4 相交于 M,N 两点,若 ,则 k 的 取值范围是( ) A. B. C. D. [﹣ ,0] [﹣ ,0] [﹣ ]
2 2

解:解法 1:圆心的坐标为(3. ,且圆与 x 轴相切. ,2) 当 ,弦心距最大,

由点到直线距离公式得

解得 k∈ 故选 A.



解法 2:数形结合,如图由垂径定理得夹在两直线之间即可,不取+∞,排除 B,考虑区间 不对称,排除 C,利用斜率估值, 故选 A.

8.过点 A(11,2)作圆 x +y +2x﹣4y﹣164=0 的弦,其中弦长为整数的共有( A.16 条 B.17 条 C.32 条 D.34 条
2 2 2

2

2



解:圆的标准方程是: (x+1) +(y﹣2) =13 ,圆心(﹣1,2) ,半径 r=13 过点 A(11,2) 的最短的弦长为 10,最长的弦长为 26, (分别只有一条)还有长度为 11,12,…,25 的各 2 条,所以共有弦长为整数的 2+2×15=32 条. 故选 C. 9.直线 x+y=1 与圆 x +y ﹣2ay=0(a>0)没有公共点,则 a 的取值范围是( A.(0, C. D.(0, ) B.( , ) ( , )
2 2 2 2 2 2 2

) )

解:把圆 x +y ﹣2ay=0(a>0)化为标准方程为 x +(y﹣a) =a ,所以圆心(0,a) ,半径 r=a, 由直线与圆没有公共点得到:圆心(0,a)到直线 x+y=1 的距离 d= 当 a﹣1>0 即 a>1 时,化简为 a﹣1> a,即 a(1﹣ >r=a,

)>1,因为 a>0,无解;

当 a﹣1<0 即 0<a<1 时,化简为﹣a+1> 所以 a 的范围是(0, 故选 A ﹣1)

a,即(

+1)a<1,a<

=

﹣1,

10.在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的方程为 x +y ﹣8x+15=0,若直线 y=kx+2 上至少存在 一点,使得以该点为圆心,半径为 1 的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最小值是( ) A. B. C. D.
2 2 2 2

2

2

解:∵圆 C 的方程为 x +y ﹣8x+15=0,整理得: (x﹣4) +y =1,即圆 C 是以(4,0)为圆心,1 为半径的 又直线 y=kx+2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点, ∴只需圆 C : (x﹣4) +y =4 与直线 y=kx+2 有公共点即可. 设圆心 C(4,0)到直线 y=kx+2 的距离为 d, 则 d= ≤2,即 3k ≤﹣4k,
2 ′ 2 2

∴﹣ ≤k≤0. ∴k 的最小值是 故选 A. 11.已知 P(x,y)是直线 kx+y+3=0(k>0)上一动点,PA,PB 是圆 C:x +y ﹣4x﹣2y=0 的两条切线,A、B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 5,则 k 的值为( ) A.2 B.3 C. D.
2 2



解: C: +y ﹣4x﹣2y=0 的圆心 C 圆 x (2, , 1) 半径是 r= 由圆的性质知:S 四边形 PACB=2S△ PBC=5, ∵四边形 PACB 的最小面积是 , ∴S△ PBC 的最小值= = rd(d 是切线长) , ∴d 最小值= , 圆心到直线的距离就是 PC 的最小值,即 = = ,

2

2



解得:k=3 或 k=﹣ (与已知 k>0 矛盾,舍去) , 则 k 的值为 3. 故选 B 12. 若直线 x+y﹣m=0 与曲线 A. B. 有公共点, m 所的取值范围是 B 则 ( C. D. )

解:曲线

即 2﹣y=

,即 (x+1) +(y﹣2) =1,y≤2,

2

2

表示以 M(﹣1,2)为圆心,半径等于 1 的半圆(圆位于直线 y=2 的部分,包括直线 y=2 上的点) ,如图所示: 当直线线 x+y﹣m=0 过点 N(0,2)时,有 0+2﹣m=0,解得 m=2. 当直线 x+y﹣m=0 与半圆相切时,根据圆心到直线的距离等于半径可得 解得 m=1﹣ ,或 m=1+ (舍去) . , =1,

故所求的 m 的范围为 故选 B.

13.设 x1、x2 是关于 x 的方程 , A.相离 B.相切
2

的两个不相等的实数根,那么过两点 的直线与圆 x +y =1 的位置关系是( C.相交
2



D.随 m 的变化而变化

解:∵x1、x2 是关于 x 的方程 ∴x1+x2=﹣m,x1x2= 又 , >0, ,

的两个不相等的实数根,

∴直线 AB 的斜率为
2

=x1+x2=﹣m,
2

∴直线 AB 的方程为 y﹣x1 =﹣m(x﹣x1) ,即 mx+y﹣mx1﹣x1 =0, 2 2 由圆 x +y =1,得到圆心(0,0) ,半径 r=1, ∵圆心到直线 AB 的距离 d= ∴直线 AB 与圆的位置关系是相切. 故选 B 14.圆 x +y +ax+by=0 与直线 ax+by=0(a +b ≠0)的位置关系是(
2 2 2 2

=

=1=r,



A.直线与圆相交但不过圆心 C. 直线与圆相交且过圆心
2

B. 相切 D.相离
2

解:将圆的方程化为标准方程得: (x+ ) +(y+ ) =



∴圆心坐标为(﹣ ,﹣ ) ,半径 r=



∵圆心到直线 ax+by=0 的距离 d= 则圆与直线的位置关系是相切. 故选 B

=

=r,

15. 已知直线 l1 的方程为 mx+y=5, 直线 l2 经过点 (﹣4, 且与圆 x +y =25 相切, l1⊥l2, 3) 若 则 m=( ) A. B. C. D. 解:设直线 l2 的方程为 y﹣3=k(x+4) ,即 kx﹣y+4k+3=0.由题意可得圆心 O 到直线 l2 的 距离等于半径, 即 =5,解得 k= .

2

2

再由 l1⊥l2,可得这两条直线的斜率之积等于﹣1,即﹣m? =﹣1, ∴m= , 故选 C. 16.若圆 x +y ﹣4x﹣4y﹣10=0 上至少有三个不同的点到直线 l:ax+by=0 的距离为 则直线 l 的倾斜角的取值范围是( B ) A. B. C. D.
2 2



解:圆 x +y ﹣4x﹣4y﹣10=0 整理为 ∴圆心坐标为(2,2) ,半径为 3 , 要求圆上至少有三个不同的点到直线 l:ax+by=0 的距离为 则圆心到直线的距离应小于等于 , ∴ ,

2

2









∴ ∴ ,





直线 l 的倾斜角的取值范围是 故选 B.



17.过直线 y ? 2 x 上一点 P 作圆 M : ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 点,当 l1 、 l 2 关于直线 y ? 2 x 对称时, ?APB 等于( A. 30? 18. ( 过点 B. 45? ) 引直线 l 与曲线 y= C. 60?

4 的两条切线 l1 、 l 2 , A, B 为切 5

C ) D. 90?

相交于 A, 两点, 为坐标原点, B O 当△ ABO ) C.

的面积取得最大值时,直线 l 的斜率等于( A. B.

D.

解:由 y= 所以曲线 y=

,得 x +y =1(y≥0) . 表示单位圆在 x 轴上方的部分(含与 x 轴的交点) ,

2

2

设直线 l 的斜率为 k,要保证直线 l 与曲线有两个交点,且直线不与 x 轴重合, 则﹣1<k<0,直线 l 的方程为 y﹣0= 则原点 O 到 l 的距离 d= ,即 . .

,l 被半圆截得的半弦长为



=

= 令 ,则

= ,当 ,即



时,S△ ABO 有最大值为 .

此时由

,解得 k=﹣



故答案为 B. 二.填空题(共 2 小题) 19.已知圆 O : x2 ? y 2 ? 5 ,直线 l : x cos? ? y sin ? ? 1 ( 0 ? ? ? 于 1 的点的个数为 k ,则 k ? ________. 【答案】4 20.如果直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? kx ? my ? 4 ? 0 交于 M、N 两点,且 M、N 关于直线
2 2

π ).设圆 O 上到直线 l 的距离等 2

x ? y ? 0 对称,则 k ? m ? ______0___
21. 已知圆 C 的圆心与点 M (1, ?2) 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称, 并且圆 C 与 x ? y ? 1 ? 0 相 切, 则圆 C 的方程为______________。 【答案】 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 8
2 2

2 2 2 22. x ? y ? r 与直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 相交于 P, Q 两点, 若 OP ? OQ ? 0 ( O 为原点), 圆

则圆的半径 r 值的为 【答案】 10



23.设有一组圆 Ck: (x﹣k+1) +(y﹣3k) =2k (k∈N ) .下列四个命题: ①存在一条定直线与所有的圆均相切; ②存在一条定直线与所有的圆均相交; ③存在一条定直线与所有的圆均不相交; ④所有的圆均不经过原点. 其中真命题的代号是 ②④ (写出所有真命题的代号) . 解:根据题意得:圆心(k﹣1,3k) , 圆心在直线 y=3(x+1)上,故存在直线 y=3(x+1)与所有圆都相交,选项②正确; 考虑两圆的位置关系, 2 圆 k:圆心(k﹣1,3k) ,半径为 k , 2 圆 k+1:圆心(k﹣1+1,3(k+1),即(k,3k+3) ) ,半径为 (k+1) , 两圆的圆心距 d=
2 2

2

2

4

*

=



两圆的半径之差 R﹣r= (k+1) ﹣ k =2 k+ , 任取 k=1 或 2 时, (R﹣r>d) k 含于 Ck+1 之中,选项①错误; ,C 若 k 取无穷大,则可以认为所有直线都与圆相交,选项③错误; 2 2 4 2 4 将(0,0)带入圆的方程,则有(﹣k+1) +9k =2k ,即 10k ﹣2k+1=2k (k∈N*) , 因为左边为奇数,右边为偶数,故不存在 k 使上式成立,即所有圆不过原点,选项④正确. 则真命题的代号是②④. 故答案为:②④ 24.已知圆 M: (x+cosq) +(y﹣sinq) =1,直线 l:y=kx,下面四个命题: (A)对任意实数 k 与 q,直线 l 和圆 M 相切; (B)对任意实数 k 与 q,直线 l 和圆 M 有公共点; (C)对任意实数 q,必存在实数 k,使得直线 l 与和圆 M 相切 (D)对任意实数 k,必存在实数 q,使得直线 l 与和圆 M 相切 其中真命题的代号是 (B) (D) . (写出所有真命题的代号) 解:圆心坐标为(﹣cosq,sinq) ,圆的半径为 1
2 2

圆心到直线的距离 d=

=|sin(θ+φ)|≤1(其中 sinφ=﹣

,cosφ=﹣



所以直线 l 与圆 M 有公共点,且对于任意实数 k,必存在实数 q,使直线 l 与圆 M 相切, 故答案为: (B) (D) 三.解答题(共 5 小题)
25. 设圆上的点 A(2,3) 关于直线 x ? 2 y ? 0 的对称点仍在圆上, 且与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交

的弦长为 2 2 ,求圆的方程。 解: 设所求圆的圆心为 (a, b) , 半径为 r. ? 点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点 A’仍在 这个圆上, ∴圆心 (a, b) 在直线 x+2y=0 上,依题意得:

? ?b ? ?3 ?b ? ?7 ?a ? 2b ? 0 ? ? ? ? 2 2 ?(2 ? a ) ? (3 ? b) ? 0 解得 ?a ? 6 或 ?a ? 14 ?r 2 ? 52 ?r 2 ? 244 ? a ? b ?1 2 ? ? ?r 2 ? ( ) ? ( 2) 2 ? 2 ?
∴所求的圆的方程为 ( x ? 6) ? ( y ? 3) ? 52或( x ? 14) ? ( y ? 7) ? 244
2 2 2 2

26.已知:以点 C (t , )(t ? R, t ? 0) 为圆心的圆与 x 轴交于点 O, A ,与 y 轴交于点 O 、B , 其中 O 为原点。 (Ⅰ)求证: ?OAB 的面积为定值; (Ⅱ)设直线 y ? ?2 x ? 4 与圆 C 交于点 M , N ,若 OM ? ON ,求圆 C 的方程。 (1)?圆C过原点O ,? OC ? t ?
2 2

2 t

4 。 t2 2 2 4 2 2 设圆 C 的方程是 ( x ? t ) ? ( y ? ) ? t ? 2 t t 4 令 x ? 0 ,得 y1 ? 0, y 2 ? ;令 y ? 0 ,得 x1 ? 0, x 2 ? 2t t 1 1 4 ? S ?OAB ? OA ? OB ? ? | | ? | 2t |? 4 ,即: ?OAB 的面积为定值。 2 2 t
(2)? OM ? ON , CM ? CN , ? OC 垂直平分线段 MN 。

? k MN ? ?2,? k oc ?

1 1 ,?直线 OC 的方程是 y ? x 2 2

?

2 1 ? t ,解得: t ? 2或t ? ?2 t 2
5,

当 t ? 2 时,圆心 C 的坐标为 ( 2,1) , OC ? 此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ? 圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 相交于两点。

9 5

? 5,

当 t ? ?2 时,圆心 C 的坐标为 (?2,?1) , OC ? 此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ? 圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 不相交,

5,

9 5

? 5

?t ? ?2 不符合题意舍去。

?圆 C 的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 。
27.在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为圆心的圆与直线: (1)求圆 O 的方程; (2)若圆 O 上有两点 M、N 关于直线 x+2y=0 对称,且 相切. ,求直线 MN 的方程;

(3) O 与 x 轴相交于 A、 两点, 圆 B 圆内的动点 P 使|PA|、 |PO|、 |PB|成等比数列, 求 的取值范围. 解: (1)半径 r= =2,故圆 O 的方程为 x +y =4.
2 2

(2)∵圆 O 上有两点 M、N 关于直线 x+2y=0 对称,故 MN 的斜率等于直线 x+2y=0 斜率 的负倒数,等于 2, 设 MN 的方程为 y=2x+b,即 2x﹣y+b=0. 由弦长公式可得,圆心 O 到直线 MN 的距离等于 =1.

由点到直线的距离公式可得 1=

,b=±

,故 MN 的方程为 2x﹣y±

=0.

(3)圆 O 与 x 轴相交于 A(﹣2,0) 、B(2,0)两点,圆内的动点 P 使|PA|、|PO|、|PB| 成等比数列, 2 ∴|PA|?|PB|=|PO| ,设点 P(x,y) , 则有
2

?
2 2

=x +y ,化简可得 x =y +2.

2

2

2

2

由点 P 在圆内可得 x +y <4,故有 0≤y <1. ∵ =(﹣2﹣x,﹣y)?(2﹣x,﹣y)=x +y ﹣4=2(y ﹣1)∈[﹣2,0) .
2 2 2



的取值范围是[﹣2,0) .
2 2

28.将圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 先向左平移 1 个单位,然后向上平移 2 个单位后得到⊙O,

直线 l 与⊙O 相交于 A,B 两点,若在⊙O 上存在点 C,使 OC ? OA ? OB ? ?a ,求 直线 l 的方程及对应的点 C 的坐标. 解:圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 化成标准方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 ,
2 2 2 2

??? ?

??? ??? ? ?

?

先向左平移 1 个单位,然后向上平移 2 个单位后得⊙O 方程为

x2 ? y 2 ? 5
∴ k AB ?

由题意可得, AB ? OC , OC // a

??? ?

??? ?

????

1 1 ,直线 l: y ? x ? m 2 2
(*)

1 ? ? y ? x ? m ,化简整理得 5x2 ? 4mx ? 4m2 ? 20 ? 0 由 ? 2 ? x2 ? y 2 ? 5 ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 x1 , x2 是方程(*)的两个实数根

???? 4 8 4 8 m, y1 ? y2 ? m , OC ? (? m, m) 5 5 5 5 4 2 8 2 5 因为点 C 在圆上,所以 (? m) ? ( m) ? 5, 解之, 得m ? ? . 5 5 4 2 2 此时, (*)式中的 ? ? 16m ? 20(4m ? 20) ? 300 ? 0 所求的直线 l 的方程为 2 x ? 4 y ? 5 ? 0 ,对应的 C 点的坐标为(-1,2) ; 或直线 l 的方程为 2 x ? 4 y ? 5 ? 0 ,对应的 C 点的坐标为(1,-2)
∴ x1 ? x2 ? ? 29.已知点 N( ,0) ,以 N 为圆心的圆与直线 l1:y=x 和 l2:y=﹣x 都相切. (Ⅰ)求圆 N 的方程; (Ⅱ)设 l 分别与直线 l1 和 l2 交于 A、B 两点,且 AB 中点为 E(4,1) ,试判断直线 l 与圆 N 的位置关系,并说明理由. 解: (Ⅰ)由题意可得:点 N( ,0)为圆心,并且圆 N 与直线 y=x 相切, 所以圆 N 的半径为 所以圆 N 的方程 , .

(II)由题意可得:设 A 点的坐标为(a,a) , 因为 AB 中点为 E(4,1) ,所以 B 点的坐标为(8﹣a,2﹣a) , 又因为点 B 在直线 y=﹣x 上, 所以 a=5, 所以 A 点的坐标为(5,5) , 又因为 AB 中点为 E(4,1) , 所以直线 l 的斜率为 4,

所以 l 的方程为 4x﹣y﹣15=0, 圆心 N 到直线 l 的距离 < ,所以直线 l 与圆 N 相交.

30.已知△ ABC 的顶点 A(0,1) ,AB 边上的中线 CD 所在的直线方程为 2x﹣2y﹣1=0, AC 边上的高 BH 所在直线的方程为 y=0. (1)求△ ABC 的顶点 B、C 的坐标; (2)若圆 M 经过不同的三点 A、B、P(m,0) ,且斜率为 1 的直线与圆 M 相切于点 P, 求圆 M 的方程. 解: (1)AC 边上的高 BH 所在直线的方程为 y=0,所以直线 AC 的方程为:x=0, 又直线 CD 的方程为:2x﹣2y﹣1=0,联立得 , 设 B(b,0) ,则 AB 的中点 ,代入方程 2x﹣2y﹣1=0,解得 b=2,所以 B(2, 解得 ,所以

0) ; (2)由 A(0,1) ,B(2,0)可得,圆 M 的弦 AB 的中垂线方程为 4x﹣2y﹣3=0, 注意到 BP 也是圆 M 的弦,所以,圆心在直线 设圆心 M 坐标为 , 上,

因为圆心 M 在直线 4x﹣2y﹣3=0 上,所以 2m﹣2n+1=0①, 又因为斜率为 1 的直线与圆 M 相切于点 P,所以 kMP=﹣1, 即 ,整理得 m﹣2n﹣2=0②,

由①②解得 m=﹣3, 所以,圆心 则所求圆方程为
2 2

, ,半径 + = , ,化简得 x +y +x+5y﹣6=0.
2 2

31.已知圆 C: x ? y ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0 ,有一光线自点 A(-3,3)出发随机地射到 x 轴上 的区间[-2,2]内的点 P. (1)求经 x 轴反射后的光线与圆 C 有公共点的概率; (2)经 x 轴反射后的光线与圆 C 相交于两点 M、N,求 PM ? PN 的取值范围 解: (1)圆 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1 ,A 关于 x 轴的对称点为 A’(-3,-3) ,设过 A’与圆相
2 2

???? ???? ?

切的直线为 y+3=k(x+3),则圆心到此直线距离 d ?

5k ? 5

4 3 ? 1 ,解得 k ? 或 3 4 k 2 ?1

3 4 (x+3) -3 或 y= (x+3) -3 4 3 3 1-(- ) 3 4 =7 分别令 y=0,得 x=- ,x=1 所求概率 P= 4 2-(-2) 16
所以反射光线所在直线为 y= (2)设 P(x0,0)过 P 引圆得切线 PT,T 为切点

???? ??? ???? ??? ??? 2 ? ? ? ? 2 2 PM ? PN= PM ? PN = PT = CP -=(x0-2) 1 +4-=x 02-4x 0+7 1
因为-

???? ???? ? 3 169 <x0<1,所以 PM ? PN 的取值范围为 (4, ) 4 16


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