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9对数与对数函数


2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案

备课:邹伟

备课日期:2015/7/8

课题:对数与对数函数
一、考点梳理:
1.对数的定义-----如果 ax=N(a>0 且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x=logaN,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 2.对数的性质与运算及换底公式 (1)对数的性质(a>0 且 a≠1): (2)对数的换底公式: ①loga1=0; ②logaa=1; ③alogaN=N.

logcb 基本公式:logab= (a,c 均大于 0 且不等于 1,b>0). logca

(3)对数的运算法则:如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 M ①loga(M· N)=logaM+logaN, ②loga =logaM-logaN, N 3. 对数函数的图像与性质 a>1 ③logaMn=nlogaM(n∈R). 0<a<1

图像

定义域 值域 定点 单调性 函数值正负

(0,+∞) R 过点(1,0) 在(0,+∞)上是增函数 当 x>1 时,y>0; 当 x>1 时,y<0; 在(0,+∞)上是减函数 当 0<x<1,y<0 当 0<x<1 时,y>0

4.反函数---------指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)互为反函数, 它们的图像 关于直线 y=x 对称.

二、基础自测:
1.(2013· 重庆高考)函数 y= A.(-∞,2) 1 的定义域是( log2?x-2? ) D.(2,4)∪(4,+∞)

B.(2,+∞)

C.(2,3)∪(3,+∞)

2.lg 5+lg 20的值是________. 3.函数 y=loga(3x-2)(a>0,a≠1)的图像经过定点 A,则 A 点坐标是( 2? A.? ?0,3? 2 ? B.? ?3,0? C.(1,0) ) D.c>a>b D.(0,1) )

4.(2013· 全国卷Ⅱ)设 a=log32,b=log52,c=log23,则( A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a

1

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三、考点突破:
考点一、对数式的化简与求值 【例 1】1.(2013· 陕西高考)设 a,b,c 均为不等于 1 的正实数, 则下列等式中恒成立的是( ) A.logab· logcb=logca C.loga(bc)=logab· logac B.logab· logca=logcb D.loga(b+c)=logab+logac 1 32 4 (2) lg - lg 8+lg 245 2 49 3

3 2.计算下列各题:(1)lg +lg 70-lg 3- ?lg 3?2-lg 9+1; 7

考点二、对数函数的图像及应用 【例 2】 (1)已知 lg a+lg b=0,则函数 f(x)=ax 与函数 g(x)=-logbx 的图像可能是( )

1 (2)(2012 新课标)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是( 2 A.?0,

)

?

2? 2?

B.?

2 ? ? 2 ,1?

C.(1, 2)

D.( 2,2)

考点三、对数函数的性质及应用 【例 3】1.函数 y=log 1 (x2-6x+17)的值域是________.
2

2

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2.已知函数 f(x)=log4(ax2+2x+3).(1)若 f(1)=1,求 f(x)的单调区间;(2)是否存在实数 a,使 f(x)的最 小值为 0?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

四.当堂检测 1.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=log3(1+x),则 f(-2)=( A.-1 B.-3 C.1 D.3 ) D.[-1,1)∪(1,+∞) )

2.(2013· 广东高考)函数 y= A.(-1,+∞)

lg?x+1? 的定义域是( x-1

B.[-1,+∞)

C.(-1,1)∪(1,+∞)

3.(2014 山东)已知函数 y=loga(x+c)(a,c 为常数,其中 a>0,a≠1)的图象如图, 则下列结论成立的是( A.a>1,c>1 C.0<a<1,c>1


) B.a>1,0<c<1 D.0<a<1,0<c<1 )

1 x ? ?2 ,x≤1, ? 4.设函数 f(x)= 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是( ?1-log2x,x>1, ?

A.[-1,2]

B.[0,2]

C.[1,+∞)

D.[0,+∞) .

5.(2014 天津)函数 f(x)=lg x2 的单调递减区间是

1 ? ?log2x,x≥1, 6.(2013· 北京高考)函数 f(x)=? 的值域为________. ?2x,x<1 ?

五、课后巩固:

3

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1.函数 y= 1-lg?x+2?的定义域为( A.(0,8] B.(2,8]

) C.(-2,8] ) D.[8,+∞)

2.函数 y=loga(x-1)+2(a>0,a≠1)的图象恒过点( A.(1,2) B.(2,2) C.(2,3) D.(4,4)

3.(2013· 全国卷Ⅱ)设 a=log36,b=log510,c=log714,则( A.c>b>a B.b>c>a
1.1

) D.a>b>c )

C.a>c>b ,c=0.8 ,则(
3.1

4.(2014 安徽,5 分)设 a=log37,b=2 A.b<a<c B.c<a<b

C. c<b<a

D.a<c<b )

5.(2014 浙江)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x>0),g(x)=logax 的图象可能是(

6.已知函数 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,则( A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3)

) D.f(3)<f(1)<f(-2)

C.f(-2)<f(1)<f(3)

7. (2012 安徽)计算:(log29)· (log34)=________. 8.(2014 陕西)已知 4a=2,lg x=a, 则 x=________. 9.求函数 y=错误!未找到引用源。的定义域________. 1 1 10. (2010 辽宁)设 2a=5b=m,且 + =2,则 m=________. a b 11.设 f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且 f(1)=2.(1)求 a 的值及 f(x)的定义域.(2)求 f(x)在区 3 0, ?上的最大值. 间? ? 2?

课题:对数与对数函数
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一、考点梳理: 二、基础自测:
1.(2013· 重庆高考)函数 y= A.(-∞,2) 1 的定义域是( log2?x-2? ) D.(2,4)∪(4,+∞)

B.(2,+∞)

C.(2,3)∪(3,+∞)

?x-2>0, ? 解析:选 C 由题可知? 所以 x>2 且 x≠3,故选 C. ?x-2≠1, ?

2.(2013· 四川高考)lg 5+lg 20的值是________.解析:lg 5+lg 20=lg( 5× 20)=lg 10=1.答案: 1 3..函数 y=loga(3x-2)(a>0,a≠1)的图像经过定点 A,则 A 点坐标是( 2? A.? ?0,3? 2 ? B.? ?3,0? C.(1,0) ) D.c>a>b D.(0,1) ) 答案:C

4.(2013· 全国卷Ⅱ)设 a=log32,b=log52,c=log23,则( A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a

解析: 选 D 易知 log23>1, log32, log52∈(0,1). 在同一平面直角坐标系中画出函数 y=log3 x 与 y=log5 1 x 的图像,观察可知 log32>log52.所以 c>a>b.比较 a,b 的其他解法:log32>log3 3= ,log52<log5 5= 2 1 1 1 ,得 a>b;0<log23<log25,所以 > ,结合换底公式即得 log32>log52. 2 log23 log25

三、考点突破:
考点一、对数式的化简与求值 【例 1】1.(2013· 陕西高考)设 a,b,c 均为不等于 1 的正实数, 则下列等式中恒成立的是( A.logab· logcb=logca B.logab· logca=logcb +logac logcb 解析:选 B 利用对数的换底公式进行验证,logab· logca= · logca=logcb,则 B 对. logca 3 2.计算下列各题:(1)lg +lg 70-lg 3- ?lg 3?2-lg 9+1; 7 1 32 4 (2) lg - lg 8+lg 245 2 49 3 C.loga(bc)=logab· logac )

D . loga(b + c) = logab

3 ×70 7 解:(1)原式=lg - ?lg 3?2-2lg 3+1=lg 10- ?lg 3-1?2=1-|lg 3-1|=lg 3. 3 1 32 4 1 4 3 1 5 1 (2) lg - lg 8+lg 245= ×(5lg 2-2lg 7)- × lg 2+ (lg 5+2lg 7)= lg 2-lg 7-2lg 2+ lg 5+lg 2 49 3 2 3 2 2 2 2 7 1 1 1 1 = lg 2+ lg 5= lg(2×5)= . 2 2 2 2 考点二、对数函数的图像及应用 【例 2】 (1)已知 lg a+lg b=0,则函数 f(x)=ax 与函数 g(x)=-logbx 的图像可能是( ) 5

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1 (2)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是( 2 D.( 2,2)

)A.?0,

?

2? 2?

B.?

2 ? ? 2 ,1?

C.(1, 2)

[解析] (1)∵lg a+lg b=0, ∴ab=1, ∵g(x)=-logbx 的定义域是(0, +∞), 故排除 A.若 a>1, 则 0<b<1, 此时 f(x)=ax 是增函数,g(x)=-logbx 是增函数,结合图像知选 B. (2)法一:构造函数 f(x)=4x 和 g(x)=logax,当 a>1 时不满足条件,当 0<a<1 时,画出两个 1 1 2 2 ?1?<g?1?, 0, ?上的图像, 函数在? 可知, f 则 a> , 所以 a 的取值范围为? ,1?. ? 2? ?2? ?2? 即 2<loga2, 2 ?2 ? 1 1 1 法二:∵0<x≤ ,∴1<4x≤2,∴logax>4x>1,∴0<a<1,排除选项 C,D;取 a= ,x= , 2 2 2 1 则有 4 =2,log 1 =1,显然 4x<logax 不成立,排除选项 A. 2
2
1 2

[答案] (1)B

(2)B

考点三、对数函数的性质及应用 【例 3】已知函数 f(x)=log4(ax2+2x+3).(1)若 f(1)=1,求 f(x)的单调区间;(2)是否存在实数 a, 使 f(x) 的最小值为 0?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. [ 解] (1)∵f(1)=1,∴log4(a+5)=1,因此 a+5=4,a=-1,这时 f(x)=log4(-x2+2x+3).由-x2

+2x+3>0 得-1<x<3,函数 f(x)的定义域为(-1,3).令 g(x)=-x2+2x+3,则 g(x)在(-1,1)上单调递 增,在(1,3)上单调递减.又 y=log4x 在(0,+∞)上单调递增,所以 f(x)的单调递增区间是(-1,1),单 调递减区间是(1,3). a>0, ? ? (2)假设存在实数 a 使 f(x)的最小值为 0, 则 h(x)=ax +2x+3 应有最小值 1, 因此应有?3a-1 解 =1, ? ? a
2

1 得 a= . 2 1 故存在实数 a= 使 f(x)的最小值为 0. 2 四.当堂检测 1.(2014· 深圳调研)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=log3(1+x),则 f(-2)=( A.-1 B.-3 C.1 D.3 )

解析:选 A 由题意得,f(-2)=-f(2)=-log3(1+2)=-1. 2.(2013· 广东高考)函数 y= A.(-1,+∞) lg?x+1? 的定义域是( x-1 ) D.[-1,1)∪(1,+∞) 6

B.[-1,+∞)

C.(-1,1)∪(1,+∞)

2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案 ? ? ?x+1>0, ?x>-1, 解析:选 C 由题意得? ∴? 故选 C. ?x-1≠0, ?x≠1, ? ?

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3.函数 y=lg

1 的大致图像为( |x+1|

)

1 1 解析:选 D 因为 y=lg 是(0,+∞)上的单调递减的偶函数,关于 y 轴对称,则 y=lg 的图像是 |x| |x+1| 1 由 y=lg 的图像向左平移一个单位长度得到的.故选 D. |x|
?21 x,x≤1, ? 4.设函数 f(x)=? 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是( ? ?1-log2x,x>1,


)

A.[-1,2] 解析:选 D

B.[0,2]

C.[1,+∞)

D.[0,+∞)

? ? ?x≤1, ?x>1, f(x)≤2?? 1-x 或? ?0≤x≤1 或 x>1. ?2 ≤2, ?1-log2x≤2, ? ?

?log1x,x≥1, ? 5.(2013· 北京高考)函数 f(x)=? 2 的值域为________. ?2x,x<1 ?
1 解析:当 x≥1 时,log x≤0,当 x<1 时,0<2x<2,故值域为(0,2)∪(-∞,0]=(-∞,2).答案:(- 2 ∞,2) 6.已知 f(x)=loga(ax-1)(a>0 且 a≠1).(1)求 f(x)的定义域;(2)判断函数 f(x)的单调性. 解:(1)由 ax-1>0 得 ax>1,当 a>1 时,x>0;当 0<a<1 时,x<0.∴当 a>1 时,f(x)的定义域为(0,+∞); 当 0<a<1 时,f(x)的定义域为(-∞,0). (2)当 a>1 时, 设 0<x1<x2, 则 1<a 1 <a
x
x2

, 故 0<a 1 -1<a

x

x2

- 1, ∴loga(a 1 -1)<loga(a

x

x2

-1). ∴f(x1)<f(x2).

故当 a>1 时,f(x)在(0,+∞)上是增函数.类似地,当 0<a<1 时,f(x)在(-∞,0)上为增函数. 五、课后巩固: 1.函数 y= 1-lg?x+2?的定义域为( )A.(0,8] B.(2,8] C.(-2,8] D.[8,+∞)

? ?x+2≤10, 解析:选 C 由题意可知,1-lg(x+2)≥0,整理得 lg(x+2)≤lg 10,则? 解得-2<x≤8, ?x+2>0, ?

故函数 y= 1-lg?x+2?的定义域为(-2,8]. 2.若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,且 f(2)=1,则 f(x)=( A.log2x 解析:选 A 1 B. x 2 C.log 1 x
2

)

D.2x

-2

f(x)=logax,∵f(2)=1,∴loga2=1.∴a=2.∴f(x)=log2x. ) D.a>b>c 7

3.(2013· 全国卷Ⅱ)设 a=log36,b=log510,c=log714,则( A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b

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解析: 选 D a=log36=1+log32, b=log510=1+log52, c=log714=1+log72, 则只要比较 log32, log52, log72 的大小即可,在同一坐标系中作出函数 y=log3x,y=log5x,y=log7x 的图像,由三个图像的相对 位置关系,可知 a>b>c,故选 D. 1 ? ?log2x,x>0, 4.设函数 f(x)=? 若 f(m)<f(-m),则实数 m 的取值范围是( ?log2?-x?,x<0, ? A.(-1,0)∪(0,1) ∪(0,1) 解析:选 C 当 m>0 时,f(m)<f(-m)?log 1 m<log2m?m>1;当 m<0 时,f(m)<f(-m)?log2(-m)<log 1
2 2

) D . ( -∞,- 1)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

C.(-1,0)∪(1,+∞)

(-m)?-1<m<0.所以 m 的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞). 5.已知函数 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,则( A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3) ) D.f(3)<f(1)<f(-2)

C.f(-2)<f(1)<f(3)

解析:选 B 因为 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,所以 a>1,f(1)<f(2)<f(3).又函数 f(x)=loga|x| 为偶函数, 所以 f(2)=f(-2),所以 f(1)<f(-2)<f(3). lg 9 lg 4 2lg 3 2lg 2 6.计算:(log29)· (log34)=________.解析:(log29)· (log34)= × = × =4.答案:4 lg 2 lg 3 lg 2 lg 3 7.函数 y=log 1 (x2-6x+17)的值域是________.
2

解析:令 t=x2-6x+17=(x-3)2+8≥8,y=log 1 t 为减函数,所以有 log 1 t≤log 1 8=-3.答案:(-
2 2 2

∞,-3] 1 1 8.设 2a=5b=m,且 + =2,则 m=________. a b 1 1 1 1 1 解析: 由 2a=5b=m, 得 a=log2m, b=log5m, 又 + =2, 即 + =2, ∴ =2, 即 m= 10. a b log2m log5m lg m 9.(2014· 长春模拟)设 f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且 f(1)=2. 3? (1)求 a 的值及 f(x)的定义域.(2)求 f(x)在区间? ?0,2?上的最大值.
?1+x>0, ? 解: ∵f(1)=2, ∴loga4=2(a>0, a≠1), ∴a=2.由? 得 x∈(-1,3), ∴函数 f(x)的定义域为 (- ?3-x>0, ?

1,3). (2)f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2(1+x)(3-x)=log2[-(x-1)2+4],∴当 x∈(-1,1]时,f(x)是增函 数; 3? 当 x∈(1,3)时,f(x)是减函数,函数 f(x)在? ?0,2?上的最大值是 f(1)=log24=2.

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1 ? 10.已知 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),如果对于任意的 x∈? ?3,2?都有|f(x)|≤1 成立,试求 a 的取值范围. 1 ? ? log 1 1 a ≥-1, ? ? 3 解: 当 a>1 时, f(x)=logax 在? 要使 x∈? 则有? ?3,2?上单调递增, ?3,2?都有|f(x)|≤1 成立, ? ?loga2≤1, 解得 a≥3.∴此时 a 的取值范围是 a≥3. 1 ? ?loga3≤1, 1 ? 1 ? ? ? 当 0<a<1 时, f(x)=logax 在?3,2? 上单调递减, 要使 x∈?3,2?都有|f(x)|≤1 成立, 则有? ? ?loga2≥-1, 1 1 解得 0<a≤ .∴此时,a 的取值范围是 0<a≤ . 3 3 1? 综上可知,a 的取值范围是? ?0,3?∪[3,+∞).

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