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山东省淄博一中2014届高三上学期期中模块考试数学(理)试题 Word版含答案


一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1、 “对任意的实数 x,不等式 x2+2x+a>0 均成立”的充要条件是( A. a>1 2、 不等式 B. a≥1 C. a<1 ) D. a≤1

x ?1 ) ? 0 的解集为( 2x ?1 1? ? ? 1 ?

A. ? ? ?. ? ? ? ?1,?? ? B. ? ? ,1? 2? ? 2 ? ?

C. ? ?

? 1 ? ,1? ? 2 ?

D. ? ? ?,? ? ? ?1,?? ? 2

? ?

1? ?

3、如果等差数列 {a n } 中, a3 A.18

? a5 ? a7 ? 12 ,那么 a1+a2+……+a9的值为(
C. 54 D. 36



B.27

4、设非零向量 a 、 b 、 c 满足 | a |?| b |?| c | , a ? b ? c ,则向量 a 、 b 间的夹角为( A.150° B. 120° )
B.若 a,b 为正实数,则



C. 60°

D.30° 2ab ≥ ab a+b

5、下列结论一定恒成立的是 (

A. sin x ?

1 ? 2( x ? k? , k ? Z ) sin x

C.若 a1,a2∈(0,1),则 a1a2>a1+a2―1 6、设曲线 y ?

D. a ? 3 ? a ? 1 ?

a?2? a
)

x ?1 在点(3,2)处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a=( x ?1 1 1 A.2 B. C.― D. ―2 2 2

?x ? y ? 3 ? 0 ? ? 7、若函数 y=2x图象上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实数 m 的最大值为 ? ?x ? m ?
( ) A.

8、如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为 2,且侧棱 AA1 ? 面 A1B1C1 ,正视图是边长为 2 的正方

1 2

B.1

C.

3 2

D.2

形,俯视图为一个等边三角形,该三棱柱的侧视图面积为( A. 2 3 C. 2 2 B. 3 D.4

)

S8 S4 1 ? , 9、 Sn是等差数列{an}的前 n 项和, 设 若 则 等于( S16 S8 3
(A)

) (D)

1 9

(B)

1 3

(C)

3 10

1 8
)

10、在各项均为正数的等比数列{an}中,若a5a6=9,则log3a1+log3a2+?+log3a10=( (A) 12 (B) 2+log35 (C) 8 (D) 10

? ? ? ? 11、已知向量 a =(cos?,sin?), b =( 3,1),则|2 a ― b |的最大值和最小值分别为( A.4,0 1 2 B. 16,0 1 ― 3 2 C. 2,0 1 C. ― ― 3 2 共 90 分) D. 16,4 ) 1 D. + 3 2 12、已知 a2+b2=1,b2+c2=2,c2+a2=2,则 ab+bc+ca 的最小值为( A. 3― B.



第Ⅱ卷(非选择题
注意事项:

1.用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。 2.答卷前先将密封线内的项目填写清楚。密封线内不准答题。 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,答案须填在答题纸上. ......... 13 、 已 知 直 线 2ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 经 过 圆 ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 4 的 圆 心 , 则
2 2

1 1 的最小值 ? a b



. .

14、不等式 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 0 的解集为
错误!未指定书签。5、观察下列等式:

12 ? 1

12 ? 22 ? ?3

12 ? 22 ? 32 ? 6
12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ?10
照此规律, 第 n 个等式可为_ 16、给出下列命题: ① 半径为 2,圆心角的弧度数为 _

1 1 的扇形面积为 ; 2 2

1 1 π , tan ? ? , 则 ? ? 2 ? ? ; 2 3 4 π 2 ③ 函数 y ? cos(2 x ? ) 的一条对称轴是 x ? π ; 3 3 3 ④ ? ? π 是函数 y ? sin(2 x ? ? ) 为偶函数的一个充分不必要条件. 2
② 若 ? 、 ? 为锐角, tan(? ? ? ) ? 其中真命题的序号是 . 三、解答题:解答应写在答题纸相应位置,并写出相应文字说明、证明过程或演算步骤.本大题共 6 个小题, 共 74 分。
17、 (本小题满分 12 分)在△ABC 中,a=3,b=2 6,∠B=2∠A.

(I)求 cosA 的值;

(II)求 c 的值.

18、 (本小题满分 12 分)已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n+1,且 n∈N*。 (1) 求数列{an}的通项公式; 令 bn= (2) 求实数 m 的取值范围。 2n+1 ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn.如果对于任意的 n∈N*,都有 Tn>m, anan+1

19、 (本小题满分 12 分) 如图, 为处理含有某种杂质的污水, 要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱. 污 水从 A 孔流入, 经沉淀后从 B 孔流出. 设箱体 A B 的长度为 a 米, 高度为 b 米. 已知流出的水中该杂质的质量 分数与 a, b 的乘积 ab 成反比. 现有制箱材料 60 平方米. b 问当 a, b 各为多少米时, 经沉淀后流出的水中该杂质的 a 质量分数最小(A, B 孔的面积忽略不计). 2

20、 (本小题满分 12 分) 已知集合 A={x||x―a|<4},B={x|x2―3(a+1)x+2(3a+1)<0} (其中 a∈R). (1) 若 a=1,求 A∩B; (2)求使 A?B 的 a 的取值范围.

21、 (本小题满分 13 分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱 形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为 80π 立方米,且 L≥2r.假设该容器的建造费用仅与其 3

表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方米建造费用为 c(c>3)千元.设 该容器的建造费用为 y 千元.

(1) 写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2) 求该容器的建造费用最小时的 r.

22、 (本小题满分 13 分)已知数列{an}的首项 a1=5,前 n 项和为 Sn,且 Sn+1=2Sn+n+5, 且 n∈N*。 (I)证明数列{an+1}是等比数列; (II) 令 f(x)=a1x+a2x2+??+anxn,求函数 f(x)在 点 x=1 处的导数 f?(1),并比较 2f?(1)与 23n2―13n 的大小.

三、解答题:17、解:(I)因为 a=3,b=2 6 ,∠B=2∠A.

所以在△ABC 中,由正弦定理得

3 2 6 .所以 ? sin A sin 2 A

2sin A cos A 2 6 6 .故 cos A ? . ?????????5 分 ? sin A 3 3

18、解: (1)∵ an+1=an+2n+1, ∴ an―an-1=2n―1, 而 a1=1,∴ an=a1+(a2―a1)+ (a3―a2)+??+(an―an-1)=1+3+5+??+(2n―1)= (2) 由(1)知:bn= n(1+2n-1) 2 =n ?????5 分 2

2n+1 2n+1 1 1 1 1 1 1 = = ― ∴ Tn=( 2― 2)+ ( 2― 2)+......+ anan+1 n2(n+1)2 n2 (n+1)2 1 2 2 3 3 只需要 >m 4

1 1 1 1 3 ( 2― )=1― ∴数列{bn}是递增数列,∴最小值为 1― = n (n+1)2 (n+1)2 (1+1)2 4 3 ∴ m 的取值范围是( ,+∞) 4 ?????12 分

k 19、解法一:设 y 为流出的水中杂质的质量分数, 则 y= ,其中 ab k 为比例系数,且 k>0,依题意,即所求的 a,b 值使 y 最小。据题意 有:4b+2ab+2a=60(a>0,b>0) 30-a ∴ b= (0<a<30) 2+a b

A

B

a 2

∴ ab=a×

30-a 30a-a2 64 = =―a+32― 2+a 2+a 2+a 64 (a+2)· =18 a+2 ???????8 分

64 =34―(a+2+ )≤34―2 a+2

64 当 a+2= 时取等号,y 达到最小值。 a+2

此时解得 a=6,b=3 答:当 a 为 6 米, b 为 3 米时, 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。???12 分 解法二:设 y 为流出的水中杂质的质量分数, 则 y= 值使 y 最小。据题意有:4b+2ab+2a=60(a>0,b>0) 即 2b+ab+a=30 ∵ a+2b≥2 2ab ∴ 30―ab=a+2b≥2 2ab ∴ ab+ 2ab―30≤0???????7 分 ∵ (a>0,b>0) ∴ 0<ab≤18 当 a=2b 时取等号,ab 达到最大值 18。???????10 分 此时解得 a=6,b=3 答:当 a 为 6 米, b 为 3 米时, 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。 ?????????12 分 k ,其中 k 为比例系数,且 k>0,依题意,即所求的 a,b ab

21、

[审题视点] 根据体积求出 r,l 的关系,由 l≥2r 确定 r 的取值范围;由圆柱的侧面积和球的表面积建立 造价 y 关于 r 的函数关系,然后利用导数求其最小值. 4 80π 21、解 (1)设容器的容积为 V,由题意知 V=πr2l+ πr3,又 V= , 3 3 4 80π ∴ πr l+ πr3= 故 l= 3 3
2

4 V- πr3 3 80 4 4 20 4 20 = 2- r= ? r2 -r?. 由于 l≥2r,∴ ? r2 -r?≥2r. ∴ 0<r≤2. 所以 ? ? πr2 3r 3 3? 3?

4 20 建造费用 y=2πrl×3+4πr2c=2πr× ? r2 -r?×3+4πr2c ? 3? =4π(c-2)r2+ 160π ,0<r≤2. ?????????6 分 r

160π 8π?c-2?? 3 20 ? r- (2)由(1)得 y?=8π(c-2)r- 2 = c-2?,0<r≤2. 由于 c>3,所以 c-2>0. r r2 ? 3 20 3 20 3 20 20 当 r3- =0 时,r= , ∴ 当 y?>0 时,r> ;当 y?<0 时,0<r< c-2 c-2 c-2 c-2 ∴ 函数 y 在(0, 3 3 3 20 20 ]上为减函数,在[ ,+∞)上为增函数 c-2 c-2 o y 3 20 c-2

① 当 2≤

20 9 ,即 3<c≤ 时,函数 y 在(0, 2]上为减函数, 2 c-2

x

所以 r=2 是函数 y 的最小值点. ②当 2≥ 3 r= 3 3 20 3 20 20 9 ,即 c≥ 时,∴ 函数 y 在(0, ]上为减函数,在[ ,2]上为增函数 2 c-2 c-2 c-2 ∴所以

20 是函数 y 的极小值点,也是最小值点. c-2 ?????????12 分

3 20 9 9 综上所述,当 3<c≤ 时,建造费用最小时 r=2;当 c> 时,建造费用最小时 r= . 2 2 c-2 ?????????13 分

利用导数解决实际生活中的最优化问题时, 首先应根据已知条件建立函数模型, 然后利用导数 分析函数模型,求解相关最值,但要注意变量的实际意义和取值范围.

(II)由(I)知 an ? 3 ? 2 ? 1
n 2 n n?1 因为 f ( x) ? a1 x ? a2 x ? ? ? an x 所以 f ?( x) ? a1 ? 2a2 x ? ? ? nan x

从而 f ?(1) ? a1 ? 2a2 ? ? ? nan = ? 3 ? 2 ? 1? ? 2 3 ? 2 ? 1 ? ? ? n(3 ? 2 ? 1)
2 n

?

?


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