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(理)一中高三数学2012年秋学期第一周双休练习


一中高三数学 2012 年秋学期第一周双休练习(理)
姓名 班级 成绩
2012-9-5 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.若函数 f ( x) ? 1 ? x 的定义域为 A,函数 g ( x) ? lg( x ? 1) , x ?[2,11] 的值域为 B,则 A B为 . 2.已知命题 p : ?x ? 0 , 2 ?

3 ,则 ? p 为
x

3. 已知 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项的和,a2 ? a5 ? 4 ,S7 ? 21 , 则 a7 的值为





4.已知 f ' ( x)是f ( x) 的导函数,在区间 ?0, ??? 上 f '( x) ? 0 ,且偶函数 f ( x) 满足

1 f (2 x ? 1) ? f ( ) ,则 x 的取值范围是 3



5. 把函数 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 的图象 C1 向左平移一个单位,再把所得图象上每一个点的 纵坐标扩大为原来的 2 倍,而横坐标不变,得到图象 C2 ,此时图象 C1 恰与 C2 重合,则 a 为 . 6.已知方程 f ( x) ? x ? ax ? 2b 的两个根分别在(0,1) , (1,2)内,则 a2 ? (b ? 4)2 的 取值范围为 .
2

7.将函数 y ? sin( x ? ? ) 的图象 F 向右平移 轴是直线 x ?

,则 ? 的值是 . 4 3 ?? ? ?? ? ?? ? 8.已知 sin ? ? , ? ? ? , ? ? ,则 cos ? ? ? ? sin ? ? ? ? 的值为 5 ?4 ? ?4 ? ?2 ? 9.在 ?ABC 中, ?A ? 90 ,且 AB ? BC ? ?1 ,则边 AB 的长为 10.函数 y ? lg sin( 2 x ?
2

?

? 个单位长度得到图象 F ? ,若 F ? 的一条对称 3

. . .
2

?
3

) 的单调递减区间为

11. 对于使 ? x ? 2 x ? M 成立的所有常数 M 中, 我们把 M 的最小值 ? 1 叫做 ? x ? 2 x 的

1 2 ? 的“上确界”为 . 2a b x 12.若 x1 满足 2 x ? 2 ? 5 , x2 满足 2 x ? log2 ( x ? 1) ? 5 ,则 x1 ? x2 ? ______.
“上确界” ,若 a, b ? (0,??) ,且 a ? b ? 1 ,则 ?

c ?a ? b c 13. 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c , 若b ?
2 2 2

, 且 AC ? AB ? ?4 ,

则 ?ABC 的面积等于 14 . 如 果 关 于 x 的 方 程 ax ? 是 .



1 ? 3 有且仅有一个正实数解,则实数 a 的取值范围 x2

1

一中高三数学 2012 年秋学期第一周双休练习答题卡
1、__________________ 2、__________________ 3、__________________ 4、_________________ 5、_________________ 6、__________________ 7、__________________ 8、__________________ 9、_________________ 10、_________________ 11、________________ 12、________________ 13、________________ 14、________________

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? sin (1)求 f ( x ) 的最大值及此时 x 的值
2

?
4

x ? 3 sin

?
4

x cos

?
4

x

(2)求 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ??? ? f (2010) ? f (2011) 的值.

16.(本小题满分 14 分)设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c ,且

(2b ? 3c)cos A ? 3a cos C .
(1)求角 A 的大小; (2)若角 B ?

?

6

, BC 边上的中线 AM 的长为 7 ,求 ?ABC 的面积.

2

17.(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x( x ? 2)2 ? 1 , x ? R (1)求函数 f ( x ) 的极值; (2)讨论函数 f ( x ) 在区间 ?t, t ? 2? 上的最大值.

18.(本小题满分 15 分)如下图,某小区准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地, ?ABC 的 内接正方形 PQRS 为一水池, ?ABC 外的地方种草,其余地方种花. 若 BC=a, ?ABC=? , 设 ?ABC 的面积为 S1 ,正方形 PQRS 的面积为 S 2 ,将比值 (1)试用 a , ? 表示 S1 和 S 2 ;

S1 称为“规划合理度”. S2

(2)若 a 为定值,当 ? 为何值时,“规划合理度”最小?并求出这个最小值.
A P S

B

Q

R

C

3

19. (本小题共 16 分)已知数列 {an } 满足: a1 ? a2 ? a3 ? (I)求 a1 , a2 , a3 的值; (Ⅱ)求证:数列 {an ? 1} 是等比数列;

? an ? n ? an , (n ? 1,2,3, )

(Ⅲ)令 bn ? (2 ? n)(an ? 1) ( n ? 1, 2,3... ) ,如果对任意 n ? N ,都有 bn ? t ? t 2 ,求实
*

1 4

数 t 的取值范围.

20.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? a x ? x2 ? x ln a,a ? 1 (1)求证函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增; (2)函数 y ?| f ( x) ? t | ?1 有三个零点,求 t 的值; (3)对 ?x1 , x2 ? [?1,1],| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1 恒成立,求 a 的取值范围.

4

一中高三数学 2012 年秋学期第一周双休练习
参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. [0,1] 5. 2. ?p : ?x ? 0 , 2 ? 3
x

3. 9

4. ( , )

1 2

6. (

81 , 20) 5

7.

? ? k? ?

9. 1 11. ?

10. (k? ? 12.

, k? ? ), k ? Z (左闭右开区间也对) 12 3
14. {a | a ? 0 或 a ? 2}

?

?

7? 12

1 2 3 3 49 8. 50

9 2

7 2

13. 2 3

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? sin (1)求 f ( x ) 的最大值及此时 x 的值
2

?
4

x ? 3 sin

?
4

x cos

?
4

x

(2)求 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ??? ? f (2010) ? f (2011) 的值.

1 1 ? 3 ? 1 ? ? 4分 ? cos x ? sin x ? ? sin( x ? ) 2 2 2 2 2 2 2 6 4 3 ∴ x ? 4k ? (k ? z ) 时, f ( x ) max ? 7分 3 2 1 3 1 1 1 3 1 1 (2)函数的周期 T ? 4 , f (1) ? ? , f (2) ? ? , f (3) ? ? , f (4) ? ? , 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 1 3 1 1 f (4k ? 1) ? ? , f (4k ? 2) ? ? , f (4k ? 3) ? ? , f (4k ? 4) ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 f (4k ? 1) ? f (4k ? 2) ? f (4k ? 3) ? f (4k ? 4) ? 2 f (1) ? f (2) ? ??? ? f (2011) ? 502 ? 2 ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? 1006 14 分 16.(本小题满分 14 分)设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c ,且
解: (1) f ( x) ?

(2b ? 3c)cos A ? 3a cos C .
(1)求角 A 的大小; , BC 边上的中线 AM 的长为 7 ,求 ?ABC 的面积. 6 (1)因为 (2b ? 3c)cos A ? 3a cos C , 所以 (2sin B ? 3sin C)cos A ? 3sin A cos C (2)若角 B ?

?

2sin B cos A ? 3 sin A cos C ? 3 sin C cos A 2sin B cos A ? 3 sin( A ? C) , 则 2sin B cos A ? 3 sin B ,

? 3 ,于是 A ? …………7 分 6 2 ? 2? (2)由(1)知 A ? B ? ,所以 AC ? BC , C ? 6 3 1 设 AC ? x ,则 MC ? x 2 又 AM ? 7 .
所以 cos A ?
5

在 ?AMC 中由余弦定理得

AC 2 ? MC 2 ? 2 AC ? MC cosC ? AM 2 , x 2 x 2 2 即 x ? ( ) ? 2 x ? ? cos120 ? ( 7) , 2 2 解得 x ? 2, 1 2 2? ? 3. 故 S ?ABC ? x sin …………14 分 2 3 17.(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x( x ? 2)2 ? 1 , x ? R (1)求函数 f ( x ) 的极值; (2)讨论函数 f ( x ) 在区间 ?t, t ? 2? 上的最大值.
(Ⅰ) f ( x) ? x3 ? 4x2 ? 4x ? 1 ∵ f ?( x) ? 3x2 ? 8x ? 4 ? (3x ? 2)( x ? 2) , ∴函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (??, ) 和 (2, ??) , f ( x ) 的单调递减区间为 ( , 2) ,

2 3

2 3

2 2 59 为 f ( x ) 的极大值点,极大值为 f ( ) ? 3 3 27 x ? 2 为 f ( x) 的极小值点,极小值为 f (2) ? 1 . ………………7 分 2 4 (Ⅱ)①当 t ? 2 ? 即 t ? ? 时,函数 f ( x ) 在区间 ?t, t ? 2? 上递增, 3 3 3 ∴ f ( x)max ? f (t ? 2) ? t ? 2t 2 ?1 ,……………7 分 2 4 ②当 t ? ? t ? 2 即 ? ? t ? ?2 时, 3 3 2 ? ? ?2 ? 函数 f ( x ) 在区间 ?t , ? 上递增,在区间 ? , t ? 2? 上递减, ? 3? ?3 ? 2 59 ∴ f ( x) max ? f ( ) ? ……………9 分 3 27 2 ③当 t ? 时, f ( x)max ? max ? f (t ), f (t ? 2)? , 3
所以 x ? 令 f (t ) ? f (t ? 2) ,则 t (t ? 2)2 ? (t ? 2)t 2 , t (6t ? 4) ? 0 ,得 0 ? t ? 所以当 t ?

2 , 3

2 , f (t ) ? f (t ? 2) , f ( x)max ? f (t ? 2) ? t 3 ? 2t 2 ?1 ……………13 分 3 4 2 ?3 t ? 2t 2 ? 1, t ? ? 或t ? ? ? 3 3 所以 f ( x) max ? ? ………………15 分 4 2 ? 59 ? ?t ? ? 3 3 ? 27
18.(本小题满分 15 分)如下图,某小区准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地, ?ABC 的 内接正方形 PQRS 为一水池, ?ABC 外的地方种草,其余地方种花. 若 BC=a, ?ABC=? , 设 ?ABC 的面积为 S1 ,正方形 PQRS 的面积为 S 2 ,将比值 (1)试用 a , ? 表示 S1 和 S 2 ;

S1 称为“规划合理度”. S2

(2)若 a 为定值,当 ? 为何值时,“规划合理度”最小?并求出这个最小值.
6

A P S

B

Q

R

C

(1)在 Rt ?ABC 中, AB ? a cos ? , AC ? a sin ? ,

1 1 AB ? AC ? a 2 sin ? cos ? ……………3 分 2 2 x , AP ? x cos ? , 设正方形的边长为 x 则 BP ? sin ? x a sin ? cos ? ? x cos ? ? a cos ? ,故 x ? 由 BP ? AP ? AB ,得 sin ? 1 ? sin ? cos ? a sin ? cos ? 2 ) 2 ……………6 分 所以 S 2 ? x ? ( 1 ? sin ? cos ? 1 (1 ? sin 2? ) 2 S1 1 (1 ? sin ? cos ? ) 2 1 1 2 ? ? ? ? ? sin 2? ? 1 ,…… 8 分 (2) S2 2 sin ? cos ? sin 2? sin 2? 4 S1 ?
令 t ? sin 2? ,因为 0 ? ? ? 所以

?
2

,所以 0 ? 2? ? ? ,则 t ? sin 2? ? (0,1] ……………10 分

1 1 S1 1 1 ? ? t ? 1 ? g (t ) , g ?(t ) ? ? 2 ? ? 0 , t 4 S2 t 4 所以函数 g (t ) 在 (0,1] 上递减,……………12 分 9 ? 因此当 t ? 1 时 g (t ) 有最小值 g (t ) min ? g (1) ? ,此时 sin 2? ? 1, ? ? ……………14 分 4 4 ? 9 所以当 ? ? 时,“规划合理度”最小,最小值为 .……………15 分 4 4
19. (本小题共 16 分)已知数列 {an } 满足: a1 ? a2 ? a3 ? (I)求 a1 , a2 , a3 的值; (Ⅱ)求证:数列 {an ? 1} 是等比数列; (Ⅲ)令 bn ? (2 ? n)(an ? 1) ( n ? 1, 2,3... ) ,如果对任意 n ? N ,都有 bn ? t ? t 2 ,求实
*

? an ? n ? an , (n ? 1,2,3, )

1 4

数 t 的取值范围.

3 7 …………………………………..3 分 4 8 (II)由题可知: a1 ? a2 ? a3 ? ? an?1 ? an ? n ? an ① a1 ? a2 ? a3 ? ? an ? an?1 ? n ? 1 ? an?1 ② ②-①可得 2an ?1 ? an ? 1 …………………………..5 分 1 1 即: an?1 ? 1 ? (an ? 1) ,又 a1 ? 1 ? ? …………………………………..7 分 2 2 1 1 所以数列 {an ? 1} 是以 ? 为首项,以 为公比的等比数列…………………..…..8 分 2 2
解: (I) a1 ? , a2 ? , a3 ?
7

1 2

1 ………………………………………...9 分 2 n?2 ………………………………………...10 分 bn ? n 2 n ? 1 ? 2 n ? 2 n ? 1 ? 2(n ? 2) 3 ? n 由 bn?1 ? bn ? ? n ? ? n?1 ? 0 可得 n ? 3 2n?1 2 2n?1 2 由 bn?1 ? bn ? 0 可得 n ? 3 ………………………………………....11 分 所以 b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ? ? bn ? 1 故 bn 有最大值 b3 ? b4 ? 8 1 所以,对任意 n ? N * ,有 bn ? ………………………………………....13 分 8 1 1 如果对任意 n ? N * ,都有 bn ? t ? t 2 ,即 bn ? t 2 ? t 成立, 4 4 1 1 2 1 2 则 (bn )max ? t ? t ,故有: ? t ? t , ………………………………………....15 分 4 8 4 1 1 解得 t ? 或 t ? ? 2 4
(Ⅲ)由(2)可得 an ? 1 ? ( ) n ,

? ?) 所以,实数 t 的取值范围是 (??, ? ] [ ,

1 4

1 2

………………………………16 分

20.(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? a x ? x2 ? x ln a,a ? 1 (1)求证函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增; (2)函数 y ?| f ( x) ? t | ?1 有三个零点,求 t 的值; (3)对 ?x1 , x2 ? [?1,1],| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1 恒成立,求 a 的取值范围. (1) f '( x) ? a ln a ? 2x ? ln a ? 2x ? (a ?1)ln a
x x
x

(2 分) (4 分)

由于 a ? 1 ,故当 x ? (0, ??) 时, ln a ? 0,a ? 1 ? 0 ,所以 f '( x) ? 0 , 故函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增.
x

(5 分) (6 分)

(2)令 f '( x) ? a ln a ? 2 x ? ln a ? 2 x ? ( a x ?1)ln a ? 0 ,得到 x ? 0 x, f ( x) , f ' (x ) 的变化情况表如下: (8 分)

x
f '( x) f ( x)

(??, 0)


0 0 极小值

(0, ??)
+

因为函数 | f ( x) ? t | ?1 有三个零点,所以 f ( x) ? t ? 1 有三个根, 有因为当 x ?? 时, f ( x) ? ?? , 所以 t ?1 ? f min ? f (0) ? 1 ,故 t ? 2 (11 分) (12 分) (3)由(2)可知 f ( x ) 在区间 [?1, 0] 上单调递减,在区间 [0,1] 上单调递增. 所以 fmin ? f (0) ? 1, fmax ? max ? f (?1), f (1)?

1 ? 1 ? la n f, ( 1 ?a ) ? ?1 a l n a 1 f (1) ? f ? ( 1? )a ? ? 2a ln a f (? 1 )?

8

1 1 2 1 ? 2 ln x , g ?( x) ? 1 ? 2 ? ? ( ? 1) 2(当 , x ? 1时取到等号 ) x x x x 1 1 所以 g ( x) ? x ? ? 2 ln x 递增,故 f (1) ? f (?1) ? a ? ? 2 ln a ? 0 , x a 所以 f (1) ? f (?1) (13 分) 于是 f max ? f (1) ? a ? 1 ? ln a.
记 g ( x) ? x ? 故对 ?x1 , x2 ?[?1,1],| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |max ?| f (1) ? f (0) |? a ? ln a.

a ? l n a ? e ?1 ,所以 1 ? a ? e

(16 分)

解:2X+2^x=5 x+2^(x-1)=2.5 2X+2log2(x-1)(2 是底数)=5 x+log2(x-1)=2.5 其中 y=2^(x-1)与 y=log2(x-1)关于 y=x-1 对称 y=2.5-x 与前面指数 对数曲线交点即为 x1,x2. x1+x2 为 y=2.5-x,y=x-1 交点横坐标 2 倍即 3.5

令 t=log2(x-1),则 x=2^t+1 故 2x+2log2(x-1)=5 等价于 2(2^t+1)+2t=5, 即 2^(t+1)+2(t+1)=5 因为函数 f(x)=2x+2^x 是增函数,所以 f(x)=5 的根仅有一个 即 t+1=x1,即 log2(x2-1)+1=x1,而 2x2+2lg2(x2-1)=5 故 x1+x2=log2(x2-1)+1+x2=5/2+1=7/2

9


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