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明德中学数学竞赛培训第8讲 不等式(2)


第八讲:不等式(2)
一、 知识要点:
(1) 几个重要的不等式:均值不等式,柯西不等式,排序不等式,幂平均不等式,切比 雪夫不等式 (2) 不等式证明的常用方法 (3) 不等式证明的常用技巧

二、 例题剖析:
例题 1:设任意实数 a ? R ,求证: a6 ? a5 ? a4 ? a2 ? a ? 1 ? 0 .

例题 2:(2010 年武汉大学)设 a, b, c ? R? ,求证:

a b c ? ? ? 1 .: 1 ? ab ? a 1 ? bc ? b 1 ? ac ? c

例题 3: (2004 年复旦保送)比较 log24 25 与 log25 26 的大小.

例题 4: (2009 年科技大学) 求证: 对任意的实数 x, y ? R , 不等式 x2 ? xy ? y 2 ? 3( x ? y ? 1) 总 成立

例题 5::证明:方程 x3 ? 2 y3 ? 1 的任一组整数解 ( x, y)( y ? 0) 都满足

x 4 ? 23 ? 3 . y y

1

例题 6: 设 a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 为正数, 求证: (a1b2 ? a2 b1 ? a2 b3 ? a3 b2 ? a3 b1 ? a1b3 )2 ? 4(a1 a2 ? a2 a3 ? a1 a3 )(b1b2 ? b2 b3 ? b3 b1 )

例题 7: (2008 年西安交通大学)设实数:满足 a 2 ? 2b2 ? 3c2 ?

3 ,求证: 3?a ? 9?b ? 27?c ? 1 . 2

例题 8: (2010 浙江大学)有小于 1 的 n(n ? 2) 个正数 x1 , x2 , ?? xn ,且 x1 ? x2 ? ?? ? xn ? 1 , 求证:
1 1 1 ? ??? ?4 3 3 x1 ? x1 x2 ? x2 xn ? xn3

例题 9: (2008 浙江自招)已知 a ? 0, b ? 0 , 求证:
1 1 1 1 ? ? ??? ? a ? b a ? 2b a ? 3b a ? nb n 1 1? n (a ? b ? a ? b 2 2

补充 1:((2009 南京大学) p 为三角形 ?ABC 内的一点,它到三边 BC, CA, BA 的距离分别为
d1 , d 2 , d3 , S 为 ?ABC 的面积,求证:
a b c ( a ? b ? c) 2 ( a, b, c 为 BC, CA, BA 三边的边长) ? ? ? d1 d 2 d3 2s

例题 10: (2008 年南京大学)若正数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 , 求证: ? a ? ? (b ? )(c ? ) ? a? b c 27 ?
? 1? 1 1 1000

例题 11: (2003 年上海交大)证明不等式 ( )n ? n ! ? ? ? 对一切 n ? 6 都成立. 2 3 补充2:已知 xn ? (1 ? ) , yn ? (1 ? )
n

n

?n? ? ?

n

1 n

1 n

n ?1

(1) 求证: xn ? xn ?1 ? 3 ; (2) yn ? yn ?1 ? 2 .

例题13:设 a, b, c ? R? ,求 f (a, b, c) ? (a ? )3 ? (b ? )3 ? (c ? )3 在下列条件下的最小值.

1 a

1 b

1 c

(1) a ? b ? c ? 1 (2) a ? b ? c ? 3 (3) a ? b ? c ? 6 (4) a ? b ? c ? A .

例题14:设 an ? R? ,且 ? aI 2 ? s ,令 ? ai ? A ,求证: ?
i ?1 i ?1
i ?1

n

n

n

ai 3 s . ? A ? ai n ? 1

例题15:设实数 x1 , x2 , x3 ? xn 都是正数,求证:

x2 x12 x2 2 ? ? ? ? n1 ? x1 ? x2 ? ? ? xn . x2 x3 x

例题16:设 a, b, c 是三角形的三条边,求证:

a b c ? ? ?3 b ?c ?a c ? a ?b a ?b ?c

变式:在 ?ABC 中,求证:

sin A sin B sin C ? ? ? 3. sin B ? sin C ? sin A sin A ? sin C ? sin B sin A ? sin B ? sin C

三、 习题演练
1.设 0 ? a1 ? a2 ? ? ? a9 ,证明:
a1 ? a2 ? ? ? a9 ? 3. a3 ? a6 ? a9
b?c 2 a ?c 2 a ?b 2

2.设 a, b, c ? R? ,求证: a a bb c c ? a

?b

?c

x x x 补充3:设 xi ? R ? ,( i ? 1, 2, 3? n )求证: x1 1 ? x2 2 ?? xn n ? ( x1 x2 x3 ? xn )

x1 ? x2 ?? xn n

3.求证:对任意大于 1 的实数 a, b, c 有 2(

logb a logc b log a c 9 . ? ? )? a?b b?c a?c a ?b?c

1 补充4:(2008年复旦)已知三角形的面积为 ,且他的外接圆的半径为1,设 a, b, c 为该三角形 4

的三条边长,令 u ?

1 1 1 ? ? , v ? a ? b ? c ,则 u 与 v 的大小关系. a b c
3

? ?? 补充5: (2005年上海交大)求证:不等式 1 ? sin x ? cos x ? 2 4 , ?0, ? . ? 2?

4.若 x, y, z ? R? , x ? 2 y ? 3z ? 1 ,求

16 81 1 的最小值. ? ? x3 8 y 3 27 z 3 a?b?c . x? y?z

6.设 a, b, c, x, y, z 为实数,且 a2 ? b2 ? c2 ? 25 , x 2 ? y 2 ? z 2 ? 36 ,ax ? by ? cz ? 30 ,求

5.求三个实数 x, y, z ,使得它们同时满足下列方程: ?4 x 2 ? 9 y 2 ? z 2 ? 2 x ? 15 y ? 3z ? 82 ?

?

x ? 3 y ? z ? 13

7.在 ?ABC 中,求证下列不等式成立: (1)

? (a ? b ? c)
3

? aA ? bB ? cC ?

?
2

( a ? b ? c)

(2) a sin A ? b sin B ? c sin C ?

3 (a ? b ? c) . 2

8.设 a1, , a2 , a3 , ? an 是互不相同的自然数,证明: a1 ?

a2 2
2

?

a3 3
2

???

1 1 1 ? 1? ? ??? 2 . 2 3 n n
2

an

9..正数 a, b, c ,满足 a, ? b ? c ,且 a ? b ? c ? 1 ,求证: a2 ? 3b2 ? 5c2 ? 1 10. 设 a1 , a2 , a3 , ? an 都是正数,求证:
a2 (a1 ? a2 )
2

?

a3 (a1 ? a2 ? a3 )
3

? ?? ?

an (a1 ? a2 ? ? ? an )2

?

1 a1

补充6: (2003年复旦大学保送)设 a1, , a2 , a3 , ? an 是互不相同的自然数, a ? 2 ,求证:
( 1 a 1 1 ) ? ( )a ? ? ? ( )a ? 2 . a1 a2 an
1 23 ? 1 33 ? ?? ? 1 n3 ?3

补充7:2004年复旦保送)求证: 1 ?

11.设实数 x, y, z 且 0 ? x ? y ? z ?

?

? , 求证: ? 2 sin x cos y ? 2 sin y cos z ? sin 2 x ? sin 2 y ? sin 2 z . 2 2

:12 设 a, b, c ? (0,1) ,求证: a(1 ? b) ? b(1 ? c) ? c(1 ? a) ? 1
x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ? xn 1 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ? xn

13.求证:

?

x1 1 ? x1

?

x2 1 ? x2

? ?? ?

xn 1 ? 1 ? xn

.

14.已知 a, b, c 为正数, a ? b ? c ? 4 且 ab ? bc ? ac ? 4 ,求证: a ? b , b ? c , c ? a 至少有一个

不大于2. 15.设 f ( x), g ( x) 是定义在 ?0,1? 上实值函数,证明:一定存在 x0 , y0 ? ?0,1? ,使得
x0 y0 ? f ( x0 ) ? g ? y0 ) ? ? 1 . 4


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