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数列综合测试题复习


练习题
第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 一、选择题(题型注释) 1.数列{an}:2,5,11,20,x,47, 中的 x 等于( A.28 B.32 C.33 D.27



2.已知等差数列 ?an ? 中, a5 ? a9 ? a7 ? 10 ,记 Sn ? a1 ? a2 ? ( ) A、

260 B、 168 C、 156 D、 130

? an ,则 S13 的值为

2 3.公差不为零的等差数列 {an } 中, 2a3 ? a7 ? 2a11 ? 0 ,数列 {bn } 是等比数列,且

b7 ? a7 , 则b6b8 ? (
A.2 B.4 C.8

) D.16

1 ? 2an , 0 ? an ? ; ? 6 ? 2 若 4.若数列{an}满足 an ?1 ? ? a1 ? ,则 a20 的值为( 7 ?2a ? 1, 1 ? a ? 1. n n ? 2 ? 6 5 3 1 A. B. C. D. , 7 7 7 7



5. 已知 ?an ? 是首项为 1 的等比数列,s n 是 ?an ? 的前 n 项和, 且 9s3 ? s6 , 则数列 ? 的前 5 项和为 A. ( B. ) C.

?1? ? ? an ?

15 或5 8

31 或5 16

31 16

D.

15 8

6.在等差数列中, a1 ? a2 ? a3 ? ?24 , a18 ? a19 ? a20 ? 78,则此数列前 20 项和等 于( ) A.160 B.180 C. 200 D.220

7.在等差数列 ?an ? 和 ?bn ? 中,a1 ? 25 ,b1 ? 75 ,a100 ? b100 ? 100 ,则数列 ?an ? bn ? 的前 100 项和为 ( ) A. 0 B. 100 C. 1000 D. 10000

8.已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足

S8 ? 17 ,则公比 q =( S4
D. ?2



A.

1 2

B. ?

1 2

C. 2

9.若数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则下列命题:

试卷第 1 页,总 4 页

(1)若数列 {an } 是递增数列,则数列 {Sn } 也是递增数列; (2)数列 {Sn } 是递增数列的充要条件是数列 {an } 的各项均为正数; ( 3 ) 若 {an } 是 等 差 数 列 ( 公 差 d ? 0 ) , 则 S1 ? S2

Sk ? 0 的 充 要 条 件 是

a1 ? a2

ak ? 0.
Sk ? 0(k ? 2, k ? N ) 的 充 要 条 件 是

( 4 ) 若 {an } 是 等 比 数 列 , 则 S1 ? S2

an ? an?1 ? 0.
其中,正确命题的个数是( A.0 个 B.1 个 ) C.2 个 D.3 个

10.设等差数列 {an } 的公差 d 不为 0, a1 ? 9d ,若 ak 是 a1与a2 k 的等比中项,则 k= ( A.2 ) B.6 C. 8 D.4 ( )

11.如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? (A)14 (B)21 (C)28 (D)35

12 . 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 1, a5 ? 13, an?2 ? 2an?1 ? an (n ? N*) , 数 列 ?bn ? 中 ,

b2 ? 6, b3 ? 3, bn?2 ?

2 bn ?1 (n ?N*),已知点 P 1 (a1 , b 1 ), P 2 (a2 , b2 ),?, P n (an , bn ) ,?, 则向 bn

量P 1P 2 ?P 3P 4 ? ?? P 2007 P 2008 的坐标为(



1 4 1 1002 C. (3 ? 1002 ,?4[1 ? ( ) ]) 4
1006 A. (3 ? 1006 ,?4[1 ? ( ) ])

1 4 1 1004 D. (3 ? 1004 ,?4[1 ? ( ) ]) 4
1004 B. (3 ? 1004 ,?8[1 ? ( ) ])

试卷第 2 页,总 4 页

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释)

13.已知等比数列 ?an ? 为递增数列,且 a3 ? a7 ? 3, a2 ? a8 ? 2 ,则 14.在正项等比数列 {an } 中,若 a4 ? a8 ? 16 ,则 a6 ?

a11 ? ________. a7

15. 已知{an}是递增数列, 且对任意的 n∈N 都有 an=n +2 3 sinθ · n (θ ∈[0, 2π ])
* 2

恒成立,则角 θ 的取值范围是________________. 16 .已知实数 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 f ( x ) ? ?

?a x ,

x ? 3, 若数列 {an } 满足 an ? f (n) ? ax ? b , x ? 3.

(n ? N* ) ,且 {an } 是等差数列,则 a ? ___, b ? ____.
评卷人 得分 三、解答题(题型注释) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 是等比数列,首项 a1 ? 2, a4 ? 16 . (1)求数列 {an } 的通项公式 (2)若数列 {bn } 是等差数列,且 b3 ? a3 , b5 ? a5 求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项和

Sn .
18. 等差数列 ?an ? 中, 求数列 ?an ? 前 20 项的和 S 20 . a4 ? 10 且 a3,a6,a10 成等比数列, 19.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S 4 ? 4S 2 , a2n ? 2an ? 1 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?bn ? 满足

b b1 b2 2n ? 1 ? ? ??? ? n ? , n ? N * ,求 ?bn ? 的通项公式; n a1 a 2 an 2

(3)求数列 ?bn ? 前 n 项和 Tn . 20.在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列. (1)求 d,an; (2)若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|. 21.下图是一个按照某种规律排列出来的三角形数阵

试卷第 3 页,总 4 页

1 2 3 4 5 11 7 14 4 7 11 2 3 4 5

—— — — —— —— — — —— —— — — —— —— — — ——

第一行 第二行 第三行 第四行

假设第 n 行的第二个数为 an n ? 2,n ?

?

?

? ?
?

(1)依次写出第七行的所有 7 个数字(不必说明理由); (2)写出 an +1 与 an 的递推关系(不必证明),并求出 ?an ? 的通项公式 an n ? 2,n ? 22.已知数列 ?an ? 满足: a1 ? (Ⅰ)设

?.

1 1 n , an ? (1 ? )an ?1 ? n 2 n ?1 3

an ? bn , 求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和。 n

试卷第 4 页,总 4 页

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参考答案 1.B 【解析】 试题分析:差成等差数列, 3,6,9,12.......所以 x ? 20 ? 12 ? 32 考点:数列的概念及表示法 【答案】D 【解析】由等差数列性质得: a5 ? a9 ? a7 ? 2a7 ? a7 ? a7 ? 10 。所以

S13 ?

13(a1 ? a13 ) ? 13a7 ? 130 。故选 D 2

3.D 【解析】
2 试 题 分 析 : 由 于 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 {an } 中 , 2a3 ? a7 ? 2a11 ? 0 , 那 么 根 据
2 2 因为数列 {bn } 是 a11 +a3 =2a7 ?2a3 ? a7 ? 2a11 ? 0 ? 4a7 ? a7 =0, ?a7 =4,a7 =(舍) 0 2 等比数列,且 b7 ? a7 , 则b6 b8 ? b7 ? 42 ? 16 ,故答案为 D.

考点:等差数列,等比数列 点评:主要是灵活运用等差中项和等比中项的性质来求解数列的项,属于基础题。 4.B 【解析】 ∵ a1 ?

5 3 6 5 6 a3 ? 2a2 ? 1 ? , a4 ? 2a3 ? , , ∴ a2 ? 2a1 ? 1 ? , ∴ a5 ? 2a4 ? 1 ? , 7 7 7 7 7 3 6 5 , a7 ? 2a6 ? ,…,故该数列周期为 3,∴ a20 ? a2 ? ,故选 B 7 7 7
?1? 1 ? ? 是首项为 1,公比为 的等比 2 ? an ?

a6 ? 2a5 ? 1 ?
5.C

【解析】设公比为 q, 则

9(1 ? q3 ) 1 ? q 6 ;所以 q ? 2. ? 1? q 1? q

1 1 ? ( )5 ?1? 2 ? 31 . 故选 C 数列;所以数列 ? ? 的前 5 项和为 1 16 ? an ? 1? 2
6.B 【解析】 本题主要考查等差数列。 由条件可知,3a2 ? -24, 3a19 ? 78 , 所以 a2 ? a19 ? 18 。 又 S 20 ?

20(a1 ? a20 ) ? 10(a2 ? a19 ) ? 180 ,应选 B。 2

7.D 【解析】本题考查等差数列的前 n 项和,等差数列的性质及基本运算. 因为数列 ?an ? 和 ?bn ? 都是等差数列, 所以数列 ?an ? bn ? 也是等差数列, 则数列 ?an ? bn ? 的
答案第 1 页,总 7 页

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前 100 项和为 8.D 【解析】

100[(a1 ? b1 ) ? (a100 ? b100 )] 100(25 ? 75 ? 100) ? ? 10000. 故选 D 2 2

a1 (1 ? q8 ) S8 1 ? q8 1? q ? ? ? 1 ? q 4 ? 17 ,得 q4 ? 16 ,因此 试题分析:由题可知 q ? 1 ,则 4 4 S4 a1 (1 ? q ) 1 ? q 1? q
q ? ?2 ,故选 D.
考点:等比数列的求和 9.B 【解析】 试题分析:数列{an}的前 n 项和为 Sn,故 Sn =a1+a2+a3+…+an.若数列{an}是递增数列,则数 列{Sn}不一定是递增数列, 如当 an<0 时, 数列{Sn}是递减数列, 故 (1) 不正确; 由数列{Sn} 是递增数列,不能推出数列{an}的各项均为正数,如数列:0,1,2,3,…,满足{Sn}是递 增数列, 但不满足数列{an}的各项均为正数, 故 (2) 不正确; 若{an}是等差数列 (公差 d≠0) , 则由 S1?S2…Sk=0, 不能推出 a1?a2…ak=0, 例如数列: -3, -1, 1, 3, 满足 S4=0, 但 a1?a2?a3?a4≠0, 故(3)不正确.若{an}是等比数列,则由 S1?S2…Sk=0(k≥2,k∈N)可得数列的{an}公比为 -1,故有 an+an+1=0.由 an+an+1=0 可得数列的{an}公比为-1,可得 S1?S2…Sk=0(k≥2,k∈N) , 故(4)正确.故选 B. 考点:1. 等比数列的性质;2. 等差数列的性质;3.充分必要条件. 10.D 【解析】 试 题 分 析 :

ak
d ? ?



a1与a2 k

的 等 比 中 项

? ? ak ? ? a1 ? a2 k ?
2

?? ? ? a1 ? ? k 1
2

2

?1 a ? 2 ?? 1k ? d a1? , 1 a ?? ? ?? 9d

? ? 8 ? k ? d 2 ? 9(8 ? 2k ) ? d 2 , d ? 0 ? k 2 ? 2k ? 8 ? 0, k ? N? ? k=4.
考点:等比中项,等比数列的通项公式. 11.C 【解析】略 12.B 【解析】由 an?2 ? 2an?1 ? an 得 2an?1 ? an ? an?2 ,所以数列 {an } 是等差数列 . 又 a1 ? 1 ,

a5 ? 13 ,可得该数列的公差 d ? 3 .又由 b n?2 ?

bn?1 2 得 bn?1 ? bn ? bn?2 ,所以数列 {bn } 是等 bn
1 .由题意, 2

2

比数列.又 b2 ? 6 , 可得该数列的公比 q ? b3 ? 3 ,

P 1P 2 ? (a2 ? a1 , b2 ? b1 ) ,

P3 P4 ? (a4 ? a3 , b4 ? b3 ),?,

P2007 P2008 ? (a2008 ? a2007 , b2008 ? b2007 ).
答案第 2 页,总 7 页

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所以 P 1P 2 ?P 3P 4 ??? P 2007 P 2008 ? (a 2 ? a1 ? a 4 ? a3 ? ? ? a 2008 ? a 2007 ,

b2 ? b1 ? b4 ? b3 ? ?? b2008 ? b2007 ) ,其中 (a2 ? a1) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? (a2008 ? a2007 )
? 1004 d ? 3 ? 1004 .

b2 ? b1 ? b4 ? b3 ? ? ? b2008 ? b2007 ? (b2 ?b4 ? ? ? b2008 ) ? (b1 ? b3 ? ? ? b2007 ) ,
而 b2 , b4 ,?, b2008 是以 b2 ? 6 为首项,公比为 首项,公比为

1 的等比数列, b1, b3 ,?, b2007 是以 b1 ? 12 为 4

1 的等比数列. 4

?(b2 ? b4 ? ? ? b2008 ) ? (b1 ? b3 ? ? ? b2007 )
1 1 6[1 ? ( )1004 ] 12[1 ? ( )1004 ] 1 4 4 ? ? ? ?8[1 ? ( )1004 ] . 1 1 4 1? 1? 4 4 1 1004 于是所求和向量的坐标为 (3 ? 1004 ,?8[1 ? ( ) ]) . 4
13.2 【解析】 试题分析: 根据题设条件结合等比数列通项公式, 先求出 a3 和 a7, 由此再求出得到 q 的值, 从而得到

a11 的值。 a7

根据题意, 由于 a3 ? a7 ? 3, a2 ? a8 ? 2=a3 a7 ?a3 =1 那么可知公比的四次方为 2, ,a7 =2 , 因此

a11 ? q 4 ? 2 ,故答案为 2 a7

考点:等比数列的性质 点评:本题考查等比数列的性质和应用,解题时要认真审题,注意等比数列的通项公式的灵 活运用. 14.4 【解析】 试 题 分 析 : 根 据 题 意 , 由 于 正 项 等 比 数 列 {an } 中 , 若 a4 ? a8 ? 16 ,且有

a4a8 ? a62

an ? 0?a6 ? 4 ,故答案为 4.

考点:等比数列的性质 点评:主要是考查了等比中项性质的运用,属于基础题。 15. [0,

4? 5? ) U ( , 2? ] 3 3

答案第 3 页,总 7 页

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【解析】由题意,an+1>an 对任意 n∈N 恒成立 即(n+1) +2 3 sinθ · (n+1)>n +2 3 sinθ ·n
2 2

*

2n+1+2 3 sinθ >0 即 sinθ >-

2n ? 1 * (n∈N ) , 2 3

由于-

2n ? 1 3 * (n∈N )的最大值为- 2 2 3
3 即可,且 θ ∈[0,2π ] 2

故只需 sinθ >-

故 θ ∈ [0,

4? 5? ) U ( , 2? ] 3 3

考点:数列的性质,特殊角的三角函数值,恒成立问题 16.2,0 【解析】 试题分析:因为 an ? f (n) ,令 n ? 1, 2,3, 4 得数列 {an } 的前四项为, a, a2 ,3a ? b, 4a ? b ,

? 2a 2 ? a ? 3a ? b ? 由数列 {an } 是等差数列得, ? ,解得 a ? 2, b ? 0 . 2 ? ?2 ? 3a ? b ? ? a ? 4a ? b
考点:等差数列的性质. 17. (1) an ? a1q n?1 ? 2n (2) an ? ?16 ? (n ? 1) ? 12 ? 12n ? 28 ,

S n ? n ? (?16) ?

n(n ? 1) ? 12 ? 6n 2 ? 14 n 2

【解析】解: (1)由 a1 ? 2, a4 ? 16 及 {an } 是等比数列 , 得 a1q ? 16
3

q?2

∴ an ? a1q n?1 ? 2n 由已知

?b1 ? 2d ? 8 ? ?b1 ? 4d ? 32

?b ? ?16 ?? 1 ?d ? 12

∴ an ? ?16 ? (n ? 1) ? 12 ? 12n ? 28

答案第 4 页,总 7 页

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S n ? n ? (?16) ?

n(n ? 1) ? 12 ? 6n 2 ? 14 n 2

18.330. 【解析】本试题主要考查了等差数列和等比数列的定义以及数列求和的运用。 解:设数列 ?an ? 的公差为 d ,则

a3 ? a4 ? d ? 10 ? d , a6 ? a4 ? 2d ? 10 ? 2d , a10 ? a4 ? 6d ? 10 ? 6d .
2 由 a3,a6,a10 成等比数列得 a3a10 ? a6 ,

即 (10 ? d )(10 ? 6d ) ? (10 ? 2d )2 , 整理得 10d 2 ? 10d ? 0 , 解得 d ? 0 或 d ? 1 . 当 d ? 0 时, S20 ? 20a4 ? 200 . 当 d ? 1 时, a1 ? a4 ? 3d ? 10 ? 3?1 ? 7 , 于是 S20 ? 20a1 ?

20 ?19 d ? 20 ? 7 ? 190 ? 330 . 2

19.(1) a n ? 2n ? 1, n ? N * (2) 【解析】

bn ?

2n ? 1 (n ? N * ) (3) Tn ? 3 ? 2n ? 3 n 2 2n

试题分析:解:(Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由 S 4 ? 4S 2 , a 2n ? 2a n ? 1 得
4a1 ? 6d ? 8a1 ? 4d ? ? ?a1 ? (2n ? 1)d ? 2a1 ? 2(n ? 1)d ? 1

解得 a1 ? 1 , d ? 2 ∴ a n ? 2n ? 1, n ? N * (Ⅱ)由已知

b1 b2 ? ? ??? ? a1 a 2

bn 1 ?1? , n ? N * ,---① n an 2

当 n ? 1 时,

b1 1 ? , n ? N *; a1 2

答案第 5 页,总 7 页

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当 n ? 2 时,

b1 b2 ? ? ??? ? a1 a 2

bn ?1 1 ?1? ,---② n a n ?1 2 ?1

将①-②,得

bn 1 1 1 ?1? - (1 ? n?1 ) = n (n ? 2) , n an 2 2 2

bn 1 ? n (n ? 2) , an 2

由(Ⅰ)知 a n ? 2n ? 1, n ? N * ,∴ bn

?

2n ? 1 (n ? 2) 2n

∴检验 n ? 1, b1 ?

2n ? 1 1 1 (n ? N * ) ? 1 ? ,符合,? bn ? n 2 2 2
1 3 2n ? 1 ? 2 ? ??? ? n 2 2 2

(3)由已知得 Tn ?

③,

1 1 3 2n ? 3 2n ? 1 ④ Tn ? ? ??? ? ? 2 3 2 2 2 2n 2 n?1 1 1 1 1 1 2n ? 1 将③-④,得, Tn ? ? 2( ? ? ??? ? ) ? 2 3 n 2 2 2 2 2 2 n?1 ? 3 1 2n ? 1 ? ? 2 2n?1 2n?1 2n ? 3

∴ Tn ? 3 ?

2n 考点:数列的通项公式;数列的前 n 项和公式

点评:求一般数列的问题时,常用的方法是裂变法和错位相减法,本题就用到错位相减法。 * * 20 . (1) d = - 1, an = - n + 11(n ∈ N ) 或 d = 4,an = 4n + 6(n ∈ N );(2)

1 2 21 ? ? n ? n, n ? 11 ? 2 2 ?1 21 2 ? n ? n ? 110, n ? 11 2 ?2
【解析】 试 题 分 析 : (1) 由 已 知 可 得 an ? 10 ? d (n ? 1), 再 由 a1,2a2 + 2,5a3 成 等 比 数 列 得 到 :

(2a2 ? 2)2 ? a1 ? 5a3 将通项代入即可得到关于 d 的方程,解此方程即可获得 d 的值,将 d
的值代入通项 an 中即可获得 an ;(2)求数列各项的绝对值和,关键在于弄清哪些项是正, 哪些项是负后用绝对值的定义去掉绝对值符号转化为等差数列前 n 项和的问题来加以解决, 注意由 an ? 0, 与an ? 0 分类讨论解决. 试题解析:(1)由题意得,a1·5a3=(2a2+2) , 2 由 a1=10,{an}为公差为 d 的等差数列得,d -3d-4=0, 解得 d=-1 或 d=4 3分 * * 所以 an=-n+11(n∈N )或 an=4n+6(n∈N ) 5分 (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.
答案第 6 页,总 7 页
2

1分

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因为 d<0,由(1)得 d=-1,an=-n+11, 所以当 n≤11 时, |a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=- 当 n≥12 时, |a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11= 综上所述,

6分

1 2 21 n+ n 2 2

8分

1 2 21 n- n+110 2 2

11 分

1 2 21 ? ? ? 2 n ? 2 n, n ? 11 |a1|+|a2|+|a3|+…+|an|= ? 1 21 ? n 2 ? n ? 110, n ? 11 2 ?2
考点:1.等差数列与等比数列;2.数列的前 n 项和. 21 . ( 1 ) 7,22 , 41,50,41,22,7
?

12 分



2



an +1 =an +n ? n ? 2,n ?

?

?



an ? 1 ?

n ? n ? 1? 2

? n ? 2, n ? ?
4分 7分

【解析】 试题分析: (1)7,22,41,50,41,22,7 (2) an +1 =an +n n ? 2,n ?

?

?

?

an =a2 + ? a3 ? a2 ? ? ? a4 ? a3 ? ? ? 2 ? 2 ? 3? 4 ?
? 1? n ? n ? 1? 2

? ? an ? an?1 ?
10 分

9分

? ? n ?1?

? n ? 2, n ? ?
?

12 分

考点:本小题主要考查本小题主要考查归纳推理的应用,数列的递推关系式和通项公式。 点评:由数列的递推关系式求数列的通项公式时要注意是否包括第一项. 22. (Ⅰ) bn ? 【解析】

1 9 1 2n ? 3 , n ? N ? (Ⅱ) S n ? ? ? n ?1 n ?1 23 8 8 3

答案第 7 页,总 7 页


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数列综合练习(有答案)

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数列综合练习题

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数列测试题及详解

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