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北京市东城区普通校2013届高三12月联考 理科数学


北京东城区普通校 2012—2013 学年高三第一学期联考 数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分 钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,只有一 项是符

合题目要求的.选出符合题目要求的一项填在机读卡上. 1. 若集合 A ? x x ? 0 ,且 A ? B ? B ,则集合 B 可能是 A. ?1 , 2? 【答案】A 【解析】因为 A ? B ? B ,所以 B ? A ,因为 ?1 , 2? ? A ,所以答案选 A. 2. 复数 1 ? 在复平面上对应的点的坐标是 A. 1 1 (, ) 【答案】D 【解析】复数 1 ? ? 1 ? i ,所以对应的点位 (1, ?1) ,选 D. 3. 已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是 A. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? C. 若m‖ ? , n‖? , 则m‖ n B. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n D. 若m‖? , m‖ ? , 则?‖ ? B. ? 1 1 ( , ) C. ? 1,?1 ( ) D. 1,?1 ( ) B. x x ? 1

?

?

?

?

C. ??1, 0,1?

D. R

1 i

1 i

【答案】B 【解析】根据线面垂直的性质可知,B 正确。 4. 一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 m ) 则该棱锥的体积是 ,

-1-

A.

4 3

B. 8

C. 4

D.

8 3

【答案】A 【解析】由三视图可以看出,此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全 等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形,高为 2,底面边长为 2,底面面积

1 ?2?2 ? 2 2

故此三棱锥的体积为 ? 2 ? 2 ?

1 3

4 ,选 A. 3

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 5.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 2 y ? 3x 的最大值为 ?x ?1 ? 0 ?
A. ? 3 【答案】C B. 2 C. 4 D. 5

-2-

【解析】做出约束条件对应的可行域如图, 得y?

,由 z ? 2 y ? 3x

3 z 3 3 z x ? 。做直线 y ? x ,平移直线得当直线 y ? x ? 经过点 B(0, 2) 时,直线 2 2 2 2 2 3 z y ? x ? 的截距最大,此时 z 最大,所以最大值 z ? 2 y ? 3x ? 4 ,选 C. 2 2

6.已知数列 {a n } 为等比数列, a 4 ? a 7 ? 2 , a5 ? a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 的值为 A. 7 【答案】D B. ? 5 C. 5 D. ? 7

【解析】在等比数列中, a5 a6 ? a4 a7 ? ?8 ,所以公比 q ? 0 ,又 a4 ? a7 ? 2 ,解得 ?

? a4 ? ? 2 ? a7 ? 4

或?

? a1 ? 1 ? a4 ? 4 ? a4 ? ? 2 9 3 。由 ? ,解得 ? 3 ,此时 a1 ? a10 ? a1 ? a1q ? 1 ? (?2) ? ?7 。 a7 ? ?2 a7 ? 4 q ? ?2 ? ? ?

?a1 ? ?8 ? a4 ? 4 1 ? 9 9 由? ,解得 ? 3 1 ,此时 a1 ? a10 ? a1 ? a1q ? a1 (1 ? q ) ? ?8(1 ? ) ? ?7 , 8 ? a7 ? ?2 ?q ? ? 2 ?
综上 a1 ? a10 ? ?7 ,选 D. 7. 已知函数 f (x) 在 [0,??) 上是增函数, g ( x) ? ? f ( x ) ,若 g (lg x) ? g (1) ,则 x 的取值 范围是 A. (10,??) 【答案】B 【解析】因为 g ( x) ? ? f ( x ) ,所以函数 g ( x) ? ? f ( x ) 为偶函数,因为函数 f (x) 在 [0,??) 上是增函数,所以当 x ? 0 时, g ( x) ? ? f ( x ) ? ? f ( x) ,此时为减函数,所以当 x ? 0 , 函 数 g ( x) ? ? f ( x )单 调 递 增 。 因 为 g (lg x) ? g (1) , 所 以 有 ?1 ? lg x ? 1 , 解 得 B. (

1 ,10 ) 10

C. (0,10)

D. (0,

1 ) ? (10,??) 10

-3-

1 1 ? x ? 10 ,即 ( ,10) ,选 B. 10 10
8.设 F1 、 F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 a 2 b2

P ,满足 PF2 ? F1 F2 ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐
近线方程为 A. 3x ? 4 y ? 0 【答案】D 【解析】依题意|PF2|=|F1F2|,可知三角形 PF2 F1 是一个等腰三角形,F2 在直线 PF1 的投影是其
2 2 中点,由勾股定理知可知 PF1 ? 2 4c ? 4a ? 4b ,根据双曲定义可知 4b﹣2c=2a,整理得

B. 3x ? 5 y ? 0

C. 5 x ? 4 y ? 0

D. 4 x ? 3 y ? 0

c=2b﹣a,代入 c =a +b 整理得 3b ﹣4ab=0,求得 = ∴双曲线渐进线方程为 y ? ?

2

2

2

2

4 x ,即 4 x ? 3 y ? 0 。故选 D. 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知 sin ? ? 【答案】 ?

3 ,且 ? 为第二象限角,则 tan? 的值为 5



3 4

【解析】因为 ? 为第二象限角,所以 cos ? ? ? , tan ? ? 10 . 已 知 向 量 a ? (1, 2 )b ? , 为 【答案】 ? ? .

(1, 0 ) , c?

sin ? 3 ?? 。 cos ? 4 ? ? ? (. 若 )? 为 实 数 , (a ? ? b) / /c, 则 ? 的 值 3, 4 4 5

5 1 3 2 ? ? ? ? ? 【解析】 a ? ? b ? (1, 2) ? ? (1, 0) ? (1 ? ? , 2) ,因为 (a ? ? b) / / c ,所以 4(1 ? ? ) ? 3 ? 2 ? 0 ,
解得 ? ?

1 。 2

x2 y 2 ? ? 1 的 焦 点 为 F1 , F2 , 点 P 在 椭 圆 上 , 若 | PF1 |? 4 , ?F1 PF2 的 小 大 11 . 椭 圆 9 2
为 【答案】 120
?



-4-

x2 y 2 ? ?1 2 2 2 2 2 2 【解析】椭圆 9 的 a ? 9, a ? 3 , b ? 2, c ? a ? b ? 7 ,所以 c ? 7 。因为
PF1 ? 4 , 所 以
2

PF1 ? PF2 ? 2a ? 6 , 所 以
2 2

PF2 ? 6 ? ? 4

2 。 所 以

cos F1 PF2 ?

PF1 ? PF1 ? F1 F2 2 PF1 PF2

?

42 ? 22 ? (2 7) 2 1 ? ? ,所以 ?F1 PF2 ? 120? 。 2? 4? 2 2

12 . 若 曲 线 y ? 为

3 2 1 x ? x ? 的 某 一 切 线 与 直 线 y ? 4x ? 3 平 行 , 则 切 点 坐 标 2 2
,切线方程为 .

【答案】 (1, 2) , y ? 4 x ? 2 【解析】函数的导数为 y ' ? 3x ? 1 ,已知直线 y ? 4 x ? 3 的斜率 k ? 4 ,由 3x ? 1 ? 4 ,解得 切点的横坐标 x ? 1 ,所以 y ? 2 ,即切点坐标为 (1, 2) ,切线方程为 y ? 2 ? 4( x ? 1) ,即

y ? 4x ? 2 。
13 . 是 ① ab ? 1; ④ a ? b ? 3;
3 3

若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 , 则 下 列 不 等 式 对 一 切 满 足 条 件 的 a, b 恒 成 立 的 . (写出所有正确命题的编号) . ② a? b? ⑤

2;

③ a ?b ? 2;
2 2

1 1 ? ?2 a b

【答案】①,③,⑤. 【解析】对于命题①由 2 ? a ? b ? 2 ab ,得 ab ? 1,命题①正确; 对于命题②令 a ? b ? 1 时,不成立,所以命题②错误; 对于命题③ a ? b ? (a ? b) ? 2ab ? 4 ? 2ab ? 2 ,命题③正确;
2 2 2

对于命题④令 a ? b ? 1 时,不成立,所以命题④错误; 对于命题⑤

1 1 a?b 2 ? ? ? ? 2 ,命题⑤正确. a b ab ab
2

所以正确的结论为①,③,⑤. 14. 已知函数 f ( x) ? a ln( x ? 1) ? x 在区间 (0,1) 内任取两个实数 p, q ,且 p ? q ,不等式

f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围为 p?q
【答案】 [15,??)



-5-

【 解 析 】

f ( p? 1 )? f (q? 1 ) f ( ? ? ) f ?( p 1 q 1) , 表 示 点 ( p ? 1, f ( p ? 1)) 与 点 ? p? q ( p? 1 ) ? (q ? 1 )
连线的斜率,因为 0 ? p, q ? 1,所以 1 ? p ? 1 ? 2 , 1 ? q ? 1 ? 2 ,即函 1) )

(q ? 1 ,f ? q (

数图象在区间 (1, 2) 内任意两点连线的斜率大于 1,即 f '( x) ? 1 在 (1, 2) 内恒成立。由定

a a 即 所以 a ? 1 ? 2 x)( x ? 1) ( ? 2x ? 1 , ? 1 ? 2x , x ?1 x ?1 3 7 成立。设 y ? 1 ? 2 x)( x ? 1) ,则 y ? 2 x 2 ? 3x ? 1 ? 2( x ? ) 2 ? ,当 1 ? x ? 2 时,函数 ( 4 8 3 2 7 y ? 2( x ? ) ? 的最大值为 15,所以 a ? 15 ,即 a 的取值范围为 [15,??) 。 4 8
义域可知 x ? ?1 , 所以 f '( x) ? 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知: ?ABC 中, a 、 、 分别为角 A 、 、 所对的边, 在 且角 C 为锐角, 2C ? ? cos b c B C (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)当 a ? 2 , 2 sin A ? sin C 时,求 b 及 c 的长. 16. (本小题满分 13 分)
已知:函数

1 4

f ( x) ? M sin(? x ? ? )( M ? 0,| ? |?

?
2

) 的部分图象如图所示.

(Ⅰ)求 函 数 f ( x) 的 解 析 式; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A、B、C 的 对 边 分 别 是 a、b、c ,若 (2a ? c) cos B ? b cos C , 求f ( ) 的 取 值 范 围. 17. (本小题满分 13 分) 已知:如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 为正方形, PA ? 面ABCD ,且
P

A 2

PA ? AB ? 2 , E 为 PD 中点. (Ⅰ)证明: PB //平面 AEC ; (Ⅱ)证明:平面 PCD ? 平面 PAD ; (Ⅲ)求二面角 E ? AC ? D 的正弦值.
18. (本小题满分 13 分)
A
*

E

D

已知:数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? 2a n ? n , (n ? N ) . (Ⅰ)求: a1 , a 2 的值; (Ⅱ)求:数列 ?a n ?的通项公式;
B C

-6-

(Ⅲ)若数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,且满足 bn ? nan (n ? N ) ,求数列 ?bn ?的
*

前 n 项和 Tn . 19. (本小题满分 14 分) 已知:函数 f ( x) ? x ?

1 2 ax ? ln(1 ? x) ,其中 a ? R . 2

(Ⅰ)若 x ? 2 是 f (x) 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)求 f (x) 的单调区间; (Ⅲ)若 f (x) 在 [0, ? ? ) 上的最大值是 0 ,求 a 的取值范围.

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆短轴的一个端点与两个焦 2 3 a b
5 2 . 3

点构成的三角形的面积为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)已知动直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点. ①若线段 AB 中点的横坐 标为 ?

???? ???? 1 7 ,求斜率 k 的值;②若点 M (? , 0) ,求证: MA ? MB 为定值. 2 3

-7-

参考答案
(以下评分标准仅供参考,其它解法自己根据情况相应地给分) 一、选择题 1. A 2. D 3. B 二、填空题 9. ? 4. A
?

5. C

6. D

7. B

8. D

3 4

10.

1 2

11. 120

12. (1,2) y ? 4 x ? 2 , 15. (本小题满分 13 分)

13.①③⑤

14. [15,??)

解: (Ⅰ)解:因为 cos2C=1-2sin2C= ?

1 ? ,及 0 ? C ? 4 2
………………………… 4 分

所以 sinC=

10 . 4

(Ⅱ)解:当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理 由 cos2C=2cos2C-1= ?

1 ? ,及 0 ? C ? 得 4 2

a c ,得 c=4 ? sin A sin C

………7 分

cosC=

6 4

………………………9 分

由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,得 b2- 6 b-12=0 解得 b=2 6 …………………… 12 分 ……………………13 分

16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由图像知 M ? 1, f (x) 的最小正周期 T ? 4( 分 将点 (

5? ? ? ) ? ? ,故 ? ? 2 …… 2 12 6

?

,1) 代入 f (x) 的解析式得 sin( ? ? ) ? 1 ,又 | ? |? 6 2 3

?

?

故? ?

?

6

所以 f ( x) ? sin(2 x ?

?

6

)

………………

5分

(Ⅱ)由 (2a ? c) cos B ? b cosC 得 2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cosC 所以 2 sin A cos B ? sin(B ? C ) ? sin A ……………………8 分 因为 sin A ? 0 所以 cos B ?

1 2

B?

?
3

A?C ?

2? ………………9 分 3

-8-

A ? 2? ? ? 5? ……………………11 分 f ( ) ? sin(A ? ) 0? A? ? A? ? 2 6 3 6 6 6 1 A ? ? f ( ) ? sin(A ? ) ? 1 ……………………13 分 2 2 6 17. (本小题满分 13 分)
解: (Ⅰ)
P

E

A

D

O B C

证明:连结 BD 交 AC 于点 O,连结 EO. ?O 为 BD 中点,E 为 PD 中点, ∴ B. …2 分 ?EO ? 平面 AEC,PB ? 平面 AEC, ∴ PB//平面 AE C. (Ⅱ) P

……………………1 分 EO//P ………………… ……………………3 分

E

A

D

B

C

证明: PA⊥平面 ABC D. CD ? 平面 ABCD, ∴ PA ? CD . 又?在正方形 ABCD 中 CD ? AD 且 PA ? AD ? A , ∴CD ? 平面 PA D. 又? CD ? 平面 PCD, ∴平面 PCD ? 平面 PAD .

……………………4 分 ……………………5 分 ……………………6 分 ……………………7 分

(Ⅲ)如图,以 A 为坐标原点, AB, AD, AP 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空 间直角坐标系. ………8 分

-9-

z P

E

A B C x

D y

由 PA=AB=2 可知 A、B、C、D、P、E 的坐标分别为 A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0), D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) .

……………9 分

. ?PA ? 平面 ABCD,∴ AP 是平面 ABCD 的法向量, AP =(0, 0, 2) 设平面 AEC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , AE ? (0, 1, 1), AC ? (2, 2, 0) , 则?

?n ? AE ? 0, ? ?n ? AC ? 0. ?
? z ? ? y, ? x ? ? y.

即?

?0 ? y ? z ? 0, ? 2 x ? 2 y ? 0 ? 0.

∴ ?

∴ 令 y ? ?1 ,则 n ? (1, ? 1, 1) . ∴ cos ? AP, n ??

………………11 分

AP ? n | AP | ? | n |

?

2 2? 3

?

1 3

,

…………………12 分

二面角 E ? AC ? D 的正弦值为 18. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)

6 3

…………………13 分

S n ? 2a n ? n
……………2 分

令 n ? 1 ,解得 a1 ? 1 ;令 n ? 2 ,解得 a 2 ? 3 (Ⅱ)

S n ? 2a n ? n
*

所以 S n ?1 ? 2a n ?1 ? (n ? 1) , n ? 2, n ? N ) (

- 10 -

两式相减得 a n ? 2a n ?1 ? 1 所以 a n ? 1 ? 2(a n ?1 ? 1) , n ? 2, n ? N ) (
*

……………4 分 ……………5 分

又因为 a1 ? 1 ? 2 所以数列 ?a n ? 1?是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列 ……………6 分
* 所以 a n ? 1 ? 2 ,即通项公式 a n ? 2 ? 1 ( n ? N )
n n

……………7 分

(Ⅲ) bn ? nan ,所以 bn ? n(2 ? 1) ? n ? 2 ? n
n n

所以 Tn ? (1 ? 2 ? 1) ? (2 ? 2 ? 2) ? (3 ? 2 ? 3) ? ? ? (n ? 2 ? n)
1 2 3 n

Tn ? (1 ? 21 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ? ? n ? 2 n ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n)
令 S n ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2
1 2 3 n

……9 分

① ②

2S n ? 1 ? 2 2 ? 2 ? 2 3 ? ? ? (n ? 1) ? 2 n ? n ? 2 n?1
①-②得

? S n ? 21 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? n ? 2 n?1

? Sn ?

2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1 1? 2

……………11 分

S n ? 2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n?1 ? 2 ? (n ? 1) ? 2 n?1
所以 Tn ? 2 ? (n ? 1) ? 2 19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ) 解: f ?( x) ? 经检验, a ?
n ?1

……………12 分

?

n(n ? 1) 2

……13 分

x(1 ? a ? ax) , x ? (?1, ??) . x ?1

依题意, f ?(2) ? 0 , 令 解得 a ? ……4 分

1 . 3

1 时,符合题意. 3 x . x ?1

(Ⅱ)解:① 当 a ? 0 时, f ?( x) ?

故 f (x) 的单调增区间是 (0, ??) ;单调减区间是 (?1,0) . ② 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 0 ,或 x2 ? 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 与 f ?( x) 的情况如下:

…………………5 分

1 ?1 . a

- 11 -

x
f ?( x) f ( x)

(?1, x1 )
?

x1

( x1 , x2 )

x2

( x2 , ? ?)

0
f ( x1 )

?


0
f ( x2 )

?




所以, f ( x) 的单调增区间是 (0,

1 1 ? 1) ;单调减区间是 (?1,0) 和 ( ? 1, ??) . a a

当 a ? 1 时, f (x) 的单调减区间是 (?1,??) . 当 a ? 1 时, ?1 ? x2 ? 0 , f ( x) 与 f ?( x) 的情况如下:

x
f ?( x) f ( x)

(?1, x2 )
?

x2

( x2 , x1 )

x1

( x1 , ? ?)

0
f ( x2 )

?


0
f ( x1 )

?




所以, f ( x) 的单调增区间是 ( ? 1, 0) ;单调减区间是 (?1,

1 a

1 ? 1) 和 (0, ??) . a

③ 当 a ? 0 时, f (x) 的单调增区间是 (0, ??) ;单调减区间是 (?1,0) . 综上,当 a ? 0 时, f (x) 的增区间是 (0, ??) ,减区间是 (?1,0) ; 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 的增区间是 (0,

1 1 ? 1) ,减区间是 (?1,0) 和 ( ? 1, ??) ; a a

当 a ? 1 时, f (x) 的减区间是 (?1,??) ; 当 a ? 1 时, f ( x) 的增区间是 ( ? 1, 0) ;减区间是 (?1,

1 a

1 ? 1) 和 (0, ??) . a
……11 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 a ? 0 时, f (x) 在 (0, ??) 上单调递增,由 f (0) ? 0 ,知不合题意.

当 0 ? a ? 1 时, f (x) 在 (0, ??) 的最大值是 f ( ? 1) , 由 f ( ? 1) ? f (0) ? 0 ,知不合题意. 当 a ? 1时, f (x) 在 (0, ??) 单调递减, 可得 f (x) 在 [0, ? ? ) 上的最大值是 f (0) ? 0 ,符合题意. 所以, f (x) 在 [0, ? ? ) 上的最大值是 0 时, a 的取值范围是 [1, ??) . …………14 分

1 a

1 a

- 12 -

20. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因为

x2 y 2 c 6 ? ,…………2 分 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 满足 a 2 ? b2 ? c 2 , 2 a 3 a b

1 5 2 x2 y 2 5 。解得 a 2 ? 5, b2 ? ,则椭圆方程为 ? b ? 2c ? ? ? 1 ……………4 分 5 2 3 5 3 3
(Ⅱ) (1)将 y ? k ( x ? 1) 代入

x2 y 2 ? ? 1 中得 5 5 3

(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0 ……………………………………………………6 分 ? ? 36k 4 ? 4(3k 2 ? 1)(3k 2 ? 5) ? 48k 2 ? 20 ? 0

x1 ? x2 ? ?

6k 2 ………………………………………… …………………7 分 3k 2 ? 1

6k 2 1 3 1 ? ? ,解得 k ? ? 因为 AB 中点的横坐标为 ? ,所以 ? 2 …………9 分 3 3k ? 1 2 2
(2)由(1)知 x1 ? x2 ? ? 所以 MA ? MB ? ( x1 ?

6k 2 3k 2 ? 5 , x1 x2 ? 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

???? ????

7 7 7 7 , y1 )( x2 ? , y2 ) ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? y1 y2 ……………11 分 3 3 3 3

7 7 ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 3 3 7 49 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? ( ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? ? k 2 ………………………………………12 分 3 9
? (1 ? k 2 ) 3k 2 ? 5 7 6k 2 49 ? ( ? k 2 )(? 2 ) ? ? k 2 2 3k ? 1 3 3k ? 1 9

- 13 -


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东城区普通校2012-2013学年高三理科数学12月联考试卷

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