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2013大学物理竞赛辅导-力学部分


大学物理竞赛辅导 一 力学部分

1

一.质点运动学
基本内容:
位置,速度,加速度,他们的微积分关系,自

然坐标下切、法向加速度,*极坐标下径向速
度,横向速度,直线运动,抛物运动,圆周运

动,角量描述,相对运动

2

1.运动学中的两类问题
(1)已知运动方程求质点的速度、加速度。这类问题主要 是利用求导数的方法。 ? ? dv ? dr ? dt dt

? r (t )

? v (t )

? a (t )

(2)已知质点加速度函数a=a(x,v,t)以及初始条件,建 立质点的运动方程。这类问题主要用积分方法。 ? ? t v t ? ? dv ? a? ? adt ? dv ? dt 0 v0 t0 t0 ? ? r ? t ? t ? dr v? ? vdt dt ? dr ? r0 t0 0 t

?

?

?

?

? ? ? v ? v ? ? adt ? ? ? r ? r ? ? vdt
0
3

例1 一艘船以速率u驶向码头P,另一艘

船以速率v自码头离去,试证当两船的距 离最短时,两船与码头的距离之比为:

P x l

?v ? u cos? ? : ?u ? v cos? ?
设航路均为直线,为两直线的夹角。
2 2 2
A

?

y B v

u

证:设任一时刻船与码头的距离为x、y,两船的距离为l, 则有 对t求导,得
2l

l ? x ? y ? 2xy cos?

dl dx dy dy dx ? 2x ? 2y ? 2?cos ? ?x ? 2?cos ? ? y dt dt dt dt dt



dx dy ? ?u , ?v dt dt

代入上式,并应用

dl ?0 dt

作为求极值的条
4

件,则得

0 ? ?ux ? vy ? xv cos? ? yu cos? ? ? x?u ? v cos? ? ? y?v ? u cos? ?
由此可求得
x v ? u cos? ? y u ? v cos?

即当两船的距离最短时,两船与码头的距 离之比为

?v ? u cos? ? : ?u ? v cos? ?

5

? ? ? ? ? ? ? ? ?r0 速度关系:v ? v ? ? u 位移关系: ?r ? ?r

2.相对运动及惯性力

?* ? f惯性力 ? ? ma

例2:车厢内水平桌面… (1)车厢具有向上的均匀a0,忽略所有摩擦, 求物体B相对于车厢的加速度。 mA (2)仅考虑B与桌面的摩擦,? ? mA/ mB 车厢具有向右的均匀a0,求物体B相对于 车厢不动时a0的取值范围。

mB a0

6

解(1) 非惯性系,惯性力 mB g ? mB a0 ? (m A ? mB )a
mB a? ( g ? a0 ) m A ? mB

mA

(2)仅考虑B与桌面的摩擦,? ? mA/ mB 车厢具有向右的均匀a0,求物体B相对于 车厢不动时a0的取值范围。 设向下

mB a 0

mB g ? ?mB a0 ? m Aa0 ? 0
mB a0 ? g m A ? ?m B
mA mB 矛盾! a0
7

设向上

m Aa0 ? mB g ? ?mB a0 ? 0
mB a0 ? g m A ? ?m B

?0

mB a0 ? g m A ? ?m B

二、动量定理及守恒定律
基本内容:质点及质点系动量定理,动量守恒定律,
质心及其运动定理

(1) 若 ? Fi外 ? 0 ,则系统无论在哪个方向动量都守恒; i ?1 n 若 ? Fi外 ? 0 ,但系统在某一方向上的合外力为零,则该 i ?1 方向上动量守恒。 (2)碰撞、打击问题中,在Γt→0时,只能忽略恒定的有限 大小的主动外力(例如重力),而随碰撞而变化的被动外 力(例如支持力)一般是不能忽略的。
(3)若遇到变质量系统,要正确分析出t时刻和(t+dt)时刻的 动量。
8

n

1、可变质量系统
例3、一雨滴的初始质量为 m0 ,在重力的影响下,

由静止开始降落。假定此雨滴从云中得到质量,
其质量的增长率正比于它的瞬时质量和瞬时速度

的乘积:

式中为常量。试证明雨滴的速率实际上最后成为

dm ? kmv dt

常量,并给出终极速率的表达式。忽略空气的阻
力。

9

解:由变质量的运动方程:

(m ? dm)(v ? dv) ? mv ? udm ? mgdt
此处
u?0
dm dv ? v?m ? mg dt dt dm ? ? kmv dt dv 2 ? kmv ? m ? mg dt dv ? ? g ? kv 2 dt

速度增加到右边为0时,加速度为0,速度不再变 化。

10

例 : 设在宇宙中有密度为? 的尘埃,这些尘埃相对相对 惯性参考系是静止的,有一质量为m0的宇宙飞船以初速v0 穿过宇宙尘埃 ,由于尘埃粘贴在飞船上,致使飞船的速 度发生变化,求飞船的速度与其在尘埃中飞行时间的关系, 为便于计算,设想飞船的外形是面积为S 的圆柱体。
解 以 m0和v0 为飞船进入尘 埃前的质量和速度,m和v为 飞船在尘埃中的质量和速度, 那么由动量守恒有

v m

此外,在 t ? t ? dt 时间内,由于飞船在尘埃间 作完全非弹性碰撞,而粘贴在宇宙飞船上尘埃的 质量即飞船所增加的质量为
11

m0v0 ? mv

dm ? ?Svdt ? ?
从而得

m0v0 v
2

dv
2

?Svdt ? ?
dv v3

m0v0 v
t

dv

由已知条件上式积分为

?
1 2

?
(

v

v0

?
1 2 v0

?S
m0v0

?
)

0

dt t v0
12

1 v2

?

)?

?S
m0v0 1 2

v?(

m0 2 ?Sv 0 t ? m 0

显然,飞船在尘埃中飞行的时间愈长,其速度就愈低。

? ? ? r dm 2、质心系统 r ? C m ? ?
P ? mv C

—质点系的总动量 — 质心运动定理

? ? F外 ? maC
? ? dLc Mc ? dt

? ? ? ? LO ? Lc ? rc ? p
1 EK ? m? c2 ? EKC 2

克尼希定理:

1 m? c2 质心的动能—整体随质心运动 2

EKC 质点系相对于质心的动能

13

例: 求半径为R的匀质半薄球壳的质心。
解 : 选如图所示的坐标轴,由于球壳对Oy轴对称, 质心显然位于图中的Oy轴上,在半球壳上取一圆环, 圆环的平面与Oy轴垂直。 y
Rsin? Rd?

圆环的面积为 ds ? 2?R sin ?Rd? 圆环的质量为

R
O

?

d?

Rcos? x

设匀质薄球壳的质量面密度为?
2

dm ? ? 2?R sin?d?
14

y Rsin? Rd?

由图可知匀质薄球壳 的质心处于

R O

?

d?

Rcos?
x

yC ? ?

ydm m?

? ?

y? 2?R 2 sin?d?

? 2?R 2

由于 y ? R cos? 所以上式为

1 yC ? ? R cos? sin?d? ? R 0 2 ? ? 即质心位于 yC ? R 2 处,其位置矢量为 r ? R 2 j
π2

15

例(19th,4)质量分别为m1 和m2 的 两物块与劲度系数为 k 的 轻 弹簧构成系统如图,物块与物体(平面)光滑接触,右侧水平外 力使弹簧压缩量为 l 。物体静止。将右侧外力撤去,系统质心 C 可获得的最大加速度为 ,可获得的最大速度值为 。 解: ①质心 的最大加速度 k m1 m1 m2 F

N ? ? kx ? (m1 ? m2 )ac
k ac ? ? x m1 ? m2
f

N

x?l
ac max kl ? m1 ? m2

F m2

f
16

②质心 的最大速度 m2过平衡位置时的速度

k m1 m2

F

1 2 1 2 kl ? mv 2 max 2 2

v 2 max

k ? l m2
=0

vc max

km 2 m1v1 ? m2v 2 l ?( )max ? m1 ? m 2 m1 ? m2
17

例:(11th,12)质量为 M 的刚性均匀正方形框架,在某边的中点 开一个小缺口,缺口对质量分布的影响可以忽略。将框架放在以 纸平面为代表的光滑水平面后,令质量为m 的刚性小球在此水平 面上从缺口处以速度 v 进入框内,图中v 的方向的角 ? =45° ,设 小球与框架发生的碰撞均为无摩擦力的弹性碰撞,试证:(1) 小球必将通过缺口离开框架。(2)框架每边长为a,则小球从进 ? 入框架到离开框架,相对于水平面的位移为: 2 2amv 解:( 1 ) ( M ? m )v

? v
2 a 2

?

? v?

? v

?

18

(2)

? ? ? MrM ? mrm rc ? ( M ? m)
. ? ? Vc ? r C ?

. . ? ? . ? M rM?mrm rc ? ( M ? m)

m ? v m?M

? v

?

? v?

小 球在框架内运动的时间为 T
2a 2 2 T ? 4? ? a 2 v v

在T 时间间隔内,质心的位移为

? ? S ? vc ? T ?

2 2ma ? m ? 2 2 v v? a ? ( m ? M )v m?M v
19

三、功与能
基本内容:
功,动能定理,功能原理,机械能守恒定律

(1)一对内力功之和仅由它们的相对位移决定,
这一结论给解题带来许多方便。

(2)势能函数的形式与势能零点的选取有关。
(3)应指明系统的范围,以便区分内力和外力。 对于内力还要分清保守内力和非保守内力,并 判断守恒条件是否成立。
20

例:水平放置柱形桶盛水高度为H,底部有一 小孔,水在小孔中的流速v =?

伯努利方程
p ? ?gy ? ?v ? 常量 p0 ? ?gH ? 1 ? ? 0 2 2 1 ? p0 ? ?g ? 0 ? 2 ? ? v
1 2 2

1

. .2

H

v ? 2 gH

第十九届题(4分) S

v ? 2gy

dV ? vS dt
21

23届填空5

26届填空2

四、刚体力学
基本内容: 刚体运动学,角量描述,定轴转动定理,转动惯量, 转动动能定理,对轴的角动量定理及守恒定律,刚 体平面运动。

22

例:平行轴,垂直轴定理,转动动能定理 一个半径为R,质量为m的硬币,竖直地立放在
粗糙的水平桌面上.开始时处于静止状态,而后硬 币受到轻微扰动而倒下.求硬币平面与桌面碰撞前 (即硬币平面在水平位置)时质心的速度大小.(已 知质量为m,半径为R的圆盘对沿盘直径的轴的转动 惯量为)

23

解:对硬币,由动能定理有
而 可得

1 mgR ? J? 2 2 1 5 2 2 J ? mR ? mR ? mR 2 4 4
8g ?? 5R
v c ? ?R ? 8Rg 5

24

关于刚体的平面运动 23届填空4 ?人、梯质量M, 人爬到中间, ?的临界值?
A
FA

基本方法:力平衡 +力矩平衡

x: FA ? ?FB

y: 2 Mg ? FB
2 Mg

FB

60° ?FB B

l 1 3 B点为轴 2 Mg ? FA l 22 2 3 ?? 6
25

纯滚动(无滑动的滚动)
? 质心的速度为 vc ? 质心的加速度为 ac
相对于质心系的角加速度为 ? 相对于质心系的角速度为 ?

接触点对地的速度为零

vc ? R?

ac ? R?

? vc
A B

26

例: (18th, 8)半径为R 的圆环静止在水平地面上。 t =0 时 刻开始以恒定角加速度 ? 沿直线纯滚动。任意时刻 t > 0,环 上最低点 A 的加速度的大小为 , 最高点 B 的加速度 的大小为 。

解: 质心系中

v2 2 ? R? 2 t 2 ? ? an ? R? R
最低点A,地面系中

a? ? R? t
B
向左 向右

? ? ? at ? at? ? ac

a? ? R? t

at ? 0
an ? R? 2t 2
合加速度的大小

ac ? R?

? vc
a? t
A

a ? R? 2 t 2
27

最高点B

? ? ? at ? at? ? ac at ? 2R?

a? ? ac ? R? t

an ? R? 2t 2

a ? ( 2 R? ) 2 ? ( R? 2 t 2 ) 2 ? R ? 4 ? ? 2 t 4
B

? vc
A

28

例、质量为m,半径为R 的均匀球体,从一倾角为?的斜面上滚 下。设球体与斜面间的摩擦系数为m,求使该球体在斜面上只

滚不滑时, ? 角的取值范围。
解:球体对中心轴的转动惯量为Jc = (2/5)mR2 质心沿斜面平动,有: m gsin? - f = mac N - mgcos? = 0 绕质心转动有: 只滚不滑时有条件: f R = Jc ? ac = R?

N

ac
θ mg

f

由以上四式可得:
欲使物体只滚不滑,则必须是:f ≤? N =? mg cos? 所以有 ( 2/ 7 ) m gsin? ≤? m g cos? tg? ≤3.5 ? ,? ≤tg-1(3.5?)
29

例:( 18th, 15 )均匀细杆AOB 的A 端,B 端和中央位置O处 各有1个光滑的小孔先让杆在光滑的水平大桌面上绕 O 孔以角 速度 ?。作顺时针方向旋转如图(图平面为大桌面)。今将一 光滑的细杆迅速插入 A 孔,棍在插入前后无任何水平方向的移 动,稳定后,在迅速拔A棍的同时,将另一光滑细棍如前所述 插入B 孔,再次稳定后,又在迅速拔出 B 棍的同时,将另一光 滑细棍如前所述插入 O 孔。试求:最终稳定后,细杆AOB 绕 O 孔旋转方向和旋转角速度的大小。 解:

1 1 2 2 Io ? ml , I A ? I B ? ml 12 3

① 插入A孔前后

? ? ? LA ? LA

? ? ? ? LA ? Lc ? rc ? P
m,l

LA ? Lc ? I o?0 ? LA ? I A ? A

A

O

B
30

LA ? Lc ? I o?0
LA ? I A ? A
②插入 B 孔前后

?

Io 1 ?A ? ?0 ? ?0 IA 4
A O

m,l

? ? ? ? LB ? Lc ? rc ? P l LB ? I o ? A ? muOA 2
1 LB ? ? ml 2? 0 24

?B

? rc

B

uOA

l ? rc ? A ? ? A 2

? vc

LB ? I B ? B

?

1 ? B ? ? ?0 8
反向转了

? ? rc ? P ? Lc

31

③再次插入O孔前后

LO ? IO?B
1 ?0 ? ? B ? ? ?0 8 ?

Lo ? I o ?o

?

?

m,l 逆时针转 A O B

32

例 有一绳索围绕在圆柱上,绳索与圆柱间的静摩擦系数 为? ,绳两端的张力 FTA 和 FTB 间的关系,设绳索的质 量略去不计。 解 由题意知,绳索处于静止,所以绳索的加速度 ? 取如图所示的坐标,根据牛顿定理,微小段绳索ds在坐标 y 轴上的分量分别为
B (a) FTB ?

a?0
A

Ff (b) FTA FT

FN ds
d?/2 FT+dF x

O'

d?/2

d? (c)
O'

m

m'

33

根据牛顿定理,微小段绳索ds在坐标轴上的分量分别为

(FT ? dFT ) cos
由摩擦力定义

d? 2

? FT cos

d? 2

? Ff ? 0

? ( FT ? dFT ) sin ? FT sin ? FN ? 0
d? 2 d? 2

F f ? ?FN

考虑到ds相对圆心O的张角 ? 很小,即

sin
2

d? 2
T

?

d? 2

, cos

d? 2

?1

所以 1 dF

d? ? uFT d? ? dFT
34

上式略去无限小量 d?dFT 得

?


FTA dF T FT F
TB

? ? ? d?
0
? ??

?

FTB ? FTAe

上式表明,由于绳索与圆柱间存在摩檫力,所以, 绳索两端的张力之比 FTB 是随张角 ? 按指数规 FTA 律而变化的。

35

例:(11th,15)质量为2m 的匀质圆盘形滑轮可绕过中心O 并 与盘面垂直的水平固定光滑轴转动,转轴半经线度可忽略,物 体1、2的质量分别为m 和2m ,它们由轻质、不可伸长的细绳 绕过滑轮挂在两侧。细绳与滑轮间的摩擦系数处处相同,记为 ?,开始时,滑轮和两物体均处于静止状态,而后若? =0则滑 轮不会转动;若? ≠ 0,但较小时,滑轮将会转动,同时与绳之 间有相对滑动;当 ? 达到某临界值?0 时,滑轮与绳之间的相对 滑动刚好消失,试求?0 值。 解: T1 ? m1 g ? m1a

m1 ? m m2 ? 2m
T2 T1

m2 g ? T2 ? m2a

1 T2 R ? T1 R ? J? ? 2mR2? 2

a ? R?

m2 g

m1 g

36

解:

T1 ? m1 g ? m1a m2 g ? T2 ? m2a

m1 ? m m2 ? 2m
T2 T1

T2 R ? T1 R ? J? ? mR2 ?

a ? R?

T1 ? mg ? ma
2mg ? T2 ? 2ma
T2 ? T1 ? ma

1 a? g 4 5 T1 ? mg 4 3 T2 ? mg 2

m2 g

m1 g

37

绳子的质量忽略不计
? ? Fi ? 0
T (? ? d ? )

d? 2

? dN

df
d?

d? d? T (? ? d? ) cos ? df ? T (? ) cos 2 2 d? ? 0

?

df ? T (? ? d? ) ? T (? ) ? dT
d? d? dN ? T (? ? d? ) sin ? T (? ) sin 2 2
d? d? sin ? 2 2

T (?)

d? d? dN ? T (? ? d?) ? T (?) 2 2
对临界?值

dN ? Td ?

df ? ?0dN

38

例: 如图所示,一圆柱体质量为 m, 长为 l ,半径为 R,用两根轻软的绳子对称 地绕在圆柱两端,两绳的另一端分别系在天 花板上。现将圆柱体从静止释放,试求: (1)它向下运动 的线加速度; (2)向下加速运 动时,两绳的张力。

l

39

解:设系统做纯滚动
mg 2T =ma c mg R = J ? 1m 2 m 2 ? =(2 R + R ) T l T mg

3 m 2? mg R = R 2 2g ac= R? = 3

2 g ?= 3R 1m g T= 6

40

L 1 2 绕A点转动 mg ? mL ? 2 3 mg ? T ? maC L aC ? ? 2

A

T =?

L mg

1 T ? mg 4

?
B
41

例:

例题 如图所示,一质量 m=1.2×104㎏的登月飞船,在离 月球表面高度h=100km处绕月球做圆周运动。飞船采用如下 登月方式;当飞船位于图中点A时,它向外侧短时间喷气, 使飞船与月球相切地到达点B,且 OA OB 垂直,飞船所 与 喷气体相对飞船的速度为u=1.00×104m·-1 , 已知月球的半径 s R=1700km;在飞船登月过程中。月球的重力加速度可视为 常数 g=1.62m·-2,试问登月飞船在登月过程中所需消耗的 s 质量 ?m 是多少?
解 :飞船在点A的速 度为 v0,由万有引力 定律和牛顿定律,有
vB R B vA v0 ?v A u

O

G ( R? h)2 ? m
mM m

2 v0 R? h

h

式中mM为月球的质量,
42

又月球表面附近的重力加速度为

vB R

B

g?G
由上两式可得
代入数据得

M R2
2

vA

v0

R 2 v 0 ? ( R ?g ) h

O

?v A

u

v0 ? 1612 ? s m

?1

h

当飞船在点A以相对速度 u向外侧喷气的短时间里,飞船 的质量减少了 ?m 而为 m',并获得速度的增量 ? v ,其方 向与 u 相反,且使飞船的速度变为vA,其值为
2 v A ? (v0 ? ?v 2 )1 2 2 2 ?v ? (v A ? v0 )1 2

当飞船即将喷气时,其质量由 m ‘和?m 两部分组成,其 中的m ‘在点A和点B处只受有心力作用。故由角动量守恒 定律有
43

m?v0 ( R ? h) ? m?vB R
代入数据得

vB ?

R? h R

v0 ? 1709 ? s ?1 m

飞船在点A喷出气体后,在到达月球表面的过程中,飞 船和月球系统的机械能守恒,故有
1 2

m?v ? G
2 A

m M m? R? h m

? m?v ? G
1 2 2 B mM R

m M m? R

2 2 v A ? v B ? 2G R ?Mh ? 2G

式中G=6.67×10-11N· 2· -2 ,月球质量 mM=7.35×1022㎏, m ㎏ 并将已知数据代入上式得

v A ? 1615 ? s m
所以

?1

2 2 ?v ? (v A ? v0 )1 2 ? 100m ? s ?1
44

若在飞船喷气的短暂时间内,不计月球的引力作 用,则可认为飞船在喷气过程中动量是守恒的, 于是有 ( ?m )u ? m?v

?m ?
代入数据得

m?v u

?m ?

1.20?10 4 ?100 1.00?10 4

kg ? 120 kg

软着陆至少携带的燃料

45

例题 如图所示,有一质量很小的长度为l 的均匀细杆,可 绕通过其中心点O并与纸平面垂直的轴在竖直平面内转动, 当细杆静止于水平位置时,有一只小虫以速率v0垂直落在距 点O为 l 4 处,并背离点O向细杆的端点A爬行。设小虫的质 量与细杆的质量均为 m。问:欲使细杆以恒定的角速度转动, m 小虫应以多大速率向细杆端点爬行。
v0
O l/4

?
r

A

P
A

解 小虫落在细杆上,可视为完全非弹性碰撞,且碰撞时间极短. 重力的冲量矩可略去不计,细杆带着小虫一起以角加速度 ? 转 动,在碰撞前后,小虫与细杆的角动量守恒,故有
46

? [ ml ? m( ) ]? 12 v0 ?? ? 故由上式可得细杆角速度为 7 l mv
l 0 4 1 12 2 l 2 4

作用在细杆和小虫系统的外力矩仅为小虫所受的重力矩,即

M ? mgr cos?
故从角动量定律可得 M ?
dL dt

?

d dt

( J?) ? dJ ? dt

J?
所以 联立求解得
dJ dt

1 12

ml 2 ? mr 2

? 2mr dr dt mgr cos? ? 2mr? dr dt
dr dt

考虑到 ? ? ? t 上式为

?

g 2?

7 l?g 12 v0 cos?t ? cos( 7 l t ) 24v0
47

例:一长度为l的轻质细杆,两端各固结一个小球A、

B(见图),它们平放在光滑水平面上。另有一小球
D,以垂直于杆身的初速度v0与杆端的Α球作弹性碰

撞(AB与AD垂直).设三球质量同为m,求:碰后
(球Α和Β)以及D球的运动情况.
B
v0
D

l

A

48

解:设碰后刚体质心的速度为vC,刚体绕通过质心的 轴的转动的角速度为?,球D碰后的速度为v ?,设它 们的方向如图所示. 因水平无外力,系统动量守恒: mv 0 ? mv ? ? (2m)v C 弹性碰撞,没有能量损耗,系统动能不变;
1 1 1 1 l 2 2 mv0 ? mv ?2 ? (2m)vC ? [2m( )2 ]?2 2 2 2 2 2

系统对任一定点的角动量守恒,选择与A球位置重合的 定点计算.A和D碰撞前后角动量均为零,B球只有碰 后有角动量,有 l
0 ? mlv B ? ml[?( ) ? vC ] 2

各式联立解出:

v0 v0 v ? ? 0; vC ? ; ? ? 2 l
49

即碰后,D球静止,刚体(球A、B及细杆)以速度vC 平移并绕通过质心的轴以角速度? 转动.

行星绕恒星的椭圆运动
b 一、能量和角动量 P2 ①

v1

a

c
2 2

P1
2

mv1 (a ? c ) ? mv2 (a ? c )

1 Mm 1 Mm 2 2 mv 1 ? G ? mv2 ? G 2 a?c 2 a?c
由①

a ?c ? b


a?c v1 ? v 2 ( ) a?c
2 2 2

4GMc 由② v 1 ? v ? b2

(a ? c ) 2 2 v2 ? GM 2 ab

50

(a ? c ) 2 2 v2 ? GM 2 ab
b

v1 P2 a c P1

GM L ? m(a ? c )v2 ? mb a
1 Mm GMm 2 E ? mv2 ? G ?? 2 a?c 2a

a 2 ? c 2 ? b2

b2 二、椭圆在 P1 点的曲率半径为 ? ? a
三、椭圆轨道的偏心率为

c a 2 ? b2 e? ? a a
51

四、轨道按能量的分类

2E ? h ? e ? 1? ? 2? m ?k ?

2

E < 0,则偏心率 e < 1, 质点的运动轨道为椭圆。

E = 0,则偏心率 e= 1, 质点的运动轨道为抛物线。
E > 0,则偏心率 e>1, 质点的运动轨道为双曲线。

以地球为例:
U(r) 0 K=E-U E1<0 RE rmax E2>0 r

52

例:行星原本绕着恒星S 做圆周运动。设S 在很短的时间内发 生爆炸,通过喷射流使其质量减少为原来的质量的 g 倍,行星 随即进入椭圆轨道绕S 运行,试求该椭圆轨道的偏心率 e 。提 示(记椭圆的半长,半短轴分别为A、B ,则 A2 ? B 2 e? ) A 解:变轨后 P 或为近地点,或为远地点 v0 先考虑 P 为近地点,后考虑P 为远地点的情况 P mv 2 0 GM0 m 对圆轨道 P 点: ? 对椭圆轨道 P1 点:

A?C

( A ? C )2

S

mv 2 0

?

GgM 0 m ? ( A ? C )2
2

v1
A P2 B C P1
53

B ?? A

A2 ? B 2 ? C 2

GM0 m ? A ? C ( A ? C )2 mv 2 0 GgM 0 m ? ? ( A ? C )2

mv 2 0



B2 ?? A

A2 ? B 2 ? C 2



?
(A? C)

?

1

g

B2 1 ? A( A ? C ) g

A? C 1 ? A g

e?

A2 ? B 2 C ? A A
1? g e? g
P2 C

v1 P1
54

对P2 点
GM0 m ? A ? C ( A ? C )2 mv 2 0 GgM 0 m ? ? ( A ? C )2 mv 2 0
P2 C

v1
P1

A?C 1 ? A g

因为 g < 1 ,因此上式不成立 。 故 行星变轨后不可能处于P2点,只能处于P1 点。
55

解二:椭圆轨道的角动量

mv1 ( A ? C ) ? mv2 ( A ? C )



1 Mm 1 Mm 2 2 mv 1 ? G ? mv 2 ? G 2 A?C 2 A?C



GM L ? m( A ? C )v2 ? mB A
圆轨道的角动量

M ? g M0

L ? mvR ? m GM0 R
R ? A?C
P2 C
56

v1
P1

角动量守恒

GgM 0 ? m GM0 ( A ? C ) L ? mB A

gB 2
A

? A?C

g( A ? C ) ?1 A
2 2

A2 ? B 2 ? C 2

C e? ? A
1? g e? g

A ?B A

v1
A P2 B C P1
57

狭义相对论
历届考题中,狭义相对论题稍难
填空题 分值低

58 58

洛伦兹正变换

洛伦兹逆变换

g?

1 1? ?
2

?

1 v 1? 2 c
2

?1

x? ? g ( x ? vt )
y? ? y
z? ? z

x ? g ( x? ? vt' )
y ? y?
z ? z?

v ? ? g (t ? 2 x ) t c

v t ? g ( t ? ? 2 x? ) c

v ?? c

两事件时、空间隔:S中:?t , ?x
? S’中: t ' , ?x'

?x? ? g (?x ? v?t ) v ? t ? ? g ( ?t ? 2 ?x ) c

?x ? g (?x? ? v?t ' ) 狭义相对论 v 时空观的基 ?t ? g ( ?t ? ? 2 ?x ? ) c 本关系! 59
59 59

即为不同惯性系中相同对象的时、空间隔的关系

关于狭义相对论的时空效应,解题时应注意
(1)洛仑兹变换才是相对论时空观的普遍公式,对于从任意 两个惯性系测量相同事件的时空坐标和时空间隔都适用;
(2)弄清“动长缩短”和“动钟变慢”公式是在什么前提 下如何从洛仑兹变换得到的;不能乱用这两个公式;

l?

1

g

l0

l0:本征长度(或静止长度、固有长度) l:运动长度 (如何测量?)
运动长度必须是运动参照系中同一时刻测 得两端点坐标之差

?t ? g ?0

?0
?t

本征(静止、固有)时间(如何测量?) 运动时间
60

静止时间必须是同一地点测得的时间间隔 60

第十九届第13题(P173):静长l0 的飞船以恒定速度v相对某 惯性系S高速运动,从飞船头部发出一光信号,飞船上观察者 认为需经时间Δ t’=______ 到达尾部B;S系中的观察者认为 需经时间Δt=______ 到达尾部B。

l0 解:取飞船为S’系,则飞船上观察者求出?t' ? c

根据运动长度收缩效应知,S系中观察者测得飞船长度为:

?l ?

l0

g

g?

1 v 1? 2 c
2

,

l l0 v2 故?t ? ? 1? 2 c c c

对吗?

注意:对S的观察者,飞船头部发出光信号和尾部收到光信 号肯定不在同一时刻(光信号走的距离≠飞船动长)。故上 应为: 式解答错误。

v ? ?t ? g ( ?t '? 2 ?x ') c

l0 v l0 ??t ? g ( ? 2 l0 ) ? c c c

c?v c?v

l0 ?t' ? , ?x' ? ? l0 c

61 61

解 (1)根据相对论, 在S系中空心管的长度为:
粒子相对于S系的速度为

c 因此在S系中粒子不动, 管的B端经过粒子时t=0, 则管的A端经过粒子的时刻t1为

l ? l0 1 ? ? 2 ? l0 1 ? (? / c) 2 ?? ? ? ?S1 ? ?0 ? 1? 2 ?

t1 ? l / ? ? l0 1 ? (? / c) 2 / ?

(2) 粒子在管内反射后相对管子的速度为v, 则粒子相对于S系的速度为 ? ?? 2? ?S ? ? ? ?2 1? 2 ? 1? 2 c c ?2 ' ' 在S系粒子从A端到B端所用时间为满足 ?S 2t2 ? ?t2 ? l ? l0 1 ? ( 2 ) c

62

? t ? ?t ? l ? l0 1 ? (
' S2 2 ' 2

?2
c
2

) /[2? /(1 ?

?2
c
2

)]

[2? /(1 ?

?
c
' 2

' ) ? ? ]t2 ? l0 1 ? ( 2

2

?
c

2 2

)

[2? ? ? (1 ?

?2
c
2

)]t ? l0 (1 ?

?2
c
2

) 1? (

?2
c
2

)

?

? (1 ?
' 2

?2
c
2

)t ? l0 (1 ?
' 2

?2
c
2

) 1? (

?2
c
2

)

由此可得在S系粒子从A端到B端所用时间为 在S系粒子从B端到A端所用时间为

t ? l0 (1 ?

?2
c
2

) /[? 1 ? (

?2
c
2

)]

t1 ? l / ? ? l0 1 ? (? / c) 2 / ?

因此, 在S系看粒子从B到A再到端所用时间为
l0 ? 2 l0 ? 2 ?2 t2 ? t1 ? t ? 1 ? ( 2 ) ? (1 ? 2 ) / 1 ? ( 2 ) ? c ? c c
' 2

2l0 ?2 ?2 ? [1 ? 2 ? (1 ? 2 )] ? c c ?2 ?2 ? 1? ( 2 ) ? 1? ( 2 ) c c l0
63

相对论速度正变换
ux ? v ux ' ? v 1 ? 2 ux c
uy uy ' ? v g (1 ? 2 u x ) c uz uz ' ? v g (1 ? 2 u x ) c

相对论速度逆变换
u x '? v ux ? v 1 ? 2 ux ' c
uy ' uy ? v g (1 ? 2 ux ' ) c uz ' uz ? v g (1 ? 2 u x ' ) c

相对论速度变换在低速极限下回到伽利略变换 07年第24届竞赛中第17题(2)、 04年第21届填空题10、08年填空题12(2)等 都要用到相对论速度变换关系。 64 64

04年第21届填空题10: 两个在同一直线上沿相反方向以速度V 飞行的飞船A(向左)、B(向右),飞船A中的观察者看到相 对其静止的中子的寿命为τ,那么飞船B中的观察者看到此中子 的寿命为_____; A船看到B船的速度为______.

解:取B为S’系,S’相对于S以V沿x轴正向运动。 S中A的速度为uA=-V,根据洛伦兹速度变换, S’中A的速度(即B看到A的速度)为:
uA ' ? uA ? V ?V ? V ?2V ? ? uA V V2 1? 2 V 1? 2 V 1? 2 c c c

y A

y' B

u 故A看到B的速度为:A看B x (即B相对A的速度) 飞船B中的观察者看到静止在A中的中子的寿命为:

2V ? ? uA ' ? V2 1? 2 c

s

s'

x'

? B ? g? ?

1 u 1? c
2 A看B 2

? ? .....
65 65

狭义相对论动力学基础
相对论的质量
m( v ) ? m0 1? v c2
2

? m0g ? m0

相对论的动量

? ? p ? mv ?

m0 v2 1? 2 c

? ? v ? g m0v

相对论的能量

E ? mc2 ? E0 ? Ek

Ek ? mc2 ? m0c 2

相对论总能量守恒、相对论总质量守恒 Ei ? ? ( mi c 2 ) ? ? ( Eik ? mi 0c 2 ) ? 常量 在孤立系统内: ?
i i i
66

也即:

?m
i

i

? const 不是静质量守恒!

08年填空题12:惯性系S、S’间的相对运动关系如图, 相对速度大小为v。一块匀质平板开始时静止地放在S’ 系的x’y’平面上,S’系测得其质量面密度为σ0, S系测得其质量面密度便为σ1=________σ0. 若平板相对于S’系沿x’轴正方向以匀速度v运动, S系测得其质量面密度则为σ2=______σ0.
解(1)设平板的静质量为m0,静止面积 为S0,则 m0 ?0 ?
S0

y S S' 0 0'

y'

因平板相对于S系以速度 v 沿x轴正 向运动,故S测得其面密度为:
m0 m ?1 ? ? S
2 2

v
x x'

v 2 ?1 1? v / c ? (1 ? 2 ) ? 0 c 1 ? v 2 / c 2 S0

67 67

08年填空题12:惯性系S、S’间的相对运动关系如图, 相对
速度大小为v。一块匀质平板开始时静止地放在S’系的x’y’平面 上,S’系测得其质量面密度为σ0, S系测得其质量面密度便 为σ1=________σ0. 若平板相对于S’系沿x’轴正方向以 匀速度v运动,S系测得其质量面密度则为σ2=______σ0.
解(2)若平板相对于S’系以速度 v 沿x’轴正向运动, 而S’相对于S又以 v 沿X轴正向运动。
u x '? v 根据洛伦兹速度变换:u x ? v 1 ? 2 ux ' c

其中 ux ' ? v y S S' 0 0' y'

得平板相对于S系的运动速度为:
2v v?v ux ? ? v v2 1? 2 v 1? 2 c c

v
x
68 68

由(1)的结果求出S系测得其面密度:
2 u x ?1 c2 ? v 2 2 ? 2 ? (1 ? 2 ) ? 0 ? ( 2 2 ) ? 0 c c ?v

x'


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