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寻找等式与不等式的桥梁--探讨一道竞赛题的典型解法


2006年第1期

中学数学月刊

?43?



令y=Sin4詈+sin4警+sin4警+

sin4等,则

可得£≥L±茅鱼或t≤学(不合
要求,舍孝’,

z—y…。詈+co。荨+co。警+ 咖等锄
z+y=4

一丢(sin2{+sin2等+ sin2警+sin2等)_3.
解之,z:要.


竿.
口+6

故丰=与P一}扣
证法2

南一者去+云南≥

由条件有了瓮=矿}+
6c+口c

i铑.令丰=圳4
如十口c 施+缸+2口f‘可口+f



^’朋V…¨“ 6=撇+


寻找等式与不等式的桥梁
——探讨一道竞赛题的典型解法
厉倩黄佳 (湖南省长沙市十五中410007)

因此愚≥而鲁葛毛≥
(口+c)z
一 1

撇+∥+坠掣忌+丢‘
解得志≥』墅#l
或是≤

2005年湖南省数学竞赛压轴题为:

了毛,求证:丁瓮≥竿.
法.

若正数日,6,f满足矿卺一丁篝一

证法3

令圭=是,5一口+6+f,已


’口十f



知可变为愚一i笔+i三一一1+r三

这是从等式开始的解证多元分式不等式 的问题,较新颖.考生的得分率很低,而且标 准答案也不易,因而值得探讨其典型解证方

2+s?熹=揣一南,
S—C


一1十;_三=一2十s(f兰i+f与)≥一
j一口 S—C』’

证法1(标准答案)由条件有了名=

解得五≥掣或正≤二孚(舍
评注 推广 此法具有代表性,适于推广.

口一z,则口一苎字,6一兰半,c= 羔字,从而原式变为量字一
芝譬:竺粤,
2z 2v



了牟弓+矿篝,令日+6一z,6+c—y,f+

若口i∈(o,+oo),s=∑口;(i=

三+1≥牟+1. 令半=堋4 f≥÷+1,


即兰#=旦#+生#一1≥考+





去.则 五多———1而=币—一。
口1

1,2,…,行,咒≥3),且_兰l_一F兰2_+…十
、 ̄/5n2—12咒+8一(以一2)

z寸》

万   方数据

(_,+去)

证F兰==(一1+F兰ij+…+

?44?

中学数学月刊

2006年第1期 研究发现,对椭圆、双曲线也有类似的结

一c咒叫十s(击+...+去)
≥一(斗一1)+s?
(以一1)s—n2一…一口。

论. 命题2

在椭圆季+芳一1(以>6>o)

一!竺二!!!璺!±:::±竺!!
(竹一1)(s一口.)

(押一1)5一口2一…~口。

中,自长轴的一个端点D,作互相垂直的两直 线交椭圆于A,B,连A,B交z轴于E点,则E 为定点.

解得击≥鱼三筹掣
(因为拦三>o)?
一个结论的两个推广
刘剑 (江苏省南京梅园中学210018) 解析几何中有这样一个结论,即 命题1 在抛物线y2—2户z(p>o)中,

即尚≥i芒‰,
(以一1)口】+(咒一2)(s—n1)’

2瓦二_『石—1万=万万习’

5一口1(行一1).—生+(恕一2)

薹攀孑_名芙◇ 渺
线A8:z一志y+优,代人旦娑—譬k—书
薯+等乩

故y。+y。=i筹,

过顶点0作互相垂直的两直线交抛物线于A, B两点,连A,B交z轴于E点,则E为定点.

故(1+是z、?笔筹一(优愚+口足)? 芝鬻≠娅肛 淼+m2+2口优+口2=o,
B(z2,y2),直线AB:z 一点y+删,代入y2一



l∥fF
I、k






2pz,

o腻I

得y2—2户屉y—

故优=一警芋幸鲁或m=_n(舍),

即E点坐标为(一帮,。)是定
在双曲线享一著一1(口>o,6

命题3

万   方数据

寻找等式与不等式的桥梁--探讨一道竞赛题的典型解法
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 厉倩, 黄佳 湖南省长沙市十五中,410007 中学数学月刊 THE MONTHLY JOURNAL OF HIGH SCHOOL MATHEMATICS 2006(1)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsxyk200601021.aspx


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