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广西桂林市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 (Word版含解析)


广西桂林市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)已知集合 A={1,2,3},B={2,3,4,5},则 A∩B=() A.{2,3} B.{1,4,5} C.{2,3,4} 3,4,5} 2. (5 分)函数 f(x)=lg(x﹣1)的定义域为() A.(0,+∞) B.(﹣∞,

0) C.(1,+∞) 1) 3. (5 分)过两点 M(﹣4,1) ,N(0,﹣1)的直线的斜率为() A.﹣2 B.﹣ C. D.

D.{1,2,

D.(﹣∞,

4. (5 分)已知球的表面积为 8π,则它的半径为() A. B.1 C. D.2

5. (5 分)函数 f(x)=x﹣2+lnx 的零点所在的一个区间是() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3)
x

D.(3,4)

6. (5 分)当 x<0 时,函数 f(x)=(2a﹣1) 的值恒大于 1,则实数 a 的取值范围是() A.( ,1) 1) 7. (5 分)下列函数中,在其定义域上既是奇函数又是增函数的是() A.y=x
2

B.(1,2)

C.(1,+∞)

D.(﹣∞,

B.y=x

﹣1

C.y=x

D.y=x

3

8. (5 分)下面不等式成立的是() 2.5 3 A.1.7 >1.7 3.1 3.1 C. 1.7 <0.9

B. log0.23<log0.25 D.log30.2<log0.20.3 ,则异面直线 BD1 与 CC1 D.90°

9. (5 分)长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC= ,AA1= 所成的角等于() A.30° B.45° C.60°

10. (5 分)一个空间几何体的三视图及尺寸大小如图所示,若侧视图为正三角形,则它的 体积是()

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A.24

B.8

C.32

D.16

11. (5 分)设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是() A.若 α⊥β,m?α,n?β,则 m⊥n B. 若 α∥β,m?α,n?β,则 m∥n C. 若 m⊥n,m?α,n?β,则 α⊥β D.若 m⊥α,m∥n,n∥β,则 α⊥β 12. (5 分)已知函数 f(x)=e ﹣ (x<0)与 g(x)=ln(x+a)图象上存在关于 y 轴对称 的点,则实数 a 的取值范围是() A.(﹣∞, , ) ) B.(﹣∞, ) C.(﹣ , ) D.(﹣
x

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)点 A(1,1)到直线 x﹣y+2=0 的距离为. 14. (5 分)已知 f(x)是定义域在 R 上的奇函数,当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x +2x,则 f (﹣1)=. 15. (5 分)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,直线 CB1 与平面 BDD1B1 所成的角的大小为. 16. (5 分)在大小为 60°的二面角 α﹣1﹣β 中,已知 AB?α,CD?β,且 AB⊥l 于 B,CD⊥l 于 D,若 AB=CD=1,BD=2,则 AC 的长为.
2

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分)计算: (1) (2 ) (2) +0.027 ; .

18. (12 分)设直线 l1:x+3y+1=0,l2:x﹣y﹣7=0 的交点为点 P.
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(1)求点 P 的坐标; (2)求过点 P 且与 l1 垂直的直线 l 的方程. 19. (12 分)已知函数 f(x)=logax(a>0,且 a≠1) . (1)若函数 f(x)在区间[ ,2]上的最大值为 2,求 a 的值; (2)若 0<a<1,求使得 f(2 ﹣1)>0 的 x 的取值范围. 20. (12 分)某商品在近 30 天内每件的销售价格 p(元)与时间 t(天)的函数关系是 p= ,该商品的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函数关系
x

是 Q=﹣t+40(0<t≤30,t∈N) ,求这种商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大 的一天是 30 天中的第几天? 21. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60°, E、F 分别是 AP、AD 的中点,求证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.

22. (12 分)已知函数

(a>1) ,求证:

(1)函数 f(x)在(﹣1,+∞)上为增函数; (2)方程 f(x)=0 没有负数根.

广西桂林市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)已知集合 A={1,2,3},B={2,3,4,5},则 A∩B=() A.{2,3} B.{1,4,5} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4,5} 考点: 交集及其运算.
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专题: 集合. 分析: 由交集的运算和题意直接求出 A∩B. 解答: 解:因为集合 A={1,2,3},B={2,3,4,5}, 所以 A∩B={2,3}, 故选:A. 点评: 本题考查交集及其运算,属于基础题. 2. (5 分)函数 f(x)=lg(x﹣1)的定义域为() A.(0,+∞) B.(﹣∞,0) C.(1,+∞)

D.(﹣∞,1)

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数的解析式可得 x﹣1>0,解得 x>1,从而得到函数的定义域. 解答: 解:由函数 f(x)=lg(x﹣1)可得 x﹣1>0, 解得 x>1, 故函数 f(x)=lg(x﹣1)的定义域为 (1,+∞) , 故选:C. 点评: 本题主要考查求对数函数的定义域,属于基础题. 3. (5 分)过两点 M(﹣4,1) ,N(0,﹣1)的直线的斜率为() A.﹣2 B. ﹣ C. D.

考点: 直线的斜率. 专题: 直线与圆. 分析: 利用斜率计算公式即可得出. 解答: 解:过两点 M(﹣4,1) ,N(0,﹣1)的直线的斜率 k= 故选:B. 点评: 本题考查了直线的斜率计算公式,属于基础题. 4. (5 分)已知球的表面积为 8π,则它的半径为() A. B. 1 C. D.2 =﹣ .

考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由球的表面积的计算公式能求出这个球的半径. 解答: 解:设这个球的半径这 R,则 ∵一个球的表面积为 8π, 2 ∴4πR =8π, 解得 R= , 故选:C. 点评: 本题考查球的表面积公式,解题的关键是记清球的表面积公式.
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5. (5 分)函数 f(x)=x﹣2+lnx 的零点所在的一个区间是() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3)

D.(3,4)

考点: 函数零点的判定定理;二分法求方程的近似解. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,函数 f(x)=x﹣2+lnx 在定义域上单调递增,再求端点函数值即可 解答: 解:函数 f(x)=x﹣2+lnx 在定义域上单调递增, f(1)=1﹣2<0, f(2)=2+ln2﹣2>0, 故函数 f(x)=x﹣2+lnx 的零点所在区间是(1,2) ; 故选 B. 点评: 本题考查了函数的零点的判断,属于基础题. 6. (5 分)当 x<0 时,函数 f(x)=(2a﹣1) 的值恒大于 1,则实数 a 的取值范围是() A.( ,1) B.(1,2) C.(1,+∞) D.(﹣∞,1)
x

考点: 专题: 分析: 解答:

指数函数的图像与性质. 函数的性质及应用. 由题意和指数函数的性质列出不等式,求出实数 a 的取值范围. x 解:因为当 x<0 时,函数 f(x)=(2a﹣1) 的值恒大于 1,

所以 0<2a﹣1<1,解得 <a<1, 则实数 a 的取值范围是( ,1) , 故选:A. 点评: 本题考查利用指数函数的性质求参数的范围,属于基础题. 7. (5 分)下列函数中,在其定义域上既是奇函数又是增函数的是() A.y=x
2

B.y=x

﹣1

C.y=x

D.y=x

3

考点: 函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据奇函数、偶函数的定义,奇偶函数定义域的特点,反比例函数在其定义域上的 单调性,以及单调性的定义即可找出正确选项. 2 解答: 解:y=x 是偶函数; ﹣1 反比例函数 y=x 在其定义域上没有单调性; 的定义域为[0,+∞) ,不关于原点对称,所以是非奇非偶函数; y=x 是奇函数,根据单调性的定义知该函数在其定义域上是增函数; ∴D 正确. 故选 D.
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3

点评: 考查奇函数、偶函数的定义,奇偶函数定义域的特点,函数单调性的定义,以及反 比例函数在其定义域上的单调性. 8. (5 分)下面不等式成立的是() 2.5 3 A.1.7 >1.7 3.1 3.1 C. 1.7 <0.9

B. log0.23<log0.25 D.log30.2<log0.20.3

考点: 对数值大小的比较;指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 2.5 3 解答: 解:A.1.7 <1.7 ,因此不正确; B.log0.23>log0.25,因此不正确; 3.1 3.1 C.1.7 >1>0.9 ,因此不正确; D.log30.2<0<log0.20.3,正确. 故选:D. 点评: 本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题. 9. (5 分)长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC= ,AA1= 所成的角等于() A.30° B.45° C.60° ,则异面直线 BD1 与 CC1 D.90°

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间角. 分析: 由 CC1∥BB1,得∠D1BB1 是异面直线 BD1 与 CC1 所成的角,由此能求出异面直 线 BD1 与 CC1 所成的角的大小. 解答: 解:∵CC1∥BB1, ∴∠D1BB1 是异面直线 BD1 与 CC1 所成的角, ∵AB=BC= ,AA1= , ∴B1D1= = , ∵BB1⊥B1D1, ∴tan∠D1BB1= = =1,

∴∠D1BB1=45°. ∴异面直线 BD1 与 CC1 所成的角为 45°. 故选:B.

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点评: 本题考查异面直线所成角的求法,是基础题,解题时要注意线线、线面、面面间的 位置关系和性质的合理运用,注意空间思维能力的培养. 10. (5 分)一个空间几何体的三视图及尺寸大小如图所示,若侧视图为正三角形,则它的 体积是()

A.24

B. 8

C.32

D.16

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由已知中的三视图有两个矩形一个三角形, 可得该几何体是一个以左视图所示的三 角形为底面的正三棱柱,根据左视图是边长为 4,正三棱柱的高为 6,代入棱柱体积公式, 即可得到答案. 解答: 解: 由已知中的三视图有两个矩形一个三角形, 可得该几何体是一个以左视图所示 的三角形为底面的正三棱柱,根据左视图是边长为 4,正三棱柱的高为 6, ∴所求几何体的体积 V=Sh= =24 ,

故选:A. 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积, 其中根据已知中的三视图判断出几何体的形 状,进而根据正三棱柱的几何特征,得到其中的线面关系是解答本题的关键. 11. (5 分)设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是() A.若 α⊥β,m?α,n?β,则 m⊥n B. 若 α∥β,m?α,n?β,则 m∥n C. 若 m⊥n,m?α,n?β,则 α⊥β D.若 m⊥α,m∥n,n∥β,则 α⊥β 考点: 命题的真假判断与应用; 空间中直线与平面之间的位置关系; 平面与平面之间的位 置关系.
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专题: 空间位置关系与距离;简易逻辑. 分析: 由 α⊥β,m?α,n?β,可推得 m⊥n,m∥n,或 m,n 异面;由 α∥β,m?α,n?β, 可得 m∥n,或 m,n 异面;由 m⊥n,m?α,n?β,可得 α 与 β 可能相交或平行;由 m⊥α, m∥n,则 n⊥α,再由 n∥β 可得 α⊥β. 解答: 解:选项 A,若 α⊥β,m?α,n?β,则可能 m⊥n,m∥n,或 m,n 异面,故 A 错 误; 选项 B,若 α∥β,m?α,n?β,则 m∥n,或 m,n 异面,故 B 错误; 选项 C,若 m⊥n,m?α,n?β,则 α 与 β 可能相交,也可能平行,故 C 错误; 选项 D,若 m⊥α,m∥n,则 n⊥α,再由 n∥β 可得 α⊥β,故 D 正确. 故选 D. 点评: 本题考查命题真假的判断与应用,涉及空间中直线与平面的位置关系,属基础题.
x

12. (5 分)已知函数 f(x)=e ﹣ (x<0)与 g(x)=ln(x+a)图象上存在关于 y 轴对称 的点,则实数 a 的取值范围是() A.(﹣∞, ) B.(﹣∞, ) C.(﹣ , ) D.(﹣ , )

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 函数 f(x)与 g(x)图象上存在关于 y 轴对称的点,就是 f(﹣x)=g(x)有解, 也就是函数 y=f(﹣x)与函数 y=g(x)有交点, 在同一坐标系内画函数 y=f(﹣x)= = (x<0)与函数 y=g(x)=ln

(x+a)的图象,结合图象解题. 解答: 解:函数 f(x)与 g(x)图象上存在关于 y 轴有对称的点, 就是 f(﹣x)=g(x)有解, 也就是函数 y=f(﹣x)与函数 y=g(x)有交点, 在同一坐标系内画函数 y=f(﹣x)= (x+a)的图象: = (x<0)与函数 y=g(x)=ln

∴函数 y=g(x)=ln(x+a)的图象是把由函数 y=lnx 的图象向左平移且平移到过点(0, ) 后开始,两函数的图象有交点,

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把点(0, )代入 y=ln(x+a)得, =lna,∴a=

=



∴a< , 故选:B. 点评: 本题主要考查函数的图象, 把方程的根的问题转化为函数图象的交点问题, 体现了 数形结合的思想. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)点 A(1,1)到直线 x﹣y+2=0 的距离为 考点: 点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 利用点到直线的距离公式即可得出. 解答: 解:由点到直线的距离公式可得: = .



故答案为: . 点评: 本题考查了点到直线的距离公式,属于基础题. 14. (5 分)已知 f(x)是定义域在 R 上的奇函数,当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x +2x,则 f (﹣1)=﹣3. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由奇函数的性质得 f(﹣1)=﹣f(1) ,利用已知的解析式即可求值. 解答: 解:因为 f(x)是定义域在 R 上的奇函数, 所以 f(﹣1)=﹣f(1) , 又当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x +2x, 则 f(1)=1+2=3,即 f(﹣1)=﹣3, 故答案为:﹣3. 点评: 本题考查利用函数的奇偶性求函数值,以及转化思想,属于基础题. 15. (5 分)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,直线 CB1 与平面 BDD1B1 所成的角的大小为 30°. 考点: 直线与平面所成的角. 专题: 空间角. 分析: 根据线面角的定义先确定∠B1OC 为所求的线面角,即可得到结论. 解答: 解:连接 AC,BD,交于 O, 连接 B1O, 则 AC⊥平面 BDD1B1, 则∠B1OC 为直线 CB1 与平面 BDD1B1 所成的角, 设正方体的棱长为 1,
2 2

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则 AC=

,OC=

,CB1= = ,



∴sin∠B1OC= ∴∠B1OC=30°, 故答案为:30°

点评: 本题主要考查直线和平面所成角的求解,根据定义先求出线面角是解决本题的关 键. 16. (5 分)在大小为 60°的二面角 α﹣1﹣β 中,已知 AB?α,CD?β,且 AB⊥l 于 B,CD⊥l 于 D,若 AB=CD=1,BD=2,则 AC 的长为 . 考点: 与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 如图所示, = + ,利用数量积运算性质可得 ,由 AB⊥l 于 B,CD⊥l 于 D,可得 =1×1×cos120°,代入

=0.又在大小为 60°的二面角 α﹣1﹣β 中,可得 计算即可得出. 解答: 解:如图所示, , ∴ = + ,

∵AB⊥l 于 B,CD⊥l 于 D, ∴ =0,

又在大小为 60°的二面角 α﹣1﹣β 中, ∴ =1×1×cos120°=﹣ ,

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∴ ∴

=1+2 +1﹣ = . .

2

=5,

故答案为:

点评: 本题考查了向量的多边形法则、数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、二面 角的应用,考查了空间想象能力,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分)计算: (1) (2 ) (2) +0.027 ; .

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用指数的运算法则即可得出; (2)利用对数的运算法则即可得出. 解答: 解: (1)原式= + = =5.

(2)原式=

=2lg10 =4.

2

点评: 本题考查了指数与对数的运算法则,属于基础题. 18. (12 分)设直线 l1:x+3y+1=0,l2:x﹣y﹣7=0 的交点为点 P. (1)求点 P 的坐标; (2)求过点 P 且与 l1 垂直的直线 l 的方程. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系;两条直线的交点坐标. 专题: 直线与圆. 分析: (1)联立 ,解得即可.
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(2)设与 l1 垂直的直线 l 的方程为 3x﹣y+m=0,把 P(5,﹣2)代入解出 m 即可. 解答: 解: (1)联立 ,解得 ,∴P(5,﹣2) .

(2)设与 l1 垂直的直线 l 的方程为 3x﹣y+m=0, 把 P(5,﹣2)代入可得:15+2+m=0,解得 m=﹣17. ∴与 l1 垂直的直线 l 的方程为 3x﹣y﹣17=0. 点评: 本题考查了直线的交点、相互垂直的直线斜率之间的关系,属于基础题. 19. (12 分)已知函数 f(x)=logax(a>0,且 a≠1) . (1)若函数 f(x)在区间[ ,2]上的最大值为 2,求 a 的值; (2)若 0<a<1,求使得 f(2 ﹣1)>0 的 x 的取值范围. 考点: 对数函数的图像与性质;指、对数不等式的解法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)分类讨论得出当 a>1 时,loga2=2,当 0<a<1 时,loga =2, (2)转化得出 loga(2 ﹣1)>loga1,又 0<a<1,则 0<2 ﹣1<1,求解即可. 解答: 解: (1)当 a>1 时,f(x)=logax 在区间[ ,2]上是增函数. 因此,fmax(x)=loga2,则 loga2=2, 解得:a= , 当 0<a<1 时,f(x)=logax 在区间[ ,2]上是减函数. 因此,fmax(x)=loga ,则 loga =2, 解得:a= 综上:a= , 或 a=
x x x x

(2)不等式 f(2 ﹣1)>0, x 即 loga(2 ﹣1)>loga1, x 又 0<a<1,则 0<2 ﹣1<1, x 即 1<2 <2, 所以 0<x<1. 点评: 本题考查了对数函数的单调性,分类讨论的思想,方程思想,难度不大,属于中档 题. 20. (12 分)某商品在近 30 天内每件的销售价格 p(元)与时间 t(天)的函数关系是 p= ,该商品的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函数关系

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是 Q=﹣t+40(0<t≤30,t∈N) ,求这种商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大 的一天是 30 天中的第几天? 考点: 分段函数的应用. 专题: 计算题;应用题;函数的性质及应用. 分析: 设日销售金额为 y(元) ,则 y=p?Q,对每段化简和配方,根据二次函数的性质, 分别求解每段函数的最大值,由此能求出商品的日销售额 y 的最大值. 解答: 解:设日销售金额为 y(元) ,则 y=p?Q, y=

=

=



当 0<t<25,t∈N,t=10 时,ymax=900(元) ; 当 25≤t≤30,t∈N,t=25 时,ymax=1125(元) . 由 1125>900,知 ymax=1125(元) ,且第 25 天,日销售额最大. 点评: 本题考查分段函数在生产实际中的应用,考查二次函数的最值问题和运算求解能 力,属于中档题. 21. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60°, E、F 分别是 AP、AD 的中点,求证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 立体几何. 分析: (1)要证直线 EF∥平面 PCD,只需证明 EF∥PD,EF 不在平面 PCD 中,PD?平 面 PCD 即可. (2)连接 BD,证明 BF⊥AD.说明平面 PAD∩平面 ABCD=AD,推出 BF⊥平面 PAD;然 后证明平面 BEF⊥平面 PAD. 解答: 证明: (1)在△ PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点,所以 EF∥PD. 又因为 EF 不在平面 PCD 中,PD?平面 PCD
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所以直线 EF∥平面 PCD. (2)连接 BD.因为 AB=AD,∠BAD=60°. 所以△ ABD 为正三角形.因为 F 是 AD 的中点,所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,BF?平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF?平面 EBF,所以平面 BEF⊥平面 PAD.

点评: 本题是中档题,考查直线与平面平行,平面与平面的垂直的证明方法,考查空间想 象能力,逻辑推理能力,常考题型.

22. (12 分)已知函数

(a>1) ,求证:

(1)函数 f(x)在(﹣1,+∞)上为增函数; (2)方程 f(x)=0 没有负数根. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数与方程的综合运用. 专题: 证明题. 分析: (1)证明函数的单调性,一个重要的基本的方法就是根据函数单调性的定义; (2)对于否定性命题的证明,可用反证法,先假设方程 f(x)=0 有负数根,经过层层推理, 最后推出一个矛盾的结论. 解答: 证明: (1)设﹣1<x1<x2, 则

= ∵﹣1<x1<x2,∴x1+1>0,x2+1>0,x1﹣x2<0, ∴ ;



∵﹣1<x1<x2,且 a>1,∴

,∴



∴f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) , ∴函数 f(x)在(﹣1,+∞)上为增函数; (2)假设 x0 是方程 f(x)=0 的负数根,且 x0≠﹣1,则 ,

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即 当﹣1<x0<0 时,0<x0+1<1,∴ ∴ ,而由 a>1 知

,① , .∴①式不成立; ,∴ ,而 .

当 x0<﹣1 时,x0+1<0,∴

∴①式不成立.综上所述,方程 f(x)=0 没有负数根. 点评: (1)函数的单调性就是随着 x 的变大,y 在变大就是增函数,y 变小就是减函数, 具有这样的性质就说函数具有单调性,符号表示:就是定义域内的任意取 x1,x2,且 x1< x2,比较 f(x1) ,f(x2)的大小 (当 f(x1)<f(x2)则是增函数,当 f(x1)>f(x2)则 是减函数) ; (2)方程的根,就是指使方程成立的未知数的值.对于结论是否定形式的命题,往往用反 证法证明.

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