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00002013年浙江省高中数学竞赛试题解答河南省六市2013届高三毕业班第二次联合考试数学(理)试题(word版)


河南省六市 2013 届高三毕业班第二次联合考试数学(理)试题
一、选择题 1.若全集 U ? ? ? 1, 0 ,1, 2 ? P ? ? x ? Z | x ? 2 ? ,则 C U P ?
2

A. ? 2 ?

B. ? 0 , 2 ?

C. ? ? 1, 2 ?

D

. ? ? 1, 0, 2 ?

2.某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计,得到了如图所示的频率分布直方图,如果该公 司共有员工 200 人,则信息收到 125 条以上的大约有 A.6 人 B.7 人
a 1? i ? 1? i 2

C.8 人

D.9 人

3.设 a 是实数,若复数

( i 为虚数单位)在复平面内对应的点

在直线 x ? y ? 0 上,则 a 的值为 A. ? 1 B.0 C.1 D.2

? ? ? ? ? 4.已知向量 a ? (3, 4 ), b ? ( 2 , ? 1) ,如果向量 a ? x b 与 ? b 垂直,则实数 x

的值为 A. ?
2 5

B.

23 3

C.

3 23

D.2

5.从 6 名男生 4 名女生中选 4 名代表,则至少有 1 名女生入选的选法有( )种 A.205 B.210 C.190 D.195 6.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图为

?x ? ? 7.当实数 x , y 满足不等式 ? y ? 0 时,恒有 a x ? y ? 3 成立,则实数 a 的取值范围是 ?2x ? y ? 2 ?

A. a ? 0

B. a ? 0

C. 0 ? a ? 2

D. a ? 3

8.已知 A ( x A , y A ) 是单位圆(圆心在坐标原点 O )上任意一点,将射线 OA 绕 O 点逆时针旋转 3 0 ? 到 OB,交单位圆于
3 2
1 2

点 B ( x B , y B ) ,则 x A ? y B 的最大值为 A. 2 9.已知函数 f ( x ) ? A sin ( ? x ? ? )( A ? 0 , ? ? 0 , | ? |? 值为 A.
?
6

B.
?
2

C.1
?
2

D.

) 的部分图象如图所示,当 x ? [0 ,

] 时,满足 f ( x ) ? 1 的 x 的

B.
x a
2 2

?
4

C.

5? 24
2 2

D.
1 4

?
3

10.过双曲线

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的左焦点 F 作圆 x ? y

?

a 的切线,切点为 E ,直线 EF 交双曲线右支于点

2

P,若 O E ?

??? ?

1 ???? ( O F ? O P ) ,则双曲线的离心率是 A. 2

10 2

B. 1 0

C. 2
3 4

D. 2 2
?
4

11.在可行域内任取一点,规则为如图所示的流程图,则能输出数对 ( s , t ) 的概率是 A. 5 12.已知 ? x1 , x 2 , x 3 , x 4 ? ? ? x ? R | ( x ? 6 ) s in
?

B.

C.

D.

?
6

? ?

?

? x ? 1 ? ,则 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 的最小值为 2 ?

A.12 二、填空题 13.已知 n ?

B.24

C.36
3 x

D.48

?

e

6

1 x

d x ,那么 ( x ?

) 展开式中含 x 项的系数为

n

2


??? ???? ?
????

1

14.? A B C 中,? A ? 1 2 0 ? , A B ? A C ? ? 1 , | B C | 的最小值为 则
2



15.已知直线 y ? k ( x ? 2 )( k ? 0 ) 与抛物线 y ? 8 x 相交于 A、B 两点,F 为抛物 线的焦点,若 | F A | ? 2 | F B | ,则 k 的值为 。

16.已知平面 ? 截一球面得圆 M,过圆心 M 且与 ? 成 6 0 ? 二面角的平面 ? 截该 球面得圆 N 。若该球面的半径为 4,圆 M 的面积为 4 ? ,则圆 N 的面积 为 。 三、解答题 17.在公差不为 0 的等差数列 ? a n ? 中, a 1 , a 4 , a 8 成等比数列。 (1)已 知数列 ? a n ? 的前 10 项和为 45,求数列 ? a n ? 的通项公式; (2)若 b n ? 数列 ? b n ? 的前 n 项和为 T n ,若 T n ?
1 9 1 n?9
1 a n a n ?1

,且

?

,求数列 ? a n ? 的公差。

18.盒子内装有 5 张卡片,上面分别写有数字 1、1、2、2、2,每张卡片被取到的概率相等。先从盒子中任取 1 张卡片, 记下它上面的数字 x ,然后放回盒子内搅匀,丙从盒子中任取 1 张卡片,记下它上面的数字 y 。设
M ? x ? y , f (t ) ? 3 5 t ? Mt ?
2

18 5

。 (1)求随机变量 M 的分布列和数学期望; 在区间 ( 2 , 4 ) 内有且只有一个零点”为事件 A,求 A 的概率 P ( A ) 。

(2)设“函数 f ( t ) ?

3 5

t ? Mt ?
2

18 5

19.在三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中,已知 A B ? A C ? A A1 ?

5 , B C ? 4 , B C 的中点为 O , A1 O 垂直底面 A B C 。

(1)证明在侧棱 A A1 上存在一点 E,使得 O E ? 平面 B B1 C 1 C ,并求出 AE 的长; (2)求二面角 A1 ? B1C ? B 的平面角的余弦值。

20.如图,已知定点 F ( ? 1, 0 ), N (1, 0 ) ,以线段 F N 为对角线作周长是 4 2 的平行四边形 M N E F 。平面上的动点 G 满 足 | O G | ? 2 ( O 为坐标原点) (1)求点 E、M 所在曲线 C 1 的方程及动点 G 的轨迹 C 2 的方程; (2)已知过点 F 的直线 l 交曲线 C 1 于点 P、Q,交轨迹 C 2 于点 A、B,若 | A B |? (2 3 , 1 5 ) ,求的内切圆的半径的取 值范围。
????

21.已知函数 f ( x ) ? ln (1 ? x ) 。 (1)求函数 f ( x ) 的图象在 x ? 0 处的切线方程;
2

(2)证明不等式: ln (1 ? x ) ?
2

x

2 2

1? x

; (3)对一个实数集合 M ,若存在实数 s ,使得 M 中任何数都不超过 s ,则
1 n
n?a

称 s 是 M 的一个上界。已知 e 是无穷数列 a n ? (1 ?
a 的最大值。

)

所有项组成的集合的上界(其中 e 是自然对数的底数) ,求实数

? 2 t ?x ? ? 2 23.选修 4—4,坐标系与参数方程已知直线 l 的参数方程是 ? ( t 是参数) ,圆 C 的极坐标方程为 2 ? y ? t?4 2 ? ? 2

? ? 2 c o s (? ?

?
4

)。

(1) 求圆心 C 的直角坐标; (2) 由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值。

24.已知 a ? R ,设关于 x 的不等式 | 2 x ? a | ? | x ? 3 |? 2 x ? 4 的解集为 A 。 (1)若 a ? 1 ,求 A; (2)若 A ? R ,求 a 的取值范围。

2013 年浙江省高中数学竞赛试题解答
一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错
选均不得分,每题 5 分,共 50 分) 1. 集合 P ? { x x ? R , x ? 1 ? 1 }, Q ? { x x ? R , x ? a ? 1} , 且 P ? Q ? ? ,则实数 a 取值范围为( A. a ? 3 答案 C B. a ? ? 1 . C. a ? ? 1 或 a ? 3 D. ? 1 ? a ? 3 )

P ? { x 0 ? x ? 2} , Q ? { x a ? 1 ? x ? a ? 1} , 要使 P ? Q ? ? , a ? 1 ? 2 或 a ? 1 ? 0 。 则 解得 a ? ? 1 或 a ? 3 。
?

2. 若 ? , ? ? R , 则 ? ? ? ? 9 0 是 sin ? ? sin ? ? 1 的( A. 充分而不必要条件
?

) D. 既不充分也不必要条件

B. 必要而不充分条件 C. 充要条件

答案 D 若 ? ? 0, ? ? 9 0 ? sin ? ? sin ? ? 1 。 当 ? ? ? ? 6 0 ? sin ? ? sin ? ?
?

3 ? 1 ,但 ? ? ? ? 9 0 。
?

3. 已知等比数列{ a A. 3 8 1
9 7

n

}: a 1 ? 3 , 且第一项至第八项的几何平均数为 9,则第三项是(
2



B. 3 8 1

C.

3

9

D. 3 3 答案 B 计算得 q ? 3 , a 3 ? 3 7 8 1 。
7
2

4. 已知复数 z ? x ? yi ( x , y ? R , i 为虚数单位) ,且 z ? 8 i ,则 z ? ( A. z ? 2 ? 2 i 答案 D B. z ? ? 2 ? 2 i C. z ? ? 2 ? 2 i , 或 z ? 2 ? 2 i

) D. z ? 2 ? 2 i , 或 z ? ? 2 ? 2 i

5. 已 知 直 线 A B 与 抛 物 线 y ? 4 x 交 于 A , B 两 点 , M 为 A B 的 中 点 , C 为 抛 物 线 上 一 个 动 点 , 若 C 0 满 足
2

???? ???? ? ? ??? ??? ? ? C 0 A ? C 0 B ? m in { C A ? C B } ,则下列一定成立的是(

) 。 D. C 0 M ?
1 2 AB

A. C 0 M ? A B B. C 0 M ? l , 其中 l 是抛物线过 C 0 的切线 C. C 0 A ? C 0 B 答案 B
??? ??? ? ? ???? ???? ? ? ???? ???? ? ? ???? ? C A ? C B ? (C M ? A M ) ? (C M ? B M ) ? C M
2 2

???? ?? ?? ???? ? ? ? ???? ???? ? ? ? CM ( AM ? BM ) ? AM ? BM

???? ? ? CM

???? ? ? AM

2

????? ? ??? ??? ? ? ? m in { C A ? C B } ? C M m in ? C M ? l 。

6. 某程序框图如下,当 E ? 0.96 时,则输出的 K=( A. 20 B. 22 C. 2 4 D. 25

) ,

开 始

K=1, S=0

S=S+1/(K(K+1))

S>=E?




K=K+1

输出 K

答案 C

S ?

1 1? 2

?

1 2?3

?? ?

1 k ? ( k ? 1)

? 1?

1 k ?1

? 0 .9 6 ? k ? 2 4 .

7. 若三位数 a b c 被 7 整除,且 a , b , c 成公差非零的等差数列,则这样的整数共有( A.4 B. 6 C. 7 D 8

)个。

答案 D 设三位数为 ( b ? d ) b ( b ? d ) ? 1 1 1b ? 9 9 d (0 ? b ? 9, ? 9 ? d ? 9, d ? 0 ), 由
7 (1 1 1b ? 9 9 d ) ? 7 ( b ? d ) ? b ? 1, d ? ? 1; b ? 2, d ? ? 2; b ? 3, d ? ? 3; b ? 4, d ? 3, ? 4;
b ? 5, d ? 2; b ? 6, d ? 1; b ? 8, d ? ? 1 。所以,所有的三位数为 2 1 0, 4 2 0, 6 3 0,1 4 7 , 8 4 0, 3 5 7 , 5 6 7 , 9 8 7

8. 已知一个立体图形的三视图如下,则该立体的体积为(

) 。

A. 3

3

B.

3 3 2

C.

9 3 2

D.

9 3 4

3 2

1 1

2
正视图: 上下两个 正方形

2

3

侧视图

1

俯视图:边长为 2 的 正三角形

答案 D 从图中可知,立体是由两个三棱柱组成。 9. 设函数 f ( x ) ? x ( x ? 1) ( x ? 2 ) ( x ? 3) ,则函数 y ? f ( x ) 的极大值点为(
2 3 4



A. x

? 0

B.

x ?1

C.

x ? 2

D.

x ?3

答案 B 由图象可知 x ? 1 为函数极大值点, x ? 3 是极小值点, x ? 0, 2 不是极值点。 10. 已知 f ( x ), g ( x ), h ( x ) 为一次函数,若对实数 x 满足
? ? 1, x ? ? 1 ? f ( x ) ? g ( x ) ? h ( x ) ? ? 3 x ? 2 , ? 1 ? x ? 0 ,则 h ( x ) 的表达式为( ? ?2 x ? 2, x ? 0 ?

) 。

A. h ( x ) ? C. h ( x ) ?
答案 C

x?

1 2 1 2 ? 2 x ? 2 ? ( ? 1) 2 1 3

B. h ( x ) ? D. h ( x ) ?
? ?x ? 1 2

?x ? x? 1 2

1 2

?x ?

h(x) ?



二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后 的横线上,每空 7 分,共 49 分) 11. 若 ta n x ta n y ? 2 , sin x sin y ? ,则 x ? y ? _______ 2 k ? ?
1 3 ? cos x cos y ? 1 6

?
3

__________。
1 2

解答:由 ta n x ta n y ? 2 , s in x s in y ?

? cos( x ? y ) ?

,所以

x ? y ? 2 k? ?

?
3


2

12. 已知 f ( x ) ? x ? ( k ? 1) x ? 2 ,若当 x ? 0 时 f ( x ) 恒大于零,则 k 的取值范围为______ ( ? ? , 2 2 ? 1) _______ 。 解答 由 x ? ( k ? 1) x ? 2 ? 0 ? k ? 1 ? x ?
2

2 x

,x?

2 x

? 2

2 等号在 x ?

2 取得,即 k ? 2

2 ? 1。

13. 数列 { n n } , n ? 1, 2 , ? ,则数列中最大项的值为______ 3 3 ________。
1 1 1

解答 f ( x ) ? x x ? e x

ln x

? f (x) ?
/
2 2

xx x
2

(1 ? ln x ) ? x ? e 为极大值点,所以数列最大项为第三项,其值为
2 2

3

3。

14. 若 x , y ? R ,满足 2 x ? 2 x y ? 2 y ( x ? x ) ? x ? 5 ,则 x 解答 把等式看成关于 x 的一元二次方程
? ? 4 ( y ? 1) ? 2 0 ( 2 y ? 2 y ? 1) ? 0 ? (3 y ? 2 ) ? 0 ? y ? ?
2 2 2
3

?3,y ?
2 3

?

2 3



,x ? 3。

15. 设 直 线 l 与 曲 线 y ? x ? x ? 1 有 三 个 不 同 的 交 点 A , B , C , 且 A B ? B C ? _____ y ? 2 x ? 1 ____________。 解 答 曲 线 关 于 ( 0,1 ) 点 对 称 , 设 直 线 方 程 为

5 ,则直线 l 的方程为

y ?

k? 1 x ,

(A , 则 , x )y

? y ? kx ? 1 ? ? 3 ?y ? x ? x ?1 ? 2 2 ? x ? ( y ? 1) ? ?

? ( k ? 2 )( k ? k ? 2 ) ? 0 ? k ? 2 。所求直线方程为 y ? 2 x ? 1 。
2

5
1 a
2

16. 若 a ? 0, b ? 0, 则 m in { m a x ( a , b , 解答 m a x { a , b ,
m in { m a x ( a , b , 1 a 1 a
2 2

?

1 b
2

)} ? _______ 3 2 _________________。 1 a
2

? ?

1 b 1 b
2 2

} ? m ? a ? m,b ? m,
3

?

1 b
2

? m ? m ?

2 m
2

? m ?

3

2 ,所以

)} ?

2 。

17. 某 动 点 在 平 面 直 角 坐 标 系 第 一 象 限 的 整 点 上 运 动 ( 含 第 一 象 限 x , y 轴 上 的 整 点 ) 其 运 动 规 律 为 ,
( m , n ) ? ( m ? 1, n ? 1) 或 ( m , n ) ? ( m ? 1, n ? 1) 。 若 该 动 点 从 原 点 出 发 , 经 过 6 步 运 动 到 ( 6,2 ) 点 , 则 有

__________9_________种不同的运动轨迹。 解答
C6 ? C6 ? 9 .
2 1

三、解答题(本大题共有 3 小题,每题 17 分,共 51 分)
18. 已知抛物线 y ? 4 x ,过 x 轴上一点 K 的直线与抛物线交于点 P , Q ,
2

两点。证明,存在唯一一点 K ,使得

1 PK
2

?

1 KQ
2

为常数,并确定 K 点的坐标。

解答 设 K ( a , 0 ) ,过 K 点直线方程为 y ? k ( x ? a ) ,交抛物线于 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 联立方程组

2 ? y ? 4x 2(ak ? 2) 2 2 2 2 2 2 ? k x ? 2 ( a k ? 2 ) x ? a k ? 0 ? x1 ? x 2 ? , x 1 x 2 ? a ?5 分 ? 2 k ? y ? k (x ? a) 2

? PK

2

? ( x1 ? a ) ? y 1 , K Q
2 2

2

? ( x 2 ? a ) ? y 2 ??????????????7 分
2 2

?

1 PK
2

?

1 KQ
2

k ? 2 2 2 ,????????????????????12 分 a (1 ? k )

1?

a

2

令a ? 2 ?

1 PK
2

?

1 KQ
2

?

1 4

, K ( 2 , 0 ) 。????????????????17 分

19. 设二次函数 f ( x ) ? a x ? ( 2 b ? 1) x ? a ? 2 ( a , b ? R , a ? 0 ) 在[3,4]上至少有一个零点,求 a ? b 的最小值。
2
2 2

解法 1 由已知得,设 t 为二次函数在[3,4]上的零点,则有 a t ? ( 2 b ? 1) t ? a ? 2 ? 0 ,变形
2

( 2 ? t ) ? [ a ( t ? 1) ? 2 b t ] ? ( a ? b )(( t ? 1) ? t ) ? ( a ? b )(1 ? t ) ,??5 分
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

于是 a ? b ? (
2 2

t?2 1? t
2

) ?
2

1 (t ? 2 ? 5 t?2 ? 4)
2

?

1 100

,???????????12 分

因为 t ? 2 ?
1 100

5 t?2

, t ? [3, 4 ] 是 减 函 数 , 上 述 式 子 在 t ? 3, a ? ?

2 25

,b ? ?

3 50

时取等号,故 a ? b 的最小值为
2 2

。????????????????????????17 分 把等式看成关于 a , b 的直线方程 : ( x ? 1) a ? 2 xb ? x ? 2 ? 0 ,利用直线上一点( a , b )到原点的距离大于原点
2

解法 2

到直线的距离,即 a ? b ?
2 2 2

x?2 ( x ? 1) ? ( 2 x )
2 2

(以下同上) 。

?1? x ? 20. 设 x ? N 满足 ? ? ? x ?

2013

?

2014 2013

. 数列 a 1 , a 2 , ? , a 2 0 1 3 是公差为 x

2013

,首项 a 1 ? ( x ? 1) x
2

2012

? 1 的等差数列; 数列

b1 , b 2 , ? , b 2 0 1 3 是公比为

1? x x

, 首项 b1 ? ( x ? 1) x

2013

的等比数列,求证: b1 ? a 1 ? b 2 ? ? ? a 2 0 1 2 ? b 2 0 1 3 。

解:首先,

a i ? ( x ? 1) x
2

2012

? 1 ? ( i ? 1) x

2013



-----------------2 分

b i ? ( x ? 1) x

2013

(

1? x x

)

i ?1

? ( x ? 1) x
i

2014 ? i

。-----------------4 分

b i ?1 ? b i ? x

2013

(

1? x x

)

i

????????????????6 分
, 1 ? i ? 2013

用归纳法证明

a i ? bi ? x

2013

2014 ? i 2013



由于 a 1 假设 则 a i ?1

? b1 ? x

2013

? x

2012

?1? x

2013

,即 i=1 成立。????????8 分

1 ? i ? 2012

成立,
2013

? b i ?1 ? ( a i ?1 ? a i ) ? ( b i ?1 ? b i ) ? ( a i ? b i ) ? x

? x

2013

(

1? x x

) ? (a i ? bi )
i

? x

2013

? x

2013

(

1? x x

)

203

? (a i ? bi ) ? ? x

2013

1 2013

? (a i ? bi )

? ?x

2013

1 2013

? x

2013

2013 ? i ? 1 2013

? x

2013

2014 ? ( i ? 1) 2013

。???????14 分

所以, a i

? b i , i ? 1, 2 , ? , 2013

。 ,首先
b2 ? a1 ? 1 ? 0

归纳证明 b i ? 1 则

? a i , i ? 1, 2 , ? , 2012

,假设

1 ? i ? 2011

成立,

b i ? 2 ? a i ?1 ? ( b i ? 2 ? b i ?1 ) ? ( a i ?1 ? a i ) ? ( b i ?1 ? a i ) ? x

2013

(

1? x x

)

i ?1

? x

2013

? ( b i ?1 ? a i ) ? 0

。?????????

???????17 分 故命题成立。
四、附加题: (本大题共有 2 小题,每题 25 分,共 50 分。 ) 21. 设 a , b , c ? R , a b ? b c ? c a ? 3, 证明
a ? b ? c ? a (b ? c ) ? b (c ? a ) ? c (a ? b ) ? 9 。
5 5 5 3 2 2 3 2 2 3 2 2

?

解答 原命题等价于 ( a ? b ? c )( a ? b ? c ) ? 9 ,????????????10 分
3 3 3 2 2 2

又 (a ? b ? c ) ? 9(
3 3 3 2

a ?b ?c
2 2

2

) , ???????????????????20 分

3

3

故只需要证明 a ? b ? c ? 3 成立。???????????????????25 分
2 2 2

利用已知条件,这是显然的。

22. 从 0,1,2,?,10 中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法” ,若各条线段相连的两个圆圈内的 数字之差的绝对值各不相同,则称这样的填法为“完美填法” 。

试问:对图 1 和图 2 是否存在完美填法?若存在,请给出一种完美填法;若不存在,请说明理由。 6 10 A1 A3 5 A2

A4

7

A5 A7

1 (图 1 )

9 A6 (图 2) A8

解答 对图 1,上述填法即为完美(答案不唯一) 。????????????10 分 对于图 2 不存在完美填法。因为图中一共有 10 条连线,因此各连线上两数之差的绝对值恰好为,1,2,3,??, 10, ????? ?????????????????? 15 分 其和 s ? a 1 ? a 2 ? a 1 ? a 3 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 7 ? a 8 ? 5 5 为奇数。?????? 20 分

另一方面,图中每一个圆圈所连接的连线数都为偶数条。即每一个圆圈内德数在上述 S 的表达式中出现偶数次。因此 S 应为偶数,矛盾。???????????????25 分 所以,不存在完美填法。


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