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抛物线的最值问题


七:最值问题
例7、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2,求AB中点纵坐标 的最小值.

解:

设A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 )
A D

y
M F

B

p 1 2 MN ? AD ? B

C , MN ? ? y0 ? ? y0 , 2 4 1 AD ? BC ? 2( ? y0 ) 4

o
N C

x

AD ? AF , BC ? BF
1 AF ? BF ? 2( ? y0 ) 4

?(| AF | ? | BF |) min ? 2

?ABF中, AF ? BF ? AB ? 2 3 即y0 min ? 4

例7、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2,求AB中点纵坐标 的最小值. 解:设A( x1, y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 )
设l AB : y ? kx ? b
y
M A F

B

? y ? kx ? b ? x 2 ? kx ? b ? 0 ? y ? x2 ?

o

x

1 k2 由弦长 | AB |? 1 ? k 2 k 2 ? 4b ? 2 ? b ? ? 2 1? k 4 y1 ? y2 x1 ? x2 k2 ? y0 ? ? k( )?b? ?b 2 2 2 k2 1 1? k 2 1 1 ? y0 ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? 3 (当k ? ?1时,取等号 ) 2 2 4 1? k 4 1? k 4 4 4

练习:已知抛物线y2=x,动弦AB的长为3, 3 1 ? y0 min ? 此时 l AB : y ? ? x 求AB中点横坐标的最小值. ? 4
4

例8、 点P在抛物线y2=x上,定点A(3,0),求|PA|的最小值。
解 : 设 ( x, y ) P ? P点 在 抛 物 线 上? y 2 ? x , PA ? ? ? ? ( x ? 3) 2 ? y 2

x 2 ? 6x ? 9 ? x x 2 ? 5x ? 9 5 2 11 (x ? ) ? 2 4

5 11 当x ? 时 , 取 最 小 值 PA 。 2 2

练习:
若P为抛物线y2=x上一动点,Q为圆(x-3)2+y2=1 上 一动点,求|PQ|的最小值 11
2 ?1

y

分析:如图, 抛物线上任意一点 P与圆上任意一点 Q

P
O F

Q
?

| PQ |?| PA |
? PQ | 最小值时,连线必经过 | 圆心

.

A

C

x

设P( x, y), C (3,0)
?| PC |? ( x ? 3) ? y ?
2 2

x ? 5 x ? 9 ( x ? 0)
2

5 11 ?当x ? 时,PC |min ? | 2 2 11 ?| PQ |min ? ?1 2

例9、 已知定点M(3,2),F是抛物线y2=2x的焦点, 在此抛物线上求一点P,使|PM|+|PF|取得最小值, 求点P的坐标

分析: 如图,由抛物线的定义:
抛物线上的点到焦点的距离 与到准线的距离相等。
F

M

即|PF| = |PN| P 1 2, 练 已 习: 知点 M(? 2, 及 为 F的 线 y ? x 4) 焦点 抛物 N ∴ |PM|+|PF|= |PM|+|PN| 8 M 在 物 上求 点 P, PM ? PF 的 值 并 此抛 线 一 使 最小 , 求出 ∴当 M、P、N三点共 F 这 线时距离之和最小。 个最 值 小

练习1、
P为抛物线x2=4y上的一动点,定点A(8,7),求 P到x轴与到点A的距离之和的最小值 9
y P A
F O

y P A
所求p 点位置

F

x

O

x
Q

练习2、设P是曲线y 2 ? 4( x ? 1)上一动点,则点P到 点(0,1)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值是?
解:曲线y 2 ? 4( x ? 1)表示顶点在(1,0) 焦点到准线的距离为 的抛物线 2
所以抛物线的准线:x ? 0, 焦点:F (2,0)
? d ?| PF |
y

d

P?

A?
O

?

.

F

x

又 | PA | ? | PF |?| AF |

?当A, P, F共线时,PA | ? | PF |) min ?| AF | (|

?(| PA | ?d )min ?| AF |? 5

八:定值(定点)问题
例10、过抛物线y 2 ? 2 x的顶点作互相垂直的二弦OA, OB, 证明AB与x轴的交点为定值.
y

A

解 设 A(x1.y1 ), B(x 2 , y2 ).lAB : y ? kx ? b :
? y ? kx ? b 联立? 2 ? k 2 x 2 ? (2kb ? 2) x ? b2 ? 0 ? y ? 2x

O F ? M

.

x

B

b2 2b ? x1 x2 ? 2 同理 y1 y 2 ? k k

b 2 2b ? 0 ? b ? ?2k 由OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 即 2 ? k k
?l AB : y ? kx ? 2k 与x轴交点(2,0)

y2 练习: 若直线l与抛物线 =2px(p>0)交于A、B两点,

直线 且OA⊥OB ,则_____ l过定点(2p,0) _____.
y

A

设A? x1, y1 ?、B ? x2 , y2 ?

设l : x ? my ? a代如y ? 2 px得
2

O
B

P
y2=2px

x

y ? 2 pmy ? 2 pa ? 0
2

l

y12 y2 2 ? y1 y2 ? ?2 pa又x1 ? 、x2 ? 2p 2p

? x1 x2 ? a 2

....................

例11: 若直线l过定点(2p,0)且与抛物线 两点,求证:OA⊥OB.

y2 =2px(p>0)交于A、B
y

A

设A? x1, y1 ?、B ? x2 , y2 ?

O
B

P(2p,0)
y2=2px

x

设l : x ? my ? 2 p代如y 2 ? 2 px得

l

y ? 2 pmy ? 4 p ? 0
2 2

....................


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