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高中数学模拟试卷11



注意事项:



本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分.考试用时 120 分钟.
答题前,考生务必将自己的姓名、班级、学科写在答题纸的密封线内 .选择题答案按 要求填涂在答题卡上; 答案不写在试 ... 非选择题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内, ... 卷上.

/>第Ⅰ卷 (选择题,共 60 分)
参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A) ·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 - k Pn(k) =C n Pk(1-P)n k 球的表面积公式 2 S=4 ?R 其中 R 表示球的半径, 球的体积公式 V= ?R ,
3

4 3

其中 R 表示球的半径

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 P={1,2,3,4},Q={x|| x |≤2,x∈R} ,则 P ∩Q 等于 ( ) A. {1,2} B. {3,4} C.{1} D.{-2,-1,0,1,2} 2.有一笔统计资料,共有 5 个数据如下(不完全以大小排列) :4,5,7,6,x,已知这组 数据的平均数为 6,则这组数据的方差为 ( ) A. 4 B.2 C. 2 D. 2.5 3.已知等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,若 a 4 ? 18 ? a5 ,则 S 8 等于 A. 18 4.已知 x=a+ B. 36
2





C. 54

D. 72

1 1 b ?2 (a>2) ,y=( ) (b<0) ,则 x,y 之间的大小关系是 ( ) 2 a-2 A. x>y B . x<y C. x=y D.不能确定 2 2 2 2 5.已知⊙A:(x+3) +y =1,⊙B:(x-3) +y =1,圆 P 与⊙A 及⊙B 都外切,则点 P 的 轨迹是 ( ) A. 直线 B.椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 6.已知二面角 ? ? l ? ? 的大小为 60? , b 和 c 是两条异面直线,则在下列四个条件中,能 使 b 和 c 所成的角为 60? 的是 A. b ∥ ? , c ∥ ? C. b ? ? , c ? ? B. b ∥ ? , c ? ? D. b ? ? , c ∥ ? ( ) ( )

π π 7.已知 f (x)=sin(x+ ),g(x)=cos(x- ),则下列结论中正确的是 2 2

高三数学试卷第 1 页(共 4 页)

A. 函数 y=f (x) · (x)的周期为 2π g B. 函数 y=f (x) · (x)的最大值为 1 g π C. 将 f (x)的图像向左平移 单位后得 g(x)的图像 2 π D. 将 f (x)的图像向右平移 单位后得 g(x)的图像 2 1 8.若不等式 ax 2+bx+c<0 的解集是{x|x<-2,或 x>- },则 ax2-bx+c>0 的解集是 2 ( ) 1 1 A.{x|- <x<2} B.{x| <x<2} 2 2 1 1 C.{x|x< ,或 x>2} D.{x|x<- ,或 x>2} 2 2 9.在圆周上有 10 个等分点,以这些点为顶点,每三个点可以构成一个三角形,如果随机选 择三个点,恰好构成直角三角形的概率是 ( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 4 3 2 5 π 10.设[-π,- ]是偶函数 F(x)的单调递增区间,将 F(x)的图象按 a=(π,0)平移得到一个新 2 的函数 G(x)的图象, 则必定为 G(x)的单调递减区间的是 ( ) π π 3π 3π A.[- ,0] B.[ ,π] C.[π, ] D.[ ,2π] 2 2 2 2 11.设函数 y ? f (x) 的图象如右图所示,则导函数 y ? f ?(x) 的图像 可能为( ) y
O

x y
O

y
O

y
O

y
O

x

x

x

x

A.

B.

C.

D.

S1+S2+…+Sn 12.有限数列 A=(a1,a2,…,an), S n 为其前 n 项和,定义 为 A 的“凯森和”; n 如有 2004 项的数列(a1, 2, a …, 2004)的“凯森和”为 2005, a 则有 2005 项的数列(1, 1, 2, a a …, a2004)的“凯森和”为 ( ) A.2004 B.2005 C.2006 D.2008

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
高三数学试卷第 2 页(共 4 页)

二、填空题 :本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.圆 x2+y2=2 上到直线 x-y-4=0 距离最近的点的坐标是_________. 2x+y≤8, ?x+3y≤9, 14.若 x、y 满足? 则 z=x+2y 的最大值为 x≥0, ?y≥0,



15. 设三棱锥的三个侧面两两互相垂直, 且侧棱长均为 2 3 , 则其外接球的表面积为



16.已知命题 p:m≥1,命题 q:2m2-9 m+10<0,若 p,q 中有且仅有一个为真命题,则 实数 m 的取值范围是______________. 三、 解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 在△ ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,x=(2a+c,b) y=(cosB,cosC), , 且 x· y=0. (1) 求∠B 的大小; (2)若 b= 3 ,求 a+c 的最大值.

18.(本小题满分 12 分)

a x ? a ?x a x ? a ?x , g (x)= 设 f (x)= ,其中 a 为常数(a>0,a≠1) . 2 2
(1) 求证:g(5)=f(2)g(3)+g(2)f(3); (2) 试写出一个 f(x)和 g(x)的函数值满足的等式, 使得第(1)小题的结论是这个等式的一 个特例,并证明它在 f(x)和 g(x)的公共定义域上恒成立.

19.(本小题满分 12 分) 如图,在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面是边长为 2 的正三角形,G 为它的中心,侧面 A B B 1 A 1 ⊥底面 ABC, 侧棱 AA1=2,且与底面成 60? 的角,AG 交 BC 于 D 点, B1D 与 BC1 交于 E 点. (1)求证:GE∥侧面 ABB 1 A 1 ; (2)求点 E 到侧面 ABB 1 A 1 的距离; (3)求二面角 B1-AD-B 的大小. 20.(本小题满分 12 分) C A

A1 C1

B1

E B G D

高三数学试卷第 3 页(共 4 页)

已知 f (x)=x 3 +ax 2 +bx+c 在 x=1 与 x=- (1) 求 a,b 的值; (2)若 f (-1)=

2 时,都取得极值. 3

3 ,求 f (x)的单调区间和极值; 2
3 恒成立,求 c 的取值范围. c

(3)若对 x∈[-1,2]都有 f (x)<

21.(本小题满分 12 分) 设事件 A 发生的概率为 p,若在 A 发生的条件下 B 发生的概率为 p′,则由 A 产生 B 的 概率为 p· p′.根据这一事实解答下题. 一种掷硬币走跳棋的游戏:棋盘上有第 0、1、2、…、100,共 101 站,设棋子跳到第 n 站时的概率为 p n ,一枚棋子开始在第 0 站(即 p 0 =1) ,由棋手每掷一次硬币,棋子向前跳 动一次.若硬币出现正面则棋子向前跳动一站,出现反面则向前跳动两站.直到棋子跳到第 1 99 站(获胜)或第 100 站(失败)时,游戏结束.已知硬币出现正反面的概率都为 . 2 (1)求 p1,p2,p3,并根据棋子跳到第 n+1 站的情况,试用 pn,pn-1 表示 pn+1; (2)设 a n =pn-pn-1 (1≤n≤100),求证:数列{a n }是等比数列,并求出{a n }的通项 公式; (3)求玩该游戏获胜的概率.

22(本小题满分 14 分) 在直角坐标平面内,已知 a=(x+2,y) ,b=(x-2,y) ,且|a|-|b|=2. (1)求点 M(x,y)的轨迹 C 的方程; → → (2)过点 D(2,0)作倾斜角为锐角的直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,且AD=3DB, 求直线 l 的方程; (3) 是否存在过 D 的弦 AB, 使得 AB 中点 Q 在 y 轴上的射影 P 满足 PA⊥PB?如果存在, 求出 AB 的弦长;如果不存在,请说明理由.

高三数学试卷第 4 页(共 4 页)

2005 年南京市金陵中学高三第三次质量检测 参考答案及评分标准
一、选择题:每小题 5 分,满分 60 分 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 A 5 A 6 C 7 D 8 B 9 B 10 D 11 D 12 B

二、填空题:每小题 4 分,满分 16 分 13.(1,-1) 14.7 15.36π 5 16.[1,2]∪[ ,+∞) 2

三、解答题 17.(本小题满分 12 分) (1)x·y=(2a+c)cosB+bcosC=0, 由正弦定理 2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0, 2sinAcosB+sin(B+C)=0. sinA(2cosB+1)=0. 1 2π ∵A,B∈(0,π ),∴sinA≠0,cosB=- ,B= . 2 3 2π (2)法一:3=a2+c2-2accos =(a+c)2-ac, 3 a+c 2 (a+c)2=3+ac≤3+( ), 2 ∴(a+c)2≤4,a+c≤2. ∴当且仅当 a=c 时,(a+c)max=2. π b 3 法二:2R= = =2,A+C= . sinB 3 3 2

(2 分) (4 分) (6 分) (8 分) (10 分)

(12 分) (8 分)

A+C A-C A+C A-C a+c=2(sinA+sinC)=2[sin( + )+sin( - )] 2 2 2 2 A+C A-C 1 A-C =4sin cos =4× cos ≤2. 2 2 2 2 π 当且仅当 A=C= 时,(a+c)max=2. 6 18.(本小题满分 12 分) (1)f (2)g (3)+g (2)f (3)= a2+a 2
-2

(10 分)

(12 分)

a3-a 3 a2-a · + 2 2



-2

a3+a · 2


-3

a5-a 5 1 -1 -5 -1 -5 5 5 = (a +a-a -a +a -a+a -a )= =g (5).(6 分) 4 2 (2)g (m+n)=f (m)g (n)+g (m)f (n). f (m)g (n)+g (m)f (n)= 1 + = (a m n+a 4
-m+n

(8 分)
n
-n

a +a 2
-m-n

m

-m

a -a a -a · + 2 2


m

-m

a +a · 2
-m - n

n

-n

-a m n-a



+a m n-a

-m+n

+a m n-a





高三数学试卷第 5 页(共 4 页)

a m n-a = 2



-(m+n)

=g (m+n).

(12 分)

19.(本小题满分 12 分) (1)∵G 为正△ABC 的中心,∴D 为 BC 中点. ∴DE:EB1=BD:B1C1=1:2=DG:GA. ∴GE//AB1.∵GE?面 AA1B1B,AB1?面 AA1B1B, ∴GE//面 AA1B1B. (2)由(1) ,E、G 到平面 AA1B1B 等距离, 设 CG 交 AB 于 F,则 GF⊥AB. 3 3 ∵面 AA1B1B⊥面 ABC,∴GF⊥面 AA1B1B,GF= AB= . 6 3 ∴E 到面 AA1B1B 的距离为 3 . 3

(4 分) A1 B1 C1

(8 分) E B N M

(3)作 B1M⊥AB,M 为垂足,则 B1M⊥面 ABC. F A 作 MN⊥AD,N 为垂足,连接 B1N,则 B1N⊥AD,则∠B1NM G D 为二面角 B1-AD-B 的平面角. ∵面 AA1B1B⊥面 ABC,∴∠B1BM 为侧棱与底面所成角,∠B1BM=60°C . 3 B1M=B1Bsin60° 3,BM=B1Bcos60° = =1,AM=3,MN=Amsin30° . = 2 tan∠B1NM= B1M 3 2 3 2 3 = = ,∴二面角 B1-AD-B 为 arctan .(12 分) NM 3 3 3 2

20.(本小题满分 12 分) (1)f ′(x)=3x2+2a x+b=0. 2 由题设,x=1,x=- 为 f ′(x)=0 的解. 3 2 2 b 2 1 - a=1- , =1×(- ).∴a=- ,b=-2. 3 3 3 3 2 1 1 3 (2)f (x)=x3- x2-2 x+c,由 f (-1)=-1- +2+c= ,c=1. 2 2 2 1 ∴f (x)=x3- x2-2 x+1. 2 x f ′(x) 2 (-∞,- ) 3 + 2 (- ,1) 3 - (1,+∞) + (4 分)

2 2 ∴f (x)的递增区间为(-∞,- ) ,及(1,+∞) ,递减区间为(- ,1) . 3 3 2 2 49 1 当 x=- 时,f (x)有极大值,f (- )= ;当 x=1 时,f (x)有极小值,f (1)=- . 3 3 27 2 分) 1 (3)由上,f ′(x)=(x-1)(3x+2),f (x)=x3- x2-2 x+c, 2 (8

高三数学试卷第 6 页(共 4 页)

2 2 f (x)在[-1,- )及(1,2]上递增,在(- ,1)递减. 3 3 2 8 2 4 22 f (- )=- - + +c=c+ .f (2)=8-2-4+c=c+2. 3 27 9 5 27 c2+2c-3 3 由题设,c+2< 恒成立, <0, c c ∴c<-3,或 0<c<1 . 21.(本小题满分 12 分) 1 1 1 1 1 1 3 (1)p1= ,p2=p0× +p1× =1× + × = . 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 3 1 5 p3=p1× +p2× = × + × = . 2 2 2 2 4 2 8 1 1 1 1 pn+1=pn-1× +pn× = pn+ pn-1. 2 2 2 2 1 1 1 (2)pn+1-pn=- pn+ pn-1=- ( pn-pn-1) 2 2 2 a n+1 1 1 1 a n+1=- a n, =- .∴{a n}是公比为- 的等比数列.(8 分) 2 an 2 2 1 1 a1=p1-p0= -1=- . 2 2 1 a n=(- )n. 2 (3)p99=(p99-p98)+(p98-p97)+…+(p2-p1)+(p1-p0)+p0 =a99+a98+…+a2+a1+1 -1 =1+ × 2 1 1-(- )99 2 1 1 1 2 1 =1- - × 99= (1- 100). 1 3 3 2 3 2 1-(- ) 2 (12 分) (9 分) (3 分) (5 分) (12 分)

2 1 ∴获胜的概率为 (1- 100). 3 2 22.(本小题满分 14 分) (1)∵|a|-|b|=2,∴ (x+2)2+y2- (x-2)2+y2=2<4.

(2 分) y

∴M(x,y)到点 F(-2,0)和 D(2,0)的距离差为 2, ∴M 点的轨迹是以 F、D 为焦点,实轴长为 2 的双曲线的右支, ∴a=1,c=2,b2=3. y2 ∴M 点的轨迹方程是 C:x2- =1(x≥1). 3 → → (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,∵AD=3DB, ∴(2-x1,-y1)=3(x2-2,y2),∴y1=-3 y2, 设 x=my+2,代入 C:3(my+2) 2-y2=3, (3m2-1)y2+12my+9=0. (4 分)

A1

A l

P

P1

Q θ

O B1

D B

x

E
高三数学试卷第 7 页(共 4 页)

l′

-12m 9 -2y2=y1+y2= 2 ,-3 y22=y1y2= 2 . 3m -1 3m -1 -3 6m 2 1 ∴( 2 )= 2 ,12m2=1-3m2,m2= . 15 3m -1 3m -1 由已知 m>0,l:x= 1 y+2,即 y= 15( x-2). 15

(6 分)

(8 分)

方法二: 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , → → 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,∵AD=3DB, ∴(2-x1,-y1)=3(x2-2,y2),∴x1+3 x2=8,y1=-3 y2,

?3 x -y =3,① 3 x -y =3,② 即? x +3 x =8, ③ ? y =-3 y . ④
1 2 1 2 2 2 1 1 2 2

2

2

由①②④消去 y1 、y2 得

x12-9x22=-8, (x1-3x2)( x1+3x2)=-8, 将③代入得 x1-3x2=-1. ⑤ 由③⑤解得 7 x1= , 2 3 15 代入①得,y1=± . 2 ∴kl=± 15(∵l 的倾斜角为锐角,∴kl=- 15舍去) , ∴l:y= 15( x-2). 方法二:设 A、B 在双曲线右准线 l′上的射影为 A1,B1, π AB 交 l′于 E,l 的倾斜角为θ (0<θ < ) . 2 → |DB| 1 |BB1| |EB| 1 1 则 = = = .∴|EB|= |AB|= ×4|BD|, 2 2 → 3 |AA1| |EA| |AD| |EB|=2|BD|,又|BD|=e|BB1|,∴|EB|=2e|BB1|,∴e=2. |BB1| 1 ∴cosθ = = ,tanθ = 15,∴l:y= 15( x-2). |EB| 4

(6 分)

(8 分)

(8 分)

(3)假设存在满足条件的弦 AB,则 PQ 为 Rt△PAB 斜边上的中线,∴2|PQ|=|AB|. 设 Q(x0,y0) ,|PQ|=x0. y0= y1+y2 -6m -6m2 -2 = 2 ,x0=my0+2= 2 +2= 2 . 2 3m -1 3m -1 3m -1

-2 1 |PQ|= 2 >0,m2< . 3 3m -1

高三数学试卷第 8 页(共 4 页)

(y1-y2)2=(
2

4 m2+1-3m2 36(m2+1) 12m 2 9 ) -4× 2 =36× = . 2 3m -1 3m -1 (1-3m2)2 (1-3m2)2
2 2 2 2

36(m2+1)2 |AB| =(y1-y2) +(x1-x2) =(1+m ) (y1-y2) = . (1-3m2)2 ∴|AB|= 弦. 6(m2+1) 4 2 =2|PQ|= ,∴m2 =- ,不可能成立.∴不存在满足条件的 3 1-3m2 1-3m2

(14 分) 法二:设 PQ 交双曲线的右准线 l′于 P1,P1Q 为梯形 AA1B1B 中位线, 1 1 1 2|PQ|=|AA1|+|BB1|= |AD|+ |BD|= |AB|.∴|AB|=4|PQ|. e e e 假设存在满足条件的弦 AB,则 PQ 为 Rt△PAB 斜边上的中线, 1 1 1 ∴|PQ|= |AB|=2|P1Q|,∴ +|P1Q|=2|P1Q|,|P1Q|= , 2 2 2 1 3 又|P1Q|≥2- = ,矛盾,∴不存在满足条件的弦. 2 2 (14 分)

高三数学试卷第 9 页(共 4 页)


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