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北京市朝阳区2016届高三第二次(5月)综合练习数学理试题(图片版)


数学答案(理工类)
一、选择题:(满分 40 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 C 5 D

2016.5

6 A

7 D

8 C

二、填空题:(满分 30 分) 题 号 答 案 9 10 11 12 13 14

y??<

br />
3 x ,4 3

3 ,16

6

(??, ?2] ? [0,1)

?n2 ? 19n ? 60 , 5

2 2 ?1

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题:(满分 80 分) 15.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ) 因为 cos 2 A ? 1 ? 2sin A ? ? ,且 0 ? A ? ? ,
2

1 3

所以 sin A ?

6 . 3

因为 c ? 3,sin A ? 6 sin C , 由正弦定理

a c ? ,得 a ? 6 ? c ? 6 ? 3 ? 3 2 .…………………6 分 sin A sin C

(Ⅱ) 由 sin A ?

3 6 ? . , 0 ? A ? 得 cos A ? 3 2 3

由余弦定理 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,得 b2 ? 2b ? 15 ? 0 . 解得 b ? 5 或 b ? ?3 (舍负). 所以 S?ABC ?

1 5 2 . bc sin A ? 2 2

…………………13 分

16.解: (Ⅰ)由已知可得:上班的 40 个工作日中早高峰时段中度拥堵的频率为 0.25, 据此估计此人 260 个工作日早高峰时段(早晨 7 点至 9 点)中度拥堵的天数为 260× 0.25=65 天. ……………………………………………………5 分

(Ⅱ)由题意可知 X 的可能取值为 30,35, 40,50, 70 . 且 P( X ? 30) ? 0.05 ; P( X ? 35) ? 0.10 ; P( X ? 40) ? 0.45 ;

P( X ? 5 0 ? )

0 .; 25 P( X ? 70) ? 0.15 ;

所以 EX ? 30 ? 0.05+35 ? 0.1+40 ? 0.45+50 ? 0.25+70 ? 0.15=46 . …………………………………13 分 17. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)如图 1,在等腰梯形 ABCD 中, A E D

BC ? 由 BC //AD ,
中点,

1 E 为 AD ?A ? 60? , AD ? 2 , 2
B 图1 A1 C

所以 ?ABE 为等边三角形.如图 2, 因为 O 为 BE 的中点,所以 AO ? BE . 1

BCDE , 又因为平面 A 1BE ? 平面 BCDE ? BE , 且平面 A 1BE ? 平面
所以 AO ? 平面 BCDE ,所以 AO ? CE .………4 分 1 1 (Ⅱ)连结 OC ,由已知得 CB ? CE ,又 O 为 BE 的中点, 图2 所以 OC ? BE . 由(Ⅰ)知 AO ? 平面 BCDE , 1 所以 AO ? BE, AO ? OC , 1 1 所以 OA 1 , OB, OC 两两垂直. 以 O 为原点,OB, OC, OA1 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐 标系(如图). 因为 BC ? 2 ,易知 OA 1 ? OC ? 3 . 所以 A , 0,3), B(1 , 0, 0), C(0,3, 0), E(?1 , 0, 0) , 1 (0 B x z X O C y z X E z z A1 X P F D O B C E F D

所以 A , 0, ? 3), AC ? (0,3, ? 3), A1E ? (?1 , 0, ? 3) . 1B ? (1 1 设平面 ACE 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) , 1

????

????

????

???? ? ? n ? A1C ? 0, 由 ? ???? ? ?n ? A1 E ? 0

得?

? ? 3 y ? 3z ? 0, ? ?? x ? 3z ? 0.

即?

? ? y ? z ? 0, ? ? x ? 3 z ? 0.

取 z ? 1 ,得 n ? (? 3,1,1) . 设直线 A 所成角为 ? , 1B 与平面 ACE 1 则 sin ? ? cos? A1 B, n? ?

????

? 3? 3 3 15 . ? ? 5 2? 5 5

所以直线 A 所成角的正弦值为 1B 与平面 ACE 1

15 . 5

…………………9 分

P ,使得 BP // 平面 AOF (Ⅲ)假设在侧棱 AC . 1 上存在点 1
设A 1P ? ? AC 1 , ? ? [0,1] . 因为 BP ? BA , 1?A 1P ? BA 1 ? ? AC 1 所以 BP ? (?1 , 0,3) ? ?(0,3, ? 3) ? (?1, 3?, 3 ? 3?) . 易证四边形 BCDE 为菱形,且 CE ? BD , 又由(Ⅰ)可知, AO . ? CE ,所以 CE ? 平面 AOF 1 1 所以 CE ? (?1, ? 3,0) 为平面 AOF 的一个法向量. 1 由 BP ? CE ? (?1, 3?, 3 ? 3? ) ? (?1, ? 3,0) ? 1 ? 3? ? 0 ,得 ? ?

????

????

??? ?

???? ????

????

????

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

1 ? [0,1] . 3

P ,使得 BP // 平面 AOF 所以侧棱 AC ,且 1 上存在点 1
18.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)当 a ? 3 时, f ( x) ? ?

A1 P 1 ? . …………14 分 A1C 3

1 2 x ? 4 x ? 2 ln x , x ? 0 . 2

f ?( x) ? ? x ? 4 ?

2 . x

1 7 ?4? . 2 2 7 所以曲线 C 在点(1, f (1) )处的切线方程为 y ? ? x ? 1 ,即 2 x ? 2 y ? 5 ? 0 . 2
则 f ?(1) ? ?1 ? 4 ? 2 ? 1 ,而 f (1) ? ? …………………………………………………………………………4 分

? ?1 ? x ? 2, ? (Ⅱ)依题意当 x ??1, 2? 时,曲线 C 上的点 ? x, y ? 都在不等式组 ? x ? y , 所表示的平面区域内, ? 3 ?y ? x ? ? 2
等价于当 1 ? x ? 2 时, x ? f ( x) ? x ? 设 g ( x) ? f ( x) ? x ? ? 所以 g ?( x)= ? x+a+

3 恒成立. 2

1 2 x ? ax ? ( 1 ? a) ln x , x ??1, 2? . 2

1? a ? x 2 ? ax ? (1 ? a) ?(x ? 1)(x ? ? a ? 1)) = = . x x x

(1)当 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 2 时,当 x ??1, 2? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 为单调减函数,

1 3 ? g (1) ? a ? ? , ? 所以 g (2) ? g ( x) ? g (1) . 依题意应有 ? 2 2 ? ? g ( 2) ? ?2 ? 2a ? (1 ? a )ln2 ? 0,
解得 ?

?a ? 2, 所以 1 ? a ? 2 . ? a ? 1.

(2)若 1 ? a ? 1 ? 2 ,即 2 ? a ? 3 时,当 x ??1, a ?1? , g ?( x) ? 0 , g ( x) 为单调增函 数, 当 x ? ? a ?1, 2? , g ?( x) ? 0 , g ( x) 为单调减函数. 由于 g (1) ?

3 ,所以不合题意. 2 1 5 ? ,显然不合题意. 2 2

(3)当 a ? 1 ? 2 ,即 a ? 3 时,注意到 g (1) ? a ? 综上所述, 1 ? a ? 2 . 19.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)依题意可知 a ?

…………………………………………13 分

2 , c ? 2 ?1 ? 1 ,

所以椭圆 C 离心率为 e ?

1 2 . ? 2 2

…………… 3 分

(Ⅱ)因为直线 l 与 x 轴, y 轴分别相交于 A, B 两点,所以 x0 ? 0, y0 ? 0 . 令 y ? 0 ,由

x0 x 2 2 ? y0 y ? 1 得 x ? ,则 A( , 0) . 2 x0 x0

令 x ? 0 ,由

x0 x 1 1 ? y0 y ? 1 得 y ? ,则 B(0, ) . 2 y0 y0

所以 ?OAB 的面积 S?OAB ?

1 1 2 1 . OA OB ? ? 2 2 x0 y0 x0 y0
x2 x2 ? y 2 ? 1上,所以 0 ? y0 2 ? 1 . 2 2

因为点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 C :

所以 1 ?

xy 1 x0 2 2 ,则 ? 2. ? y0 2 ? 2 0 0 .即 x0 y0 ? 2 x0 y0 2 2
1 1 OA OB ? ? 2. 2 x0 y0

所以 S?OAB ?

当且仅当

x0 2 2 ? y0 2 ,即 x0 ? ?1, y0 ? ? 时, ?OAB 面积的最小值为 2 . … 9 分 2 2

(Ⅲ)①当 x0 ? 0 时, P(0, ?1) . 当直线 l : y ? 1 时,易得 Q(?1, 2) ,此时 kF2 P ? ?1 , kF2Q ? ?1. 因为 kF2Q ? kF2 P ,所以三点 Q, P, F2 共线. 同理,当直线 l : y ? ?1 时,三点 Q, P, F2 共线. ②当 x0 ? 0 时,设点 Q(m, n) ,因为点 Q 与点 F 1 关于直线 l 对称,

n ? x0 m ? 1 ? 2 ? 2 ? y0 ? 2 ? 1, ? ? x0 m ? 2 y0 n ? x0 ? 4 ? 0, ? 所以 ? n ? 0 整理得 ? x ? 2 y0 m ? x0 n ? 2 y0 ? 0. ? 2 ? (? 0 ) ? ?1. ? m ?1 2 y0 ?1 ? ? 2
2 2 ? x0 ? 4 x0 ? 4 y0 m ? , ? 2 2 4 y0 ? x0 ? 解得 ? ? n ? 4 x0 y0 ? 8 y0 . 2 2 ? 4 y0 ? x0 ?

所以点 Q(

2 2 x0 ? 4 x0 ? 4 y0 4x y ? 8 y , 0 20 2 0 ) . 2 2 4 y0 ? x0 4 y0 ? x0

又因为 F2 P ? ( x0 ?1, y0 ) , F2Q ? (

???? ?

???? ?

2 2 x0 ? 4 x0 ? 4 y0 4x y ? 8 y ? 1, 0 20 2 0 ) , 且 2 2 4 y0 ? x0 4 y0 ? x0

(

2 2 x0 ? 4 x0 ? 4 y0 4 x0 y0 ? 8 y0 (4 x0 ? 8 y0 2 ) ? (4 x0 ? 8)( x0 ? 1) ? 1) ? y ? ? ( x ? 1) ? y ? 0 0 0 2 2 2 2 2 2 4 y0 ? x0 4 y0 ? x0 4 y0 ? x0

4 x0 ? 8 y0 2 ? (4 x0 2 ? 4 x0 ? 8) ? y0 ? 2 2 4 y0 ? x0 ? y0 ? ?8 y02 ? 4 x02 ? 8 ?4(2 y02 ? x02 ) ? 8 ?4 ? 2 ? 8 ? y ? ? y0 ? 2 ? 0. 0 2 2 2 2 2 4 y0 ? x0 4 y0 ? x0 4 y0 ? x0

所以 F2 P// F2Q .所以点 Q, P, F2 三点共线. 综上所述,点 Q, P, F2 三点共线. 20.(本小题满分 13 分) 证明:(Ⅰ)当 n ? 2 时, S ? {1, 2,3, 4} ,令 S1 ? {1, 4} , S2 ? {2,3} , 则 S ? S1 ? S2 , 且对 ?x, y ? Si (i ? 1,2), x ? y ,都有 x ? y ? Si , 所以 S 具有性质 P .相应的 P 子集为 S1 ? {1, 4} , S2 ? {2,3} . (Ⅱ)①若 x, y ? T (1 ? y ? x ? ………… 3 分 …………………………………14 分

???? ? ???? ?

3n ? 1 ) ,由已知 x ? y ? T , 2

又x? y ?

3n ? 1 ? 1 ? 3n ,所以 x ? y ?T ? .所以 x ? y ? T ? T ' . 2 3n ? 1 , 2

n n ②若 x, y ? T ? ,可设 x ? s ? 3 , y ? r ? 3 , r , s ? T ,且 1 ? r ? s ?

此时 x ? y ? ( s ? 3n ) ? (r ? 3n ) ? s ? r ?

3n ? 1 ? 1 ? 3n . 2

所以 x ? y ? T ' ,且 x ? y ? s ? r ? T .所以 x ? y ? T ? T ? . ③若 y ? T , x ? s ? 3 ? T ? , s ? T ,
n

则 x ? y ? ( s ? 3n ) ? y ? ( s ? y ) ? 3n ? (1 ? 所以 x ? y ? T .

3n ? 1 3n ? 3 3n ? 1 n , )?3 ? ? 2 2 2

又因为 y ? T , s ? T ,所以 s ? y ? T .所以 x ? y ? (s ? 3n ) ? y ? (s ? y) ? 3n ?T ? . 所以 x ? y ? T ? T ' . 综上,对于 ?x, y ? T ? T ' , x ? y ,都有 x ? y ? T ? T ' . (Ⅲ)用数学归纳法证明. (1)由(Ⅰ)可知当 n ? 2 时,命题成立,即集合 S 具有性质 P . …………… 8 分

3k ? 1 (2)假设 n ? k ( k ? 2 )时,命题成立.即 S ? {1, 2,3,?, } ? S1 ? S2 ??? Sk , 2
且 Si ? S j ? ? (1 ? i, j ? n, i ? j) , ?x, y ? Si (i ? 1, 2,?, k ), x ? y ,都有 x ? y ? Si . 那么 当 n ? k ? 1 时,记 Si? ? {s ? 3 | s ? Si } ,
k



?? ? S1 ? S1? , S2 ?? ? S2 ? S2 ?, 并构造如下 k + 1个集合: S1
???1 ? { Sk 3k ? 1 3k ? 1 3k ? 1 ? 1, ? 2,?, 2 ? ? 1} , 2 2 2

?? ? Sk ? Sk ?, , Sk

显然 Si??? S ?? j ? ? (i ? j ) .

又因为

3k ?1 ? 1 3k ? 1 3k ?1 ? 1 ?? ??? Sk ?? ? Sk ???1 ? {1, 2,3,?, ? 3? ? 1 ,所以 S1??? S2 }. 2 2 2

下面证明 Si?? 中任意两个元素之差不等于 Si?? 中的任一元素 (i ? 1, 2,?, k ? 1) . ①若两个元素

3k ? 1 3k ? 1 3k ? 1 ???1 , 1 ? r ? s ? ? r, ? s ? Sk ?1, 2 2 2

则(

3k ? 1 3k ? 1 3k ? 1 , ? s) ? ( ? r) ? s ? r ? 2 2 2

所以 (

3k ? 1 3k ? 1 ???1 . ? s) ? ( ? r ) ? Sk 2 2

②若两个元素都属于 Si?? ? Si ? Si? (1 ? i ? k ) , 由(Ⅱ)可知, Si?? 中任意两个元素之差不等于 Si?? 中的任一数 (i ? 1, 2,?, k ? 1) . 从而, n ? k ? 1 时命题成立. 综上所述,对任意正整数 n ? 2 ,集合 S 具有性质 P .………………………13 分


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