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2.3.3-2.3.4线面垂直与面面垂直性质定理


2.3.3 直线与平面垂直的性质

2.3.4 平面与平面垂直的性质

1.直线与平面垂直的性质定理
文字语言 符号语言 垂直于同一个平面的两条直线平行

a ??? ? ? a ∥b b ???

图形语言

思考1:直线与平面垂直的性质定理有什么作用?

(直线与平面垂直的性质定理的作用是:线面垂直?线线平行,它揭示了
平行与垂直之间的相互转化)

拓展提升: (1)直线与平面垂直的几个常见结论

①垂直于同一条直线的两个平面平行,即l⊥α,l⊥β?α∥β.
②两条平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面,即 l∥m,l⊥α?m⊥α.

③如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它必垂直于另一个平
面,即l⊥α,α∥β?l⊥β. (2)平面与平面垂直的几个常见结论 ①如果两个平面互相垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一 个平面,即α⊥β,γ∥β?γ⊥α. ②如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面 或在另一个平面内,即α⊥β,b⊥β?b∥α或b?α.

直线与平面垂直的性质定理的应用
【例1】 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC、A1D都垂直 相交.

求证:EF∥BD1.

导引:要证EF∥BD1,借助线面垂直的性质定理,应如何操作?(要寻找EF和 BD1共同垂直的平面,所以需要作出辅助平面)

证明:如图所示,连接AB1、B1D1、B1C、BD, ∵DD1⊥平面ABCD, AC?平面ABCD, ∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD,DD1∩BD=D, ∴AC⊥平面BDD1B1, 又BD1?平面BDD1B1, ∴AC⊥BD1. 同理可证BD1⊥B1C, 又AC∩B1C=C, ∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥AC,EF⊥A1D, 又A1D∥B1C,∴EF⊥B1C. ∴EF⊥平面AB1C,∴EF∥BD1. 题后反思 线面垂直的性质定理提供了证明两直线平行的重要依据,也是由 垂直关系转化为平行关系的重要方法.

跟踪训练1-1:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是
A1C的中点,MN⊥平面A1DC. 求证: (1)MN∥AD1; (2)M是AB的中点. 证明: (1)∵四边形ADD1A1为正方形, ∴AD1⊥A1D. 又CD⊥平面ADD1A1, ∴CD⊥AD1.

∵A1D∩CD=D,
∴AD1⊥平面A1DC. 又MN⊥平面A1DC, ∴MN∥AD1.

(2)连接 ON,在△A1DC 中, A1O=OD,A1N=NC, ∴ON
1 CD 2 1 AB, 2

∴ON∥AM, 又 MN∥OA, ∴四边形 AMNO 为平行四边形, ∴ON=AM.
1 ∵ON= AB, 2

∴AM=

1 AB, 2

∴M 是 AB 的中点.

2.平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一 个平面垂直

符号语言

? ?? ? ? ? ? ? l? ? ? ? a⊥β a ?? ?
a?l ? ?

图形语言

思考2:如果两个平面互相垂直,则一个平面内的一条直线一定垂直于 另一个平面吗? (不一定.只有和交线垂直的直线才垂直于另一个平面)

【例】 (2014陕西榆林实验中学高一期末)已知a、b为不重合的直 线,α 为平面,则下面四个命题:① a∥b,a⊥α ,则b⊥α ;②若 a⊥α ,b⊥α ,则a∥b;③若a⊥α ,a⊥b,则b∥α ;④若a∥α ,a⊥b,

则b⊥α ;其中正确的命题是(
(A)①② (C)②③④ (B)①②③ (D)①②④

)

解析:①②显然正确;③中b可能在α内;④中b与α关系不确定.故
选A,

1.已知平面α ⊥平面β ,则下列命题正确的个数是( C ①α 内的直线必垂直于β 内的无数条直线

)

②在β 内垂直于α 与β 的交线的直线必垂直于α 内的任意一条直线 ③α 内的任何一条直线必垂直于β

④过β 内的任意一点作α 与β 交线的垂线,则这条直线必垂直于α
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

解析:β内一定存在无数条平行直线都垂直于α,也即垂直于α内

的直线,①正确;②符合两平面垂直性质定理,②正确;α内的直线
与β位置关系不确定,③错;如果过α、β交线上一点,作交线的垂 线,且垂线不在β内,则这条直线不一定垂直于α,④错,故选C.

2.设a、b是两条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面,则下列四个命题: ①若a⊥b,a⊥α ,则b∥α ;②若a∥α ,β ⊥α ,则a⊥β ; ③若a⊥β ,β ⊥α ,则a∥α ;④若a⊥b,a⊥α ,b⊥β ,则β ⊥α . 其中,正确的命题的个数是( B ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:①中也可能b?α;②中a与β的位置关系不确定;③中也可能a?α; ④正确.应选B.

3.如图所示,在三棱锥P-ABC内,侧面PAC⊥底面ABC,且∠PAC=90°,
求证:PA⊥AB. 证明:∵∠PAC=90°, ∴PA⊥AC. ∵平面PAC⊥平面ABC, 平面PAC∩平面ABC=AC, ∴PA⊥平面ABC. ∵AB?平面ABC, ∴PA⊥AB.

平面与平面垂直性质定理的应用
【例2】 (2013年高考江苏卷)如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC, AB⊥BC,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点. 求证: (1)平面EFG∥平面ABC; (2)BC⊥SA.

证明: (1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,
所以F是SB的中点. 又因为E是SA的中点,

所以EF∥AB.
因为EF?平面ABC,AB?平面ABC, 所以EF∥平面ABC. 同理EG∥平面ABC. 又EF∩EG=E, 所以平面EFG∥平面ABC.

(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB, 又AF?平面SAB,AF⊥SB, 所以AF⊥平面SBC.

因为BC?平面SBC,
所以AF⊥BC. 又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF?平面SAB,

AB?平面SAB,
所以BC⊥平面SAB. 因为SA?平面SAB, 所以BC⊥SA.

题后反思 利用面面垂直的性质定理,证明线面垂直的问题时,要注意
以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直 线必须垂直于它们的交线.

跟踪训练2-1:四棱锥V-ABCD的底面是矩形,侧面VAB⊥底面ABCD,又

VB⊥平面VAD.
求证:平面VBC⊥平面VAC.

证明:∵平面VAB⊥平面ABCD,
AB为交线且BC⊥AB. ∴BC⊥平面VAB,∴BC⊥VA, 又VB⊥平面VAD,∴VB⊥VA,又VB∩BC=B, ∴VA⊥平面VBC, ∵VA?平面VAC. ∴平面VBC⊥平面VAC.

线面、面面垂直的综合问题
【例3】 (2013年高考北京卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD, CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别为CD和PC的中点,求证:

(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD; (3)平面BEF⊥平面PCD.

导引: (1)对题中的条件“平面PAD⊥底面ABCD”怎样进行转化?(利 用性质定理,由PA⊥AD,AD为交线,可得PA⊥底面ABCD) (2)BE与平面PAD内哪条直线平行?(与直线AD平行) (3)能在平面PCD内找到与平面BEF垂直的直线吗?(能.CD⊥平面BEF)

证明: (1)因为平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD, 所以PA⊥底面ABCD. (2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点, 所以AB∥DE,且AB=DE. 所以四边形ABED为平行四边形. 所以BE∥AD. 又因为BE?平面PAD,AD?平面PAD, 所以BE∥平面PAD. (3)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形. 所以BE⊥CD,AD⊥CD, 由(1)知PA⊥底面ABCD. 所以PA⊥CD.又AD∩PA=A, 所以CD⊥平面PAD. 所以CD⊥PD. 因为E和F分别是CD和PC的中点, 所以PD∥EF. 题后反思 直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位 所以CD⊥EF.又EF∩BE=E, 置关系,当已知线面、面面垂直或平行时考虑用性质定理转化, 所以CD⊥平面BEF.又CD?平面PCD, 要证线面、面面垂直或平行时要用判定定理进行论证 . 所以平面BEF⊥平面 PCD.

跟踪训练3-1:(2014南安一中高一期末)如图,在三棱锥P-ABC中,E、F分别为 AC、BC的中点.

(1)求证:EF∥平面PAB; (2)若平面PAC⊥平面ABC,且PA=PC,∠ABC=90°,求证:平面PEF⊥平面PBC. 证明: (1)∵E,F分别是AC,BC的中点, ∴EF∥AB. 又EF?平面PAB,AB?平面PAB,

∴EF∥平面PAB.

(2)在三角形PAC中,∵PA=PC,E为AC中点, ∴PE⊥AC.

∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,
∴PE⊥平面ABC. ∴PE⊥BC.

又EF∥AB,∠ABC=90°,
∴EF⊥BC, 又EF∩PE=E, ∴BC⊥平面PEF. 又BC?平面PBC, ∴平面PEF⊥平面PBC.

【例】 如图所示,在矩形ABCD中,AB=2AD,E是AB的中点,沿DE将△ADE折起. (1)如果二面角A-DE-C是直二面角,求证:AB=AC; (2)如果AB=AC,求证:平面ADE⊥平面BCDE.

证明: (1)过点A作AM⊥DE于点M, 则AM⊥平面BCDE, ∴AM⊥BC.又AD=AE, ∴M是DE的中点.取BC中点N,连接MN,AN,则MN⊥BC. 又AM⊥BC,AM∩MN=M, ∴BC⊥平面AMN,∴AN⊥BC.

又∵N是BC中点,∴AB=AC.

(2)取BC的中点N,连接AN,∵AB=AC,∴AN⊥BC. 取DE的中点M,连接MN,AM, 则MN⊥BC.又AN∩MN=N, ∴BC⊥平面AMN,∴AM⊥BC. 又M是DE的中点,AD=AE,∴AM⊥DE. 又∵DE与BC是平面BCDE内的相交直线, ∴AM⊥平面BCDE.∵AM?平面ADE, ∴平面ADE⊥平面BCDE.

【例】 如图所示,A、B、C、D 为空间四点.在△ABC 中,AB=2, AC=BC= 2 ,等边三角形 ADB 以 AB 为轴运动.
(1)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD的长;

(2)当△ADB以AB为轴转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论.
解: (1)取AB的中点E,连接DE,CE, 因为△ADB是等边三角形, 所以DE⊥AB. 当平面ADB⊥平面ABC时,

因为平面ADB∩平面ABC=AB,
所以DE⊥平面ABC, 可知DE⊥CE.

由已知可得 DE= 3 ,EC=1, 在 Rt△DEC 中,CD= DE 2 ? EC 2 =2.

(2)当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD. 证明如下: ①当D在平面ABC内时, 因为AC=BC,AD=BD, 所以C,D都在线段AB的垂直平分线上,

即AB⊥CD.
②当D不在平面ABC内时,由(1)知AB⊥DE. 又因为AC=BC,所以AB⊥CE.

又DE,CE为相交直线,
所以AB⊥平面CDE, 由CD?平面CDE,得AB⊥CD. 综上所述,总有AB⊥CD.

课堂小结
1.空间中直线与直线、 直线与平面、 平面与平面之间的垂直关系可 以相互转化,其转化关系如下: 线线垂直 线面垂直 面面垂直

2.由面面垂直证明线线垂直,一般是先由面面垂直得线面垂直, 再由线面垂直得线线垂直. 3.直线与平面垂直的性质定理是垂直关系向平行关系的转化, 由平行关系也可转化为垂直关系,如a∥b,a⊥α?b⊥α; α∥β,a⊥α?a⊥β.


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