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人教新课标版(A)高二选修1-1 第三章导数及其应用综合例题


人教新课标版(A)高二选修 1-1 第三章 导数及其应用综合例题 例 1. 求下列函数的导数: 2 3 (1) y ? 2 ? 3 ; x x (2) y ? 2x 2 ? 3 ?3x ? 2? ; ? ? x x ? cos 。 2 2 解:由函数的和(或差)与积的求导法则,可得 (3) y ? x ? sin 4 9 ? 2 ? ? 3 ? (1) y? ? ? 2

?? ? ? 3 ?? ? 2x ?2 ? ? 3x ?3 ? ? ?4x ?3 ? 9x ?4 ? ? 3 ? 4 。 x x ?x ? ?x ? (2)方法 1: y? ? 2x 2 ? 3 ??3x ? 2? ? 2x 2 ? 3 ?3x ? 2?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4x ?3x ? 2? ? 2x 2 ? 3 ? 3 ? ? ? 18x 2 ? 8x ? 9 。 方法 2:∵ y ? 2x 2 ? 3 ?3x ? 2? ? 6x 3 ? 4x 2 ? 9x ? 6 , ∴ y? ? 18x 2 ? 8x ? 9 。 (3)∵ y ? x ? sin ∴ y? ? 1 ? ? ? x x 1 ? cos ? x ? sin x , 2 2 2 1 cos x 。 2 点拨:在可能的情况下,求导时应尽量少用甚至不用乘法的求导法则,所以,在求导之 前,应利用代数、三角恒等变形对函数进行化简,然后再求导,这样可减少运算量。 例 2. 求函数 y ? x 2 ? 1 ? 1 的单调区间。 分析:先化成基本初等函数后再利用求导法则求导。 解: y ? x 2 ? 1 ? 1 ? x 6 ? 3x 4 ? 3x 2 , 所以 y? ? 6x 5 ? 12x 3 ? 6x ? 6x x 4 ? 2x 2 ? 1 ? 6x x 2 ? 1 , 令 y? ? 0 ,则 x ? 0 或 x ? ?1 。 ? ? 3 ? ? 3 ? ? ? ? 2 http://school.chinaedu.com 1 由上表可得函数 y ? x 2 ? 1 ? 1 的递减区间为 ?? ?, 0? ;递增区间为(0, ? ? ) 。 3 ? ? 点拨:有多个极值时,可用列表的方法求极值或单调区间。 例 3. (2005·湖北)在函数 y ? x 3 ? 8x 的图象上,其切线的倾斜角小于 为整数的点的个数是 A. 3 B. 2 ? 的点中,坐标 4 C. 1 D. 0 解:由 0 ? y? ? 1 得, 0 ? 3x 2 ? 8 ? 1 , 2 6 ?x? 3。 3 答案:D 即 例 4. (2005·湖南)设 t ? 0 ,点 P(t,0)是函数 f ?x ? ? x 3 ? ax 与 g?x ? ? bx 2 ? c 的图象 的一个公共点,两函数的图象在点 P 处有相同的切线。 (1)用 t 表示 a,b,c; (2)若函数 y ? f ?x ? ? g?x ? 在(-1,3)上单调递减,求 t 的取值范围。 解: (1)因为函数 f ?x ? 、 g?x ? 的图象都经过点(t,0) ,所以 f ?t ? ? 0 ,即 t 3 ? at ? 0 , 因为 t ? 0 ,所以 a ? ?t 2 , g?t ? ? 0 ,即 bt 2 ? c ? 0 ,所以 c ? ab 。 又因为 f ?x ? , g?x ? 在点(t,0)处有相同的切线,所以 f ??t ? ? g??t ? 。 而 f ??x ?

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