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第一章导数及其应用复习2013.3.14


第一章
导数及其应用复习小结

本章知识结构
函数的瞬时变化率

导数概念

运动的瞬时速度 曲线的切线斜率 基本初等函数求导

导数

导数运算

导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数单调性研究 函数的极值、最值

/>导数应用

曲线的切线 变速运动的速度 最优化问题

一.知识串讲 曲线的切线
以曲线的切线为例,在一条曲线C:y=f(x)

上取一点P(x0,y0),点Q(x0+△x,y0+△y)
是曲线C上与点P临近的一点,做割线PQ ,当点Q沿曲线C无限地趋近点P时,割线 PQ便无限地趋近于某一极限位置PT,我们 就把直线PT叫做曲线C的在点P处的切线。

此时割线PT斜率的极限就是曲线C在点P处的切线的斜率, 用极限运算的表达式来写出,即 k=tanα= lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 )
?x ?0

?x

(一)导数的概念:
1.导数的定义:对函数y=f(x),在点x=x0处给自变量
x以增量△x,函数y相应有增量△y=f(x0+△ x)-f(x0), 若极限 lim ?y ? lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 存在,则此极限称为
?x ?0

?x

?x ?0

?x

f(x)在点x=x0处的导数,记为f ’(x0),或y|x ? x ;
0

2.导函数:如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点都可导, 就说y=f(x)在区间(a,b)内可导.即对于开区间(a,b)内每一个 确定的x0值,都相对应着一个确定的导数f ’(x0),这样在开区 间(a,b)内构成一个新函数,把这一新函数叫做f(x)在(a,b)内 的导函数.简称导数.记作f ’(x)或y’. 即f ’(x)=y’= lim f ( x ? ?x) ? f ( x)
?x ?0

?x

3.导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意 义,就是曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即曲线 y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线斜率为k=f ’(x0).所以曲线 y= f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线方程为 y?y0=f ’(x0)· (x-x0). 4.导数的物理意义:物体作直线运动时,路程s关于时间t

的函数为:s=s(t),那么瞬时速度 v 就是路程 s 对于时间t的导数,
即v(t)=s’(t).

基本初等函数的导数公式
' 1.若f(x)=c,则f(x)=0 ' 2.若f(x)=x n,则f(x)=nx n-1 (n ? R ) ' 3.若f(x)=sinx,则f(x)=cosx ' 4.若f(x)=cosx,则f(x)=-sinx ' 5.若f(x)=ax,则f(x)=ax ln a ' 6.若f(x)=ex,则f(x)=e x

1 7.若f(x)=logax,则f(x)= xlna 1 ' 8.若f(x)=lnx,则f(x)= x
'

返回

导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即: ?

? f ( x) ? g ( x)? ? f ?( x) ? g ?( x)

法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:

? f ( x)?g ( x)?? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x)

法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:

? f ( x) ?? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?
返回

当点Q沿着曲线无限接近点 P即Δx→0时,割线PQ如果有一 y 个极限位置PT.则我们把直线 PT称为曲线在点P处的切线.

y=f Q (x)

设切线的倾斜角为α,那 ? P 么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的 o 切线的斜率. f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ' ? lim 即: k切线 ? f ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

割 线 T 切 线 x

返回

定理 一般地,函数y=f(x)在某个区间(a,b)内 1) 如果恒有 f′(x)>0,那么 y=f(x) 在这个区间(a,b)内单调递增;

2) 如果恒有 f′(x)<0,那么 y=f(x) 在这个区间(a,b)内单调递减。
y
y=f(x) f '(x)>0

y
y=f(x) f '(x)<0

o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f (x)为常数. 返回

函数的极值 1)如果b是f’(x)=0的一个根,并且在b左侧附近f’(x)>0, 在b右侧附近f’(x)<0,那么f(b)是函数f(x)的一个极大值 2)如果a是f’(x)=0的一个根,并且在a 的左侧附近 f’(x)<0,在a 右侧附近 f’(x)>0,那么是f(a)函数 f(x)的一个极小值. 注:导数等于零的点不一定是极值点. 函数的最大(小)值与导数
2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲 线,则它必有最大值和最小值.
f(x1) y

f(x3)
f(b)

g

a x1
g
f(a)

x2
0

x4 x3 b x 返回

f(x2)

例 1 已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx ? 3(m ? 1) x ? nx ? 1
3 2

的一个极值点,其中 m, n ? R, m ? 0 , (I)求 m 与 n 的关系表达式; (II)求 f ( x) 的单调区间; (III)当 x ? ? ?1,1? 时,函数 y ? f ( x) 的图象上任意一 点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范围.

解:(I) f ?( x) ? 3mx 2 ? 6(m ? 1) x ? n 因为 x ? 1 是函数 f ( x) 的 一 个极值 点 ,所以 f ?(1) ? 0 ,即 3m ? 6(m ? 1) ? n ? 0 , 所以

n ? 3m ? 6 .

(II)由(I)知, f ?( x) ? 3mx ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6 = 3m( x ? 1) ? x ? ? 1 ?
2

? ?

? ?

2 ?? ? m ?? ?

当 m ? 0 时,有 1 ? 1 ?

2 ,当 x 变化时, f ( x) 与 f ?( x) 的变化如下表: m 2 1? m
0 极小值

x
f ?( x)
f ( x)

2? ? ? ??,1 ? ? m? ?
?

2 ? ? ?1 ? ,1? ? m ?

1

?1, ?? ?
?

?
?

0 极大值

?

?

2? 2 ? ? ? 故由上表知,当 m ? 0 时, f ( x) 在 ? ??,1 ? ? 单调递减,在 ?1 ? ,1? 单调递增, m? ? ? m ?
在 (1, ??) 上单调递减.

(III)由已知得 f ?( x) ? 3m ,即 mx 2 ? 2(m ? 1) x ? 2 ? 0 .又 m ? 0 所

2 2 2 2 2 以 x ? (m ? 1) x ? ? 0 ,即 x ? (m ? 1) x ? ? 0, x ? ? ?1,1? ① m m m m 1 2 2 设 g ( x) ? x ? 2(1 ? ) x ? ,其函数开口向上,由题意知①式恒成立, m m
2

2 2 ? ? g (?1) ? 0, ?1 ? 2 ? ? ? 0, 4 ?? 所以 ? 解之得 ? ? m 又 m ? 0 所以 m m 3 ? g (1) ? 0. ??1 ? 0. ?

4 ? 4 ? ? ? m ? 0 .即 m 的取值范围为 ? ? , 0 ? . 3 ? 3 ?

(五)函数的最大值与最小值:
1.定义:最值是一个整体性概念,是指函数在给定区 间(或定义域)内所有函数值中最大的值或最小的值,最大数 值叫最大值,最小的值叫最小值,通常最大值记为M,最小

值记为m.

2.存在性:在闭区间[a,b]上连续函数f(x)在[a,b]上必 有最大值与最小值. 3.求最大(小)值的方法:函数f(x)在闭区间[a,b]上最 值求法:

① 求出f(x)在(a,b)内的极值;
② 将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中较大的一个是 最大值,较小的一个是最小值.

【函数的极值和最值问题】
例 2 已知函数 f ? x ? ? ? x ? 3x ? 9 x ? a .
3 2

(Ⅰ)求 f ? x ? 的单调递减区间; (Ⅱ) f ? x ? 在区间 ? ?2, 2? 上的最大值为 20,求它在该 若 区间上的最小值.
2 解: (Ⅰ)f ? ? x ? ? ?3x ? 6 x ? 9 .令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x ? ?1 或

x ? 3 ,所以函数 f ? x ? 的单调递减区间为 ? ??, ?1? , ? 3, ?? ? .

(Ⅱ)当 x ? ? ?2, 2? 时

x
f ?? x?

?2

? ?2, ?1?
?

?1
0
极小

? ?1, 2 ?
?
?

2

f ? x?

2?a

?

22 ? a

因为 f ? ?2 ? ? 2 ? a , f ? 2 ? ? 22 ? a ,所以 f ? 2 ? ? f ? ?2 ? .

因为在 ? ?1,3? 上 f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? ?1, 2? 上单调递增, 又由于 f ? x ? 在 ? ?2, ?1? 上单调递减,因此 f ? 2 ? 和 f ? ?1? 分别 是 f ? x ? 在 区 间 ? ?2, 2? 上 的 最 大 值 和 最 小 值 , 于 是 有

22 ? a ? 20 ,解得 a ? ?2 .
故 f ? x ? ? ? x ? 3x ? 9 x ? 2 ,因此 f ? ?1? ? 1 ? 3 ? 9 ? 2 ? ?7 ,
3 2

即函数 f ? x ? 在区间 ? ?2, 2? 上的最小值为 ?7 .

例 7 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx
3 2

在 点 x0 处 取 得 极 大 值 5 , 其 导 函 数

y

y ? f ?( x) 的 图 象 经 过 点 (1, 0) , (2, 0) ,如图所示.求: (Ⅰ) x0 的值; (Ⅱ) a, b, c 的值.

O

1

2

x

解法一:(Ⅰ)由图象可知,在 ? ??,1? 上 f ? ? x ? ? 0 ,在 ?1, 2 ? 上

f ? ? x ? ? 0 ,在 ? 2, ?? ? 上 f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极
大值,所以 x0 ? 1 .

? ? x ? ? 3ax 2 ? 2bx ? c ,由 f ? ?1? ? 0, f ? ? 2 ? ? 0, f ?1? ? 5 , (Ⅱ)f

?3a ? 2b ? c ? 0, ? 得 ?12a ? 4b ? c ? 0, 解得 a ? 2, b ? ?9, c ? 12 . ? a ? b ? c ? 5. ?
解法二: (Ⅰ)同解法一. ( Ⅱ ) 设 f ? ? x ? ? m ? x ? 1?? x ? 2 ? ? mx ? 3mx ? 2m , 又
2

f ? ? x ? ? 3ax 2 ? 2bx ? c ,所以

m 3 m 3 3 2 a ? , b ? ? m, c ? 2m . f ? x ? ? x ? x ? 2mx , 由 3 2 3 2 m 3 f ?1? ? 5 ,即 ? ? 2m ? 5 ,得 m ? 6 . 3 2
所以 a ? 2, b ? ?9, c ? 12 .

3-x+2和点 例1.已经曲线C:y=x

A(1,2)。求在点A处的切线方程?
解:f/(x)=3x2-1, ∴k= f/(1)=2 ∴所求的切线方程为: y-2=2(x-1), 即 y=2x

例1.已经曲线C:y=x3-x+2和点(1,2)求 在点A处的切线方程?
变式1:求过点A的切线方程?
解:变1:设切点为P(x0,x03-x0+2), k= f/(x0)= 3 x02-1, ∴切线方程为 y- ( x03-x0+2)=(3 x02-1)(x-x0) 又∵切线过点A(1,2) ∴2-( x03-x0+2)=( 3 x02-1)(1-x0) 化简得(x0-1)2(2 x0+1)=0, 1 解得x0=1或x0=- 2 ①当x0=1时,所求的切线方程为:y-2=2(x-1),即y=2x

1 ②当x0=- 时,所求的切线方程为: 2

1 y-2= - (x-1),即x+4y-9=0 4

例1:已经曲线C:y=x3-x+2和点(1,2)求 在点A处的切线方程?
变式1:求过点A的切线方程?

变式2:若曲线上一点Q处的切线恰好平行于直 线y=11x-1,则P点坐标为 (2,8)或(- 2, -4) ____________, y=11x-14或y=11x+18 切线方程为_____________________.

例 2 求曲线 f ? x ? ? x ? 3x ? 2 x 过原点的切线方程. 2 解: f ? ? x ? ? 3 x ? 6 x ? 2 .设切线斜率为 k ,
3 2

(1) 当切点 是原点 时 , k ? f ? ? 0 ? ? 2 ,所 以所 求曲线 的切线 方程为

y ? 2x .
(2)当切点不是原点时,设切点是 ? x0 , y0 ? ,则有 y0 ? x0 ? 3x0 ? 2 x0 ,
3 2

y0 2 ? ? x0 ? ? 3x0 2 ? 6 x0 ? 2 ,故得 ? x0 ? 3x0 ? 2 ,又 k ? f 即k ? x0 y0 3 1 1 x0 ? , k ? ? ? ,所求曲线的切线方程为 y ? ? x . 2 x0 4 4

小评:“过某点”与“在某点处”的不同.故审题应细.
又如:曲线 y?
3

? x ?1?

2

在 点 ?1, 0 ? 处 的 切 线 问

题. x ? 1 处的导数不存在,说明该曲线在点 ?1, 0 ? 处的

? 切线的斜率趋于无穷大,倾斜角为 ,所以曲线 2
y?
3

? x ?1?

2

在点 ?1, 0 ? 处的切线方程为 x ? 1 .

三. 小结:
(1)正确理解导数的概念和意义,导数是一个函数的改变量

与自变量的改变量的比值的极限,它反映的是函数的变化率
,即函数值在x=x0点附近的变化快慢;所以只有与变化率有 关的问题都可以用导数来解决; (2)掌握求导数的方法,特别是在求复合函数的导数时,一 定要把握层次,把每一层的复合关系都看清楚;

(3)利用导数来研究函数。主要是研究函数的增减性、函数
的极大(小)值、函数的最大(小)值以及一 些与实际相关的问题。


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