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圆锥曲线焦点弦长的三角计算公式


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2 0 0 5年 第 9期 

数 学 教 学 研 究 

3 5  

用构造法解题 , 不仅要有扎 实广博 的基础 知识 ,  
而且还必须有敏 锐 的观察 能力 , 由 此 及 彼 的 联 想 能 

题水平 的一种妙法.   ( 作者工作单位 : 甘 肃 省 靖 远 师 范 学校 , 邮编 : 7 3 0 6 0 0 )  

力和转化迁移 的创造 能力. 用 构 造 法 解 题 是 提 高 解 

圆锥 曲线焦 点 弦长 的 三 角计 算 公 式 
陈 茂 轩 
( 湖 北 省公 安 县 第 一 中学 4 3 4 3 0 0 )  

我们知道 , 圆 锥 曲 线 上 一 点 与 焦 点 的 连 线 称 为  焦半 径. 因此 , 圆锥 曲 线 的 一 条 焦 点 弦被 该 焦 点 分 成 
两条 焦 半 径 ( 焦 点 可 以 是 内分 点 , 也 可 以是 外 分 点 ) .  

类似可证 , 对 双 曲 线  一   y 2
口  D  

=1 ( 口>0 , 6>0 ) 有 

在 旧版高 中教材 中 , 用 圆锥 曲线 的极 坐标 方程 研究 
焦 半 径 和 焦 点 弦 是 比 较 方 便 的. 现行 新教 材删 去 了   极坐标内容 , 但 我 们 仍 然 可 以用 新 教 材 的 观 点 和 方  法 推 导 出使 用 方 便 、 记 忆 简 单 的 焦 半 径 和 焦 点 弦 的 
三角 形式 的公 式 
  I



b 2
m - 
,  

I n =  

,  

l  

如图, 设 椭 圆 
口 

+  

/ I  

f m =  b 2 ,  
.  

=l ( a>6>0 ) 的左 、  

5 单一  — 
B\   / 

I n =  
地  

.  

右焦 点分 别为 F , (一c ,  
0 ) 、 , : ( c , 0 ) , 过, 。 的弦 为 A B, 直线 A B的 倾 斜 角 为  0 (  ≠0 ) . 连 , 2 、 B F 2 , 记I A F , I =m, I  , , I =r t . 由 第 


定义 , I  , 2   I =2 a—m, I  

I = 2 a一, I , 在 AA F l F 2  

中, f , 。 , : I = 2 c , 由余 弦定 理 ,  
( 2 a—m)  =m  +( 2 c )  一 2 m? 2 c c o s O ,   解之得 m=   a =  ̄
_

{  b 2 ’  
f m=  


6   C C O S O一 口’   6  

C  z






 

CCOS  
L   2  

=   二 _ 面 S.   口 一  CCO






① 
②  。  

为 钝 角 , 有   J 【  
于是 , 有 
= m

=  

一C C O S O+ 口  

同理 , n= 一   .   口 + cCOS  
所 以椭 圆 的 焦点 弦 长 
I AB l am =   2a b 2
=  


+ , I =  口 一 c   C0  8  

( 焦 点 为 内 分点 ) ,  



或 

I AB I: m — n :   c ‘ C 0 8 ‘ 0一 口‘…

鱼 二 1 ( 焦点为 外分点)
. 

。’  ’ ’   … … 

当A B过 右 焦 点 F : 时, 公式 ①、 ② 分 别 成 为 
6  
Ⅱ +c c o s O  

上述 公 式 对 0 =0仍 然 成 立 .  

①  ②,  

总之 , 具 有 双 曲线 焦 点 弦 长计 算 公 式 
2a b   2 ab  

6   口 一C C O S O  

钱  



 

=丽

  ④ 

而公式③保持不 变.  
容 易验 证 , 0 =0时 , 上 述 公 式 也 成 立 

在抛物线 Y   =2 p x ( p> 0 ) 中, F 为其 焦 点 , 有 

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{ f   m =  
【  
引 

,  
,  
一  

( 0 <0<1 r ) .  

式 ③ f A   _ = =  
线 的距 离 为  2


=  鸶   , 而   到 相 应 准  
b e
,  一 

。 : 一

一  

⑤ 

所 以  
解 得 。=   3


譬 ,  …4 。   3 c 2  ̄  
所以e =丁 2
. 

圆 锥 曲线 的焦 点 弦 问题 是 解 析 几 何 教 学 中 的 重  点. 也是难点 , 更是 各 类考 试命 题 的热 点. 解 此 类 问  题. 如果 采 用 通 常 列方 程 求 交 点 的 方 法 , 虽然 思路 自  

3   求 面 积 

然, 但运算量大 , 且 易 出错. 解 题 时 若 能 自觉 运 用 上  述公 式 . 可明显减少计 算量 . 提 高 解 题 速 度 使 解 题 过 
程 变 得 简捷 明 快 .   我们 称 上述 公 式 为 圆锥 曲 线 焦 半 径 公 式 及 弦 长  公 式 的三 角形 式 , 相 比而 言 , 称 r =口±e x  及 I A B   I =  
、 .

例 3   F   、 F : 分 别 是 椭 圆 妥+ y 2 : l 的 左 、 右 焦  
点, 过F . 作 倾 斜 角 为 詈的 直 线 与 椭 圆 交 于P 、 Q 两  
点, 求 △F : P Q的面积.  



首 先 求 出边 P Q的长 度 , 它是过 焦点 F . 的 

/ . i T  

_ =  

等公式 为代数形式.  

弦. 其倾 斜 角 0=了 , . i f - , 。= √   , b=l , c=l , 由公 式③ 

下 面 引用 一 些 常 见 的 实 际 问 题 从 几 个 方 面 说 明  焦 半 径 和 焦 点 弦长 的 三 角 公 式 的应 用 .  
1 证 明 重 要 结 论 

Q =   = 竽 
而, : 到直线 P Q的距离为 I   F   F : I   s i “   , . i f -= 4 r .  

例 1   过 焦 点 且 垂 直 于焦 点 所 在 对 称 轴 的 弦 称  为圆锥曲线的通径 ( 正焦弦 ) . 证明 : 椭 圆 及 抛 物 线 的 
通径是最短的焦点弦.  

所 以 △ F : P Q 的 面 积 为 ÷ ? 竽?  = 了 4 .  
注 本题 与例 2的常规 思 路是 一致 的: 先 设 直 
,  



在 椭 圆 中 由公 式 ③ , 显然 有 
I ≥  :  
口  O一 + c一  

线 方程 , 代入椭 圆方程 , 写 出根 与 系数 的关 系 , 然 后 

当 且仅 当 0 =9 0 。 取 等号. 所 以 椭 圆 的 通 径 是 最 短 的 
焦 点 弦.  

用弦 长公式I P Q I = 、 / 广  
价值.  

丁   _  

求出I P Q I ,  

这 样 计 算 量 较 大. 上 述 解 答 充 分 显 示 了 ③ 式 的 实 用  我 们 利 用 公 式⑤ 很 容 易 解 决 下 面 的 问题 :  
设 0为抛物 线 的顶点 ,   为焦点 , 且 P Q为过 F   的弦 . 已知 I O FI =口 , I P QI _b , 求 S △ P  

由公 式 ⑤ , 对抛物线 . 结 论 是 届然 的.  
此 结 论 对 双 曲线 不 成 立 . 因 为焦点 为内分点 时 ,  
I / I  
m   .

: 


当焦 点 为外 分 点 时 , I ^ 8I ~ :2 a, 而 

。 、 b大小不定 , 所 以至  与 2 。的 大小 也 不 能确定 但 


提示

设P Q倾 斜 角 为 日 , 则f P QI =  
S1 n 

= 6 ,  

若限定焦点是弦 A B的 内分 点 时 , 结论 便成立了.   本题的常规解 法是 回到定 义 , 但 不 及 此 法 来 得  l T脆 利 落.  
2   求 离 心 率 

又 - 。 p _ 2   ‘   删 : 2 √ ÷ ?  
故 s △= I  I O FI   I P QI   s i n 日=口、 / r  
4   求 距 离 
. 

例 2 过 椭 圆 的 一 个 焦 点 作 一 条 与 长 轴 夹 角 为  3 O 。 的弦 A B . 若 I A B I 恰 好 等 于 焦 点 到 准线 的 距 离 的 2   倍, 求此椭圆的离心率.   解 不 妨 设 椭 圆 的 方 程 为 
口。  

例 4过 椭 圆 等   了 y= l 的 右 焦 点F : 作 直 线l  
交 椭 圆 于  、   两点 . 若 
线 Z 的距离 d .  

+  
O 

:1 ( 口>b>  

= 2 , 求 左焦 点 F  到 直 

O ) , 一个 焦 点 为 F ( c , O) , 相 应 的 准 线 为  =   . 由公 



设 A 位 于  轴 E方 . 盲 线 AB 的 俪 斜 角 为 

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P(  . , Y 1 ) , Q(  2 , Y 2 ),  
’ . ’

I AFzl=  

=  

,  

O P上o q, ? ’ ?  l   2 +, , l , , 2  0 ,  

B Ⅱ   1   2 + — ; 一 (   1 一 c ) (   2 一 c ) = 0 ,  
t=   =   ,  

化简得

3 c (   +  2 )一8  1  2—3 c  =0 .  

( 1 )  

依 题 意 有争 _ -  = 2 .  

将 直 线方 程 代 入 双 曲线 方 程 , 整理 得 
( 3 8  一5 b   )   一6 a   c  +( 3 8   c  +5 a   b  )=0,  

解 得c 得  o s 0 = 一 手 ÷ , 从 而   s i n 0 =   字 .  
理得

将上 述方程的根与 系数 的关 系代 入 ( 1 ) 化 简 整 
b  =3 a   .   ( 2)  

所  5 求 方 程 

的距 离 d=2 c s i n (  

)=  

.  

由 弦 长 公 式 ④ 得 

鬲  
一 2 Y  = 2 b  的 右 焦 点 且 

5   6 2 — 3 a s I I 4 口 6   .  

( 3 )  

例 5 过双 曲线 6  

将( 2 ) 代入 ( 3 ) 化简 , 即得 8  =1 , 从而 b  :3 .  

斜 率 为 √ ÷ 的 直 线 交 双 曲 线 于 P 、 Q 两 点 , 若 D P 上  
O Q . I P QI = 4, 求 双 曲 线 的 方程 .  

故所求 双曲线方程 为 3 x  一 Y   =3 .  

上述各 例解 答 , 思路 清 晰 、 运算 简便 , 这 说 明 圆 
锥 曲 线 焦 半 径 和 焦 点 弦 长 的 三 角 计 算 公 式 具 有 不 可 

有 利 于 我 们 多 角 度  解设 直 线 P Q 的 倾 斜 角 为 日 , 则 t a n 日 = √ ÷ ,   忽 视 的实 用 价 值 .掌握 这 一 公 式 ,
s i n   日= 3


又 设 直 线 P Q 的 方 程 为 , , = √ ÷ (   — c ) ,  

地分 析 问 题 , 灵 活 快 捷 地 解 决 问题 .  

S t e i n e r —L e h m a s 定理的简证及推广 
茹 双 林 
( 江 苏省 苏 州 市 苏 苑 高 级 中 学 2 1 5 1 2 8 )  

“ 三角形两角的角平分线 长相等 , 则 三 角 形 是 等 
腰三角形 ” , 这 就 是 著 名 的 斯 坦 纳 一莱 默 斯 ( S t e i n e r  


A C B=2  , 则 2  ≥2 卢,  
即 a≥ .  

L e h ma s ) 定 理. 很 多 文献 上给 它作 出了许 多证 明 ,  

在 C F上 取 点 F . 使  F . B E =卢 , 则  B F . C   B  
=  

下 面笔 者 用 面 积 及 三 角 给 出 一 个 简 单 的 证 法 并 推 
广.  

C 

BEC .  

引理  若 △A B C 与 △A   曰   c   中,   A≥   A   , 且  A+   A   <1 8 0 。 , 则 
△ A  日  C 

又  F   BC:a+ 卢≥2 卢=   E C B,  
且  F. BC +   E C B≤  F BC+   EC B <1 8 0 。 ,  

≥   A’ B’?A’ C’  

A曰 ?AC 

证 明  若  A≤9 0 。 , 由   A≥   A   ,  


由 引理 得 
BFl?C,l   △ B  1   c   BFl?   C  





s i n A  ≤ s i n A.  

≥   _面 ’  


若  A>9 0 。 , 由  A+   A  <1 8 0 。 , 知 
A  < l 8 0。一   A <9 0。.  
’ . .





CF. ≥ BE = CF ,  

s i n A  <s i n ( 1 8 0 。一A)=s i n A,  
AB ?AC ?s i n A


故 F与 F   重合 , 即 a= 卢, 所以A B= A C .  

¨  

5△ ^ 口 c  

A B ?AC  

用 上述 方 法 易 证 下 面 二 个 推 广 命 题 :  

职 

孑   丽

’  

推广 1   △A B C中, E、 F分 别 是 A C、 A B上的点 ,  

定理证 明   如图 , 不妨 设 A C≥ A B,   A B C= 2 a,  


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