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2.2.1对数与对数运算(3)换底公式


2.2.1 对数与对数运算3
换底公式及对数运算

教学目的:
1.进一步熟练对数的运算性质及应用。

2.掌握对数的换底公式及应用。

重、难点:
熟练对数运算性质及换底公式的应用。

问题提出
1.对数运算有哪三条基本性质? (1)loga M ? loga N ? loga (M ? N )
M (2)log a M ? log a N ? log a N
(3)loga

M ? n loga M
n

2.对数运算有哪三个常用结论? . (1 ) loga a ? 1 ;
(2 ) log a 1 ? 0 ;
log a N (3 ) a

? N.

3.同底数的两个对数可以进行加、减运算, 可以进行乘、除运算吗?

log 2 5 ?x log 2 3

?

知识探究(一):对数的换底公式
log 2 5 x ? x 思考1:假设 log 3 则 log2 5 ? x log2 3 ? log2 3 , 2

从而有 3x ? 5 .进一步可得到什么结论? log2 5 x ? log3 5,即 ? log3 5 log2 3

思考2:你能用lg2和lg3表示log23吗?

lg 3 能. log2 3 ? lg 2

思考3:一般地,如果a>0,且a≠1;c>0,且c≠1; b>0, logc b ? loga b ? 证明 logc a logc b 证明: 令 ? x ? logc b ? x logc a logc a

? logc b ? logc a x
?b?a ? x ? loga b logc b ? ? loga b logc a
x

log c b log b ? a 归纳:我们把 log c a (a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)叫做 对数换底公式,该公式有什么特征?
一个对数可以用同底数的两个对数的商来表示. 思考4:换底公式在对数运算中有什么意义? 可以利用以10为底的对数的值来求任何对数值.

知识探究(二):换底公式的变式
思考1: loga b 与 logb a 有什么关系?

loga b ? logb a ? 1
思考2: logan N 与 log a N 有什么关系? m 1 m log a n N ? log a N ? log a n N ? log a N n n

练习:P68 练习:4.

1.求下列各式的值:
(1) log9 27
(2) log 1 81
27
2

(2) log8 2 ? log1 16 (3) log4 8 ? log1 3 ? log
8
9

1 4

2.求下列各式的值: (1) log2 3 ? log3 7 ? log7 8 (2) log8 9 ? log27 32
lg 9 lg 32 lg 3 lg 7 lg 8 解 : 原式 ? ? 解:原式 ? ? ? lg 8 lg 27 lg 2 lg 3 lg 7 3 lg 2 2 lg 3 5 lg 2 ? ? ? lg 2 3 lg 2 3 lg 3

3 lg 2 ? lg 2

10 ? 9

=3

2.求下列各式的值:
1 25 1 8 1 9

(3) log 2 ? log3 ? log5

(4)(log2 125? log4 25 ? log8 5) ? (log5 2 ? log25 4 ? log125 8)

解 : 原式 ? (?2 log2 5) ? (?3 log3 2) ? (?2 log5 3) ? ?12? ?log2 5 ? log3 2 ? log5 3?
lg 5 lg 2 lg 3 ? ?12 ? ? ? lg 2 lg 3 lg 5
? ?12

2.求下列各式的值:
1 25 1 8 1 9

(3) log 2 ? log3 ? log5

(4)(log2 125? log4 25 ? log8 5) ? (log5 2 ? log25 4 ? log125 8)
lg125 lg 25 lg 5 lg 2 lg 4 lg 8 解 : 原式 ? ( ? ? )?( ? ? ) lg 2 lg 4 lg 8 lg 5 lg 25 lg125

3 lg 5 2 lg 5 lg 5 lg 2 2 lg 2 3 lg 2 ?( ? ? )?( ? ? ) lg 2 2 lg 2 3 lg 2 lg 5 2 lg 5 3 lg 5
13lg 5 3 lg 2 ? ? 3 lg 2 lg 5 ? 13

课时小结
换底公式:
log a
N

logc ? (a ? 0且a ? 1, c ? 0且c ? 1, N ? 0) a logc

N

重要结论:

() 1 loga ? logb ? 1
b a

(2) log am

bn

n b ? log a m

作业:
P74 习题2.2A组: 4,5,11.


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