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2011高三数学理科复习第六课时:导数及其应用


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高三数学理科复习第六课时: 2011 高三数学理科复习第六课时:导数及其应用
【专题要点】 专题要点】 1. 导数的定义:利用导数的定义解题; 2. 求导数(包括求导函数和某一点的导数); 3. 导数的简单应用,包括求函数的极值,求函数的单调区间,证明函数的单调性等,复现率较高; 4. 导数在实际问题中的应用(利润最大,用料最省,效率最高等优化问题); 5. 综合考查,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的 切线问题等有机地结合在一起,设计综合问题。包括: (1) 函数、导数、方程、不等式综合在一起,解决单调性、参数的范围等问题,这类问题涉及含 参数的不等式、不等式的恒成立的求解;高考资源网 (2) 函数、导数、方程、不等式综合在一起,解决极值、最值等问题,这类问题涉及求极值和极 值点、求最值,有时需要借助方程的知识求解; (3) 利用导数的几何意义求切线方程,解决与切线方程有关的问题; (4) 通过构造函数,以导数为工具证明不等式; (5) 导数与解析几何或函数图像的混合问题,这是一个重要问题,也是高考中考察综合能力的一 个方向 考纲要求】 【考纲要求】 ⑴了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等) ,掌握函数在一 点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. ⑵熟记基本导数公式( C , x n ( n 为有理数), sin x.cos x, log a x, a x , e x , ln x 的导数) .掌握两个函数四则 运算的求导法则和复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数. ⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 (导数要极值点两侧异号) ,会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. 教法指引】 【教法指引】 (1)近几年各地高考题一直保持对导数知识考查力度,体现了在知识网络交汇点出题的命题风格, 重点考查导数概念、单调性、极值等传统、常规问题,这三大块内容是本专题复习的主线,在复习中应 以此为基础展开,利用问题链向学生展示题目间的内在联系,揭示解题的通法通解,如讲解利用导数处 理函数单调性问题时,可设计这样的问题链:已知函数求单调区间 → 知函数在区间上单调求参数 → 若 函数不单调如何求参数. (2)要认识到新课程中增加了导数内容,增添了更多的变量数学,拓展了学习和研究的领域,在复 习中要明确导数作为一种工具在研究函数的单调性、极值等方面的作用,这种作用不仅体现在导数为解 决函数问题提供了有效途径,还在于它使学生掌握了一种科学的语言和工具,能够加深对函数的深刻理 解和直观认识 高考资源网 (3)在教学中有意识的与解析几何(特别是切线、最值) 、函数的单调性,函数的最值极值,二次 函数,方程,不等式,代数不等式的证明等进行交汇,综合运用。特别是精选一些以导数为工具分析和 解决一些函数问题、切线问题的典型问题,以及一些实际问题中的最大(小)值问题 【知识纵横】 知识纵横】

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0 f ( x0 + x ) f ( x0 ) lim 1 定义:f ( x0 ) = x →0 x (1) 公式:①常函数,②指,③对,④幂,⑤复合函数。 0 2 运算 u ′ ( 2 ) 法则:① ( au )′ ,② ( u ± v )′ ,③ ( uv )′ ,④ v (1) 物理意义:瞬时速度及加速度 斜率:求法有三①知两点②知倾角③求导 0 3 意义: ①在该点出的切线方程, ( 2 ) 几何意义 切线方程:②过某点做曲线的切线方程, ③知切线求参数值. 导数 ①证明或判断单调性; (1) 单调性 ②求单调区间; ③知单调,求参数范围. ①求极值; 40 应用:( 2 ) 求两函数值 ②求最值; ③知极值或最值,求参数值. ( 3) f ( x ) 与f ′ ( x )的图像关系 ①证明不等式; ( 4 ) 综合应用 ②比较实数大小; ③讨论方程根的个数.
【典例精析】 典例精析】 1.导数定义的应用 1.导数定义的应用 例 1 (2008 北京高考) 如图, 函数 f ( x) 的图象是折线段 ABC , 其中 A,B,C 的坐标分别为 (0,,,,, , 4) (2 0) (6 4)
y

f (1 + x ) f (1) lim = _________. x → 0 x

B 0≤ 2 x + 4    x ≤ 2 O 1 2 3 4 5 6 解:由图可知 f ( x ) = ,根据导数的定义 2 x 2    < x ≤ 3

4 3 2 1

A

C

x

知 lim

f (1 + x ) f (1) x

x → 0

= f ′(1) = 2 .

例2(2006 重庆高考)已知函数 f ( x ) = x 2 + bx + c e x ,其中 b, c ∈ R , (Ⅰ)略, (Ⅱ)若 b 2 ≤ 4(c 1), 且

(

)

lim
x →0

f (x ) c = 4 ,试证: 6 ≤ b ≤ 2 . x
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解: f ′( x ) = x 2 + (b + 2 )x + b + c e x ,易知 f (0) = c .故
lim
x→0

(

)

f (x ) c f ( x ) f (0 ) = lim = f ′(0 ) = b + c , x →0 x x0

b + c = 4, 解得 6 ≤ b ≤ 2 . 所以 2 b ≤ 4(c 1),
2. 利用导数研究函数的图像 例 3 (2009 安徽高考)设 a <b,函数 y = ( x a )2 ( x b) 的图像可能是

解: y / = ( x a )(3 x 2a b) ,由 y / = 0 得 x = a, x =

2a + b 2a + b ,∴当 x = a 时, y 取极大值 0,当 x = 时y 3 3

取极小值且极小值为负.故选 C.或当 x < b 时 y < 0 ,当 x > b 时, y > 0 选 C. 点评:通过导数研究函数图像的变化规律,也是考试的热点题型. 例 4(2009 年湖南卷)若函数 y = f ( x) 的导函数在区间 [a, b] 上是增函数, ... 则函数 y = f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象可能是
y y y y

o

a

b x

o

a

b x

o

a

b x

o

a

b x

A .

B.

C.

D.

解: 因为函数 y = f ( x) 的导函数 y = f ′( x) 在区间 [a, b] 上是增函数, 即在区间 [a, b] 上各点处函数的变 ... 化率是递增的,故图像应越来越陡峭.由图易知选 A. 点评:这是一道非常精彩的好题,题目考察了导数的概念——函数的变化率以及图像的变化规律, 是以高等数学中函数图像的凹凸性为背景命制的,虽然试题的设计来源于高等数学,但考察的还是中学 所学的初等数学知识.这也是近年来高考命题的一大特色. 3.利用导数解决函数的单调性问题 3.利用导数解决函数的单调性问题 例 5(2008 全国高考)已知函数 f ( x) = x3 + ax 2 + x + 1 , a ∈ R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调区间;高考资源网
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2 1 (Ⅱ)设函数 f ( x) 在区间 , 内是减函数,求 a 的取值范围. 3 3 解: (1) f ( x) = x3 + ax 2 + x + 1 求导得 f ′( x) = 3 x 2 + 2ax + 1 当 a 2 ≤ 3 时, ≤ 0 , f ′( x) ≥ 0 , f ( x) 在 R 上递增; 当 a 2 > 3 , f ′( x) = 0 求得两根为 x =

a ± a 2 3 , 3
a + a 2 3 , ∞ 递增。 + 3

a a 2 3 a + a 2 3 a a 2 3 , 即 f ( x) 在 ∞, 递增, 递减, 3 3 3

2 1 2 1 (2)因为函数 f ( x) 在区间 , 内是减函数,所以当 x ∈ , 时 f ′ ( x ) ≤ 0 恒成立,结合二次函 3 3 3 3 2 f ′ 3 ≤ 0 数的图像可知 解得 a ≥ 2 . 1 f′ ≤0 3
点评:函数在某区间上单调转化为导函数 f ′ ( x ) ≥ 0 或 f ′ ( x ) ≤ 0 在区间上恒成立问题,是解决这类问题的

a a 2 3 2 ≤ a a 3 a + a 3 3 3 通法.本题也可以由函数在 , 求解. 上递减,所以 3 3 1 a + a 2 3 ≥ 3 3 1 1 【 变式 1 】 (2004 年全国高考)若函数 f ( x ) = x 3 ax 2 + (a 1)x + 1 在区间 (1,4) 上是减函数,在区间 3 2
2 2

(6,+∞ ) 上是增函数,求实数 a 的取值范围.
解: f ( x ) = x 2 ax + (a 1) ,令 f ′( x ) = 0 得 x = 1 或 x = a 1 ,结合图像知 4 ≤ a 1 ≤ 6 ,故 a ∈ [5,7]. 点评:本题也可转化为 f ′( x ) ≤ 0,x ∈ (1,4) 恒成立且 f ′( x ) ≥ 0,x ∈ (6,+∞ ) 恒成立来解.
1 【变式 2】(2005 年湖南高考)已知函数 f ( x ) = ln x ax 2 2 x(a ≠ 0 ) 存在单调递减区间,求 a 的取值范 2 围;

解: f ′( x )( x) =

1 ax 2 + 2 x 1 ax 2 = . 因为函数 f ′( x ) 存在单调递减区间, 所以 f ′( x ) < 0 在 (0,+∞ ) 上解, x x

从而 ax 2 + 2 x 1 > 0 有正解.高考资源网 ①当 a > 0 时, y = ax 2 + 2 x + 1 为开口向上的抛物线, ax 2 + 2 x 1 > 0 总有正解;
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② 当 a < 0 时 , y = ax 2 + 2 x + 1 为 开 口 向 下 的 抛 物 线 , 要 使 ax 2 + 2 x 1 > 0 总 有 正 解 , 则
= 4 + 4a > 0 ,解得 1 < a < 0 .

综上所述,a 的取值范围为 ( 1,0) ∪ (0,+∞ ) . 【变式 3】 (2009 浙江高考)已知函数 f ( x) = x3 + (1 a ) x 2 a (a + 2) x + b (a, b ∈ R) .若函数 f ( x) 在区间
(1,1) 上不单调,求 a 的取值范围. ...

解:函数 f (x) 在区间 (1,1) 不单调,等价于 f ′( x ) = 0 在区间 (1,1) 上有实数解,且无重根. 又 f ′( x ) = 3 x 2 + 2(1 a )x a (a + 2 ) ,由 f ′( x ) = 0 ,得 x1 = a, x 2 =
a+2 1 < a < 1, 1 < a < 1, 5 < a < 1, 1 < 3 < 1, 解得 或 a + 2 或 1 1 a ≠ 3 , a ≠ a + 2 . a ≠ 2 , a ≠ 2 , 3
1 1 所以 a 的取值范围是 5, ∪ ,1. 2 2
a+2 。从而 3

点评:这种逆向设问方式是今后高考命题的一种趋势,充分体现高考“能力立意”的思想,高考中应高 度重视。 (4)利用导数的几何意义研究曲线的切线问题 15 例 6 (2009 江西高考)若存在过点 (1, 0) 的直线与曲线 y = x 3 和 y = ax 2 + x 9 都相切,则 a 等于 4 25 21 7 25 7 A. 1 或 B. 1 或 C. 或 D. 或 7 64 4 4 64 4 解:设过 (1, 0) 的直线与 y = x 3 相切于点 ( x0 , x03 ) ,所以切线方程为 y x03 = 3 x0 2 ( x x0 )
3 即 y = 3 x0 2 x 2 x03 ,又 (1, 0) 在切线上,则 x0 = 0 或 x0 = , 2 15 25 当 x0 = 0 时,由 y = 0 与 y = ax 2 + x 9 相切可得 a = , 4 64 3 27 27 15 当 x0 = 时,由 y = x 与 y = ax 2 + x 9 相切可得 a = 1 ,所以选 A . 2 4 4 4 点评:函数的切线问题,切点是关键,因为它是联结曲线和其切线的“桥梁” ,在做题中往往需要设出 切点.
【变式】 (2008 辽宁高考)设 P 为曲线 C : y = x 2 + 2 x + 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值

π 范围为 0, ,则点 P 横坐标的取值范围为( 4
1 A. 1, 2

)高考资源网 1 D. , 1 2

B. [ 1,] 0

C. [ 0, 1]

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π 解:由曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 0, ,可得曲线 C 在点 P 处切线的斜率范围为 [0, , 1] 4
1 又 y ′ = 2 x + 2 ,设点 P 的横坐标为 x0 ,则 0 ≤ 2 x0 + 2 ≤ 1 ,解得 1 ≤ x0 ≤ ,故选 A . 2 5. 利用导数求函数的极值与最值

例 7(2009 天津卷理)已知函数 f ( x) = ( x 2 + ax 2a 2 + 3a )e x ( x ∈ R ), 其中 a ∈ R (1) 当 a = 0 时,求曲线 y = f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率; (2) 当 a ≠
2 时,求函数 f ( x) 的单调区间与极值。 3

(I)解: 当a = 0时,f ( x) = x 2 e x ,f ' ( x) = ( x 2 + 2 x)e x,故f ' (1) = 3e.

所以曲线y = f ( x)在点(1, f (1))处的切线的斜率为3e.
(II) 解:f ' ( x) = x 2 + (a + 2) x 2a 2 + 4a e x .
令f ' ( x) = 0,解得x = 2a,或x = a 2.由a ≠
2 知, 2a ≠ a 2. 3

[

]

以下分两种情况讨论。 2 (1) 若a > ,则 2a < a 2 .当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3

x

( ∞, 2a )
+ ↗

2a

( 2a,a 2)
— ↘

a2
0 极小值

(a 2, ∞ ) +
+ ↗

0 极大值

所以f ( x)在(∞, 2a), 2, ∞)内是增函数,在(2a,a 2)内是减函数. (a +
函数f ( x)在x = 2a处取得极大值f (2a ),且f (2a ) = 3ae 2 a . 函数f ( x)在x = a 2处取得极小值f (a 2),且f (a 2) = (4 3a )e a 2 . (2) 若a <
2 ,则 2a > a 2 ,当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3

x

( ∞,a 2)
+ ↗

a2
0 极大值

(a 2, 2a )
— ↘

2a

( 2a, ∞ ) +
+ ↗

0 极小值

所以f ( x)在(∞,a 2), 2a, ∞)内是增函数,在(a 2, 2a)内是减函数。 ( +
函数f ( x)在x = a 2处取得极大值f (a 2),且f (a 2) = (4 3a )e a 2 . 函数f ( x)在x = 2a处取得极小值f (2a ),且f (2a ) = 3ae 2 a . 点评: 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,
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考查运算能力及分类讨论的思想方法。 例8 (2008 年天津高考) 已知函数 f ( x) = x 4 + ax3 + 2 x 2 + b( x ∈ R ) 其中 a, b ∈ R . , 若函数 f ( x) 仅在 x = 0 处有极值,求 a 的取值范围. 解: f ′( x) = x(4 x 2 + 3ax + 4) ,显然 x = 0 不是方程 4 x 2 + 3ax + 4 = 0 的根. 为使 f ( x) 仅在 x = 0 处有极值,必须 4 x 2 + 3ax + 4 ≥ 0 成立,即有 = 9a 2 64 ≤ 0 .
8 8 8 8 解不等式,得 ≤ a ≤ .这时, f (0) = b 是唯一极值.因此满足条件的 a 的取值范围是 [ , ] . 3 3 3 3 6.利用导数解决实际问题 6.利用导数解决实际问题 例 9 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,问该长方体的 长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?

解:设长方体的宽为 x (m) ,则长为 2 x (m),高为 h = 故长方体的体积为 V ( x ) = 2 x 2 (4.5 3 x ) = 9 x 2 6 x 3 (m 3 )

18 12 x = 4.5 3x(m) 4

3 0<x< . 2

3 0 < x < 2

从而 V ′( x) = 18 x 18 x 2 (4.5 3 x) = 18 x(1 x). 令 V ' ( x ) = 0 ,解得 x = 0 (舍去)或 x = 1 ,因此 x = 1 . 当 0 < x < 1 时, V ' ( x ) > 0 ;当 1 < x <
3 时, V ' ( x ) < 0 ,故在 x = 1 处 V ( x ) 取得极大值,并且这个极大值就 2

是 V ( x ) 的最大值,从而最大体积 V = V ' ( x ) = 9 × 12 6 × 13 m 3 ,此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m 例 10(2009 年湖南高考)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需要建两端 桥墩之间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面 工程费用为 (2 + x ) x 万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程 的费用为 y 万元 (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 解 (Ⅰ)设需要新建 n 个桥墩, (n + 1) x = m,即n=
所以
m 1 x m m y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x )x=256( -1)+ (2 + x ) x x x 256m = + m x = 2m 256 . x

( )

(Ⅱ)

由(Ⅰ)知 f ′( x ) =
3

256m 1 2 + mx , 2 x2

1

令 f '( x) = 0 ,得 x 2 = 512 ,所以 x =64 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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当 0< x <64 时 f '( x) <0,

f ( x) 在区间(0,64)内为减函数;

当 64 < x < 640 时, f '( x) >0. f ( x) 在区间(64,640)内为增函数, 所以 f ( x) 在 x =64 处取得最小值,此时, n = 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小
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m 640 1 = 1 = 9. x 64

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