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2012高三理科数学模拟试题(5月练习四)


2012 高三理科数学模拟试题(5 月练习四)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 1.设集合 M ? { x | x ? x ? 0} , N ? { x || x |? 2} , 则
2

( D. M ? N ? R



A、 M ? N ? ? B、 M ? N ? M
2i
3

C. M ? N ? M

2.复数

1? i

的虚部为





A.1 B.—1 C. i D.— i 3.如图,程序框图所进行的求和运算是
1 2 1 3 1 4 ? 1 6
7


1 5 1 19 1 2
3



A 1? C.
1 2

?

?? ?

1 10 1 20

B. 1 ? D.
1 2
2

1 3

? 1

?? ?

?

?? ?

?

2

2

?

?? ?
7

1 2
10

4、已知 (1 ? 2 x ) ? a 0 ? a 1 x ? a 2 x ? ? ? a 7 x , 那 么 a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ? a 6 ? a 7 ? ( A.—2
2



B.2
2

C.—12

D.12 )

5.已知圆 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 上一点 P 到直线 3 x ? 4 y ? 3 ? 0的 距 离 为 d , 则 d 的最小值( A.1 B.
4 5

C.

2 5

D.2

6.将甲乙丙丁四位实习老师分配到 3 所学校,要求每所学校至少有 1 人且甲与乙不在同一所学校共 有多少种不同分配方法 ( ) A、24 B、30 C、36 D、72 7.已知 A、B 为抛物线 C: y ? 4 x 上的不同两点,F 为抛物线 C 的焦点,若 F A ? ? 4 F B , 则直线
2

??? ?

??? ?

AB 的斜率为 A. ?
2 3

( B. ?
3 2



C. ?

3 4

D. ?

4 3

8.给出下列命题: ①函数 y ? tan x的 图 象 关 于 点 ( k ? , 0 )( k ? Z ) 对称; ②若向量 a、b、c 满足 a·b=a·c 且 a ? 0, 则 b ? c ; ③把函数 y ? 3 s in ( 2 x ?
?
3 )的 图 象 向 右 平 移

?
6

得 到 y ? 3 s in 2 x 的图象;
*

④若数列 { a n } 既是等差数列又是等比数列,则 a n ? a n ? 1 ( n ? N ). 其中正确命题的序号为 A.①③④ B.①④ ( ) D.①②

C.③④

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。
?2 x ? 0 , 则 f [ f ( ? 1 0 )] 的值为 9.已知函数 f ( x ) ? ? ? lg ( ? x ) x ? 0
x?2



10.如图是一个几何体的三视图(单位:cm) ,则这个几何体的表 2 面积为 cm .
? x ? 4 y ? ?3 ? 11.设 O 为坐标原点, M ( 2,1), 点 N ( x , y ) 满足 ? 3 x ? 5 y ? 2 5 , 则 ?x ? 1 ?
???? | O N | co s ? M O N 的最大值为



12.数列 { a n } 是公差不为 0 的等差数列,且 a 6 , a 9 , a 1 5 依次为等比数列 { b n } 的连续三项,若数列
{ b n }的 首 项 b1 ? 1 2 , 则 数 列 { b n } 的前 5 项和 S5 等于



与 则 13.若对任意 x ? A , y ? B , ( A ? R , B ? R )有 唯 一 确 定 的 f ( x , y ) 之 对 应 , 称 f ( x , y )为关于

x、y 的二元函数。现定义满足下列性质的二元函数 f ( x , y ) 为关于实数 x、y 的广义“距离” ; (1)非负性: f ( x , y ) ? 0, 当 且 仅 当 x ? y 时取等号; (2)对称性: f ( x , y ) ? f ( y , x ) ; (3)三角形不等式: f ( x , y ) ? f ( x , z ) ? f ( z , y ) 对任意的实数 z 均成立。 今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于 x、y 的广义“距离”的序号: ① f ( x , y ) ? | x ? y | ;② f ( x , y ) ? ( x ? y ) ;③ f ( x , y ) ?
2

x ? y.

能够成为关于的 x、y 的广义“距离”的函数的序号是 14. (坐标系与参数方程选讲) 在极坐标系中,点 A ( 2 , ?
?
3 ) 到直线 l : ? c o s (? ?



?
6

) ? 1 的距离为



15. (几何证明选讲) 如图,P 是圆 O 外的一点,PT 为切线,T 为切点,割线 PAB 经过圆心 O, PB=6,PT ? 2 3 ,则∠TBP= 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本题满分 12 分)
1) B 0 C 已知平面直角坐标系上的三点 A (0, , ( ? 2, ) , (co s ? ,sin ? )( ? ? (0, ? ) ) 且 B A 与 O C , ??? ?

????

共线. (1)求 tan ? ; (2)求 s in ( 2 ? ?
?
4 ) 的值.

17. (本题满分 12 分) 设关于 x 的一元二次方程 x ? 2 a x ? b ? 0 .
2

(1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求上 述方程有实根的概率。 (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有 实根的概率. 18. (本小题满分 14 分) 如图,已知几何体的下部是一个底面是边长为 2 的正 六边形、侧面全为正方形的棱柱,上部是一个侧面全为 等腰三角形的棱锥,其侧棱长都为 1 3 . (1)证明: D F1 ? 平面 P A1 F1 ; (2)求异面直线 D F1 与 B 1 C 1 所成角的余弦值.

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? a ln x .
2

(1)若函数 f ( x ) 在 区 间 (0,1) 上是单调函数,求实数 a 的取值范围; (2)当 t ? 1时 , 不 等 式 f (2 t ? 1) ? 2 f ( t ) ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围。

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 过点 (0 ,1) ,且离心率为

3 2

.

(1)求椭圆 C 的方程; (2) A , B 为椭圆 C 的左右顶点,点 P 是椭圆 C 上异于 A , B 的动点,直线 A P , B P 分别交直线
l:x ? 2 2 于 E , F 两点.

证明:以线段 E F 为直径的圆恒过 x 轴上的定点.

21. (本题满分 14 分) (第一小题 8 分,第二小题 6 分) (1)定理:若函数 f ( x ) 的图像在区间 [ a , b ] 上连续,且在 ( a , b ) 内可导,则至少存在一点
? ? ( a , b ) ,使得 f ( b ) ? f ( a ) ? f ? ( ? )( b ? a ) 成立.

应用上述定理证明: ①1 ?
x y
n

? ln y ? ln x ?

y x

? 1(0 ? x ? y ) ;

②?
k?2

1 k

? ln n ?

?

n ?1

1 k

    ? 1) . (n
x? y 2

k ?1

n * (2)设 f ( x ) ? x ( n ? N ) .若对任意的实数 x , y , f ( x ) ? f ( y ) ? f ? (

)( x ? y ) 恒成立,

求 n 所有可能的值.

2012 高三理科数学模拟试题(5 月练习四)
一、选择题 1—5 B 二、填空题 9.
1 2

B

C

D

A

6—8

B

D

A

10. 8 ? 6 2

11.

12 5

5

12.

31 2

13.①

14.1

15.30°

三、解答题 16 解: (1)解法 1:由题意得: B A ? ( 2 ,1) , O C ? (c o s ? , sin ? ) ,??????2 分 ∵ B A // O C ,∴ 2 sin ? ? co s ? ? 0 , ∴ ta n ? ?
1 2

??? ?

????

??? ?

????

???????????4 分

.
??? ?

???????????5 分
????

解法 2:由题意得: B A ? ( 2 ,1) , O C ? (c o s ? , sin ? ) ,???????2 分 ∵ B A // O C ,∴ B A ? ? O C ,∴ ? ∴ ta n ? ?
1 2

??? ?

????

??? ?

????

? 2 ? ? cos ? ? 1 ? ? s in ?



????????4 分

???????????5 分
2

17.解:设事件 A 为“方程 x ? 2 a x ? b ? 0 有实根” 。 当 a ? 0 , b ? 0 时,方程 x ? 2 a x ? b ? 0 有实根的充要条件为 a ? b . ????2 分
2 2

(1)基本事件共有 12 个: (0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(1,2)(2,0)(2,1)(2,2)(3,0)(3, , , , , , , , , , , 1)(3,2) ??????4 分 , . 其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值.事件 A 中包含 9 个基本事件, 事件 A 发生的概率为 P ( A ) ?
9 12 ? 3 4

.??????6 分

(2)试验的全部结果所构成的区域为

?(a

,b ) ? 0

a?

3 , ?0 b ??

2 ,??????7 分

构成事件 A 的区域为 ? ( a , b ) 0 ? a ? 3, 0 ? b ? 2 , a 2 ? b ? ,??????8 分

而这个区域的面积为: ?

2 0

a d a ? 2 ? (3 ?
2

2) ? 6 ?

4 3

2

????11 分

∴所求的概率为 P ( A ) ? 1 ?

2 9

2

.

??????12 分

18.解: (1)∵侧面全为矩形,∴ A F ? F F1 ;在正六边形 A B C D E F 中, A F ? D F ,??1 分 又 D F ? F F1 ? F ,∴ A F ? 平面 D F F1 ;??????2 分 ∵ A F // A1 F1 ,∴ A1 F1 ? 平面 D F F1 ; 又 D F1 ? 平面 D F F1 ,∴ A1 F1 ? D F1 ;???5 分 (注:也可以由勾股定理得到,利用勾股定理求得垂直关系 2 分) 在 ? D F F1 中, F F1 ? 2 , D F ? 2 3 ,∴ D F1 ? 4 ,又 P F1 ? P D 1 ? ∴在平面 P A1 A D D 1 中,如图所示, P D ? ∴ D F1 ? P F1 ? P D ,故 D F1 ? P F1 ;
2 2 2

13 ;

5 ?2
2

2

?

29 ,

??????7 分 ???????8 分 , D F1 ? 平面 D F F1 ,

又 A1 F1 ? P F1 ? F1 ,∴ D F1 ? 平面 P A1 F1 .

(说明 1: 在上述证明线面垂直的过程中,如果缺了 D F ? F F1 ? F

A1 F1 ? P F1 ? F1 三个条件中的任意两个本问扣掉 3 分,如果三个条件都缺,则本题最多只能得 4 分)

(2)解法 1:∵在正六边形 A1 B1 C 1 D 1 E 1 F1 中 B1 C 1 // F1 E 1 , ∴异面直线 D F1 与 B 1 C 1 所成角为 ? E 1 F1 D (或其补角) ; 在 ? D F1 E 1 中, D F1 ? 4 , E 1 F1 ? 2 , D E 1 ? 2 2 , ∴ c o s ? E 1 F1 D ?
E 1 F1 ? D F1 ? D E 1
2 2 2

??????10 分 ??????11 分

2 ? E 1 F ? D F1

?

4 ? 16 ? 8 2?2?4
3 4

?

3 4

, ??????13 分

∴异面直线 D F1 与 B 1 C 1 所成角的余弦值为

. ?????14 分

解法 2: 以底面正六边形 A B C D E F 的中心为坐标原点 O , O D 为 y 轴, 以 建立如图所示的空间直角坐标系. ∵ D (0, 2, 0 ) , B1 ( 3 , ? 1, 2 ) , C 1 ( 3 ,1, 2 ) , F1 ( ? 3 , ? 1, 2 ) , ∴ B1 C 1 ? (0 , 2 , 0 ) , D F1 ? ( ? 3 , ? 3, 2 ) ,?????? 11 分 设异面直线 D F1 与 B 1 C 1 所成角为 ? ,则 ? ? ( 0 ,
?
2 ],

?????

???? ?

????? ???? ? ∴ c o s ? ? | c o s ? B 1 C 1 , D F1 ? | ?

????? ???? ? B 1 C 1 ? D F1 ?6 3 ????? ???? ? ? ? ,???13 分 2?4 4 | B 1 C 1 | ? | D F1 |

∴异面直线 D F1 与 B 1 C 1 所成角的余弦值为

3 4



???14 分

19.解: (1)函数 f ( x )的 定 义 域 是 (0, ? ? ) , ??????1 分
a x 2x ? 2x ? a
2

求导得 f ? ( x ) ? 2 x ? 2 ?

?

,????3 分

x

因为函数 f ( x ) 在区间(0,1)上为单调函数,所以只需 f ? ( x ) ? 0 或 f ?( x ) ? 0 在区间(0,1)上恒 成立, 即 a ? ? ( 2 x ? 2 x ) 或 a ? ? ( 2 x ? 2 x ) 在区间(0,1)上恒成立,????5 分
2 2

解得 a ? 0, 或 a ? ? 4; 故实数 a 的取值范围是 ( ? ? , ? 4 ] ? [0, ? ? ) (2)不等式 f ( 2 t ? 1) ? 2 f ( t ) ? 3
2 2 2 2

????7 分

可化为 2 t ? 4 t ? 2 ? a ln t ? a ln ( 2 t ? 1), ??????10 分

即 2 t ? a ln t ? 2 ( 2 t ? 1) ? a ln ( 2 t ? 1),

记 g ( x ) ? 2 x ? a ln x ( x ? 1) ,要使上式成立,

只须 g ( x ) ? 2 x ? a ln x ( x ? 1) 是增函数即可???12 分 即 g ?( x ) ? 2 ?
a x ? 0 在 [1, ? ? ) 上 恒 成 立 ,解得 a ? 2 .

故实数 a 的取值范围是 ( ? ? , 2 ] 20.解: (1)由题意可知, b ? 1 , 而
c a ? 3 2

??????14 分 ?????1 分



a ? b ? c . ……….. 3 分
2 2 2

解得 a ? 2 ,

?????4 分
x
2

所以,椭圆的方程为

? y ?1.
2

?????5 分 ?????6 分 ?????7 分
? ? ? (2 2 ? 2) y0 ? ?; ? x0 ? 2 ?

4

(2)由题可得 A ( ? 2, 0 ), B ( 2, 0 ) .设 P ( x 0 , y 0 ) , 直线 A P 的方程为 y ? 令 x ? 2 2 ,则 y ?
(2

y0 x0 ? 2

( x ? 2) ,

2 ? 2) y0 x0 ? 2

,即 E ? 2 2 ,

?????8 分

直线 B P 的方程为 y ? 令 x ? 2 2 ,则 y ?

y0 x0 ? 2

( x ? 2) ,
? (2

?????9 分

2 ? 2) y0 ? ?????10 分 ?; ? ? x0 ? 2 x0 ? 2 ? ? ???? ???? 证法一:设点 M ( m , 0 ) 在以线段 E F 为直径的圆上,则 M E ? M F ? 0 , ????11 分

(2

2 ? 2) y0

,即 F ? 2 2 ,

即 (m ? 2 2 ) ?
2

(2

2 ? 2 )( 2
2

2 ? 2) y0
2

2

x0 ? 4
4 y0
2 2

? 0,

?????12 分
2 2

? (m ? 2
? (m ? 2

2) ?
2
2

4 ? x0

,而

x0 4

? y 0 ? 1 ,即 4 y 0 ? 4 ? x 0 ,
2

2 ) ? 1 ,? m ? 2 2 ? 1 或 m ? 2

2 ?1.

?????13 分

所以以线段 E F 为直径的圆必过 x 轴上的定点 ( 2 2 ? 1, 0 ) 或 ( 2 2 ? 1, 0 ) . ???14 分 证法二:以线段 E F 为直径的圆为
(x ? 2 ? (2 2 ? 2) y0 ? ? (2 2 ? 2) y0 ? 2 2) ? ?y ? ???y ? ? ? 0 x0 ? 2 x0 ? 2 ? ? ? ?
2

???11 分

令 y ? 0 ,得 ( x ? 2 2 ) ? ∴(x ? 2 2) ?
2
2

(2

2 ? 2 )( 2
2

2 ? 2) y0

2

x0 ? 4
x0 4
2 2

? 0,

????12 分

4 y0

2 2

4 ? x0

,而

? y 0 ? 1 ,即 4 y 0 ? 4 ? x 0 ,
2 2

∴ ( x ? 2 2 ) ? 1 ,? x ? 2 2 ? 1 或 x ? 2 2 ? 1 .

?????13 分

所以以线段 E F 为直径的圆必过 x 轴上的定点 ( 2 2 ? 1, 0 ) 或 ( 2 2 ? 1, 0 ) . ???14 分 解法 3:令 P (0,1) ,则 l A P : 同理, E ( 2 2 ,1 ?
2).
2 2

x ?2

?

y 1

? 1 ,令 x ? 2

2 ,得 E ( 2 2 ,1 ?

2)

???6 分

?????7 分 ?????8 分

∴以 E F 为直径的圆为 ( x ? 2 2 ) ? ( y ? 1) ? 2 当 y ? 0 时, x ? 1 ? 2 2 或 x ? 1 ? 2 2 . ∴圆过 A ( 2 2 ? 1, 0 ), B ( 2 2 ? 1, 0 ) 令 P ( x 0 , y 0 ) ,直线 A P 的方程为 y ? 令 x ? 2 2 ,则 y ?
(2 2 ? 2) y0 x0 ? 2

?????9 分
y0 x0 ? 2 ( x ? 2) ,

,即 E ? 2 2 ,
? ?

?

(2

2 ? 2) y0 ? ?; ? x0 ? 2 ?

???10 分

直线 B P 的方程为 y ?

y0 x0 ? 2

( x ? 2) ,
? ? (2 2 ? 2) y0 ? ?; ? x0 ? 2 ?

令 x ? 2 2 ,则 y ?
y0 ? 4
2

(2

2 ? 2) y0 x0 ? 2

,即 F ? 2 2 , ?

???11 分

∵ k AE ? k AF ?

x0 ? 4
2

? ?1

?????13 分

∴ A 在以 E F 为直径的圆上. 同理,可知 B 也在 E F 为直径的圆上.∴定点为 A ( 2 2 ? 1, 0 ), B ( 2 2 ? 1, 0 )

21. (本题满分 14 分) 证明:① f ( x ) ? ln x , f ? ( ? ) ?
1

?

,x ? ? ? y

????1 分

(注 1:只要构造出函数 f ( x ) ? ln x 即给 1 分) 故 ln y ? ln x ? 即1 ?
x y
( ②证明:由 ? )式可得

y? x

?

,又 y x

y? x y

?

y? x

?

?

y? x x

( ?? ? )

??????2 分

? ln y ? ln x ?

? 1(0 ? x ? y )
? ln 2 ? ln 1 ? 2 ?1 1

???????3 分

2 ?1 2

3?2 2 ?

? ln 3 ? ln 2 ?

3?2 2

??????6 分
? ln n ? ln ( n ? 1) ?
n

n ? ( n ? 1) n

n ? ( n ? 1) n ?1
n ?1

上述不等式相加,得 ?
k?2

1 k

? ln n ?

?

1 k

    ? 1) (n

?????8 分

k ?1

(注:能给出叠加式中的任何一个即给 1 分,能给出一般式
n ? ( n ? 1) n ? ln n ? ln ( n ? 1) ? n ? ( n ? 1) n ?1

,给出 2 分)
x? y 2 )( x ? y ) 显然成立. x? y 2

(2)解法一、当 n ? 1 时, f ( x ) ? f ( y ) ? f ? ( 当 n ? 2 时, f ( x ) ? f ( y ) ? x ? y ? 2 (
2 2

????9 分

x? y 2

)( x ? y ) ? f ? (

)( x ? y ) .????10 分

下证当 n ? 3 时,等式 f ( x ) ? f ( y ) ? f ? (

x? y 2

)( x ? y ) 不恒成立.

(注:能猜出 n ? 3 时等式不恒成立即给 1 分) 不妨设 0 ? x ? y .设 F ( x ) ? x ? y ? n ? (
n n

x? y 2

)

n ?1

( x ? y ) .则
x? y 2 )
n ?1

?????11 分

F ?( x ) ? n x

n ?1

? n ( n ? 1)(

x? y 2

)

n?2

(

x? y

) ? n(

? nx ? nx ? nx

n ?1

? n( ? n( ? n(

x? y 2 x? y 2 x? y 2

) ) )

n?2

(

2 ( n ? 1) x ? ( n ? 1) y

?

x? y 2

)

2
n?2

n ?1

(n ? 2) x ? ny 2 (n ? 2) x ? nx 2

n ?1

n?2

? n x[ x ? nx( x

n?2

?( ? x

x? y 2
n?2

)

n?2

]

n?2

)? 0

???13 分 所以函数 F ( x ) 单调在 (0 , y ) 上单调递增,所以 F ( x ) ? F ( y ) ? 0 ,即 F ( x ) 不恒为零. 故 n 的所有可能值为 1 和 2 . ?????????14 分

解法二、当 n ? 1 时, f ( x ) ? f ( y ) ? f ? (
2 2

x? y 2

)( x ? y ) 显然成立.
)( x ? y ) ? f ? ( x? y 2 )( x ? y ) 不恒成立.

???9 分
)( x ? y ) .

当 n ? 2 时, f ( x ) ? f ( y ) ? x ? y ? 2 ( 下证当 n ? 3 时,等式 f ( x ) ? f ( y ) ? f ? (

x? y 2

???10 分

x? y 2
n ?1

不妨设 x ? 2 , y ? 0 ,则已知条件化为: 2 当 n ? 3 时, 2
1

? n
n ?1

???????11 分

n ?1

? (1 ? 1)

n ?1

? C n ?1 ? C n ?1 ? ? ? C n ?1
0 1

? 2 ? C n ?1 ? n ? 1 ? n

?????13 分
n ?1

因此, n ? 3 时方程 2 ? n 无解. 故 n 的所有可能值为 1 和 2 .

?????????14 分


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