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2014-2015学年江苏省宿迁市三校联考高一(下)3月月考数学试卷(Word版含解析)


2014-2015 学年江苏省宿迁市三校联考高一(下)3 月月考数学 试卷
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 1. (5 分) (2015 春?宿迁月考)cos165°= ﹣ .

考点: 专题: 分析: 解答:

运用诱导公式化简求值. 三角函数的求值. 原式中的角度变形后,利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果. 解:cos165°=cos(180°﹣15°)=﹣cos15°=﹣cos(45°﹣30°)=﹣cos45°cos30°﹣ .

sin45°sin30°=﹣ 故答案为:﹣

点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键. 2. (5 分) (2015 春?宿迁月考)函数 y=cos x 的最小正周期为 π . 考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用半角公式化简函数的解析式,再利用余弦函数的周期性,求得函数 2 y=cos x 的最小正周期. 解答: 解:函数 y=cos x=
2 2

,故它的周期为

=π,

故答案为:π. 点评: 本题主要考查半角公式的应用,余弦函数的周期性,属于基础题. 3. (5 分) (2012?沭阳县校级模拟)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 a2=3,a6=11, 则 S7= 49 . 考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的性质. 分析: 由等差数列的性质求得 a1+a7,再用前 n 项和公式求得. 解答: 解:∵a2+a6=a1+a7 ∴ 故答案是 49 点评: 本题考查等差数列的性质和等差数列前 n 项和公式.

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4. (5 分) (2015 春?宿迁月考)已知数列{an}是等差数列,a1=﹣9,S3=S7,那么使其前 n 项和 Sn 最小的 n 是 5 . 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 综合题. 分析: 根据 S3=S7,得到 S7﹣S3 等于 0,利用等差数列的前 n 项和的定义可知 S7﹣S3 等 于数列的第 4 项加到第 7 项, 利用等差数列的通项公式分别表示出第 4 项到第 7 项, 相加等 于 0 列出首项与公差的方程, 把首项的值代入即可求出公差 d 的值, 然后根据首项和公差写 出等差数列的通项公式,要使前 n 项和最小,即要找出此数列从哪项开始变为非负数,所以 令通项公式小于等于 0 列出关于 n 的不等式,求出不等式的解集中的最大正整数解为 5,求 出第 5 项发现其值小于 0,求出第 6 项发现其值大于 0,所以此数列的前 5 项为负数,从第 6 项开始变为正数,即可得到此数列的前 5 项之和最小. 解答: 解:由 S3=S7, 得到:S7﹣S3=a4+a5+a6+a7=4a1+18d=0, 又 a1=﹣9,代入得:d=2,则 an=﹣9+2(n﹣1)=2n﹣11, 令 2n﹣11≤0,解得 n≤5.5,所以 a5=﹣1<0,a6=1>0, 则使其前 n 项和 Sn 最小的 n 是 5. 故答案为:5 点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项和的公式化简求值, 本题的突 破点是令通项公式小于等于 0 列出关于 n 的不等式. 5. (5 分) (2014 春?夏津县校级期末)若 α∈( ,π) ,tan(α+ )= ,则 sinα= .

考点: 两角和与差的正切函数;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件求得 tanα=﹣ = 解答: 解: 若 α∈ (
2 2

,再根据 sin α+cos α=1,求得 sinα 的值. ) = , 则有 = , 求得 tanα=﹣ = .

2

2

, π) , tan (α+

再根据 sin α+cos α=1,求得 sinα= , 故答案为: . 点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正切公式,属于中档题. 6. (5 分) (2015 春?宿迁月考)已知△ ABC 中,AB= ,BC=1,A=30°, 则 AC= 1 或 2 .

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由已知数据和余弦定理可得 AC 的方程,解方程可得. 解答: 解:∵△ABC 中,AB= ,BC=1,A=30°, 2 2 2 ∴由余弦定理可得 BC =AB +AC ﹣2ABACcosA,
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代入数据可得 1=3+AC ﹣2
2

2

AC?



∴AC ﹣3AC+2=0, ∴(AC﹣1) (AC﹣2)=0, 解得 AC=1 或 AC=2 故答案为:1 或 2 点评: 本题考查余弦定理,属基础题.

7. (5 分) (2013?成都一模)已知角 α,β,γ,构成公差为 则 cosα+cosγ= ﹣ .

的等差数列.若 cosβ=﹣ ,

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列;三角函数的求值. 分析: 由已知中角 α,β,γ,构成公差为 和差角公式,代入可得 cosα+cosγ 的值. 解答: 解:∵角 α,β,γ,构成公差为 故 cosα+cosγ=cos(β﹣ 故答案为:﹣ 点评: 本题考查的知识点是等差数列的性质,和差角公式,其中根据已知得到 α=β﹣ γ=β+ ,是解答的关键. , )+cos(β+ 的等差数列∴α=β﹣ =cosβ=﹣ ,γ=β+ 的等差数列,可得 α=β﹣ ,γ=β+ ,根据

)=2cosβcos

8. (5 分) (2014?浙江模拟)若 α∈(

,π) ,且 3cos2α=sin(

﹣α) ,则 sin2α= ﹣



考点: 二倍角的余弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用二倍角公式求得 cosα+sinα= 解答: 解:∵α∈( ,π) ,且 3cos2α=sin( ,平方可得 sin2α 的值. ﹣α) ,

∴3(cosα+sinα) (cosα﹣sinα)= ∴cosα+sinα= ∴sin2α=﹣ ,

(cosα﹣sinα) , ,

,平方可得 1+sin2α=

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故答案为:



点评: 本题主要考查二倍角公式的应用,属于基础题. 9. (5 分) (2015 春?宿迁月考)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A= ,cosB﹣cos2B=0,a +c =b﹣ac+2,则 b= 2 .
2 2

考点: 余弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用二倍角公式求得 cosB 的值,可得 B 的值,从而求得 C 的值,由余弦定 理可得得 b =a +c +ac,再结合 a +c =b﹣ac+2,求得 b 的值. 2 解答: 解:在△ ABC 中,∵cosB﹣cos2B=cosB﹣2cos B+1=0, ∴cosB=1 或 cosB=﹣ ,∴B=0(舍去) ,或 B= 由 B= ,A= ,可得 C=
2 2 2 2 2 2 2 2




2 2

由余弦定理可得 b =a +c ﹣2ac?cosB=a +c +ac. 2 2 2 再由 a +c =b﹣ac+2,可得 b =b+2,解得 b=2,或 b=﹣1(舍去) . 故答案为:2. 点评: 本题主要考查正弦定理、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,二倍角公式,熟练 掌握定理是解本题的关键,属于中档题. 10. (5 分) (2015 春?宿迁月考) 已知数列{an}满足关系式 an+2=|an+1﹣an( | n∈N ) , 且 a998=3, a1000=1,则 a2012+a2013+a2014= 2 . 考点: 数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 根据递推数列分别求出数列的规律即可得到结论. * 解答: 解:∵数列{an}满足关系式 an+2=|an+1﹣an|(n∈N ) ,且 a998=3,a1000=1, ∴当 n=998 时,a1000=|a999﹣a998|, 即 1=|a999﹣3|,解得 a999=4,或 a999=2, 若 a999=2,a1000=1,a1001=1,a1002=0,a1003=1,a1004=1,a1005=0,…, 若 a999=4,a1000=1,a1001=3,a1002=2,a1003=1,a1004=1,a1005=0,…, 即当 n>1003 时,an 的值具备循环性,相邻三个数分别为 1,1,0, 即 a2012+a2013+a2014=2, 故答案为:2 点评: 本题主要考查递推数列的应用, 根据条件得到当 n>1003 时, an 的值具备循环性是 解决本题的关键,综合性较强,难度较大. 11. (5 分) (2015 春?宿迁月考)在锐角△ ABC 中,sin(A+B)= ,sin(A﹣B)= tan2B= 0 .
*

,则

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考点: 两角和与差的正弦函数;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 解三角形. 分析: 由题意可得 A+B>90°,A﹣B<90°,cos(A+B)=cosAcosB﹣sinAsinB=﹣ ,cos (A﹣B)=cosAcosB+sinAsinB= .由此求得 tan(A+B)和 tan(A﹣B)的值,从而求得

tan2B=tan[(A+B)﹣(A﹣B)]的值. 解答: 解:∵锐角△ ABC 中,sin(A+B)=sinC= ,sin(A﹣B)= ∴A+B>90°,A﹣B<90°. 再由条件可得 cos(A+B)=cosAcosB﹣sinAsinB=﹣ , cos(A﹣B)=cosAcosB+sinAsinB= ∴tan(A+B)=﹣ ,tan(A﹣B)= . ,∴tan2B=tan[(A+B)﹣(A﹣ ,

B)]=

=

=﹣



故答案为:﹣



点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系、 两角和差的三角公式的应用, 属于中档题.

12. (5 分) (2015 春?宿迁月考)在△ ABC 中, tanC= 3:1:2 .

?

=2

?

=3

?

,则 tanA:tanB:

考点: 平面向量数量积的运算;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的数量积公式,结合正弦定理化简可得结论. 解答: 解:设| ∵ ? =2 ? |=c,| =3 ? |=a,| , |=b,

∴accosB=2abcosC=3bccosA, 根据正弦定理即 ∴accosB ∴ = = =2abcosC , , =3bccosA ,

∴tanA:tanB:tanC=3:1:2. 故答案为:3:1:2.
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点评: 本题考查向量的数量积公式,考查正弦定理的运用,考查学生的计算能力,属于中 档题. 13. (5 分) (2012?盐城二模)在等差数列{an}中,a2=5,a6=21,记数列 为 Sn,若 对 n∈N+恒成立,则正整数 m 的最小值为 5 . 的前 n 项和

考点: 等差数列的通项公式;数列与不等式的综合. 专题: 综合题. 分析: 由题干中的等式变形得出数列{an}是首项为 1,公差为 4 的等差数列,得出{
* *

}

的通项公式,证明数列{S2n+1﹣Sn}(n∈N )是递减数列,得出数列{S2n+1﹣Sn}(n∈N )的 最大项,再由 S2n+1﹣Sn≤ ,求出正整数得 m 的最小值.

解答: 解:在等差数列{an}中,∵a2=5,a6=21, ∴ ,

解得 a1=1,d=4, ∴ = = ,

∵(S2n+1﹣Sn)﹣(S2n+3﹣Sn+1) =( = = =( ﹣ ﹣ ﹣ + +…+ ﹣ ﹣ )+(
*

)﹣(

+

+…+





)>0,

∴数列{S2n+1﹣Sn}(n∈N )是递减数列, 数列{S2n+1﹣Sn}(n∈N )的最大项为 S3﹣S1= + = ∵ ≤ ,∴m≥ ,
*



又∵m 是正整数, ∴m 的最小值为 5. 故答案为:5. 点评: 本题考查数列与不等式的结合问题, 难度之一为结合已知和要求的式子, 观察出数 * 列是等差或等比数列;难度之二求数列{S2n+1﹣Sn}(n∈N )的最大值,证数列{S2n+1﹣Sn} * (n∈N )是递减数列,证明方法: (S2n+1﹣Sn)﹣(S2n+3﹣Sn+1)>0.是解题的关键.

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14. (5 分) (2014 春?赣榆县校级期末)设 y=f(x)是定义在区间 D 上的函数,对于区间 D 的非空子集 I,若存在常数 m∈R,满足:对任意的 x1∈I,都存在 x2∈I,使得 =m, 则称常数 m 是函数( f x) 在 I 上的“和谐数”. 若函数( f x) =sinx+cosx, x∈R,则函数 f(x)在区间[0,π]上的“和谐数”是 .

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 根据 x 的范围,可得 f(x)= 的值. 解答: 解:∵x∈[0,π],∴函数 f(x)=sinx+cosx= 故当 x= ﹣1, 根据题意可得 m= 故答案为: . , 时, 函数 f (x) 取得最大值为 sin(x+ ) , × = sin(x+ )∈[﹣1, ],由此根据题意可得 m

; 当 x=π 时, 函数 f (x) 取得最小值为﹣

点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用, 熟练掌握基本关系是解本题的关键, 属 于中档题. 二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (12 分) (2015 春?宿迁月考)化简求值: (1) (2)已知 cos(α﹣ 的值. 考点: 两角和与差的余弦函数;三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用 cos10°=sin80°=sin(60°+20°) ,利用两角和的正弦公式展开,合并即可. (2)求出 α﹣ 的正弦函数值, ﹣β 的余弦函数值,然后利用 =(α﹣ )﹣( ; )=﹣ ,sin( ﹣β)= ,且 <α<π,0<β< ,求 cos

﹣β)通过两角和与差的三角函数求解所求表达式的值即可. 解答: 解: (1)∵2cos10°=2sin80° =2sin(60°+20°) =2( = cos20°+ sin20°)

cos20°+sin20°,
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∴ (2)cos(α﹣ ∴α﹣ ﹣β∈ ∴cos ( = = . ﹣β) =cos[(α﹣ ∈(

= )=﹣ ,sin( ) ,∴sin(α﹣ ,cos( )﹣(

=

. <α<π,0<β< = = . ﹣β)+sin(α﹣ )sin . ,

﹣β)= ,且 )= ﹣β)=

﹣β)]=cos(α﹣

)cos(

点评: 本题考查三角函数的化简求值,两角和与差的三角函数,角的变换,以及 “2cos10°=2sin80°=2sin(60°+20°)”的思考与转化,属于中档题. 16. (12 分) (2015?衡水四模)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,函数 f (x)=2cosxsin(x﹣A)+sinA(x∈R)在 x= (1)当 处取得最大值.

时,求函数 f(x)的值域; ,求△ ABC 的面积.

(2)若 a=7 且 sinB+sinC=

考点: 正弦定理;两角和与差的正弦函数;正弦函数的定义域和值域. 专题: 解三角形. 分析: 利用三角函数的恒等变换化简函数 f(x)的解析式为 sin(2x﹣A) ,由于函数在 处取得最大值.令 ,其中 k∈z,解得 A 的值,

(1)由于 A 为三角形内角,可得 A 的值,再由 x 的范围可得函数的值域; (2) 由正弦定理求得 b+c=13, 再由余弦定理求得 bc 的值, 由△ ABC 的面积等于 算出即可. 解答: 解:∵函数 f(x)=2cosxsin(x﹣A)+sinA =2cosxsinxcosA﹣2cosxcosxsinA+sinA =sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin(2x﹣A) 又∵函数 f(x)=2cosxsin(x﹣A)+sinA(x∈R)在 ∴ ,其中 k∈z, 处取得最大值. ,

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,其中 k∈z,

(1)∵A∈(0,π) ,∴A= ∵ ∴ (2)由正弦定理得到 即
2

,∴2x﹣A ,即函数 f(x)的值域为: ,则 sinB+sinC= sinA,

,∴b+c=13
2 2 2

由余弦定理得到 a =b +c ﹣2bccosA=(b+c) ﹣2bc﹣2bccosA 即 49=169﹣3bc,∴bc=40 故△ ABC 的面积为:S= .

点评: 本题主要考查三角函数的恒等变换,正、余弦定理的应用,正弦函数的值域,属于 中档题. 17. (12 分) (2010 春?建湖县期末)已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满 足:a3?a4=117,a2+a5=22. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)若数列{bn}是等差数列,且 ,求非零常数 c.

考点: 等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 专题: 综合题. 分析: (1)利用等差数列的性质可得 ,联立方程可得 a3,a4,代

入等差数列的通项公式可求 an (2)代入等差数列的前 n 和公式可求 sn,进一步可得 bn,然后结合等差数列的定义可得 2b2=b1+b3,从而可求 c 解答: 解: (1)an 为等差数列,a3?a4=117,a2+a5=22 又 a2+a5=a3+a4=22 2 ∴a3,a4 是方程 x ﹣22x+117=0 的两个根,d>0 ∴a3=9,a4=13 ∴ ∴d=4,a1=1 ∴an=1+(n﹣1)×4=4n﹣3 (2)由(1)知,

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∵ ∴ , , ,
2

∵bn 是等差数列,∴2b2=b1+b3,∴2c +c=0, ∴ (c=0 舍去)

点评: 本题主要考查了等差数列的定义、性质、通项公式、前 n 项和公式的综合运用,以 及构造法的运用,是一道综合性很好的试题. ,且当 n>1,n∈N*时,有

18. (14 分) (2015 春?宿迁月考)已知数列{an}满足

, (1)求证:数列 为等差数列;

(2)试问 a1?a2 是否是数列{an}中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由. 考点: 数列递推式;等差关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)根据数列的递推关系,利用构造法结合等差数列即可证明数列 数列; (2)先求出数列的通项公式以及 a1?a2 的值,然后进行判断即可. 解答: (1)证明:∵当 n>1,n∈N*时, ∴an﹣1﹣2anan﹣1=2anan﹣1+an, 又∵an≠0, ∴ (2)∵ ∴ 又∵ ,若 ,∴数列 ,∴ , ,∴ ,得 n=11, , 为等差数列; , 为等差

∴a1a2 是数列{an}的 第 11 项. 点评: 本题主要考查数列递推公式的应用, 利用构造法以及等差数列的定义是解决本题的 关键.

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19. (14 分) (2013?江苏模拟)某个公园有个池塘,其形状为直角△ ABC,∠C=90°,AB=2 百米,BC=1 百米. (1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在 AB、BC、CA 上取点 D,E,F,如图(1) , 使得 EF‖AB,EF⊥ED,在△ DEF 喂食,求△ DEF 面积 S△ DEF 的最大值; (2)现在准备新建造一个荷塘,分别在 AB,BC,CA 上取点 D,E,F,如图(2) ,建造 △ DEF 连廊(不考虑宽度)供游客休憩,且使△ DEF 为正三角形,设求△ DEF 边长的最小 值.

考点: 三角形中的几何计算. 专题: 计算题;三角函数的求值;解三角形. 分析: (1)设 (0<λ<1) ,利用解直角三角形算出 EF=2λ 百米,再利用 EF∥AB (1﹣λ)百米,从而得到 S△ DEF= EF?h 表示成关于 λ 的函

算出点 D 到 EF 的距离为 h=

数式,利用基本不等式求最值即可算出△ DEF 面积 S△ DEF 的最大值; (2)设正三角形 DEF 的边长为 a、∠CEF=α 且∠EDB=∠1,将 CF 和 AF 用 a、α 表示出, 再用 α 分别分别表示出∠1 和∠ADF,然后利用正弦定理表示 a 并结合辅角公式化简,利用 正弦函数的值域即可求得 a 的最小值. 解答: 解: (1)Rt△ ABC 中,∠C=90°,AB=2 百米,BC=1 百米. ∴cosB= ,可得 B=60°

∵EF∥AB,∴∠CEF=∠B=60° 设 (0<λ<1) ,则 CE=λCB=λ 百米, CE= λ 百米,

Rt△ CEF 中,EF=2CE=2λ 百米,C 到 FE 的距离 d= ∵C 到 AB 的距离为 BC= 百米, ﹣ λ= (1﹣λ)百米
2

∴点 D 到 EF 的距离为 h= 可得 S△ DEF= EF?h=

λ(1﹣λ)百米
2

∵λ(1﹣λ)≤ [λ+(1﹣λ)] = ,当且仅当 ∴当

时等号成立 百米
2

时,即 E 为 AB 中点时,S△ DEF 的最大值为

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(2)设正△ DEF 的边长为 a,∠CEF=α 则 CF=a?sinα,AF= ﹣a?sinα 设∠EDB=∠1,可得 ∠1=180°﹣∠B﹣∠DEB=120°﹣∠DEB,α=180°﹣60°﹣∠DEB=120°﹣∠DEB ∴∠ADF=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣α 在△ ADF 中, 即 = ,化简得 a[2sin(120°﹣α)+sinα]=

∴a= ∴△DEF 边长最小值为

= .

=

(其中 φ 是满足 tanφ=

的锐角)

点评: 本题在特殊直角三角形中求三角形边长和面积的最值,着重考查了解直角三角形、 平行线的性质、 正弦定理和三角恒等变换等知识, 考查了在实际问题中建立三角函数模型能 力,属于中档题. 20. (16 分) (2015 春?宿迁月考)已知数列{an}满足 a2=3a1,Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 2 * 有 Sn+1+Sn+Sn﹣1=3n +2(n≥2,n∈N ) (1)若数列{an}为等差数列,求通项 an; * (2)若对于任意 n∈N ,an<an+1 恒成立,求 a1 的取值范围. 考点: 数列递推式;等差数列的性质. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)根据数列的递推关系,结合等差数列的定义,即可求出数列{an}的通项 an; (2)利用数列 an<an+1 恒成立,得到数列为递增数列,利用递增数列的性质即可得到结论. 解答: 解: (1)∵ ∴S3+S2+S1=14, 即 a3+2a2+3a1=14, 又∵a2=3a1,∴a3=14﹣9a1 ∵数列{an}为等差数列, ∴2a2=a1+a3,解得 a1=1,
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∴d=a2﹣a1=2, ∴an=2n﹣1. (2)∵ ∴ 两式作差得 ∴ ,

可求得

若任意 n∈N ,an<an+1 恒成立, ∴a1<a2 且 a3k﹣1<a3k<a3k+1<a3k+2

*



,解得

即 a1 的取值范围为



点评: 本题主要考查等差数列的通项公式的求解, 以及递推数列的应用, 考查学生的推理 能力.

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