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必修4正切函数图像和性质


必修 4《1.3.2 正切函数的图像与性质》教学设计

北京师范大学附属实验中学 指导思想与理论依据

黎栋材

贝塔朗菲强调,任何系统都是一个有机的整体,它不是各个部分的机械组合或简单相加, 而是系统的整体观念。数学知识更是一个有机整体,在平时的教学中,我习惯从系统的观点 对所教内容进行整合,以优化其结构及知识、能力与方法。 建构主义学习理论认为:知识不是从外界搬到记忆中,而是以已有经验为基础,通过与外 界的相互作用而获取,通过意义建构的方式而获得。 教学背景分析 三角函数是函数这个系统中的一个小分支, 而正切函数是三角函数这个小分支中的一个 内容节点, 让学生能清晰的认识所研究的内容与方法: 在内容上主要研究函数的性质——定 义域、值域、对称性、周期性、单调性;在方法选择上,数形结合应是对其性质研究的主要 途径。但也要让学生明白,系统内部各个子系统有联系也有区别,作为正切函数除了一般函 数的研究内容外,还要针对其图象的特点,特殊地研究其渐近线。在此也向学生进一步说明 华老的“数缺形少直观,形少数难入微”的精妙,借助一切机会向学生渗透数学文化观念, 让学生体会数的美无处不在,数学无处不美。 本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后,又一具体的三角函数。学生已经掌 握了角的正切,正切线和与正切有关的诱导公式,这为本节课的学习提供了知识的保障,在 此基础上,进一步研究其性质、体会研究函数方法的课,也是为解析几何中直线斜率与倾斜 角的关系等内容做好知识储备的课. 为了让学生能更加直观、形象地理解正切函数的值域和周期性变化,正切曲线的作图 过程,采用《几何画板》自制课件进行演示,以提高了学生的学习兴趣,使之能达到良好的 教学效果。 教学目标(内容框架) 知识与技能目标: 1.在对正切函数已有认知的基础上,分析正切函数的性质。

2.通过已知的性质,利用正切线画出正切函数在 3.根据正切曲线,完善正切函数的性质。 过程与方法目标:

上的图像,得到正切曲线。

在探究正切函数基本性质和图像的过程中, 渗透数形结合的思想, 形成发现问题、 提出问题、 解决问题的能力,养成良好的数学学习习惯. 情感态度价值观目标 在教学中使学生了解问题的来龙去脉;强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透; 突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成.

教学过程及学生活动 提问 1:首先我们回忆角的正切是如何定义的?

设计说明 让学生 体会角的 正切定义 与正切函 数之间的 关系, 为后 续课堂做 铺垫

角 复 习 旧 知

的正切: 是任意的吗 ? 引出正切函数的定义域。 ,学生分析量与量之间的关系

提问 2:角 提问 3:习惯

正切函数的定义:



定义域 利用已有 的认知结 构, 探究未 知的问题 类比, 是 研究问题 最重要的 方法之一 反例在 数学中的 作用

提问 4:类比我们已经学习的正弦函数、余弦函数的图像与性质, 我们可以从哪些方面研究正切函数的性质? 学生回答:正弦、余弦函数都有哪些方面的性质。 【教师一一板书学生回答的性质】 提问 5:我们对正切函数也已经有了初步的了解,譬如:正切线, 与正切有关的诱导公式等,就已有的知识,下面请同学具体说明正 切函数的性质?

正 切 函 数 的 性 质

1.定义域: 2.值域: R 【利用课件演示正切线的变化,让学生直观感受】 3.奇偶性:奇函数 【用反例说明不是偶函数】 4. 周期性:最小正周期是 5.单调性:在整个定义域上既不是增函数也不是减函数.

【举反例: 调性的定义矛盾】 6.对称性 正 切 函 数 的 图 像

.这与单

提问 6:我们已知了正切函数的部分性质,如何利用已有的性质画 出正切函数的图像? 由于正切函数的是最小正周期是 的周期函数, 所以我们只需

要画出他在一个周期内的图像,然后通过平移就可以得到在整个定

利用已 知的性质, 如何画函 数的图像 体会函 数的性质 与图像之

义域内的图像。选择哪一个长度为

的区间呢?可以选择区间

间的关系

;而正切函数又是奇函数,所以只需画出在 图像。



正切曲线





的图象,称 “正切曲 线”。

【值域】

当 时, 观 察 图 像 , 丰 富 性 质 【单调性】

且 ;

时,

; 当



形与数的 结合, 更能 抓住问题 的本质

对每一个 【对称性】

,在开区间

内,函数单调递增.

对称性:

,无对称轴。

对称性有几何画板先直观演示,然后给与严格的证明。 【渐近线】

正切函数的图像是被相互平行的直线 开的无穷多支形状完全相同的曲线组成的。 形 与 数

所隔

对比正切函数的性质和图像,分析各个性质在图像上的反映, 得出:函数的性质有利于画函数的图像,函数的图像是其性质的直 观反应,

例 1.比较



的大小

例 2.求函数 例 3:求下列函数的周期: 例 题 解 析

的定义域.

(1)

答:



(2)

答:



说明: 函数 例 4.解关于 五、教学反思 的不等式

( 。

) 的周期



我校李晓辉副校长在一次大会上,就关于教学有效性做了一个专题发言,在其 中强调:课堂教学必须“从无效到有效,从有效到高效” . 如何能做到高效的课堂, 是我一直思考的问题 . 1. 中学数学课堂承载使命 数学知识是静态的,而数学思维则是动态的 . 数学思维与数学知识犹如人体的血肉关 系:血液之荣枯外现于形体之盛衰 . 所以数学教学理应是数学思维活动的教学,其中 揭示数学思维过程是数学教学最基本(最高)的指导原则 . 在本节课中,我时刻通过设置“矛盾冲突”撞击学生的思维,比如:在得到正切 函数的概念之后,提出如何研究这一具体函数的性质,启发学生可以“类比”研究正 余弦函数图像和性质的方法; 又如, 在得到正切函数的部分性质之后, 提出如何能 “丰 满”正切函数的性质,启发学生可以借助图像进行研究,让学生感受“数缺形少直观, 形缺少数难入微”的精妙.

总之,教师时刻以培养学生的思维为出发点的教学,才是真正的数学教学,才能承载中 学数学课堂的使命——培养学生的数学思维和数学素养. 2. 站在系统的高度组织教学 任何系统都是一个有机的整体, 它不是各个部分的机械组合或简单相加, 系统论的核心 思想是系统的整体观念。 数学知识更是一个有机整体, 我习惯运用系统的观点对所教内容进 行整合,以优化其结构,系统其知识、能力与方法.其实,数学本身就是一个系统,在这个 系统中,数学知识是“肉体”, 数学思想和方法是“神经系统”,数学思维则是“灵魂”. 三角函数是函数系统中的一个小分支,正切函数是三角函数这个小分支中的一个节点. 正切函数的图像和性质“肉体”,类比和数形结合是“神经系统”,如何利用已知研究未知 则是“灵魂”. 首先,类比研究正(余)弦函数的思路提出问题,让学生能清晰的认识本节课的内容: 在内容上,是研究一个具体函数的性质——定义域、值域、对称性、周期性、单调性;在思 想方法上,数形结合应是对其性质研究的主要途径.

其次,在已有性质的基础上,如何能让正切函数的性质更加“丰满”呢?学生自然能想 到借助图像,那么如何能得到图像呢?引导学生,从而得到画出图像的方法.

我觉得,教师从系统论的高度把握高中数学教学,目的是使课堂教学更加有效,甚至高 效. 3. 站在学生的角度组织教学 教师如果上课只是告诉学生数学结论或机械的方法, 不但违背中学数学课堂教学所承载 的使命,而且还不能培养学生的思维. 下面以“课堂提问”为例,谈谈本节课如何站在学生的角度组织教学,如何有效搭建已 知到未知(知识的生成过程)的桥梁. (1)提问的层次性

课程两端提问——整体(宏观) 在本节课一开始,我提出问题:我们如何研究正切函数 的性质,从哪些方面进行研究.这一提问能让学生明白我们这节课的主题,学生就会一直围 绕这一问题进行思考,思维一直处在自我否定、自我完善的过程. 中间部分提问——局部(微观,不失系统) 在研究函数的具体性质时,提出的问题就 相对微观,譬如奇偶性、周期性可以从已知的诱导公式得到,值域可以从正切线看出等等, 但这些都是在建构已知到未知的知识体系. (2)提问的针对性 提问力争做到有的放矢, 符合学生的最近发展区, 紧紧围绕重点, 针对难点, 扣住疑点, 体现强烈的目标意识和明确的思维方向. 比如在如何画出正切函数的图像这一问题上, 我一直在引导学生可以从已有的性质入手, 由周期性只需画出一个周期内的图像,再由奇偶性只需画出半个周期内的图像. (3)提问的适时性 当课堂出现教学冲突,学生对问题的认识出现分歧时,提问能让冲突更加显现,更能揭 示问题的本质. 比如,得到正切函数的图像之后,学生会觉得这节课应该到此结束了,这是我提出,我 们先前得到的性质还可以再完美些吗?学生这是会恍然大悟, 很自然想到可以从单调性、 对 称性、渐近线等方面“丰满”其性质. 数学课堂教学就是通过一系列有一定梯度、 有一定内在联系的问题链, 由浅入深地引导学 生思考,撞击学生的思维,直至揭示问题的本质的过程. 最后,我想说的是,“课堂教学是一门遗憾的艺术”,这节课还有很多不足,还有很多 做得不到位的地方,譬如如何有效利用信息技术等.通过以上一些思考,尽管不到位,但思 之则活,思活则深,思深则透.我会不断地反思自己的教学行为,总结教学的得失与成败, 对每个教学过程进行回顾、分析和审视,逐渐形成自我反思的意识和自我监控的能力,不断 丰富自我素养,提升自我发展能力,逐步完善教学艺术.


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