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人教新课标版(A)高二选修1-1 第二章圆锥曲线与方程综合例题


人教新课标版(A)高二选修 1-1 第二章 圆锥曲线与方程综合例题 例 1. 设圆 ?x ? 1? ? y 2 ? 25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任意一点, 2 AQ 的垂直平分线与直线 CQ 交于 M,求 M 点的轨迹方程。 分 析 : 由 M 在 AQ 的 中 垂 线 上 , 知 | MQ |?| MA | , 于 是 发 现 | MC | ? | MA |?| MC | ? | MQ |?| CQ |=5,又 C、Q 为定点,可知轨迹为椭圆。 解:∵M 是 AQ 的中垂线上的点, ∴ | MQ |?| MA | , ∴ | MC | ? | MA |?| MC | ? | MQ |?| CQ |? 5 。 ∴点 M 的轨迹是以 C(-1,0) ,A(1,0)为焦点,以 5 为长轴长的椭圆。 5 25 21 , c ? 1 , b2 ? ?1 ? 。 4 4 2 2 2 4x 4y ? ?1。 ∴M 点的轨迹方程是 25 21 ∴ 2a ? 5 , 2c ? 2 , a ? 点拨:利用平面几何知识寻求轨迹的几何特征,再根据椭圆的定义求得轨迹方程,几何 法、定义法都是求轨迹的重要方法。 例 2. 如图,直线 l1 和 l 2 相交于点 M, l1 ? l 2 ,点 N ? l1 ,以 A、B 为端点的曲线段 C 上 的任一点到 l 2 的距离与到点 N 的距离相等,若△AMN 为锐角三角形,|AM|= 17 ,|AN|=3, |BN|=6,建立适当的坐标系,求曲线段 C 的方程。 分析:根据曲线 C 上的任一点到 l 2 的距离与到点 N 的距离相等可知,该曲线段 C 是在 某条抛物线上的,以 l1 为 x 轴,MN 的中点 O 为原点建立如图所示的坐标系,据题意可知, 点 N 是该抛物线的焦点, l 2 是准线,所以可令抛物线方程为 y 2 ? 2px?p ? 0? 。 解:设 A( x A , y A ) 、B( x B , y B ) ,且 x A ? x B , 0 ? y A ? y B 。 ? p ? ?p ? ∵点 M ? ? , 0 ? ,点 N ? , 0 ? , ? 2 ? ?2 ? 又 | AM |? 17 , | AN |? 3 。 http://school.chinaedu.com 1 2 ?? p? 2 ?? x A ? ? ? y A ? 17, 2? 4 ?? ∴? ,得 x A ? , 2 p p? ?? 2 x ? ? y ? 9 ? ? A ? A 2 ? ?? 2 又 y2 A ? 2px A ,∴ y A ? 2 p ? 4 ?8, p ?4 p? ∴? ?p ? 2? ? ? 8 ? 17 , ? ? ?p ? 2, ?p ? 4 解得 ? ,或 ? 。 ?x A ? 2 ?x A ? 1 又∵△AMN 为锐角三角形 ∵ xA ? 2 ?p ? 4 p ,得 ? 2 ?x A ? 1 又∵点 B 在曲线段 C 上, ∴ x B ?| BN | ? p ? 6?2 ? 4 。 2 ∴曲线段 C 的方程为 y 2 ? 8x?1 ? x ? 4, y ? 0?。 例 3. A、B 是抛物线 y 2 ? 2px?p ? 0? 上的两点,满足 OA⊥OB(O 为坐标原点) ,求证: (1)A、B 两点横坐标之积,纵坐标之积分别为定值; (2)直线 AB 经过一个定点 M; (3)△AOB 面积的最小值是 4 p 2 。 分析:通过对点 A、B 的坐标

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