当前位置:首页 >> 高一数学 >> 立体几何线面垂直知识要点以及典型题型

立体几何线面垂直知识要点以及典型题型


线面垂直问题

1 直线和平面的位置关系 (1) 直线在平面内 a ? α (无数个公共点) ; 直线和平面相交 a I α = A (2)
新疆 王新敞
奎屯

(有且只有一个公共点)(3)直线和平面平行 a // α (没有公共点) ; 2 线面平行的判定定理: 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,
新疆 王新敞 奎屯

β
l m

那么这条直线和这个平面平行 推理模式: l ? α , m ? α , l // m ? l // α
新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯

新疆 王新敞 奎屯

α

3 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这 条直线和交线平行 推理模式: l // α , l ? β , α I β = m ? l // m
新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯

4 线面垂直定义:如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,我们 就说这条直线和这个平面互相垂直 其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面 交点叫做垂足 直线与平面垂直简称线面垂直,记作:a⊥α 5 直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线 垂直于这个平面 A B B B B A 6 直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个 A A 平面,那麽这两条直线平行 B 7.平面几何中,点、线段在直线上射影的概念及性质: A A B0 A A B0 B0 A (B ) A A(A0 ) B0 A 8 斜线,垂线,射影 A ⑴垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点 到这个平面的垂线段. ⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线 斜线和平 面的交点叫斜足;斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段 A ⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个 平面内的射影 垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影 O α B 直线与平面平行, 直线在平面由射影是一条直线 直线与平面垂直射影是点 斜 线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上 9.射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中⑴射影相交两条斜线 A 相 交;射影较长的斜线段也较长 ⑵相等的斜线段射影相等,较长的斜线段射影较长;⑶垂 α 线段比任何一条斜线段都短 O B C 10.直线和平面所成角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐
新疆 王新敞
奎屯

新 疆 王 新敞 奎 屯

新 疆 王 新敞 奎 屯

新 疆 王 新敞 奎 屯

新 疆 王 新敞 奎 屯

新 疆 王 新敞 奎 屯

新 疆 王 新敞 奎 屯

新疆 王新敞 奎屯

新疆 王新敞 奎屯

0

0

0

0

0

新疆 王新敞 奎屯

0

0

新疆 王新敞 奎屯

新疆 王新敞 奎屯

新疆 王新敞 奎屯

新疆 王新敞 奎屯

新疆 王新敞 奎屯

新疆 王新敞 奎屯

新疆 王新敞 奎屯

新疆 王新敞 奎屯

新疆 王新敞 奎屯

角叫做这条斜线和这个平面所成的角 一直线垂直于平面,所成的角是直角
新疆 王新敞 奎屯

新疆 王新敞 奎屯

A

一直线平行于平面或在平面内,所成角为 0°角。直线和平面所成角范围: [0,

π
2

]
O

θ
B

(2)定理:斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切 角中最小的角 11 三垂线定理 在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂 直,那么它也和这条斜线垂直 说明: (1)定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系; (2)推理模式: PO ⊥ α , O ∈ α , PA I α = A, a ? α , a ⊥ OA ? a ⊥ PA
新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新 疆 王 新敞 奎 屯 新疆 王新敞 奎屯

α

C
P
O A

D

α

a

12.三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那麽它也和这 条斜线的射影垂直
新疆 王新敞 奎屯

推理模式: PO ⊥ α , O ∈ α , PA I α = A, a ? α , a ⊥ AP ? a ⊥ AO .
新疆 王新敞 奎屯

注意:⑴三垂线指 PA,PO,AO 都垂直α内的直线 a 其实质是:斜线和平面内一条直线垂直的判定 和性质定理 ⑵要考虑 a 的位置,并注意两定理交替使用
新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯

线面垂直问题

基本题型: 1. “直线 l 垂直于平面α内的无数条直线”是“ l ⊥α”的 ( ) (1) (A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 (2)如果一条直线 l 与平面α的一条垂线垂直,那么直线 l 与平面α的位置关系是( ) (A) l ?α (B) l ⊥α (C) l ∥α (D) l ?α或 l ∥α 答案: (1)B (2)D 2. (1)过直线外一点作直线的垂线有 条;垂面有 个;平行线有 条;平行平面有 个. (2)过平面外一点作该平面的垂线有 条;垂面有 个;平行线有 条;平行平面有 个. 答案: (1)无数,一,一,无数; (2)一,无数,无数,一 3. 能否作一条直线同时垂直于两条相交直线?能否作一条直线同时垂直于两个相交平面?为什么? 答案: (能,而且有无数条) (不能) 4 拿一张矩形的纸对折后略为展开,竖立在桌面上,说明折痕为什么和桌面垂直 答案:因为折痕垂直于桌面内的两条相交直线. 5 一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线,这条直线垂直于这个平面吗?为什么? 答案:不一定.因为这条直线可能与这个平面斜交或在其内. 6 过一点和一条直线垂直的平面是否只有一个?为什么?
新疆 王新敞
奎屯

新疆 王新敞 奎屯

新疆 王新敞 奎屯

新疆 王新敞 奎屯

答案: 是.假若有两个平面 α , β 过点 A 都于 l 垂直,过这条公共垂线 l 作一个不经过两平面 α , β 的交 线的平面 γ ,γ 与 α , β 分别相交于直线 a, b, a I b I l = A 且 l ⊥ a, l ⊥ b ,l , a, b ? α , 从而有 a b , 此与 a I b = A 矛盾. 7 如果三条直线共点,且两两垂直,问其中一条直线是否垂直于另两条直线所确定的平面 答案:是 A 8.点 A 为 ?BCD 所在平面外的一点,点 O 为点 A 在平面 BCD 内的射影, . 若 AC ⊥ BD, AD ⊥ BC ,求证: AB ⊥ CD .
新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯

证明:连结 OB, OC , OD ,∵ AO ⊥ 平面BCD ,且 AC ⊥ BD ∴ BD ⊥ OC (三垂线定理逆定理) 同理 OD ⊥ BC ,∴ O 为 ?ABC 的垂心,∴ OB ⊥ CD , 又∵ AO ⊥ 平面BCD ,∴ AB ⊥ CD (三垂线定理) 9.如图,已知 ABCD 是矩形,SA⊥平面 ABCD,E 是 SC 上一点. 求证:BE 不可能垂直于平面 SCD. 证明:用到反证法,假设 BE⊥平面 SCD, ∵ AB∥CD;∴AB⊥BE.
A B
B O C D

S

E D C

A

∴ AB⊥SB,这与 Rt△SAB 中∠SBA 为锐角矛盾. ∴ BE 不可能垂直于平面 SCD 10. 10. 已知:空间四边形 ABCD , AB = AC , DB = DC ,求证: BC ⊥ AD
新疆 王新敞
奎屯

B E C

D

证明:取 BC 中点 E ,连结 AE , DE ,∵ AB = AC , DB = DC ,∴ AE ⊥ BC , DE ⊥ BC , ∴ BC ⊥ 平面 AED ,又∵ AD ? 平面 AED ,∴ BC ⊥ AD .


赞助商链接
更多相关文档:

立体几何 线面与面面垂直的证明

立体几何 线面与面面垂直的证明_数学_高中教育_教育专区。立体几何垂直的知识点和题型总结 理科数学复习专题 立体几何 线面垂直与面面垂直专题复习【知识点】 一....

必修二 立体几何复习+经典例题

必修二 立体几何复习+经典例题_数学_高中教育_教育...如果一条直线一个平面没有公共 2、 如果平面...直线和平面内的任何一条直线都垂直,则线面垂直 2...

高中数学必修2立体几何常考题型:直线与平面、平面与平...

高中数学必修2立体几何常考题型:直线与平面、平面与...直线与平面、平面与平面垂直的性质 【知识梳理】 1...四边形及三 角形中位线的有关性质. 【对点训练...

高中数学必修2立体几何常考题型:直线与平面垂直的判定

高中数学必修2立体几何常考题型:直线与平面垂直的...直线与平面垂直的判定 【知识梳理】 1.直线与平面...的垂面.直线与平面垂直时,它们 唯一的公共点 P ...

2016--高二立体几何垂直证明题常见模型及方法

2016--高二立体几何垂直证明题常见模型及方法 - 立体几何垂直证明题常见模型及方法 垂直转化:线线垂直 基础篇 类型一:线线垂直证明(共面垂直、异面垂直) (1) ...

立体几何典例题分析

立体几何例题分析考点 1 点到平面的距离(线面垂直) 求点到平面的距离就是求...所成的角以及点到平面的距离基本知识,考 查空间想象能力、逻辑思维能力和运算...

高三数学立体几何线面垂直

(有且只有一个公共) ;(3)直线和平面平行 a /...并注意两定理交替使用 基本题型:王新敞奎屯 新疆 ...立体几何线面垂直知识要... 2页 2下载券 精英数学...

立体几何线线垂直专题(史上最全)

(3)线段 A1B 上是否存在 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由. 6 立体几何垂直总结 1、线线垂直的判断: 线面垂直的定义:若一直线垂直于一平面,这条直线垂直于...

立体几何常考定理总结(八大定理)

南京大学附属中学 立体几何主要定理复习 立体几何的八大定理一、线面平行的判定...? ? 关键点:在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直 ...六、线面垂直的...

立体几何经典题型——平行与垂直的证明

立体几何经典题型——平行与垂直的证明_高一数学_数学_高中教育_教育专区。立体几何经典题型——平行与垂直的证明 2017 年 5 月 20 日 1.平行关系的证明: 线面...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com