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高中数学必修二全部学案


——《必修二》 (试用)

1

1.1 空间几何体
④ .







1.1.1 构成空间几何体的基本元素: 直
一、自主学习:自学 P3 ? P5 回答: 1。长方体:长方体由___个____( )围成,围成长方体的各个矩形叫

做长方体的___ 相邻两个面的公共边叫做长方体的____;棱和棱的公共点叫做长方体的____。 注:长方体的六个面都是 形。 2。构成空间几何体的基本元素是____、____、_____. 3. 线有________和_______之分,面有________和_______之分。 4. 在立体几何中,平面是无限延展的,通常画一个_____________表示一个平面,并把它想象 无限延展的,平面一般用___________来命名,还可以用表示它的平行四边形的 ___________来命名。 5. 从运动的观点来看,_____运动可以成线,_____运动可以成面,_____可以运动成体。 6. 空间两条直线的位置关系有 种,其中既不相交又不平行的两条直线叫做____________。 7。空间直线和平面的位置关系有 种,其中当直线和平面没有公共点时,我们说直线和平 面 。 8。如何理解直线和平面垂直?点到平面的距离是如何定义的? 9。空间两个不重合的平面的位置关系有 种,其中当两个平面没有公共点时,则说这两个 平面 。 10。如何理解两个平行平面间的距离? 11。两个平面互相垂直:如果两个平面相交,并且其中一个平面通过另一个平面的垂线, 叫____________________。 二、典型例题: 例1
D1 C1 P

A1

B1

D

C

D

C

A

B

A

B

指出所给三个几何体图形的面、顶点、棱,并指出它们分别由几个面围成,各有多少条棱? 多少个顶点? 例 2.判断题: ①一只蚂蚁在一个平面上爬,经过艰苦的努力,它一定能爬出这个平面。 ( ) ②平静的太平洋面是一个平面 ( ) ③平面就是一个平行四边形 ( )

2

4.一个平面长是 3 cm,宽 4 cm; ( ) ⑤.两个平面重叠在一起,比一个平面厚; ( ) ⑦.直线绕定直线旋转形成柱面; ( ) 例 3。观察你的教室 (1)举例说明两条直线的位置关系 (2)举例说明直线与平面的位置关系 (3)如何求天花板上一点到地板的距离? (4)举例说明两个不重合平面的位置关系 说明两相对墙面之间的距离。 三、学生练习: P5 练习 A 四、小结: 五、作业: 1。手工作业

(5)

P5 练习 B

2.下面关于平面的说法中正确的是( ) A.平行四边形是一个平面; B.平面是有边界线的; C.平面有的厚有的薄; D.平面是无限延展的。 ) A.一个点运动形成直线. B.直线平行移动形成平面或曲面。 C.矩形上各点沿同一方向移动形成长方体. D.一个平面移动形成体。 4.一条直线平行移动,生成的面一定是( ) A.平面 B.曲面 C.平面或曲面 D.锥面 5.三个平面最多可将空间分成几个部分( ) A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 6。 如图几何体为正方体 ABCD—A1B1C1D1 ,完成下面的填空:
D1 A1 B1 C1

3.下面关于空间的说法中正确的是(

D

C B

A

(1)直线 AB 与直线 C1D1 的位置关系是 (2)直线 AB 与直线 BC 的位置关系是 (3)直线 AB 与直线 C C1 的位置关系是 (4)直线 AB 与平面 A1B1C1D1 的位置关系是 (5)直线 AB 与平面 ABCD 的位置关系是 (6)直线 AB 与平面 BC C1 B1 的位置关系是 (7)平面 ABCD 与平面 A1B1C1D1 的位置关系是 (8)平面 ABCD 与平面 BC C1 B1 的位置关系是

3

7.取两张长方形的纸,根据下图分别演示两个平面的位置关系: ① ②



?
?


?


?

?


?

?

?

? ?
?

?

1.1.2

棱柱、棱锥和棱台的结构特征 第一课时


棱柱
月 日

一、自主学习: P6 ? P8 回答: 1.多面体:多面体是由若干个 所围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做 多面体的 ;相邻的两个面的公共边叫做多面体的 ;棱和棱的公共点叫做 多面体的 ;连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的 ; 2。凸多面体:把一个多面体的任意一个面延展为平面,如果其余的各面 , 则这样的多面体就叫做凸多面体。 3。截面:一个几何体和 相交所得到的平面图形(包含它的内部) ,叫做这个几何体 的截面 。 4。棱柱:从运动的观点看:棱柱可以看成一个多边形(包括图形围成的平面部分)上各点都 沿着 移动 的距离所形成的几何体。 5。棱柱的主要特征性质: (1)有两个互相 的面。 (2)夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相 。 棱柱的两个互相平行的面叫棱柱的______,其余各面叫____________,两侧面的 公共边叫___________;棱柱两底面之间的距离叫做棱柱的______。 棱柱用表示 字母来表示。 6。棱柱的分类: (1)按底面多边形的边数可以分为: 棱柱、 棱柱、 棱柱?? (2)按侧棱和底面是否垂直分为: 棱柱和 棱柱。 侧棱和底面 的棱柱叫做斜棱柱;侧棱和底面 的棱柱叫做直棱柱。 7。正棱柱:底面是 的棱柱叫做正棱柱。常用的正棱柱有正三棱柱和正四棱柱。 8。平行六面体:底面是 的棱柱叫做平行六面体。 侧棱和底面 的平行六面体叫做直平行六面体。 底面是 形的 平行六面体叫做长方体; 的长方体叫做正方体。

4

二、典型例题: 例1. 一个救援机器人要沿着一个长方体形建筑物的表面,从点 A 出发到 C 1 ,已知在长方体

ABCD? A1 B1C1 D1 中,AA 1 =3,AD=4,AB=5,求最短路线长。 D1

C1 B1
D C B

A1
A

例 2。一个长方体的长度、宽度、高度(简称三度)分别为 a, b, c ,体对角线长为 l

(1)求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? l 2
(2)若 a ? b ? c ? 10 ,对角线长 l =8,求长方体的表面积。

例 3。底面是菱形的直平行六面体的高为 12cm,两条体对角线长的长分别为 15cm 和 20cm, 求底面边长

三、学生练习: P 练习 A、B 8 1.四棱柱的底面和侧面共有_____面,四棱柱有________条侧棱; 2.下列说法正确的是( ) A. 棱柱的面中,至少有两个面互相平行; B. 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面; C. 棱柱中一条侧棱的长叫侧棱的高; D. 棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形; 3.下列语句正确的是( ) B. 四棱柱是平行六面体; B.直平行六面体是长方体; C. 六个面都是矩形的六面体是长方体; D.底面是矩形的四棱柱是长方体; 4.一个棱柱有 10 个顶点,所有侧棱长的和为 60cm,每个侧棱长为____________; 5. M={正四棱柱},N={长方体},P={直四棱柱},Q={正方体},则这些集合之间的关系是( ) A. Q ? M ? N ? P C. Q ? N ? M ? P B. Q ? M ? N ? P D. Q ? N ? M ? P
5

6. 如果把棱柱中过不相邻的两条侧棱的截面叫棱柱的 “对角面” 则平行六面体的对角面的形状是_______, , 直平行六面体的对角面的形状是___________; 7. 长 方 体 ABCD? A1 B1C1 D1 的 一 条 对 角 线 AC1 ? 8 2, ?C1 AA ? 45? , ?C1 AB ? 60? , 则 1 AD=__________; 四、小结: 五、作业: 1.一个棱柱是正四棱柱的条件是( ) A. 底面是正方形,有两个侧面是矩形; B. 底面是正方形,有两个侧面垂直于底面; C. 底面是菱形,有一个顶点处的两条棱互相垂直; D. 底面是正方形,每个侧面都是全等的矩形。 2.给出下列语句: 甲. 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体; 乙. 底面是矩形的平行六面体是长方体; 丙. 直四棱柱是直平行六面体; 其中正确的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3.如图是一个无盖正方形盒子的表面展开图,A.B.C 为其上三点,则在正方形盒子中, ?ABC ? ( A.45
?

)

B. 60

?

C. 90

?

D. 120

?

A 4。长方体的全面积是 11,所有棱长度之和是 24,则这个长方体 的一条对角线长是( ) A. 2 3 B. 14 C. 5 D. 6

B

C

5。下面四个平面图形中,每个小四边形皆为正方形,其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个立方体 的图形是( )

A B C D 6.一个正方体的六个面上分别标有字母 A,B,C,D,E,F, 下图是此立方体的两种不同的放置, 则与 D 面相对的 面上的字母是_______; A C C B D E 7.若两个长方体的长宽高分别是 5cm,4cm,3cm,把它们两个全等的面重合在一起组成大长方体,则大长 方体的对角线最长为____________; 8.若长方体的对角线为 70 ,有公共顶点的三条棱长之和为 14,求长方体的表面积。
6

' 9.(选做)如图已知长方体 AC 中, B D 是一条对角线,若 B D 和 D D 、DC、DA 所成的角分别为 ? , ? , ?
' ' '

求证: cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1.

D' A'
D A B

C'
B'
C

10.(选做)一个正三棱锥的底面边长为 4,高为 6,过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点做截面, 求这个截面的面积。

A'

C'

B'
A C

B

第二课时

棱锥和棱台
年 月 日

一、复习: (1)棱柱的性质有哪些?如何区分斜棱柱、直棱柱、正棱柱? (2)什么是平行六面体?什么是直平行六面体?正方体、长方体、直平行六面体、 平行六面体之间有何关系? (3).斜四棱柱的侧面最多可有多少个面是矩形( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 二、自主学习: P ? P 回答: 8 10 1。棱锥的特征性质: 棱锥有一个面是 ,其余各面都是 的三角形。 棱锥中有公共顶点的个三角形叫做 ;个侧面的公共点叫做 ; 相邻两侧面的公共边叫做 ;多边形叫做 ;顶点到底面的 距离叫做 。 棱锥用 的字母来表示。 2。棱锥的分类: 按底面多边形的边数可以分为: 棱锥、 棱锥、 棱锥??

7

3。正棱锥:当棱锥的底面是 多边形,且它的顶点在过 且与底面 的直线上, 则这个棱锥叫做正棱锥。 正棱锥的性质: (1)正棱锥各侧面是 的等腰三角形 (2)顶点在底面上的射影是底面正多边形的 。 侧面等腰三角形底边上的高叫做棱锥的 高。 思考: (1)正棱锥的高、斜高、底面多边形内切圆的半径构成 三角形。 (2)正棱锥的高、侧棱、底面多边形外接圆的半径构成 三角形。 (3)棱锥平行与底面的截面与底面是 多边形。 4。棱台: (1)棱台:棱锥被____________的平面所截, 的部分叫棱台,原棱锥的底面和截面分 别叫做棱台的 ;其它各面叫做棱台的 ;相邻两侧面的公共边叫 做 棱台的 ;两底面间的距离叫做棱台的 。 (2)正棱台:由________截得的棱台叫做正棱台。 (3)正棱台的性质: (ⅰ)正棱台各侧面是 的等腰梯形,这些等腰梯形的高叫做正棱台的 高 (ⅱ)正棱台的高、斜高、上、下底面多边形内切圆的半径构成 梯形。 (ⅲ)正棱台的高、侧棱、上、下底面多边形外接圆的半径构成 梯形。 棱台用表示 的字母来表示。 三、典型例题:自学例 1、例 2 补充例 3。一个正三棱锥,底面边长为 4,高为 3,求它的斜高和侧棱长。

例 4。已知正六棱台 ABCDEF— A1 B1C1 D1 E1 F1 的上下底面边长分别为 2、8,侧棱长等于 9,求这个 棱台的高和斜高。

例 5(选做)侧棱长为 2 3 的正三棱锥 V—ABC 中, ?AVB ? ?BVC ? ?CVA ? 30 ,过 A 作截面
?

AEF,求截面三角形 AEF 的周长的最小值。

四、学生练习: P 练习 A、B 10 五、作业: 1。判断题: ①.底面是正三角形,各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥; ( ②.四面体的四个面可以都是钝角三角形; ( )



8

③.底面是正三角形,并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥; ( ) 2。四棱台的上、下底面均为正方形,它们的边长分别是 2cm 和 6cm ,两底面之间的距离为 2cm,则四 棱台的侧棱长为( ) A. 3 cm B. 2 2 cm C. 2 3 cm D. 5 cm )

3.在三棱锥的四个侧面中,直角三角形最多有( A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 4.棱长为 1 的正三棱锥的表面积是( ) A.

3

B. 2

C. 3

D.

3 3 4


5.已知棱台的上、下底面积之比为 1:2,棱台的高为 6cm,则截得此棱台的棱锥的高是( A. 6 2 cm B. 3 2 cm C. 12+ 6 2 cm D. 12cm

6.若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是( ) A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 7。已知正四面体 ABCD 的表面积为 S,其四个面的中心分别为 E、F、G、H,设四面体 EFGH 的 面积为 T,则 T/S 等于( ) A. 1/9 B. 4/9 C. 1/4 D. 1/3 8。若三棱锥的三个侧面及底面都是边长为 a 的正三角形,则这个三棱锥的高是________; 9。若正三棱台的上、下底面边长及高分别是 1、2、2,则它的斜高是_________; 10。已知正三棱锥的底面边长为 a,则过各侧棱中点的截面(中截面)面积为____________; 11。正四面体的棱长为 a, E、F 分别为两个面的重心,M、N为其两条相对棱的中点,则 EF的长为 ,MN的长为 。 12。已知正四棱锥的底面边长为 a,侧棱长为 2a,求对角面的面积和侧面积。

1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球
第一课时 圆柱、圆锥、圆台
年 月 日 一、复习: (1)棱柱的概念及性质 (2)正棱柱、直棱柱的概念及性质 (3)正棱锥、正棱台的概念及性质。 二、自主学习: 1. 圆柱,圆锥,圆台:圆柱,圆锥,圆台可以分别看作以 ________, __________, _________________ 为旋转轴,将 , ____, ____分别旋转一周而 形成的曲面所围成的几何体。 2. 旋转轴叫做所围几何体的 , 在轴上的这条边叫做这个几何体的 ,垂直于轴的边旋转而 成的圆面叫做几何体的 ;不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的 ;无论 旋转到什么位置,这条边都叫做 。 3. 圆柱,圆锥,圆台的轴截面分别是 , , ______。

9

4。用平行于底面的平面去截圆柱、圆锥、圆台,则截面都是 5. 圆柱,圆锥,圆台的侧面展开图分别是 , 三、典型例题:自学 P 例 1 12

。 ,

.

补充例 2。圆锥的底面半径为 r ,母线长是半径的 3 倍,在底面圆周上有一点 A ,求一个动点 P 自 A 发在侧面绕一周到 A 点的最短路程。



例 3。已知圆锥的底面半径为 r ,高为 h ,正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 内接于圆锥,求这个正方体的棱 长。

四、学生练习: P 练习A、B 13 五、小结: 六、作业: 1。判断正误. (1).用平行圆锥底面的平面截圆锥,截得的部分是圆台( ). (2).以直角梯形的一腰为母线,另一腰为旋转轴的旋转面是圆台的侧面( ). 2。下面命题正确的是: A。以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥。 B。以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台。 C。圆柱,圆锥,圆台的底面都是圆。 D。圆锥侧面展开图为扇形,这个扇形所在的圆的半径等于圆锥底面的半径。 3。上、下底面积分别 36 ? 和 49 ? ,母线长为 5 的圆台,其两底面之间的距离为( A 4 B 3 2 C

) 。

2 3

D

2 6
) 。

4。一个圆柱的母线长为 5,底面半径为 2 ,则圆柱的轴截面的面积为( A 10 B 20 C 40 D 15 5。一个圆锥的母线长为 20 cm ,母线与轴的夹角为 30 ,则圆锥的高为( A
?

) 。

10 3cm

B

20 3cm

C

20cm

D

10 cm

6。下列说法不正确的是( ) 。 A. 圆柱的侧面展开图是一个矩形。 B. 圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形。 C.直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥。 D. 圆台平行于底面的截面是圆面。 7。轴截面是等边三角形的圆锥,它的侧面展开图的圆心角等于 。 8。 圆台的上、下两底面半径分别是 2cm 和 5cm ,母线长是 3 10 cm ,则它的轴截面的面积是

10

____________ 9。一个圆台的母线长为 12 cm ,两底面面积分别为 4?cm 和 25?cm ,
2 2

求(1)圆台的高。

(2)截得此圆台的圆锥的母线长。

10。一个圆锥的底面半径为 2cm ,高 6cm ,在其中有一个高为 xcm 的内接圆柱。 (1)用 x 表示圆柱的轴截面面积。 (2)当 x 为何值时,S最大?

第二课时



年 月 日 一、复习:圆柱、圆锥、圆台的概念及轴截面,平行于底面的截面性质 二、自主学习: 1。球: 球面:球面可以看作一个半圆围绕着它的 _________所在的直线旋转______所形成的曲面。 球: (1)球面围成的几何体叫做球。 形成球的半圆的圆心叫_________ ;连接球面上一点和球心的线段叫 ;连接球面上 两点且_______________ 叫做球的直径。 (2)球也可以看作:空间中到一个定点的距离 的点的集合。 球的表示:用表示它的 的字母来表示。 2。大圆:球面被经过 的平面截得的圆叫做球的大圆; 小圆:球面被不经过 的平面截得的圆叫做球的小圆 。 3。 球面距离: 在球面上, 两点之间的最短距离, 就是经过两点的 圆在这两点间的一段 ___弧的长度, 我们把这个弧长叫两点间的_______________。 4。球的截面性质: 用一个平面去截球,截面是________,球面的截面有如下性质: (1)球心和截面圆心的连线__________截面; (2)球心到截面圆的距离 d 与球的半径 R 及截面圆半径 r 有下列关系:________________ 5。组合体: 三、典型例题:自学 P 例 2 14 补充例 3。 已知半径为 5 的球的两个平行截面圆的周长分别为 6? 和 8? , 则这两个截面间的距离为多少。

例 4。已知地球的半径为 R ,在北纬 60 ? 圈上有 A 、 B 两点它们的经度差为 180 ? ,则 A 、 B 两点的 球面距离为多少?

例 5 圆台半径为 r1 ,下底半径为 r2 ,球内切于圆台上下底面及侧面,求球的半径。

11

四、学生练习: P 练习 A、B 16 补充:1。 过球面上两点可能做出球的大圆有( )个。 A.1 B. 2 C.0 D.1 个或无数 2.已知球的两个平行截面的面积分别是 5? 和 8? ,它们位于球心的同一侧, 且相距为 1,那么这个球的半径为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 5

3.设地球半径为 R ,在北纬 60 ? 圈上有甲、乙两地,它们的经度差为 60 ? , 则这两地的纬度线长为( ) A.

?
6

R

B.

3 ?R 6

C.

?
3

R

D.

3 ?R 3

4。在北纬 60 ? 圈上有甲、乙两地,它们在纬度圈上的弧长为 则甲、乙两地的球面距离为( ) A。

?
2

R (R 为地球半径)

?
3

R

B。

?
2

R

C。 2 R

D。

3 R 3
)

5。半径为 15 的球的两个平行截面圆的半径是 9 和 12,则两截面间的距离为( A. 3 B. 21 C. 3 或 21 D. 3 或 21 或 10.5 6。 用一个平面去截球面, 截得的小圆面积是其大圆面积的 球半径为 R )

1 , 则球心到其截面的距_______.(设 3

7。 若地球半径为 R ,地面上两点 A、B 的纬度均为北纬 45 ? ,又 A、B 两点的球面距离为 则 A、B 两点的经度差为 ________ 五、小结: 六、作业: 1. 地球上有甲乙两地,它们都在北纬 30 ? 圈上,并且甲乙两地的经度差为 180 ? ,则这两地在 纬度圈上的距离与它们在地球表面上的距离之比为( ) A.3:2 B. 3 3 :3 C.4: 3 3 D.2:3 )

?
3

R,

2.一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点都在同一球面上,则此球的半径为(

A.1

B.

3 2

C.2

D.

3 3

3.设地球半径为 R,若甲地位于北纬 45 ? 东经 120 ? ,乙地位于南纬 75 ? 东经 120 ? 则甲乙两地的球面距 离为( ) A. 3R B.

?
6

R

C.

5? R 6

D.

2? R 3


4。正方体内切球和外接球半径的比是(

12

A。 1 : 2

B。 1 : 3

C。 2 : 3

D。1:2

5。已知球 O 的半径为 1,A,B,C 三点都在球面上,且每两点间的距离均为 离为( A. ) B.

? ,则球心 O 到平面 ABC 的距 2

1 3

3 3

C.

2 3

D.

6 3

6。已知 A, B, C 三点在球心为 O ,半径为 R 的球面上, AC ? BC ,且 AB ? R, 那么 A, B 两点的球面距 离为 ___________, 球面到平面 ABC 的距离为___________

7。 球面上有三个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的

周长是 4? ,那么这个球的半径为_____________ 8。 在北纬 45 ? 圈上有甲、乙两地,它们的经度分别是东经 140 ? 与西经 130 ? ,设地球半径为 R ,则 甲、乙两地的球面距离为 ____________. 9。球的半径为 R ,弦 PA、PB、PC 两两垂直,则 PA ? PB ? PC =________
2 2 2

1 ,经过这三个点的小圆的 6

10。P-ABC 是球的内接四面体,PA,PB,PC 两两垂直,且 PA=PB=PC=2,则球的半径为________。

1.1.4 投影与直观图
年 一、自主学习:自学 P - P20 回答: 16 1。平行投影:已知图形 F,直线 l 与平面 ? 相交如图示: 过 F 上M任意一点作直线 MM
'





l ,交平面 ? 与点 M ' ,则点

叫做点M在平面 ? 内
M

F

M' ?

F'

关于直线 l 的平行投影(或象) 。 如果图形 F 上所有点在平面 ? 内关于直线 l 的平行投影构成图形 F ,则 F 叫做图形 F 在平面 ? 内
' '

关于直线 l 的平行投影。平面 ? 叫做 面, l 叫做 2。平行投影: (1)直线或线段的平行投影仍是 ; (2)平行直线的平行投影是 或 的直线; (3)平行于投射面的线段,它的投影与这条线段

线。



13

(4)与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形 ; (5)在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比 这两条线段的比。 3. 如何理解空间图形的直观图?如何画空间图形的直观图?在用斜二侧画法画直观图时应注意什么? 4。中心投影:如何区别平行投影与中心投影? 二、典型例题: 例1. 画水平放置的等腰梯形的斜二测直观图

例2. 如图。 ,矩形 A?B ?C ?D ? 是水平放置的斜二测直观图,将其恢复成原图形。 (a) Y D C A 0 例3. 用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图 B X

例 4 已知一平面图形的直观图是底角等于 45 ,上底和腰均为 1

0

的等腰梯形,求原图形的面积。

三、学生练习: P20 ? P21 练习 A、B 四、小结: 五、作业: 1.当图形中的直线或线段不平行于投射线时,关于平行投影的性质,下列说法不正确的是 ( ) (A)直线或线段的平行投影仍是直线或线段 (B)平行直线的平行投影仍是平行的直线 (C)与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等 (D)在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等于这两条线段的比 2。两条相交直线的平行投影是 ( ) A.两条相交直线 B.一条直线 C.一条折线 D.两条相交直线或一条直线 3。利用斜二测画法得到: 1 2 3 4 ○三角形的直观图是三角形;○平行四边形的直观图是平行四边形;○正方形的直观图是正方形;○菱

14

形的直观图是菱形。 以上结论,正确的是( ) A、①② B 、① C、③④ D、①②③④ 4。下列命题中正确的是( ) A 矩形的平行投影一定是矩形 B、梯形的平行投影一定是梯形 C 、两条相交直线的投影可能平行 D、一条线段中点的平行投影一定是这条线段投影的中点 5.水平放置的 ?ABC 的一边在水平线上,它的直观图是正 ?A1 B 1 C 1 , ?ABC 是( )

(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)任意三角形 6.如图,正方形 O ?A?B ?C ? 的边长 1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形周长是 ( ) Y? (A)6cm (B)8cm (C) (2+3 2 )cm (D) (2+2 3 ) cm 7.如图所示,折纸中纸面 ? 较 ? 靠近自己的图形是

C?

B?

O?

A?

X?
( )?

?
?
(A)

?

?

?

?

?
(4)

(1) (2) (3) (A) (2) (1) (B) (3) (2) (C) (2) (1) (3) (D) (3) (2) (4) 8.如图。所示是水平放置的三角形的直观图,AB //y 轴,则 ?ABC ( (A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)等腰直角三角形 O
' ' '

) Y B





X )

9.已知 ?ABC 的平面直观图 ?A B C 是边长为 a 的正三角形,那么原 ?ABC 的面积为(

3 2 a 2

(B)

3 2 6 2 a (C) a (D) 6a 2 4 2
' ' '

10.已知:正三角形 ABC 的边长为 a, ?ABC 的平面直观图 A B C 的面积为(



15

(A)

3 2 3 2 6 2 6 2 a (B) a (C) a (D) a 4 8 8 16


11.用斜二测画法作出一个三角形的直观图,其直观图的面积是原图形的 12。三角形在平面 ? 内的平行投影可以是 。 1.1.5 一、复习: (1)平行投影的概念及性质 二、自主学习:自学 P21 ? P22 回答:

三视图

年 月 日 (2)直观图的画法

1。正投影:在物体的平行投影中,如果投射线与投射面 ,称这样的投影为正投影。 2。正投影的性质:正投影除具有平行投影的性质外,还具有如下性质: (1)垂直于投射面的直线或线段的正投影是 ; (2)垂直于投射面的平面图形的正投影是 或 。 3。投射面:通常总是选取三个 的平面作为投射面。 (1) 水平投射面: 放置的投射面叫做水平投射面, 投射到这个平面内的图形叫做 视图。 (2)直立投射面:放置在 的投射面叫做直立投射面,投射到这个平面内的图形叫做 视图。 (3)侧立投射面:和直立、水平两个投射面都 的投射面叫做侧立投射面,投射到这个平面内的 图形叫做 视图。 4。 三视图: 将空间图形向这三个平面做 投影, 然后把这三个投影按一定的布局, 放在一个平面内, 这样构成的图形叫做空间图形的三视图。 5。三视图的排列规则:主在前,俯在下,左在右 6。画三视图的原则:主、左一样 ,主、俯一样 ,俯、左一样 。 注意:在三视图被挡住的轮廓线画成 线。 三、典型例题:自学 P23 例 1、例 2 补充例 3。画出如图所示的四棱锥的三视图。

例 4。根据下图所示的是一些立体图形的三视图,请说出立体图形的名称. (1) 主视图 (2) 左视图 俯视图

主视图 例 5 画出下列图形的三视图:

左视图

俯视图

16

(1)正三棱柱:

(2)三棱柱(其中∠ACB= 90 )

0

A B

C

(3)正三棱锥

四、学生练习: P24 练习 A、B 补充:1、球的三视图都是 ,长方体的三视图都是 形。 2、圆柱的主视图、左视图都是 形,俯视图是 。 3、圆锥的主视图、左视图都是 形,俯视图是 。 4、是否有与主视图、俯视图、左视图完全相同的几何体?是举例说明。 五、小结: 六、作业: 1。一个几何体的三视图如果相同,那么这个几何体可能是( ) (A)长方形 (B)正方体 (C)球 2。一个物体的三视图如图,则该物体形状的名称是 (D)正方体或球 )



主视图 左视图 俯视图 A 、三棱柱 B、四棱柱 C 、圆柱 D、圆锥 3。一个几何体由几个相同的小正方体组合而成,它的主视图、左视图、俯视图如下图所示,则这个组

17

合体包含的小正方体个数是





主视图

左视图

俯视图

A、7 B、6 C、5 D、4 4。如图 E、F 分别为正方体的面 ADB1A1,面 BCC1B1 的中心,则四边形 BFD1E 在该正方体的面上的 摄影可能是 (要求把可能的图的序号都填上) D1 C1 A1 E D A B C ① ② B1 F

(3) (4) 5。一个等腰直角三角形在一个平面内的正投影可能是 ⑴、等腰直角三角形 (2) 、直角非等腰三角形 (3)钝角三角形 (4) 、锐角三角形 6。根据以下三视图想象物体原形,并画出物体的实物草图。

主视图

左视图

俯视图

18

1.1.6
一、自主学习: P25 ? P27 回答:

棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
年 月 日

1。直棱柱:设直棱柱的高为 h,底面多边形的周长为 c, 则 S 直棱柱侧

?

, S棱柱全

?

+
'



2。正棱锥:设正棱锥的底面多边形的周长为 c ,斜高为 h , 则 S正棱锥侧

?

, S棱锥全

?
'

+
'



3。正棱台:设正棱台的上、下底面周长分别为 c 、c,斜高为 h ,

? 则 S正 棱 台 侧

, S棱台全

?


+



4。圆柱:设圆柱的底面半径为 R,高为 h ,则 S圆柱侧 5。圆锥:设圆锥的底面半径为 R,母线长为 l , 则 S圆锥侧

?

? ?

=



6。圆台:设圆台的上、下底面半径为 r、R,母线长为 l , 则 S圆台侧 = 。 。

7。球:设球的半径为 R,则 S 球 二、典型例题:自学 P27 例 1、例 2

? S大圆 ?

补充例 3。正三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 的底面正△ABC 的外接圆半径为 的侧面积.

4 3 ,它的侧棱长为 8,求:正三棱柱 3

例 4。一个圆锥的底面半径为 2cm,高为 6cm,在其中有一个高为 xcm 的内接圆柱。 (1)求圆锥的侧面积 (2)当 x 为何值时,圆柱侧面积最大?求出最大值。

三、学生练习: P28 练习 A、B

19

四、小结: 五、作业: 1.已知正方形的对角线为 a ,则正方体的全面积是(



A

2 2a 2

B 2a 2

C

2 3a 2

D 3 2a 2

2.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 3 ,则这个圆锥的全面积为( ) A 3? B3 3

?

C6

?

D

9?

3 若正三棱锥的斜高是棱锥高的 A

2 3 倍,则正棱锥的侧面积是底面积的( 3
8 倍 3
D 3 倍



2 倍 3

B 2 倍

C

4.已知正三棱台的上底面边长为 2,下底面边长为 4,高为 S 2 的大小关系为( A S1 ? S 2 ) B S1 〈 S 2 C S1 = S 2

15 ,则正三棱台的侧面积 S 1 与两底面面积之和 3

D 以上都不对 )

5.长方体一个顶点上三条棱长分别为 3、 4 、5 ,且它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( A 20 2? B 25 2? C 50 ? D 200 ?

6。已知圆锥的底面半径为 R ,高为 3 R ,它的内接圆柱的底面半径为

3 R ,则该圆柱的全面积为( 4



A

2? R

2

B

9 ? R2 4

C

8 ? R2 3

D

5 ? R2 2

7。 (2006,全国Ⅱ)过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表 面积之比是( )

A

3 16

B

9 16

C

3 8

D

9 32


8.正四棱柱的高为3 cm ,对角线长为 17 cm ,则正四棱柱的侧面积为 9.棱长为 a 的正四面体的外接球半径是 ;内切球半径是 。 10.若以正三棱锥各面重心为顶点,得到一个新三棱锥,它的表面积与原棱锥表面积的比是 11.一个正三棱台的上、下底面的边长分别为 3 cm 和 6 cm ,高为 求:三棱台的侧面积. 12.若在球心的同一侧面有相距 9 cm 的两个平行截面,且面积分别为 49 ? cm 和
2



3 cm 。 2

400 ? cm

2

。求:球的表面积。
20

1.1.7 柱、锥、台和球的体积
年 一、复习:长方体的体积公式是什么? 二、自主学习:自学 P28 ? P30 回答: 1。.祖暅原理: 。 这就是说:夹在两个 平面间的几何体,被 于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两 个截面的面积 ,那么这两个几何体的体积 。 2。由.祖暅原理可得: 的两个柱体或锥体的体积相等。 3。柱体的体积:柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的 和 的积。 即: V柱体 月 日

?



底面半径为 r,高为 h 的圆柱体的体积公式是 V圆柱

?



4。锥体的体积:如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积为 S,高是 h,则 V锥体 特别地,如果圆锥的底面半径为 r,高为 h,则 V圆锥
'

?




?

5。台体的体积:如果一个台体的上、下底面面积分别为 S ,S,高为 h 则 V台体

?


'

特别地,如果圆台的上、下底面半径分别为 r ,r,高为 h 则 V圆台

?



6。球的体积:设球的半径为 R,则 V球 三、典型例题:自学 P31 例 1、例 2

?



补充例 3。已知一个圆柱去掉两个底面,沿任意一条母线割开,然后放在平面上展平后得到平面图形 是一个矩形,它的对角线长为 m ,对角线与底边成 ? 角( 0< ? ? 求:圆柱的体积.

?

2

) .

例 4。一个正四棱台的斜高为12 cm ,侧棱长为13 cm ,侧面积为720 cm . 求:它的体积.

2

例 5。已知正方体的棱长为 a ,分别求出它的内切球,外接球及与各棱相切的球的体积。

21

四、学生练习: P32 练习 A、B

P33 习题 1-1A8-11

五、小节: 六、作业: 1.侧棱和底面边长都为 1 的正三棱锥的体积是

(

)

A

2 4
3 ? a3 2

B

2 12
B

C

11 24
4 ? a3 3

D

2.棱长为 a 的正方体的所有顶点都在同一个球面上,这个球的体积是

13 24

(

)

A

2 ? a3 3
4?S C3

C

D ? a3


3.已知圆柱的侧面展开图矩形的面积为 S ,底面周长为 C ,其体积是(

A

C 4?S

3

B

C CS 2?

D

CS 4?
D
58 ?

4. 体积为 52 的圆台, 一个底面积是另一个底面的面积的 9 倍, 那么截得这个圆台的原圆锥的体积是 ( )

C 58 B 54 ? 54 5. 等体积球与正方体,它们的表面积的大小关系是( )
A
A
S 球 < S 正方体

B S 球 > S 正方体

C

S 球 = S 正方体

D 不能确定

6. 已 知 正 三 棱 锥 S ? ABC , D 、E 分 别 是 底 面 边 AB 、 AC 的 中 点 , 则 四 棱 锥 S ? BCED 与 三 棱 锥 S ? ABC 的体积之比是( )

C B D 1:2 2:3 3:4 1:4 7. 作一个圆柱的内接正三棱柱,再作此正三棱柱的内切圆柱, 那么这两个圆柱的体积之比是(
A A

)

C 3 :4 B D 2:1 3 :2 4:1 8. 若球膨胀后表面积为原来的 2 倍,则体积变为原来的 倍. 9.在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该证方体,则截去 8 个三棱锥后,剩 下的凸多面体的体积是 。
10. 圆柱有一个内接长方体 AC1 ,长方体的对角线是 10 2 cm ,圆柱的侧面展开图为矩形,此矩形的面积为 100 ?

cm 2 .求:圆柱的体积.

22

1.2 1.2.1
一、自主学习:自学 P35 - P38 回答:

点、线、面之间的位置关系 平面的基本性质与推论
年 月 日

1。平面的基本性质: (1)点和直线的基本性质: 连接两点的线中, 最短;过两点 (2)平面的基本性质:

一条直线,并且

一条直线。

1 0 如果一条直线的
作用:

点在一个平面内,那么这条直线上的所有点 或

在 。

这个平面内。这时我们就说

2 0 经过

同一直线的三点,有且只有

个平面。

也可以简单地说成: 的三点确定一个平面。 过不共线的三点 A、B、C 的平面,通常记作: 作用:



30 如果不重合的两个平面有

个公共点,那么它们有且只有

条过这个点的公共直线。

如果两个平面有一条公共直线,则称这两个平面 。这条公共直线叫做着两个平面的 作用: 注意:画两个相交平面时, ,其中一个平面被另一个平面遮住的部分画成 线或 。 (3)平面的基本性质的推论:

1 0 经过一条直线和直线 2 0 经过两条

的一点,有且只有 个平面。 个平面。

个平面。

直线,有且只有 直线,有且只有

30 经过两条

三推论作用: (4)共面与异面直线: 共面:空间中的几个点或几条直线,如果都在 ,我们就说它们共面。 共面的两条直线的位置关系有 和 两种。 异面直线:既 又 的直线叫异面直线。 判断两条直线为异面直线的方法:与一平面相交于一点的直线与这个平面内 直线是异面直线。 (5)符号语言: 点 A 在平面 ? 内,记作 ;点 A 不在平面 ? 内,记作 。 直线 l 在平面 ? 内,记作 ;直线 l 不在平面 ? 内,记作 。 平面 ? 与平面 ? 相交于直线 a , 记作 直线 l 和直线 m 相交于点 A,记作
23



. ,简记作: 。

基本性质 1 可以用集合语言描述为:如果点 A

0

? ,点 B

? ,那么直线 AB

?。

二、典型例题: 例 1. 已知三条直线 a 、 b 、 c 两两相交但不共点,求证: a 、 b 、 c 共面。

例 2.已知三条平行线 a 、 b 、 c 都与直线 d 相交. 求证:它们共面.

例 3.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,对角线 A1C 与平面 BDC1 交于 O, AC 、 BD 交于点 M . 求证:点 C1 、 O 、 M 共线.
A1 B1 C1 D1

M A O D

B

C

例 4.已知三个平面 ? 、 ? 、γ 两两相交,且 ? ? ? = c , ? ? γ = a ,γ ? ? = b , 且直线 a 和 b 不平行. 求证: a 、 b 、 c 三条直线必相交同一点.
? c ? a b ?

三、学生练习: P38 练习 A、B

24

补充 1。 判断题 ⑴若两个平面有三个不同的公共点,则这两个平面重合. ⑵两两相交的三条直线确定一个平面. ⑶空间中的三个点确定一个平面. ⑷若点 A 在平面 ? 外,则点 A 和平面 ? 内的任意一条直线都不共面. 2.已知 ? ? ? ? l , A? l , B ? l , B ? ? , C ? l , C ? ? ,则平面 ABC ?? ? 平面 ABC ? ? ? 3. 根据要求画出图形 ① 直线 a 在平面 ? 内 ③ 直线 a 穿过平面 ? 四、小结: 五、作业: 1。 已知下列四个命题: ⑴ 铺得很平的一张白纸是一个平面; (3) 平面是矩形或平行四边形的形状; 其中正确的有( )个。 (2) 一个平面的面积可以等于 6 cm2 ; (4) 两个平面叠在一起比一个平面厚. ; 平面 ABC ? l ? ② 直线 a 在平面 ? 上方 ④ ? ? ? ? l , a ? ? , a ? ? ? P, b ? ? , b ? ? ? P . ;

C 2 D 1 3 2.若点 M 在直线 a 上, a 在平面 ? 内。则 M 、 a 、 ? 间的上述关系可记为(
A
0

B

)

A M ? a, a ? ?

B M ? a, a ? ?

C

M ? a, a ? ?

D

M ? a, a ? ?
)

3. A 、 B 、 C 、 D 四点共面, B 、 C 、 D 、 E 四点共面,问 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五点( C 共线 A 共面 B 不共面 D 不确定 4. 下列哪种情况可确定一个平面( ) A 四边形 B 两两相交且不共点的四条直线 C 空间三点 D 三条直线交于一点 5。空间有四个点,如果其中任意三个点不共线,则经过其中三个点的平面有( ) A。2 个或 3 个 B。4 个或 3 个 C。1 个或 3 个 D。1 个或 4 个 6。三条直线两两相交,可确定平面的个数为 ( ) A。1 B。2 C。3 D。1 或 3 7。有以下三个命题: ①不在平面内的一条直线与这个平面最多有一个公共点; ②直线 l 在平面 ? 内,可以用符号表示为“ l ? ? ” ③若平面 ? 内的一条直线 a 与平面 ? 内的一条直线 b 相交,则 ? 与 ? 相交 请将所有正确命题的序号写出 8。四条直线最多可确定 . 个平面。

9。已知三棱锥 S ? ABC 的侧棱 SA、 SC 与底边 AB 、 BC 上各分别有一点 P 、 T 、 Q 、 R 四点, 且 PT 与 QR 交于一点 K .求证: 直线 PT 、 QR 、 AC 共点

25

10。如图,在四面体 ABCD 中,做截面 PQR ,若 PQ 和 CB 的延长线交于 M , RQ 和 DB 的延长 线交于 N , RP 和 DC 的延长线交于 K 。 求证: M 、 N 、 K 三点共线.

1.2.2 空间中的平行关系 第一课时 平行直线
年 月 日 一、复习: (1)平面的基本性质及推论 (2)在平面几何中平行线是如何定义的?平行公理是什么?平行线的性质是什么? 二、自主学习:自学课本 P39 ? P40 回答: 1。空间平行直线的本性质(空间平行线的传递性) : 平行于同一直线的两条直线 。 2。等角定理: 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应 且方向 ,那么这两个角相等。 思考: (1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相反, 那么这两个角 。 (2)如果一个角的两边与另一个角的两边中,一组对应边方向相同,另一组对应边 方向相反,那么这两个角 。 3。空间四边形:顺次连接 的四点所构成的图形叫做空间四边形。这四个点中的 各个点叫做空间四边形的 ;所连接的相邻顶点间的线段 叫做空间四边形的 ;连接不相邻的顶点间的线段叫做空间四边形的 三、典型例题:自学课本 P40 例 1



补充例 2。已知棱长为 a 的正方体 ABCD— A B C D 中,M,N 分别为 CD,AD 的中点

'

'

'

'

26

求证:四边形 MNA C 是梯形。 N D A D A
' '

'

'

M B C B
' '

C

例 3。如图,在正方体中 AE ? A E , AF ? A F 。
' ' ' '

求证:EF∥ E F ,且 EF= E F

'

'

'

'

D' E' A' B'

C'

F'

D E A

C

F

B

' ' ' ' ' ' 例 4。如图,已知 E、F 分别是正方体 ABCD— A B C D 的棱 A A 和 C C 上的点,且 AE= C F

'

求证:四边形 EBFD1 是平行四边形。
D' C'

A'

B'

D E A

C

F

B

四、学生练习; P41 练习 A、B

27

五、小结: 六、作业: 1。在空间中,有下列说法: (1)有两组对边相等的四边形是平行四边形; (2)四边相等的四边形是菱形; (3)平行于同一条直线的两条直线平行; (4)有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等; 其中正确的是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2。 ⑴ 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等; ⑵ 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等。 ⑶ 如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补; ⑷ 如果两条直线同平行与第三条直线,那么这两条直线互相平行; 其中正确的有( ) (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个 3.若角α 与角β 两边分别平行,当α = 70 ,则β =( ) (A) 70
?

?

(B) 110

?

(C) 70 或 110

?

?

(D) 以上都不对

4.已知空间四边形 ABCD 中,M,N 分别为 AB,CD 的中点,则下列判断正确的是( )

1 ( AC ? BD ) 2 1 (C) MN ? ( AC ? BD ) 2
(A) MN ?
2 2

1 ( AC ? BD ) 2 1 (D) MN ? ( AC ? BD ) 2
(B) MN ?

5.设 E,F,G,H 分别是空间四边形 ABCD 的四边 AB,BC,CD,DA 的中点,且 BD=2,AC=4,则 EG +HF = 6. 在空间四边形 ABCD 中, E,F,G,H 分别为 AB,BC, 点 CD,DA 的中点, AC=BD, AC ? BD, 若 且 则四边形 EFGH 为 7.在正方形 ABCD? A1 B1C1 D1 中, E, F 分别为 AA ,CC 1 的中点, 1 求证: BF ∥ ED1 且 BF = ED1

第二课时
一、复习: (1)空间平行直线的基本性质 4 二、自主学习:自学 P42 回答: 1。空间直线与平面的位置关系:

直线与平面平行
年 月 日 (2)等角定理

28

(1)直线在平面内:直线与平面有

个公共点。 个公共点。

直线与平面相交:直线与平面只有 (2)直线在平面外:

直线与平面平行:直线与平面 公共点。 2。直线与平面平行的判定定理: 如果不在一个平面内的直线与平面 的一条直线 ,那么这条直线和这个平面平行。 此定理用符号语言表示为: 。 3。直线与平面平行的性质定理: 如果一条直线和一个平面 ,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和两平面 的交线 。 此定理用符号语言表示为: 。 此定理常用做由“线、面平行”去判断 平行。 三、典型例题:自学 P43 例 2、例 3 补充例 4 求证:如果一条直线和两相交平面平行,则这条直线和它们的交线平行。

例 5。正方体 ABCD-- A1 B1C1 D1 中,E,F 为棱 BC, C1 D1 中点。 求证:EF∥面 BDD1 B1
F

D1

C1

A1

B1

D E A B

C

例 6。 (选做)已知正方形 ABCD 和正方形 ABEF 交与 AB,且两正方形不在同一平面内,点 M,N 分别 在 AC 和 BF 上,AM=FN。 C 求证:MN∥面 BEC D B E M N A F

四、学生练习: P43 练习 A、B
29

五、小结: 六、作业: 1。过直线 L 外两点作于直线平行的平面,可以做( ) A 1 个 B 1 个或无数个 C 0 个或无数个 D 0 个,1 个或无数个 2。直线与平面平行的条件是这条直线与平面的( ) A 一条直线不相交 B 两条直线不相交 C 任意一条直线不相交 D 无数条直线不相交 3。下列命题正确的是( ) A 直线 L 平行与平面 ? 内的无数条直线 B 若直线 a ? ? ,则 a∥ ? C 若直线 a∥ ? ,b ? ? ,则 a∥ ? D 若直线 a∥b,b ? ? ,直线 a 平行与平面内的无数条直线 4。 AB、 设 BC、 是不在同一平面内的三条线段, CD 则经过它们中点的平面和直线 AC 的位置关系 ( ) A、平行 B、相交 C、平行或相交 D、AC 在此平面内 5。点 M、N 各是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的两棱 A1A 与 A1B1 的中点,P 是正方体 ABCD 的中心,则 MN 与平面 PCB1 的位置关系是( ) A、平行 B、相交 C、MN ? 平面 PCB1 D 以上三种情况都有可能 6。下面给出了四个命题: (1)如果 a、b 是两条直线,a∥b,那么 a 平行于经过 b 的任何一个平面; (2)如果直线 a 和平面 ? 满足 a∥ ? ,那么 a 与 ? 内的任何直线平行; (3)如果直线 a、b 满足 a∥ ? ,b∥ ? ,那么直线 a∥b; (4)如果直线 a、b 和平面 ? 满足 a∥b,a∥ ? ,b ? ? ,那么 b∥ ? 。 其中,正确的有( )个 A。0 B。1 C。2 D。3 7。正方体 ABCD- A1 B1C1 D1 中,E 为 DD 1 的中点,则 BD1 与平面 ACE 的位置关系是 8。棱长为 a 的正方体 ABCD--一点, AP ? 。

AB1C1 D1 中, M 、 N 分别是棱 A1 B1 、 B1C1 得中点, P 是棱 AD 上


a ,过 P 、 M 、 N 的平面与棱 CD 交于 Q,则 PQ= 3

9。在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 A1B 和 AC 上的点,A1M=AN= (1) 求证:MN//平面 BB1C1C (2) 求 MN 的长

2 a。 3

10。在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 a,M、N 分别为 A1B 和 AC 上的点,A1M=AN (1) 、求证:MN//平面 BB1C1C;

30

(2) 、求 MN 的长的最小值.

第三课时

平面与平面平行
年 月 日

一、复习; (1)空间平行直线的基本性质 4 (2)直线与平面的位置关系 (3)直线与平面平行的判定定理与性质定理 二、自主学习:自学 P44 - P45 回答: , 此时两平面有 1。两个不重合的平面的位置关系: ,此时两平面 公共点 2。两个平面平行的判定定理: 如果一个平面内有两条 直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行。 推论:如果一个平面内有两条 直线分别 于另一个平面内的两条直线,则这两个平面平行。 思考: (1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线与另一个平面 。 (2)如何画两个平行平面? 3。两个平面平行的性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线 。 (可用来判断线线平行) 三、典型例题:自学 P45 例 4、例 5 注意:例 5 的结论:两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段 补充例 6 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 求证:面 C1DB//面 AB1D1 。 个公共点

D1

C1

A1

B1

D

C

A

B

例 7。在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,H、F 分别是 AA1、CC1 的中点。 求证:面 BDF//面 B1D1H

31

D1

C1

A1

B1

F

H

D

C

A

B

例 8。 已知 P 是 ? ABC 所在平面外一点,A1、B1、C1 分别是 ? PBC、 ? PCA、 ? PAB 的重心 (1) 求证:面 ABC//面 A1B1C1 (2) 求 AB:A1B1
P

B1 C1 A B A1 C

四、学生练习: P46 练习 A、B 五、小结: 六、作业: 1。如果一个平面内有无数条直线平行与另一平面,那么这两个平面( ) A 一定平行 B 一定相交 C 平行或相交 D 一定重合 2。经过平面外两点可作于该平面平行的平面个数为() A 0 B 1C 0 或 1 D 1 或 2 3。若一个平面内的两条直线分别平行与另一个平面内的两条直线,则这两个平面的位置关系() A 一定平行 B 一定相交 C 平行或相交 D 以上都不对 4。与平面 ? 的距离都是 d 的点的轨迹是() A 无轨迹 B 2 条平行直线 C 一条直线 D 两个平面 5。已知一条直线和两个平行平面中的一个相交,则它必与另一个平面() A 平行 B 相交 C 平行或相交 D 平行或在平面内 6.设 ? , ? 是两平面, l , m 是两条直线,那么 ? ∥ ? 的一个等价条件是( A。 l ? )

? , m ? ? ,且 l ∥ ? , m ∥ ?

B。 l ?

? ,m? ? 且l ∥m

32

C。 l ?

? , m ? ? , l ∩ m =A,且 l ∥ ? , m ∥ ?

D。 l ?

? ,m? ?

且l ⊥m

7。若直线 a//平面

? ,平面 ? //平面 ? ,直线 a 与平面 ? 的关系

8。已知平面 ? ? 平面 ? =c,a// ? ,a// ? ,则 a 与 c 的位置关系 9。过正方体 ABCD—A1B1C1D1 的三个顶点 A1、C1、B 的平面与底面 ABCD 所在平面的交线为 l ,则 l 与 A1C1 的位置关系 10。正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M,N,E,F 分别是棱 A1B1,A1D1,B1C1,C1D1 的中点, 求证:平面 AMN//平面 EFDB
D1 C1

A1

B1

D

C

A

B

1.2.3 空间中的垂直关系 第一课时 直线与平面垂直
年 月 日

一、复习: (1)在平面上两条直线垂直是如何定义的? (2)在平面上线段 AB 的垂直平分线有几条?在空间呢? (3)在右图的长方体中,棱 AA1 与棱 AB 有何关系?棱 AA1 与棱 AD 有何关系? 棱 AA1 与平面 ABCD 有何关系?
D1 A1 B1 C1

D

C B

A

二、自主学习:自学 P47 - P50 回答; 1。线线垂直:在空间,如果两条直线 或平移后 ,并且交角为 , 则称这两条直线互相垂直。 2。直线与平面垂直: 定义: 如果一条直线(AB)和一个平面( ? )相交于点 O,并且和这个平面内过交点(O)的任 何直线 ,我们就说这条直线和这个平面互相垂直,这条直线叫做平面的 ,这 个平面叫做直线的 ,交点叫做 。垂线上任意一点到垂足间的线段叫做这个点到这

33

个平面的

。垂线段的长度叫做这个


A

O

l

B

性质:由直线与平面垂直的定义可知: 如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和这个平面内的任意直线 。 此性质用符号语言表示为: 画法:通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边 。 记法:直线 l 和平面 ? 互相垂直,记作: 。 3。直线与平面垂直的判定定理: 判定定理:如果一条直线与平面内的两条 直线都垂直,则这条直线与这个平面垂直。 此定理用符号语言表示为: 推论 1:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条 这个平面。 此推论用符号语言表示为: 推论 2:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线 。 此推论用符号语言表示为: 思考:垂直于同一条直线的两个平面有怎样的位置关系? 三、典型例题:自学 P50 例 1、例 2、例 3 补充例 4.如图 1-2-62 所示,直角 ?ABC 所在平面外一点 S,且 SA=SB=SC,点 D 为斜边 AC 的中点。 (1)求证:SD ? 平面 ABC; (2)若 AB=BC,求证:BD ? 面 SAC。

四、学生练习: P51 练习 A、B 五、小结: 六、作业: 1.空间四边形 ABCD 的四边相等,则它的两对角线 AC、BD 的关系是( ) A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交 2.已知平面 ? 及 ? 外一直线 l ,下列命题中: ①若 l 垂直 ? 内两直线,则 l ? ? ;②若 l 垂直 ? 内所有直线则 l ? ? ;③若 l 垂直 ? 内两条平行直 线,则 l ? ? ;④若 l 垂直 ? 内无数条直线,则 l ? ? ;⑤若 l 垂直 ? 内任一条直线,则 l ? ? 。 其中不正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3。直线 a⊥b,b⊥平面 ? ,则 a 与 ? 的位置关系是 ( ) A。a⊥ ? B. a∥ ? C.a ? ? D. a ? ? 或 a∥ ?

34

4。下列命题中,正确的是 A。 ?



) B。 ?

?a // b ? b // ? ?a ? ? ?a ? ? ? b // ? ?a ? b

?a ? b ? b // a ?b ? ?

C。 ?

D。 ?

?a // ? ?b ?? ?a ? b


5。已知 ?ABC 在平面 ? 内,∠A=90°,DA ? 平面 ? ,则 CA 与 DB 的位置关系是 6。Rt ?ABC 中,D 是斜边 AB 的中点,CA=6,BC=8,EC ? 平面 ABC,且 EC=12,则 ED= 。 7。如图所示,在四面体 ABCD 中,若 AB ? CD,AD ? BC,AO⊥平面 BCD 于 O 求证:AC ? BD。

第二课时

平面与平面垂直

年 月 日 一、复习: (1)空间线线垂直的定义 (2) )空间线面垂直的定义 (3)空间线面垂直的判定定理及推论。 (4)重要结论: (ⅰ)如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和这个平面内的任意直线 (ⅱ)过空间一点和已知平面垂直的直线只有 条。 (ⅲ)过空间一点和已知直线垂直的平面只有 个。 二、自主学习:自学 P52 - P54 回答:



1。两个平面互相垂直的定义: 如果两个相交平面的交线与第三个平面 ,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条 交线 ,就称这两个平面互相垂直。 2。两个平面互相垂直的判定定理与性质定理: 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的 ,则这两个平面互相垂直。 性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线是直线 于另一个平面。 三、典型例题。自学 P53 - P54 例 4、例 5 补充例 6。 如图所示,△ABC 为正三角形,EC⊥平面 ABC,BD//CE,且 CE=CA=2BD,M 是 EA 的中点,求证: (1)DE=DA; D (2)平面 BDM⊥平面 ECA; (3)平面 DEA⊥平面 ECA. B
35

例7

已知:平面:PAB⊥平面 ABC,平面 PAC⊥平面 ABC,AE⊥平面 PBC,E 为垂足。 (1)求证:PA⊥平面 ABC; (2)当 E 为△PBC 的垂心时。求证:△ABC 是直角三角形。
P

E

A

B

C

四、学生练习; P54 练习 A、B 五、小结: 六、作业; (1)如果直线 l .m 与平面 ? .? .? 满足 : l ? ? ? ? , l // ? , m ? ? , m ? ? , 那么必有( A. ? ? ? 和l ? m C. m // ? , 且l ? m B. ? // ? 和m // ? D. ? // ? , 且? ? ? )

(2)设 a、b 是两条不同的直线, ? .? 是两个不同的平面,则下列 4 个命题: ①若 a ? b, a ? ? , 则b // a; ③若 a ? ? ,? ? ? , 则a // ? ; ②若 a / /? ? ? ? 则a ? ? ; , , ④若 a ? b a?? , b?? 则 , , . ? ??

其中正确的命题的个数是( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 (3)如图 1—2—87 所示,四边形 ABCD 中,AD//BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD= 90°,将△ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成四面体 ABCD,则在四面体 ABCD 中,下列命题正确的是( ) A.平面 ABD⊥平面 ABC B.平面 ADC⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC

36

4。下面 4 个命题: ①三个平面两两互相垂直,则它们交线也两两互相垂直; ②三条共点的直线两两互相垂直,分别由每两条直线所确定的平面也两两互相垂直; ③分别与两条互相垂直的直线垂直的平面互相垂直; ④分别经过两条互相垂真的直线的两个平面互相垂直。 其中正确命题的序号是 。 5。已知 ? .? 是两个不同的平面,m、n 是平面 ? 及? 之外的两条不同直线,给出 4 个论断: ① m ? n; ②? ? ? ; ③ n ? ?; ④m ?? 。 。

以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题 6。如图 1—2—88 所示,四棱锥 V—ABCD 的底面为矩形,侧面 VAB⊥底面 ABCD, 又 VB⊥平面 VAD。 求证:平面 VBC⊥平面 VAC。

第三课时 复习课
一、复习: 1.线线垂直: 定义:如果两条直线 判定方法: (1)定义法 或

空间中的垂直关系

,并且交角为

,则称两条直线互相垂直。

(2) 线面垂直的性质: 如果一条直线垂直于一个平面, 那么它就和平面内的任何直线 2。线面垂直;



定义:如果一条直线(AB)和一个平面( ? )相交于点 O,并且和这个平面内过交点(O)的任 何直线 ,我们就说这条直线和这个平面互相垂直。 判定方法: (1)定义法 (2)判定定理:如果一条直线与平面内的两条 直线都垂直,则这条直线与这个平 面垂直。 (3)推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条 这个平面。

37

(4)面面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线 是直线 于另一个平面。 3。面面垂直: 定义:如果两个相交平面的交线与第三个平面 ,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条 交线 ,就称这两个平面互相垂直。 判定方法: (1)定义法 (2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的 ,则这两个平面互相垂直。 二、典型例题: 例 1.已知 PA⊥面 ABCD,ABCD 为矩形,M、N 分别为 AB、PC 的中点,若∠PDA=45° 求证:MN⊥平面 PCD。

例 2 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中 AB1⊥BC1,求证:BC1⊥A1C
C1 B1

A1

C

A

B

例 3.E、F 分别为正方体 ABCD—A1B1C1D1 棱 BB1、CD 中点,求证:面 AED⊥面 A1FD1。

D1

C1

A1

B1

D

F

E C

A

B

三、学生练习: 1.下列说法中正确的是 ( ) ①过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直;

38

②过直线外一点有且仅有一条直线与该直线垂直; ③过直线外一点,有且仅有一平面与该直线垂直; ④过一点与一个已知平面垂直的平面有且仅有一个。 A.①③ B.①③④ C.①③ D.②④ 2.空间四边形 ABCD 中,若 AD⊥BC,BD⊥AD,那么有 A. 平面 ABC⊥平面 ADC B. 平面 ABC⊥平面 ADB C.平面 ABC⊥平面 DBC D.平面 ADC⊥平面 DBC 3.设有直线 m、n 和平面α 、β ,则下列命题中正确的是( ) A.若 m⊥n,m ? α ,n ? β ,则α ⊥β B.若 m//n, n⊥β ,m ? α ,则α ⊥β C.若 m//n,m⊥α , n⊥β ,则α ⊥β D.若 m⊥n,α ? β =m,n ? α ,则α ⊥β 4.经过平面外两点作与此平面垂直的平面,则这样的平面( ) A.只能作一个 B.只能作两个 C.可以作无数个 D.只能作一个或能作无数个 5.设α ,β 是两个平面, ,m 是两条直线,下列命题中,可以判断α //β 的是( ) A. l ? α ,m ? α 且 l //β ,m//β C. B.

l

l ? α ,m ? β 且 l //m

l //α ,m//β 且 l //m

D. l ⊥α ,m⊥β 且 l //m

6.给出以下几个结论,其中正确个数是( ) ①平面α //β ,直线 a ? α ,直线 b ? β ,则 a//b; ②直线 l 和平面α ,β , l ? α , l ? β , l ⊥α , l //β ,则α ⊥β ; ③直线 l 和平面α ,β , l ? α , l ? β , l //β ,α ⊥β ,则 l ⊥α ; ④直线 l //α ,α //β ,则 l //β A。0 B。1 C。2 D。3 四、小节: 五、作业: 1。已知 m、n 是两条不重合的直线, 是平面,给出以下命题: m//n m⊥α ① ② ? n⊥α m⊥α n⊥α m⊥α ③ m//α

? m // n

? n //α



? n ⊥α

m⊥n m⊥n 其中,正确命题的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2。已知 a、b 是直线,α 、β 、γ 是平面,给出下列命题:①a//α ,a//β ,α ? β =b,则 a//b;②α ⊥γ , β ⊥γ ,则α //β ;③a⊥α ,b⊥β a⊥b,则α ⊥β ; ④α //β ,β //γ ,a⊥α ,则 a⊥γ ,其中错误的命 题的序号是( ) A.① B.② C.③ D.④ 3。设有直线 m、n 和平面α 、β ,则在下列命题中,正确的是( )

39

A.若 m//n,m⊥α ,n⊥β ,则α ⊥β B.若 m//n,n⊥β , m ? α , 则α ⊥β C.若 m⊥n, m⊥α , n ? β , 则α //β D.若 m//n,m ? α ,n ? β ,则α //β 4.m、n 表示直线,α 、β 、γ 表示平面,给出下列四命题 ①α ? β =m,n ? α ,n⊥m,则α ⊥β ②α ⊥β ,α ? γ =m, β ? γ =n,则 m⊥n ③α ⊥β , α ⊥γ , β ? γ =m,则 m⊥α ④m⊥α ,n⊥β , m⊥n, 则α ⊥β 其中正确命题为( ) A.①与② B.②与③ C.③与④ D. ②与④ 5。△ABC 是正三角形,平面 ABC 外有一点 O,且 OA=OB=OC,截面 PQRS 平行于 OA 和 BC,则四 边形 PQRS 是______________形。
O

R A P B S Q C

6.如图所示,ABCD 是边长为 a 的菱形,∠A=60°,PC⊥平面 ABCD,PC=α , E 是 PA 的中点, (1)求证:平面 BDE⊥ABCD; (2)求 E 到平面 PBC 的距离。

第一章 2.1 2.2.1 数轴上的基本公式

平面解析几何初步

平面直角坐标系中的基本公式

一、 复习:数轴的定义及实数与数轴上的点之间的对应关系。 二、自主学习:自学 P ? P 回答: 65 67 1。直线坐标系:一条给出了 、 和 的直线叫做数轴,或者说在这条直线上建立了 。 对应关系。如果点 P 与实数 x 对应,则称点 P 的坐标为 , 。

2。实数与数轴上的点之间是 记作 。 3。位移向量(向量) :既有 又有 的量叫做位移向量,简称 4。相等的向量:数轴上 且 的向量叫做相等的向量。
40

5。向量的坐标或数量: 一般地,轴上向量 AB 的坐标是一个实数,实数的绝对值为线段 AB 的 的方向与轴同方向,则这个实数取 起点和终点重合的向量是 向量。 6。位移的和: ,反之取 。 ,如果起点指向终点

在数轴上,如果点 A 做一次位移到点 B,接着由点 B 再做一次位移到点 C 则位移 AC 叫做 位移 和位移 的和。记作: AC = + + 。 。

对于数轴上任意三点 A、B、C 都具有关系:AC= 7。数轴上任意向量的坐标公式:

设 AB 是数轴上任意一个向量,点 A 的坐标为 x1 ,点 B 的坐标为 x2 ,则 AB= 8。数轴上两点间距离公式:d(A,B)=︱AB︱= 。 .



9。数轴上两点 A( x1 ) 、B( x2 ) ,线段 AB 中点M(x)的坐标公式是:x= 三、典型例题: 例 1.已知 A,B,C 是数轴上任意三点, (1) 、若 AB=5,CB=3,求 AC; (2) 、证明:AC+CB=AB; (3) 、若 AB ? 5, CB ? 3, 求 AC

例 2.(1)若点 A(x) 位于点 B (2) 与点 C(8)之间,求 x 的取值范围; (2)若点 A(x) 位于点 C (8) 的右侧,求 x 的取值范围

例 3. 设 A、B、C、D 为数轴上任意四点,求证:AB+BC+CD+DA=0

四、学生练习: P ? P 练习A、B 67 68 五、小结: 六、作业: 1、不在数轴上画点,确定下列各组点中,那一组中的点 M 位于点 N 的右侧 (A)M(-3)和 N(-4) (B)M(3)和 N(4) (C)M(-3)和 N(4) (D)M(-4)和 N(-3) 2、A,B 是数轴上两点,B 点坐标 x B =-6,且 BA= -4,那么点 A 的坐标为









41

(A)-10 (B) -2 (C) -10 或-2 (D) 10 3.数轴上三点 A、B、C,已知 AB=2.5,BC=-3,若 A 点坐标为 0,则 C 点坐标为( ) (A)0.5 (B)-0.5 (C)5.5 (D)-5.5 4、下列说法正确的是 ( ) (A)零向量有确定的方向 (B)数轴上等长的向量叫做相等的向量 (C)向量 AB 的坐标 AB=-BA (D)

AB ? AB

5。在数轴上,M、N、P 的坐标分别为 3,-1,-5,则 MP+PN 等于( ) (A) –4 (B) 4 (C) –12 (D)12 6。在数轴上从点 A(-2)引一线段到 B(3),再延长同样的长度到 C,则点 C 的坐标为 ( (A) 13 (B) 0 (C) 8 (D) –2 7。如图,设 AB 是 x 轴上的一个向量,O 是原点,则下列各式不成立的是 ( )

)

B

O

A

x (C) AB ? OB ? OA , d ( A, B) = (D) BA ? OA ? OB ,BA= ,若 AB=7.5,则 a=

(A) OA ? OA

(B) OB ? OB

8。已知数轴上两点 A(-2),B(5),则 AB = 9。已知数轴上两点 A(a),B(5.5),并且

d (A,B)=7.5,则 a=

10。.数轴上一点 M(-5),它到点 A(-6)的距离是它到点 B(x)距离的 11.已知 点 A(-9),B(-3),在数轴上求点 P,是 PA ? PB

1 ,求实数 x 的值 2

2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
一、 复习:(1)坐标平面内的点的集合与有序实数对构成的集合之间具有什么样的对应关系? (2)数轴上向量 AB 的坐标公式及两点间的距离公式是什么? 二、自主学习:自学 P ? P 回答: 68 71 1。平面上两点的距离公式: 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 d(A,B)=︱AB︱= 2。中点公式:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , M ( x , y ) 是线段 AB 的中点, 则 x= 3。坐标法:什么是坐标法? ,y= . 。

三、典型例题:自学 P ? P 例 1-例 4 69 70
42

补充例题 1.求下列两点的距离及线段中点的坐标 (1) A (-1,-2), B (-3,-4) (2) C (-2,1), D (5,2)

例 2.已知 ?ABC 的顶点坐标为 A(-1,5), B(-2,-1), C(4,7),求 BC 边上的中线 AM 的长.

例 3。用坐标法证明;如果四边形 ABCD 是长方形,则对平面 AC 上任意一点M, 等式 AM ? CM ? BM ? DM 成立。
2 2 2 2

四、学生练习: P ? P 练习 A、B 71 72 五、小结: 六、作业: 1. 设点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴上,AB 的中点 P(2,?1) ,则 AB 等于 ( (A)5 (B) 4 2 (C) 2 5 (D) 2 10 )

2. 甲船在某港口的东 50 公里,北 30 公里处,乙在同一港口的东 14 公里,南 18 公里处,那么甲,乙两 船的距离是 ( ) (A) 12 10 公里 (B)16 5 公里 (C) 60 公里 (D)80 公里

3. 已知两点 P (1, -4),,A (3, 2),则点 A 关于点 P 的对称点的坐标为 4.以 A(5,5)、B(1,4)、C(4,1)为顶点的三角形是 ( ) (A) 直角三角形 (B)等腰三角形 (C) 等边三角形 (D)等腰直角三角形 5.设平行四边形 ABCD 的顶点 A(0,0)、B(0,b)、C(a,c),则第四个顶点 D 的坐标是 ( ) (A) (a,b+c) (B) (-a,b+c) (C) (a,c-b) (D) (-a,b+c) 6。光线从点 A(-3,5)射到 x 轴上,经反射以后经过点 B(2,10),则光线从 A 到 B 的距离为( ) (A) 5 2 (B) 2 5 (C) 5 10 (D) 10 5

7。已知 ?ABC 的两个顶点 A(3,7),B(-2,5),若 AC,BC 的中点都在坐标轴上,则 C 点的坐标是( ) (A) (-2,7) (B) (-3,-7)或(2,-5) (C) (3,-5) (D) (2,-7)或(-3,-5 8。 P(-4,3)关于 x 轴的对称点是 ,关于 y 轴的对称点是 ., 关于原点的对称点是 关于直线 y=x 的对称点是 9.点 A 在第四象限,A 点到 x 轴的距离为 3,到原点的距离为 5,则 A 点坐标为 . 10。设 D 为 ?ABC 的边 BC 上的一点,而 BD=2DC,求证: AB
2

.,

? 2 AC

2

? 3 AD ? 6 CD .
2 2

43

2.1

直线的方程

2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
一、复习:一元一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象,回答: (1)满足 y=kx+b(k≠0)的(x,y)对应点都在 y=kx+b(k≠0)的图象上吗? (2)y=kx+b(k≠0)的图象上所有点的坐标都满足 y=kx+b 吗? 二、自主学习:自学 P ? P 回答: 74 75 1,直线方程的概念: 如果以一个方程的解为坐标的点 那么这个方程叫做这条直线的 2。直线的斜率: (1)直线的斜率 某条直线上; 反之, 这条直线上的点的坐标 ,这条直线叫做这个方程的 . 这个方程的解,

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是直线 y=kx+b(k≠0)上任意两点,其中 x1 ? x2 则 k= .若记△x= x2 ? x1 ,△y= y2 ? y1 ,则 k= .( △x≠0) 。

系数 K 叫做这条直线的 。k 的值决定了这条直线相对于 x 轴的 思考: (ⅰ)k 的值与 A、B 两点的顺序有关吗? (ⅱ)当 x1 ? x2 时直线有斜率吗?此时,直线的方程是 。

(2)直线的倾斜角: x 轴正向与直线 的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角。 规定:与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角为 。 由斜率的定义可知: (ⅰ)k=0 时,直线的倾斜角为 。 (ⅱ)k>0 时,直线的倾斜角为 ,此时,k 值增大,直线的倾斜角也随着 (ⅲ)k<0 时,直线的倾斜角为 ,此时,k 值增大,直线的倾斜角也随着 (ⅳ)当 k 不存在时,直线的倾斜角为 。 由此可知,直线的倾斜角的范围是 。 注:用斜率研究问题时,不要忘记斜率不存在(即倾斜角为 90 )的情况. ......... (3)用计算机求斜率的步骤是怎样的? 三、典型例题:自学 P 例 1、例 2 76 补充例题 3 已知 A (1 , 1) , B (3 , 5) , C (a , 7) , D ( ? 1 ,b) 四点共线,求 a , b.
?

。 。

例 4 设直线 l 的方程为 (a ? 1) x ? y ? 2 ? a ? 0(a ? R). 若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围.

四、学生练习: P 练习 A、B 76 五、小结:

44

六、作业; 1。给出下列命题: ①任何一条直线都有唯一的倾斜角; ②一条直线的倾斜角可以为 ? 30 ; ③倾斜角为 0 的直线只有一条,即 x 轴;
? ? ④按照倾斜角的概念,直线倾斜角的集合 ? 0 ? ? ? 180 与直线集合建立了一一映射关系.

?

?

?

?

正确命题的个数是 A. 1 个 B.2 个

( ) C.3 个

D.4 个
?

2.已知直线 l 向下的方向与 y 轴负方向成 60 角,则直线 l 的倾斜角为( A. 30
?



B. 60 ?

C. 150

?

D. 30 或 150

?

?

3.过点 M (-2 , m),N (m , 4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为( ) A. 1 B.4 C.1 或 3 D.1 或 4 4.已知经过两点(5,m)和(2,8)的直线的斜率大于 1,则 m 的范围是( ) A. (2 , 8) B.(8, ? ? ) C.(11, ? ? ) D.( ? ? ,11) 5.三点 A(2,-3),B(4,3),C(5, A. 8 B.10

m )在同一条直线上,则 m 为( 2
C.12 D.16



6.直线 y ? kx ? b, 当 k ? 0, b ? 0 时,此直线不经过的象限是( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.以上都不是 7.若直线 x ? 5 ? 0 的倾斜角为 ? ,则 ? 等于( ) A. 0
?



B. 45

?

C. 90

?

D.不存在 )

8。 (1995 年全国高考)若图中的直线 l1 , l 2 , l3 的直线的斜率分别为 k1 , k 2 , k 3 ,则( A. k1 ? k 2 ? k 3 B. k 3 ? k1 ? k 2 C. k 3 ? k 2 ? k1 D. k1 ? k3 ? k 2

y

l2

l3

x
l1
9. (2005 年昆明市质检)设 P 为 x 轴上的一点,A ( ? 3,8 ),B ( 2,14 ),若 PA 的斜率是 PB 的斜率的 2 倍, 则 P 点的坐标为 . 10。已知直线 l 过点 P ( -1,0)且与以 A ( 1,1),B ( 2,3)为端点的线段相交,求直线的斜率的取值范围。

45

2.2.2 直线方程的几种形式
第 1 课时
一、复习: (1)直线方程的概念

直线的点斜式方程和两点式方程

(2)直线的斜率和倾斜角

二、自主学习:自学 P ? P 回答: 77 78 1。直线的点斜式方程: 已知直线 l 过点 P0 ( x0 , y0 ) ,且斜率为 k,则直线 l 的点斜式方程为 特别地,当 k=0 时,直线方程变为 ,这时直线 。 。

注意:①要注意到

y ? y0 ? k 与 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 是不同的,前者表示直线上缺少一个 x ? x0

点 P0 ( x0 , y0 ) ,后者才是整条直线. ②经过点 P0 ( x0 , y0 )的直线有无数条,可以分为两类: (ⅰ)斜率存在的直线,方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ; (ⅱ)斜率不存在的直线,方程为 x ? x0 . 2。斜截式方程: 已知直线 l 的斜率为 k ,与 y 轴的交点是 P(0, b) ,则直线 l 的斜截式方程为 其中 k 为斜率,b 叫做直线在 y 轴上的 。简称直线的截距。 思考:斜截式方程 y=kx+b 表示的直线是否包含了过点 P(0,b)的所有直线?如果不是, 那么漏掉了哪一条? 3。两点式方程: 已知两点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,且 x1 ? x2 , y1 ? y2 则直线 AB 的两点式方程为 。 思考:两点式方程是否表示了过 A、B 的所有直线?如果不是,那么漏掉了哪些? 4。截距式方程 已知直线 l 与 x 轴的交点为(a, 0),与 y 轴的交点为(0,b), 则直线 l 的 截距式方程为___________________ . 思考:截距式方程是否表示了过(a,0) 、(0,b)的所有直线?如果不是,那么漏掉了哪些? 5。直线方程的局限性: (1)点斜式、斜截式方程只适用于 的直线; (2)两点式方程: .

y ? y1 x ? x1 不能表示 ? y 2 ? y1 x2 ? x1

的直线,而写成

( y ? y1 )(x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )(x ? x1 ) 则可以表示任意直线.

46

(3)截距式方程不包括 三、典型例题:自学 P 例 1、例 2 78

的直线。

补充例题 1。三角形的三个顶点分别为 A ( ? 5,0 ) , B ( 3,?3 ) , C ( 0,2 ); 求这个三角形的三条边所在直线的方程.

例 2。已知直线 l 经过点( 3,?2 ) ,且在两坐标轴上的截距相等,求直线 l 的方程.

例 3。 (选做)求斜率为

3 ,且与坐标轴所围成的三角形的周长是 12 的直线 l 的方程. 4

四、学生练习: P 练习 A、B 79 五、小结: 六、作业: 1。下列四个结论正确的有( (1)方程 k ?



y?2 与方程 y ? 2 ? k ( x ? 1) 可表示同一条直线; x ?1
?

(2)直线 l 过点 P( x1 , y1 ) ,倾斜角为 90 ,则其方程为 x ? x1 ; (3)直线 l 过点 P( x1 , y1 ) ,倾斜角为 0 ,则其方程为 y ? y1 ; (4)所有的直线都有点斜式和斜截式方程. A. 1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.经过点 A ( 2,1 ),B ( 6,?2 )两点的直线方程不是( . A. y ? 1 ? ? )
?

3 ( x ? 2) 4

B. 3x ? 4 y ? 10 ? 0

C.

x y ? ?1 10 5 3 2


D.

y ?1 x ? 2 ? 1? 2 6 ? 2

3.直线 3x ? 2 y ? 6 ? 0 的斜率为 k ,在 y 轴上的截距为 b ,则有( A. k ? ?

3 ,b ? 3 2

B. k ? ?

2 , b ? ?2 3

C. k ? ?

3 , b ? ?3 2

D. k ? ?

2 ,b ? 2 3


, 4.直线 l 过点( ? 1,?1 )和( 2,5 ) ,点( 1002 b )在直线 l 上,则 b 的值为(

A. 2003 B. 2004 C. 2005 D. 2006 5。 (2003 年河南高考)如图,在同一直角坐标系中,表示直线 y ? ax 与 y ? x ? a 正确的是(



47

y

y

y

y

O

x
A.

O
B.

x

O
C.

x

O
D.

x

6.经过点 (1,2) 并且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有_________条. 7.过 (a,0), (0, b) 和 (1,3) 三点且 a, b 均为正整数的直线方程为____________________ . 8.过点 M ( 2,1 )的直线与 x 轴、 y 轴分别交于 P、Q 两点,若 M 为线段 PQ 的中点, 则这条直线的方程为____________________ . 9.求过定点( ? 3,4 )并且在两坐标轴上的截距恒为相反数的直线 l 的方程.

10. (选做)已知直线 l 过点( ? 2,3 )且与两坐标轴围成的三角形的面积为 4,求直线 l 的方程.

第二课时

直线方程的一般式

一、复习: (1)直线的点斜式、斜截式方程是什么?有何局限性? (2)两点式、截距式方程是什么?有何局限性? 二、自主学习:自学 P ? P 回答: 79 80 1。直线的方程都是关于 x、y 的 2。直线方程的一般式: 方程 (
2

方程;关于 x、y 的二元一次方程都表示 )叫做直线的一般式方程。
2



? 0 思考:在方程 A x? B y C? ( A ? B ≠0)中,A、B、C 为何值时,方程表示的直线:
①平行于 x 轴 ④与 y 轴重合 三、典型例题:自学 P 例 3、例 4 80 补充例题 5 已知 ?ABC 中, A(1, ?4), B(6, 6), C (?2, 0) ,求: ① ?ABC 的平行于 BC 边的中位线的一般式方程和截距式方程. ② BC 边的中线的一般式方程,并化为截距式方程 ②平行于 y 轴 ⑤过原点 ③与 x 轴重合 ⑥与两坐标轴都相交

四、学生练习: P 练习 A、B 81
48

五、小结: 六、作业: 1.过点 A(2,3), B(?5,3) 的直线方程的一般式为( A. x ? 3 B. x ? 3 ? 0 C. y ? 3 ). D. y ? 3 ? 0 ). D. AB ? 0, C ? 0 ).

2.直线 l 的方程为 Ax ? By ? C ? 0 .若直线 l 过原点和二、四象限,则( A. C ? 0, B ? 0 B. A ? 0, B ? 0, C ? 0 C. AB ? 0, C ? 0

3.直线 l 过点 P(1,3) ,且于 x , y 轴正半轴围成三角形的面积等于 6 的直线方程是( A. 3x ? y ? 6 ? 0 B. x ? 3 y ? 10 ? 0 C. 3x ? y ? 0 ). D. bx ? ay ? c ? 0 ). D. x ? 3 y ? 8 ? 0

4.直线 ax ? by ? c ? 0 关于直线 y ? x 对称的直线方程是( A. bx ? ay ? c ? 0 B. bx ? ay ? c ? 0

C. bx ? ay ? c ? 0

5。直线 l1 : ax ? y ? b ? 0, l2 : bx ? y ? a ? 0 (ab ? 0) 的图像只可能是(

y

l1

y

y

y

O
A.

x
l2 l2

O

x

O
C. l2

x
l1 l2

O
D.

x
l1

l1B.

6。在 x 轴上的截距为

1 ,在 y 轴上的截距为 ?3 的直线方程的一般式是________________. 2

7。直线 kx ? y ? 1 ? 3k ? 0 ,当 k 变动时,所有直线都通过定点____________ 8.已知直线 l 过点 (1, 2) , x 轴上的截距在 (?3,3) 的范围内, 在 则其斜率 k 的范围为__________________. 9.若点 (a,12) 在过点 (1,3) 及点 (5, 7) 的直线上,则____________. 10。设直线 l 的方程为 (m ? 2m ? 3) x ? (2m ? m ?1) y ? 2m ? 6 ,根据下列条件分别确定 m 的值:
2 2

⑴ l 在 x 轴上的截距是 ?3 .

⑵ l 的斜率是 ?1 .

49

第二课时 两条直线垂直的条件
一、复习: (1)直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0, ( A2 ? B2 ? 0) ,
2 2

l1 与 l 2 相交 ? l1 与 l 2 平行 ? l1 与 l 2 重合 ?
(2)直线 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2

。 。 。

l1 与 l 2 相交 ? l1 与 l 2 重合 ?
二、自主学习:自学 P84 ? P86 回答:

; l1 与 l 2 平行 ? 。



(3)与直线 Ax+By+C=0 平行的直线方程为

, (



1。直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0, ( A2 ? B2 ? 0),l1 ? l2 ? ____________;
2 2

2。直线 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 , l1 ? l 2 ? _______________。 3。判断 l1 与 l 2 垂直的步骤: 4。 与直线 y ? kx ? b(k ? 0) 垂直的直线系方程为_________________; 5。与直线 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线系方程为:________________; 三、典型例题:自学 P86 例 3-例 5 补充例题 6:已知 直线l1 : ax ? y ? 2a ? 0与l 2 : (2a ? 1) x ? ay ? a ? 0 互相垂直,求 a 的值。

例 7。 (选做)求点 A(2,2)关于直线 2x-4y+9=0 的对称点坐标。

四、学生练习: P87 练习 A、B 五、小结: 六、作业:

50

1.下列说法不正确的是(



A. 若直线 l1 与 l 2 都无斜率,则 l1 与 l 2 一定不垂直; B. 两直线 l1 与 l 2 中一条无斜率,另一条斜率为 0,则有 l1 ? l 2 ; C. 两直线 l1 与 l 2 都有非零斜率,且 k1 ? k 2 ? ?1 ,则 l1 ? l 2 ; D. 若 l1 ? l 2 ,则 k1 ? k 2 ? ?1 ; 2。两条直线 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0与A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 垂直等价于( A. A1 A2 ? B1 B2 ? 0 C. B. A1 A2 ? B1 B2 ? 0 D. )

A1 A2 ? ?1 B1 B2

B1 B2 ?1 A1 A2
2 的直线垂直,则实数 a 的值是( 3


3.若直线 l 经过(a-2,-1)和点(-a-2,1)且与斜率为 ? A. ?

2 3

B. ?

3 2

C.

2 3

D.

3 2
) D. a ? 6, b ? 6 )

4.如果直线 y ? ax ? 2 与直线 y ? 3x ? b 关于直线 y=x 对称,那么( A. a ?

1 ,b ? 6 3 1 ( x ? 2) 3

B. a ?

1 , b ? ?6 3 1 3

C. a ? 3, b ? ?2

5.已知 A(5,2),B(-1,4)两点,则线段 AB 的垂直平分线的方程为( A. y ? 3 ? B. y ? 3 ? ? ( x ? 2) D. y ? 3 ? ?3( x ? 2)

C. y ? 3 ? 3( x ? 2)

6.由三条直线 2x-y+2=0,x-3y-3=0 和 6x+2y+5=0 围成的三角形是( ) A. 直角三角形 B.等边三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角三角形 7.已知两直线 l1 : mx ? y ? 2 ? 0, l 2 : (m ? 2) x ? 3 y ? 4 ? 0 与坐标轴围成的四边形有外接圆,则实数 m=_________; 8。点 p(-2,-1)关于直线 x+2y-2=0 对称的点的坐标是_______________; 9。给定三点 A(1,0),B(-1,0),C(1,2),那么通过点 A 并且与直线 BC 垂直的直线方程为_______________; 10.已知直线 l1 : x ? ay ? 2a ? 2 ? 0, l 2 : ax ? y ? a ? 1 ? 0 : ①若 l1 // l 2 , 试求 a 的值; ②若 l1 ? l 2 ,试求 a 的值。

51

2.2.3 第一课时

两条直线的位置关系

两条直线相交、平行与重合的条件

一、复习:直线方程的一般式和斜截式是怎样的? 二、自主学习:已知两条直线的方程为 l1 : A x ? B y ? C1 ? 0 1 1

l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
自学 P ? P 回答: 81 83 1. l1 与 l 2 相交 ? 2. l1 与 l 2 平行 ? 3. l1 与 l 2 重合 ? 。 。 。

4.若两直线方程分别为 l1 : y ? k1 x ? b , l2 : y ? k2 x ? b2 1 则

l1 与 l 2 相交 ? l1 ∥ l 2 ? l1 与 l 2 重合 ?






三、典型例题:自学 P 例 1、例 2 83 补充例题 1.求与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 平行,且在两坐标轴上的截距之和为 1 的直线方程;

例 2.已知直线 l1 : x ? my ? 6 ? 0, l 2 : (m ? 2) x ? 3 y ? 2m ? 0 ,当 m 为何值时,直线 l1 和 l 2 : ① 相交;②平行;③重合;

例 3.求经过两直线 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 的交点且与直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行的直线方程。

四、学生练习: P 练习 A、B 84 五、小结: 六、作业:

52

1. 已知下列语句: ① 若两条直线平行,则其斜率相等; ②. 若两条直线斜率相等,则两直线平行; ③.过点(-1,-1)且斜率为 2 的直线方程为 ④.垂直于 x 轴的直线平行于 y 轴; A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

y ?1 ? 2; x ?1


其中正确的个数为(

2.如果直线 ax ? 2 y ? 2 ? 0 与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行,那么系数 a=( A. –3 B. –6 C. –3/2 D. 2/3 )



3.直线 3x ? 2 y ? m ? 0 和 (m 2 ? 1) x ? 3 y ? 3m ? 0 的位置关系是( A. 平行 B. 重合 C. 相交 D. 不确定

4.两直线 l1 : x ? my ? b ? 0与l 2 : (m ? 2) x ? 3 y ? 2m ? 0 的交点唯一,则( A. m ? ?1 B. m ? ?3 C. m ? ?1 且 m ? ?3



D. m ? 3 且 m ? ?1 )

5.方程 x 2 ? 6xy ? 9 y 2 ? 3x ? 9 y ? 4 ? 0 表示的图形是(

A. 两条重合的直线 B. 两条互相平行的直线 C. 两条斜交的直线 D. 两条互相垂直的直线 6. 经过 A(-1,m),B(2m,1)两点的直线,当 m=_______时,该直线平行于 x 轴;当 m=_______时,该直线平 行于 y 轴; 7. 直线 y ? ? x ? b与5x ? 3 y ? 31 ? 0 的交点在第一象限,则 b 的取值范围是_____________. 8.三条直线 x ? 2 y ? 1 ? 0, x ? 3 y ? 1 ? 0与ax ? 2 y ? 3 ? 0 共有两个不同的交点,则 a=__________; 9.如果直线 l1 : x ? 2my ? 1 ? 0与l 2 : (3m ? 1) x ? my ? 1 ? 0 平行,那么实数 m 的值为___________; 10.已知直线 l1 和直线 l 2 : x ? 3 y ? 6 ? 0 平行, l1 与两坐标轴围成的三角形的面积是 8,求直线 l1 的方程.

2.2.4
一、复习:

点到直线的距离
2 2

1。直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0, ( A2 ? B2 ? 0),l1 ? l2 ? ____________。 2。直线 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 , l1 ? l 2 ? _______________。 3。与直线 y ? kx ? b(k ? 0) 垂直的直线系方程为_________________。 4。与直线 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线系方程为:________________。

53

二、自主学习: P87 ? P89 回答: 1。点 P( x1 , y1 ) 到直线 Ax+By+C=0( A ? B ? 0 )的距离:d=
2 2



2。求点 P( x1 , y1 ) 到直线 Ax+By+C=0( A ? B ? 0 )的距离的步骤:
2 2

3。两条平行直线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 与 l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 的距离为________________。 三、典型例题:自学 P88 ? P89 例 1、例 2 补充例题 3 求与直线 l : 5x ? 12y ? 6 ? 0 平行且到直线 l 的距离为 2 的直线方程。

例 4。已知正方形的中心为 G(-1,0) ,一边所在直线的方程为 x+3y-5=0,求其他三边所在的直线方程。

四、学生练习: P89 练习 A、B 五、小结: 六、作业: 1.已知点(3,m)到直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 的距离等于 1,则 m 等于( )

A.

3

B. – 3

C. –

3 3

D.

3 或–

3 3


2.点 p 在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,O 是坐标原点,则 op 的最小值是( A.

10

B. 2 2

C.

6

D. 2 )

3.两平行直线 l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0, l 2 : 6 x ? 8 y ? 5 ? 0 的距离等于(

A.3 B. 0.1 C. 0.5 D. 7 4.一条光线沿直线 x+2y-3=0 方向射到直线 x+y=0 上且被反射,则反射光线所在直线方程为( A。2x-y-3=0 B. 2x+y-3=0 C. 2x-y+3=0 D. 2x+y+3=0 5.过点 P(1,2)引直线,使 A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等,则这条直线的方程是( ) A. 4x+y-6=0 B. x+4y-6=0 C. 2x+3y-7=0 或 x+4y-6=0 D. 3x+2y-7=0 或 4x+y-6=0 6。点 P(-1,2)到直线 2x+y=5 的距离为______________; 7。在直线 3x-4y-27=0 上到点 P(2,1)距离最近的点的坐标是_____________。 8。过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是________________。 9.与三条直线 l1 : x ? y ? 2 ? 0 , l 2 : x ? y ? 3 ? 0 , l3 : x ? y ? 5 ? 0 可围成正方形的



54

直线方程为______________。 10.直线 2x+11y+16=0 关于点 P(0,1)对称的直线方程为_________________。

2.3 圆的方程 2.3.1 圆的标准方程(一)
一、复习: (1)初中学的圆的定义是什么? (2)平面上两点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 间的距离 d(A,B)=︱ 二、自主学习:已知圆的圆心为 C (a, b) ,半径为 r, M ( x, y ) 是平面上任意一点,自学 P93 回答: 1。若︱CM︱= ,则M在⊙C上;反之,若M在⊙C上,则︱CM︱= 2。圆的标准方程: (1)圆心为 C (a, b) ,半径为 r 的圆的标准方程为: (2)圆心在原点,半径为 r 的圆的标准方程为: 3。设圆C的方程为: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 , (1)若点M(x,y)在圆上,则 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ___r 2 (2)若点M(x,y)在圆外,则 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ___r 2 (3)若点M(x,y)在圆内,则 ( x ? a) ? ( y ? b) ___r 。
2 2 2





。 。

三、典型例题:自学 P94 例 1-例 3 补充例题 4 求圆心在直线 2 x ? y ? 3 ? 0 上且过点(5,2)和点(3,-2)的圆的方程.

四、学生练习: P96 练习 A、B 五、小结: 六、作业: 1。圆 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 的圆心坐标和半径分别为( )
2 2

A (1,-1),2

B (-1,1), 2

C (-1,1),2

D (1,-1),

2

2 2 2。设有圆 M : ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 2 .直线 l : x ? y ? 3 ? 0 ,点 P (2,1),那么( )

A 点 P 在直线 l 上,但不在圆 M 上.

B 点 P 在圆 M 上,但不在直线 l 上.

55

C 点 P 在圆 M 上,也在直线 l 上. D 点 P 既不在圆 M 上,也不在直线 l 上 3。过点 C (-1,1)和 D (1,3),圆心在 x 轴上的圆的方程为( ) A x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 10 B x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 10 C ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 10 D ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 10 .

4.已知圆的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 25.则(1) 圆心坐标为 5. 已知圆心坐标是(-2,-1) ,半径为 3 ,则圆的方程是 6. 圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 过原点的条件是 .

.半径为 .

7. 若坐标原点在圆 ( x ? m) 2 ? ( y ? m) 2 ? 4 内部,则实数 m 的范围 8.已知圆的直径的两个端点分别是点 A(1,1), B(1,2),则圆的方程是 9.与圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 16共圆心且过点 P (-1,1)的圆的方程是 10.圆过点 P (-4,3),圆心在直线 2 x ? y ? 1 ? 0 上且半径为 5,求此圆的方程.

. . .

2.3.1

圆的标准方程(二)


一、复习: (1)圆心为 C (a, b) ,半径为 r 的圆的标准方程为: (2)圆心在原点,半径为 r 的圆的标准方程为: 。 (3)几种特殊圆的方程:圆心在 x 轴上的圆的标准方程为: _______________ ; 与 x 轴相切的圆的标准方程为:__________________; 与两坐标轴相切的圆的标准方程为:______________________。 二、基础练习: 1.半径为 r ? 5 且通过点 (0, 0) 与 (0, 2) 的圆的圆心坐标为 ( )

A.(?2 6,1)

B (1, ?2 6)

C

(?2,1)

D

(1, ?2)


2.已知圆心 P(?2,3) ,且与 y 轴相切,则该圆方程是( A C

( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4

B D

( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 9


3.过点 A(1, ?1) , B(?1,1) 且圆心在直线 x ? y ? 2 ? 0 上的圆的方程是( A

( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4

B

( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4

56

C

( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 4

D

( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 4

4.圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 的圆心到直线 y ?

3 x 的距离是 3

5.已知圆心在 x 轴上, 半径是 5,且以 A(5, 4) 为中点的弦长是 2 5 ,则这个圆的标准方程是 三、典型例题: 例 1:已知圆 C 的圆心在直线 l : x ? 2 y ? 1 ? 0 上,并且经过原点和 A(2,1) , 求圆的标准方程.

例 2 求圆心在直线 y ? ?2 x 上,且与直线 y ? 1 ? x 相切于点 (2, ?1) 的圆的标准方程.

例 3:已知圆满足:① 截 y 轴所得弦长为 2. ② 被 x 轴分成两段圆弧, 其弧长之比为 3 :1 ,③圆心到直线 l : x ? 2 y ? 0 距离

5 ,求该圆的方程。 5

四、学生练习: 已知圆 C 和 y 轴相切,圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,且被直线 y ? x 截得的弦长为 2 7 , 求圆 C 的方程. 五、小结: 六、作业: 1.方程 x ? ( x ? y ? 4) ? 0 表示的图形是(
2 2 2 2



A 两个点 . C 一条直线和一个圆.

B 一个点和一个圆. D 一个点和一条直线.
2 2 2

2.直线 y ? ax ? b 经过第一,二,四象限,则圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的圆心位于第( A.一 B.二 C.三 D.四 )

)象限.

3.以原点为圆心且被直线 3x ? 4 y ? 15 ? 0 截得的弦长为 8 的圆的标准方程是(

57

A. x 2 ? y 2 ? 25 C. x2 ? y 2 ? 9

B. x ? y ?
2 2

225 7

D. x2 ? y 2 ? 73

4.已知圆 C 和圆 C ? 关于点 (3, 2) 成中心对称,若圆的方程是 x2 ? y 2 ? 4 ,则圆 C ? 方程是( ) A. ( x ? 4)2 ? ( y ? 6)2 ? 4 C. ( x ? 6)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 B. ( x ? 4)2 ? ( y ? 6)2 ? 4 D. ( x ? 6)2 ? ( y ? 4)2 ? 4

5.设 M 是圆 ( x ? 5)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 上的点,则点 M 到直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 的最短距离 是( A. 9 ) B. 8
2 2

C. 5

D. 2

6.若实数 x, y 满足 x ? y ? 1,则

y?2 的最小值是 x ?1
.

7.若过点 P (5m ? 1,12m) 总可作两条直线和圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 相切,则实数 m 的范围是 8.与 x 轴相切,半径为 7,圆心在直线 x ? 8 上圆的方程是 9.求圆心在 x 轴上,半径为 5,且过点 A(2, ?3) 的圆的标准方程。 .

10。求与圆 x ? y ? 1关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称的圆的方程.
2 2

2.3.2

圆的一般方程(一)
。 。

一、复习: (1)圆心为 C (a, b) ,半径为 r 的圆的标准方程为: (2)圆心在原点,半径为 r 的圆的标准方程为: 二、自主学习:自学 P97 回答: 1。圆的一般方程为_______________________. ①当_____________时,表示一个圆.圆心为____________,半径为____________. ②当_____________时,表示一个点___________. ③当_____________时,不表示任何图形. 2。二元二次方程 Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的条件是
2 2

①___________ _. ②_________________. ③_________________. 圆的方程都表示是关于 x, y 的__________________________. 三、典型例题:自学 P98 例 1、例 2
58

补充例题 3:求过原点及 A(1,1) 且在 x 轴上截得的线段长为 3 的圆的方程.

四、学生练习: P99 练习 A、B(1) 五、小节: 六、作业: 1.对于方程 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 3 ? 0 ,以下说法正确的是( ). A.表示以 (2, 2) 为圆心的圆. C.表示以 (1,1) 为圆心的圆. 2.方程 x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? R) 表示的图形是( A.表示点 (0, 0) . ). B.表示圆. B.表示以 (?1, ?1) 为圆心的圆. D.以上说法都不正确

C.当 a ? 0 时,表示点 (0, 0) ;当 a ? 0 时表示圆. D.不表示任何图形. 3.若方程 x2 ? y 2 ? x ? y ? m ? 0 表示圆,则实数 m 的取值范围是( A. m ? ). D. m ? ). D. (?5, ?1) ).

1 . 2

B. m ? 0 .

C. m ?

1 . 2

1 . 2

4。过点 P(?8, ?1), Q(5,12), R(17, 4) 三点的圆的圆心坐标是( A. (5,1)
2

B. (4, ?1)
2 2

C. (5, ?1)

5。如果圆的方程为 x ? y ? kx ? 2 y ? k ? 0 ,那么当圆的面积最大时,圆心坐标为( A. (?1,1)
2 2

B. (1, ?1)

C. (?1, 0)

D. (0, ?1)

6。圆 x ? y ? 4x ? 6 y ? 12 ? 0 的圆心为____________.半径为____________. 7。以点 m(4, ?6) 为圆心,半径等于 3 的圆的一般方程是_________________________. 8。 圆心在直线 x ? 2 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0, ?4), B(0, ?2) ,则圆 C 的方程为___________________. 9。求经过点 (2,1), (4,3) ,圆心在 y 轴上的圆的方程. 10.已知 ?ABC 的三个顶点为 A(1, 4), B(?2,3), C (4, ?5) ,求 ?ABC 的外接圆方程,外心坐标和外接圆半径.

59

2.3.2
一、复习:

圆的一般方程(二)

1.二元二次方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ①当________________时,表示一个圆.圆心为____________,半径为____________. ②当________________时,表示一个点___________. ③当________________时,不表示任何图形. 2.在圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 中, ① D=0 时,圆心在___________. ③ D=E=0 时,圆心在___________. ⑤ E=F=0 时,圆心在_____________. ⑦ E -4F=0 时,圆心在_____________. 3.点 P( x0 , y0 ) 与圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4F ? 0) 的位置关系:
2 2 2 2
2

② E=0 时,圆心在___________. 0 ④ D = F =时,圆心在____________. ⑥ D -4F=0 时,圆心在__________.
2

① P 在圆内 ? __________________________________. ② P 在圆上 ? __________________________________. ③ P 在圆外 ? __________________________________. 二、典型例题:自学 P98 例 3 补充例题 4。已知方程 x ? y ? 2(m ? 3) x ? 2(1 ? 4m ) y ? 16m ? 9 ? 0 表示一个圆.
2 2 2 4

⑴求实数 m 的取值范围; ⑵求圆的半径的取值范围; ⑶求圆的圆心 C 的轨迹方程.

例 5.如果实数 x, y 满足 x ? y ? 4 x ? 1 ? 0
2 2

⑴求

y 的最大值; x

⑵ y ? x 的最小值.

(3) x ? y 的最值。
2 2

60

三、学生练习: P99 练习 B(2) 1.若点 (2a, a ? 1) 在圆 x2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 的内部,则实数 a 的取值范围是( A. ?1 ? a ? 1 . B. 0 ? a ? 1 . C. ?1 ? a ? ).

1 . 5

D. ?

1 ? a ?1 . 5
).

2.方程 x2 ? y 2 ? ax ? 2ay ? 2a2 ? a ?1 ? 0 表示圆,则 a 的取值范围是( A. a ? ?2 或 a ?

2 2 . B. ? ? a ? 0 . 3 3

C. ?2 ? a ? 0 .

D. ?2 ? a ?

2 . 3
).

3.已知圆 C x2 ? y 2 ? 6 x ? 4 y ? 11 ? 0 ,直线 l : x ? y ? 3 ,点 P(2,1) ,则 ( A.点 P 在直线 l 上,不在圆 C 上. C.点 P 既在直线 l 上,又在圆 C 上.

B. 点 P 不在直线 l 上,但在圆 C 上. D. 点 P 既不在直线 l 上,又不在圆 C 上..

4.圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 的直径为 3,则 m 的值为___________. 5.已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (4,3) ,端点 A 在圆 ( x ? 1)2 ? y 2=4 上运动, 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.

四、小节: 五、作业: 1.圆 x ? y ? 4 x ? 26 y ? b ? 0 与坐标轴相切,那么 b 可以为(
2 2 2

). D. ?1 和 1 ).

A. ?

13 2
2 2

B. 1 和 2

C. ?1 和 ?2

2.如果圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 与 x 轴相切于原点,则( A. D ? 0, E ? 0, F ? 0 . C. D ? 0, E ? 0, F ? 0 . B. D ? 0, E ? 0, F ? 0 . D. D ? 0, E ? 0, F ? 0 .

3.过原点且在 x, y 轴上截距分别为 p, q ( pq ? 0) 的圆的方程是( A. x ? y ? px ? qy ? 0
2 2

).

B. x ? y ? px ? qy ? 0
2 2

C. x ? y ? px ? qy ? 0
2 2

D. x ? y ? px ? qy ? 0
2 2

4。 (1999 年全国文)曲线 x2 ? y 2 ? 2 2 x ? 2 2 y ? 0 关于(

).

61

A.直线 x ?

2 对称

B.直线 y ? ? x 对称 D.点 (? 2,0) 中心对称

C.点 (?2, 2) 中心对称

5.已知 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的最大值为___________. 6.若直线 l 将圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 ,平分且不通过第四象限,那么 l 的斜率的取值范围是__________. 7.已知圆的半径是 10 ,圆心在直线 y ? 2 x 上圆被直线 x ? y ? 0 截得的弦长为 4 2 ,求圆的方程.

8.已知 AB 是圆 O 的直径,且 AB ? 2a ,点 M 为圆上一动点,作 MN ? AB 垂足为 N ,在 OM 上 取一点 P ,使 OP ? MN ,求点 P 的轨迹方程.

2.3.3 直线和圆的位置关系
一、复习: (1)初中直线与圆的位置关系有几种?如何判断?

(2)点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax+By+C=0 的距离 d= 二、自主学习;自学 P99 - P100 回答



1。直线与圆的位置关系的判断方法: ⑴几何法:令圆心到直线的距离为 d ,圆的半径为 r , d r ? 直线与圆相离 d r ? 直线与圆相切 0 d r ? 直线与圆相交 ⑵代数法:联立直线方程与圆的方程组成方程组,消元得一元二次方程,其中判别式 ? ,则 ? 0 ? 直线与圆相离 ? 0 ? 直线与圆相切 ? 0 ? 直线与圆相交 2。圆的切线方程 ⑴过圆 x ? y ? r 上一点 p( x0 , y0 ) 的切线方程是
2 2 2

⑵过圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 上一点 p( x0 , y0 ) 的切线方程是:
2 2 2

( x ? a)(x0 ? a) ? ( y ? b)( y0 ? b) ? r 2
⑶求过圆外一点 ( x0 , y0 ) 的圆的切线方程:

62

①几何法:设切线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,即 kx ? y ? kx0 ? y0 ? 0 ,由圆心到直线的距离等于 半径,可求得 k ,切线方程即可求出。 ②代数法:设切线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,即 y ? kx ? kx0 ? y0 ,代入圆的方程得一个关于 x 的 一元二次方程,由 ? ? 0 ,求得 k ,切线方程即可得出。 注意:过圆外一点的切线必有两条,无论几何法还是代数法,当求得 k 值是一个时,则另一条的切 线斜率一定不存在,可由数形结合求出。 三、典型例题:自学 P1 0 0 1、例 2 例 补充例题 3:求实数 m ,使直线 x ? m y ? 3 ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 , ⑴相交;⑵相切;⑶相离。

例 4.已知圆 x 2 ? y 2 ? 4 ,求过点 (2,5) 的切线方程。

四、学生练习: P1 0 0 练习 A、B 五、小结: 六、作业: 1.直线 l 过点 (0,2) ,且被圆 x ? y ? 4 截得的弦长为 2,则 l 的斜率为( )
2 2

(A)

?

2 2

(B) ?

2

(C)

?

3 3

(D) ? 3

2 2 2.已知圆 2 x ? 2 y ? 1与直线 ax ? y ? 1 ? 0 ,其中 ? 1 ? a ? 1 ,则直线与圆位置关系为( )

(A) 相切

(B) 相离

(C) 相交

(D) 不确定

2 2 3。已知 p (2, a ) ,则过 p 可作圆 x ? y ? 5 的切线条数是( )

(A) 2 条

(B) 1 条

(C) 1 条或 2 条

(D) 0 条 1 条 2 条

2 2 4。若 c ? 0 ,则直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 x ? y ? ax ? by ? c ? 0 的交点个数是( )

(A) 2 个

(B) 1 个

(C) 0 个

(D) 0 个或 1 个 )

2 2 5。 x ? y ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 上到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 的点共有(

(A) 1 个

(B) 2 个

(C) 3 个

(D) 4 个

63

6。过两点 A(?1,0), B(0,2) 的直线 l 与圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? a) 2 ? 1 相切,则 a ? 7.斜率为

1 且与圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 相切的直线方程为 2

。 。

8。已知直线 l : y ? x ? b 与曲线 C : y ?

2 ? x 2 它有两个公共点,则 b 的取值范围是

9。已知圆 x 2 ? y 2 ? 5x ? 6 y ? m ? 0 与直线 2 x ? y ? 3 ? 0 相交于 P, Q 两点,且 OP ? OQ , 求 m 的值。

10 . 自 点 A(?3,?3) 发 出 的 光 线 l 射 到

x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆

x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 相切,求光线 l 所在直线方程。

2.3.4

圆与圆的位置关系
, , , , , 。

一、复习 : 初中学过的圆与圆的位置关系有几种?分别为 二、自主学习: 自学 P100 - P103 回答: 圆与圆的位置关系的判断方法:

①几何法:设圆 O1 的半径为 r1 ,圆 O2 的半径为 r2 ,两圆的圆心距为 d ,则 当 当 当 时,两圆相交;当 时,两圆内切;当 时,两圆内含。 时,两圆外切 时,两圆外离

? x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 ? ②代数法:方程组 ? 2 ? x ? y 2 ? D2 x ? E 2 y ? F2 ? 0 ?
有两组不同的实数解 ? 两圆 无实数解 ? 两圆 三、典型例题: 例 1.已知圆 C1 : x ? y ? 2mx ? 4 y ? m ? 5 ? 0
2 2 2



有两组相同的实数解 ? 两圆





和圆 C 2 : x ? y ? 2x ? 2my ? m ? 3 ? 0 , m 为何值时,
2 2 2

⑴圆 C1 与圆 C 2 相外切;⑵圆 C1 与圆 C 2 内含.
64

例 2. 已知圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 ,圆 C 2 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 11 ? 0 , 求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长。

注意:

例 2 推广到一般:

(1) 已知圆⊙ O1 : x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 , ⊙ O2 : x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 两式相减得, ( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? F1 ? F2 ? 0 (﹡)

①若两圆相交,(﹡)式即为公共弦所在的直线的方程; ②若两圆相切,(﹡)式即为两圆公切线的方程; ③若两圆相离时,(﹡)式即为与两圆连心线垂直的直线的方程. ⑵求两相交圆的公共弦长 方法:先求出公共弦方程,再得出圆心到直线 AB 的距离 d ,在 Rt?ABC 中, 可由关系式: AB ? 2 R ? d
2 2

2 2 2 2 例 3。求过两圆 x ? y ? 1 与 x ? y ? 2x ? 1 ? 0 的交点,圆心在直线 4 x ? y ? 2 ? 0 上的圆的方程。

注意:过两相交圆交点的圆的求法:
方法 1: 所求圆的圆心必在已知两圆的圆心连线上,从而求出圆心坐标,进而求半径; 方法 2: 联立两圆方程,解出交点坐标,利用待定系数法. 方法 3:已知⊙ O1 : x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 , ⊙ O2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0
2 2 2 2

则过⊙ O1 、⊙ O2 交点的圆系方程为: x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ( x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0
2 2 2 2

65

注:此方程不包括⊙ O2 ,若⊙ O2 符合题意应补上。
四、学生练习: P103 练习 A、B 五、小结: 六、作业: 1.圆⊙ C1 : x 2 ? y 2 ? 9 ,与圆⊙ C 2 : x 2 ? y 2 ? 12x ? 35 ? 0 的位置关系是( (A)内切 (B)外切 (C)相交 (D)相离 )

2.圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 5 ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的交点为 A 、 B ,则线段 AB 的垂直平分线是( (A) x ? y ? 1 ? 0 ) (B) 2 x ? y ? 1 ? 0 (C) x ? 2 y ? 1 ? 0 (D) x ? y ? 1 ? 0 )

3.圆⊙ C1 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1和圆⊙ C 2 : ( x ? 3) 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 相切,则 a 的值为( (A) 1 或 2 (B) 2 或 3 (C) 1 或 3 (D) 3 或 4 )

4.半径为 6 的圆与 x 轴相切,且与圆 x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 内切,则此圆的方程为( (A) ( x ? 4) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 6 (C) ( x ? 4) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 36
2 2

(B) ( x ? 4) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 6 (D) ( x ? 4) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 36
2 2

5.两圆 C1 : x ? y ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 , C 2 : x ? y ? 10y ? 13 ? 0 的公切线有( (A) 2 条
2 2



(B) 3 条
2 2

(C) 4 条

(D)以上均不对

6.两圆 x ? y ? 2 x ? 10y ? 24 ? 0 与 x ? y ? 2x ? 2 y ? 8 ? 0 的交点坐标为 7.半径为 1 的圆与圆 x ? y ? 4 相切,求动圆圆心的轨迹方程
2 2 2 2 2 2 8.设 M ? ( x, y) | x ? y ? 25 , N ? ( x, y) | ( x ? a) ? y ? 9 若 M ? N ? M ,则实数 a 的取值范

?

?

?

?

围是 9.已知圆 C1 : x ? y ? 4x ? 2 y ? 5 ? 0 与圆 C 2 : x ? y ? 6 x ? y ? 9 ? 0 。
2 2 2 2

⑴ 求证两圆相交; ⑵ 求两圆公共弦所在的直线方程; ⑶在平面上找一点 P ,过 P 点引两圆的切线并使他们的长都等于 6 2 。

10。 已知圆 C : x ? y ? 4 x ? 14y ? 45 ? 0 和点 Q(?2,3) ,若 P 为圆 C 上任一点,
2 2

66

求 PQ 的最大值和最小值。

2.4

空间直角坐标系

2.4.1 空间直角坐标系 一、复习: (1)在数轴上,实数与数轴上的点之间具有 对应关系。 (2)在坐标平面内的点与实数对之间具有 对应关系。 二、自主学习:自学 P106 - P107 回答: 1.空间直角坐标系: 在直角坐标系 x o y中,过原点 o 再做一条数轴 z,使它与 x 轴, y 轴都 ,这样它们中的任意 能 。

两条互相 ,轴的方向通常这样选择:从 z 轴的正方向看,x 轴的正半轴沿 与 y 轴的正半轴重合。这时我们说在空间建立了一个空间直角坐标系 Oxyz,O 叫做 2. 空间任意点的坐标:在空间直角坐标系 Oxyz 中 点 P 的 x 坐标:过点 P 作一个平面与平面 yoz , (这样的平面与 x 轴 )该平面 与 x 轴的交点记为 Px ,它在 x 轴上的坐标为 x,这个数 点 P 的 y 坐标:过点 P 作一个平面与平面 xoz , (这样的平面与 y 轴

叫做点 P 的 x 坐标; )该平面

与 y 轴的交点记为 Py ,它在 y 轴上的坐标为 y,这个数 点 P 的 z 坐标: 过点 P 作一个平面与平面 xoy

叫做点 P 的 y 坐标; )该平面

, (这样的平面与 z 轴

与 z 轴的交点记为 Pz ,它在 z 轴上的坐标为 z,这个数 也可称为点 p 的 。 空间任意一点与三个实数的有序数组(x,y,z)之间具有 对应关系。 3.坐标平面:每两条坐标轴分别确定平面: yoz , xoz , xoy , 叫做 。

叫做点 P 的 z 坐标. 其中 x, y , z

这样我们对空间的一个点 p, 定义了三个实数的有序数组作为它的坐标, 记作

4.常用点的坐标: (1)xoy 平面内点的坐标形式为 ; (2)xoz 平面内点的坐标形式为 (3) yoz 平面内点的坐标形式为 ; (4)x 轴上点的坐标形式为 ; (5)y 轴上点的坐标形式为 ; (6) z 轴上点的坐标形式为 。 5.常用对称点的坐标:设 P(x,y,z) (1) P(x,y,z)关于平面 xoy 的对称点的坐标为 ; (2) P(x,y,z)关于平面 xoz 的对称点的坐标为 ; (3) P(x,y,z)关于平面 yoz 的对称点的坐标为 ; (4) P(x,y,z)关于 x 轴的对称点的坐标为 ; (5) P(x,y,z)关于 y 轴的对称点的坐标为 ; (6) P(x,y,z)关于 z 轴的对称点的坐标为 ; (7) P(x,y,z)关于原点的对称点的坐标为 ; 6. 空间直角坐标系中八个卦限的点的坐标符号

;

67

Ⅰ Ⅲ Ⅴ Ⅶ 三、典型例题:

Ⅱ Ⅳ Ⅵ Ⅷ

例 1.如图,棱长为 1 的正方体 ABCD —A 1 B1C1 D1 中,E 为 AB 的中点,F 是 B B1 的中点,G 是 AB1 的中点,试建立适当的坐标系,并确定 E、F、G 的坐标。
A1 B1 D1 C1

G F A E B C D

例 2.求点 A (1,2,?1) 关于坐标平面 xoy 及 x 轴对称的点的坐标

例 3.已知 V—ABCD 为正四棱锥,o 为底面中心,AB=2,VO=3,试建立空间直角坐标系,并指出各 顶点的坐标

V

A O B C

D

四、学生练习: P107 练习 A、B 五、小结: 六、作业: 1.点(3,0,2)位于 A.x 轴上 B.y 轴上 2.点 (1,?2,3) 位于 A.Ⅰ B.Ⅱ C.Ⅲ

C. xoz 平面内 卦限 D.Ⅳ

D. yoz 平面内

68

3.已知点 A (?3,1,4) 则点 A 关于原点的对称点的坐标是 A. (1,?3,?4) 4.第 A.Ⅴ B.( ? 4,1 ? 3 ) C. (3,?1,?4) D. (4,?1,3)

卦限内的点的坐标分量都是负的 B. Ⅵ C. Ⅶ D.Ⅷ B( ? 2,0,?1 ) 则 AB 的中点坐标为 D.(0,1,1)

5.已知点 A (2,0,3) A. (0,0,1)

B. ( 0,1,0 ) C. (0,0,1)

6.在空间直角坐标系中,已知点 p( x, y, z ) 关于下列叙述,正确的有几个? ①点 p 关于 x 轴对称点的坐标是 ( x,? y, z ) ③点 p 关于 y 轴对称点的坐标是 ( x,? y, z ) .A.3 B.2 C. 1 D.0 ②点 p 关于 yoz 平面对称的点的坐标是( x,? y ,? z ) ④点 p 关于原点对称点的坐标是 (? x,? y,? z )

7. 点 p(?1,2,3) 关于 xoy 坐标平面对称点的坐标为 A. (1,2,3) B. (?1,?2,3) C. (?1,2,?3) D. (1,?2,?3)

8.点(1,1,1)关于 z 轴的对称点为 A. (?1,?1,1) B.( 1,?1,?1 ) C. (?1,1,?1) D. (?1,?1,?1)

9.若空间点 M (a, b, c) 的坐标满足条件 abc ? 0 ,则点 M 可能出现在直角坐标系中的卦限 10.设 z 为任意实数,相应的所有点 p(1,2, z ) 的集合图形为 11.点( 2,3,4 )关于 yoz 平面的对称点为 12.到坐标原点距离为 1 的点 P( x, y, z ) 的轨迹方程是

2.4.2
一、复习:

空间两点的距离公式

1.平面直角坐标系内两点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 AB =
2.若 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) 则 AB 中点坐标为 二、自主学习:自学 P108 回答: 1.空间两点 A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y 2 , z 2 ) 的距离 d ( A, B) = 2.点 A( x1 , y1 , z1 ) 到原点 O 的距离 d (O, A) ?
69



3.若 A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y 2 , z 2 ) ,则 AB 中点 M 坐标为 三、典型例题: 例1. 已知 A(1,?2,1), B(2,2,2) 点 p 在 z 轴上,且 PA ? PB ,求点 p 的坐标。

例2.

证明以 A(4,3,1), B.(7,1,2), C.(5,2,3) 为顶点的 ?ABC 是等腰三角形。

例3.

求到两定点 A.(2,3,0) B(5,1,0)距离相等的点 p 的坐标满足的已知 A(1,?2,1), B(2,2,2) 点 p 在 z 轴上,且 PA ? PB ,求点 p 的坐标。

四、学生练习: P109 练习 A、B;习题 2-4A、B 五、小节: 六、作业: 1.点 A(2,1,3) ,B(3,5,3)两点之间的距离是 A. 17 B. 15 C. 3 2 D.

2 2 2 2.点 p( x, y, z ) ,满足 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( z ? 1) ? 2 则点 p 在

A.以点( 1,1,?1 )为圆心,以 2 为半径的圆上 B.以点 (1,1 ? 1) 为中心,以 2 为棱长的正方体上 C.以点( 1,1,?1 )为球心,以 2 为半径的球面上 D.无法确定 3.设点 B 是点 A( 2,?3,5 )关于 xoy 坐标平面的对称点则 AB 等于 .A.10 B. 10 C. 38 D.38

4.已知三点 A.( ? 1,0,1 )B.( 2,4,3 )C.( 5,8,5 )则 A.三点构成等腰三角形 B.三点构成直角三角形 C.三点构成等腰直角三角形 D.三点构不成三角形 5.已知点 p(2,3,4)则点 p 到 x 轴的距离是 A. 13 B. 2 5 C.5 D. 29

70

6.已知 A(1 ? t ,1 ? t , t ) , B(2, t , t ) 则 A,B 两点间的距离的最小值为

A.

5 5

B.

55 5

C.

3 5 5

D.

11 5

7.设 y ? R ,则点 p(1, y, z ) 的集合为 A.垂直于 xoz 平面的一条直线 C.垂直于 y 轴的一个平面 B.平行于 xoz 平面的一条直线 D.平行于 y 轴的一个平面

8.正方体不在同一面上的两个顶点为 A. (?2,4 ? 2) B (6,?4,6) 则正方体的棱长为 9. 已知点 p 在 z 轴上,且满足 po ? 1,则点 p 到点 A(1,1,1)的距离为 10. 试在平面 xoy 内的一条直线 x ? y ? 1 上确定一点 M 使 M 到点 N(6,5,1)的距离最小。

11 .点 p 在坐标平面 xoy 内,A 点的坐标为(0,0,4)且 PA ? 5 ,问满足条件的 p 点组成什么曲线?

12. (02 年全国高考题)已知正方形 ABCD 、 ABEF 边长都是 1,而且平面 ABCD 与平面 ABEF 互 相垂直,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若 CM ? BN ? a(0 ? a ? ⑴. MN 的长。 ⑵

2 ) ,求:

a 为何值时, MN 的长最小。

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